| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Существование, асимптотика и устойчивость по Ляпунову решений периодических параболических задач для систем реакция-диффузия тихоновского типа Н. Н. Нефедовa a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S000143462401022X 
Реферативные базы данных:
  1. Введение. Постановка задачиНастоящая работа посвящена развитию результатов автора и его учеников на новые классы периодических параболических задач с переходными слоями. Рассматривается сингулярно возмущенная задача вида
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal N_u(u,v):=\varepsilon^{2}\biggl(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}- \frac{\partial u}{\partial t}\biggr) - g(u,v, x,t, \varepsilon)=0, \\ \mathcal N_v(u,v):= \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}- \frac{\partial v}{\partial t} - f(u,v, x,t, \varepsilon)=0, \qquad x\in (0,1), \quad t\in \mathbb R, \\ \frac{\partial u}{\partial x}(0,t,\varepsilon)=u^0(t), \quad \frac{\partial u}{\partial x}(1,t,\varepsilon)=u^1(t), \qquad t\in \mathbb R, \\ v(0,t,\varepsilon)=v^0(t), \quad v(1,t,\varepsilon)=v^1(t), \qquad t\in \mathbb R, \\ u(x,t,\varepsilon) = u(x,t+T,\varepsilon), \qquad v(x,t,\varepsilon) = v(x,t+T,\varepsilon), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $\varepsilon > 0$ – малый параметр. Такие системы естественным образом возникают при моделировании быстрых бимолекулярных реакций в случае, когда один из источников (реакция, нелинейный источник, взаимодействие) интенсивный (порядка $1/\varepsilon^2$), а второй порядка единицы (см., например, [1]). В работе изучаются периодические решения этой задачи, имеющие пограничные слои. Первое уравнение в системе, имеющее малый параметр при параболическом операторе, принято называть быстрым, а второе – медленным. Исследование систем такого типа, заложившее основы современной теории возмущений, было начато для ОДУ в работах Тихонова, Васильевой, Бутузова и их учеников (см. [2] и [3]). Эти результаты получили существенное развитие в исследовании задач для уравнений с частными производными. Основные исследования таких классов задач отражены в обзорах [4] и [5]. Актуальность исследований решений с пограничными и внутренними слоями (контрастными структурами) для уравнений реакция-диффузия и реакция-адвекция-диффузия обусловлена тем, что они выступают в качестве математических моделей во многих приложениях: в теории нелинейных волн [6]–[8], при изучении автоволновых процессов в урбоэкологии [9], [10] и других приложениях [11]–[13]. Нужно отметить, что значительная часть результатов по асимптотической теории контрастных структур получена на основе асимптотического метода дифференциальных неравенств (см. [5] и ссылки в этой работе). Основу этого метода составляет изучение монотонности операторов, порождающих асимптотику. Системы тихоновского типа являются менее исследованными. Результаты, полученные в данной работе, развивают результаты работы [5] на новый неизученный ранее класс задач. Доказано существование, получены асимптотические приближения решений с пограничными слоями, а также получены условия их асимптотической устойчивости по Ляпунову. Нужно отметить, что полученные результаты важны при рассмотрении и других краевых задач для систем тихоновского типа, в том числе при исследовании решений с внутренними переходными слоями.
2. Основные условияЗадача (1.1) рассматривается при выполнении перечисленных ниже условий. Условие 1. Пусть функции $ g(u,v, x,t, \varepsilon)$, $ f(u,v, x,t, \varepsilon)$, определенные при $(u,v, x,t)\in G\equiv I_u\times I_v\times [0,1]\times \mathbb R$ и достаточно малых $\varepsilon$, и функции $u^0(t)$, $u^1(t)$, $v^0(t)$, $v^1(t)$, определенные при $t\in \mathbb R$, являются достаточно гладкими в своих областях определения и $T$-периодическими по $t$. Для вырожденной системы (дифференциально-алгебраической) для задачи (1.1)
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, g(u,v, x,t, 0)=0, \\ \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}- \frac{\partial v}{\partial t} - f(u,v, x,t,0)=0, \qquad x\in (0,1), \quad t\in \mathbb R, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
потребуем условия разрешимости. Условие 2. Пусть вырожденное уравнение $g(u,v, x,t, 0)=0$ имеет решение $u=\varphi(v,x,t)$ такое, что $g_u(\varphi(v,x,t),v, x,t, 0)>0$ при $(v,x,t)\in (I_v\times [0,1]\times \mathbb R$), а задача Определим функцию $\overline{u}(x,t)=\varphi(\overline{v}(x,t),x,t)$. Из условия 2, в частности, вытекает $g(\varphi({v}(x,t),v, x,t, 0))=0$ и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
g_v\bigl(\varphi(v,x,t),v, x,t, 0\bigr)= -g_u\bigl(\varphi(v,x,t),v, x,t, 0\bigr) \varphi_v(v,x,t) .
\end{equation*}
\notag
$$
Определим функцию $\overline{g}_u(x,t)=g_u(\overline{u}(x,t),\overline{v}(x,t), x,t, 0)$. Аналогичные обозначения будем использовать и для других производных функций $g$ и $f$, вычисленных в точке $(\overline{u}(x,t),\overline{v}(x,t), x,t, 0)$. Обозначим также $\overline{\varphi}_v(x,t)= \varphi_v(\overline{v}(x,t),x,t)$. Определим функцию $k(x,t)\equiv \overline{f}_v(x,t)+\overline{\varphi}_v(x,t)\overline{g}_u(x,t)$. Потребуем выполнения следующего условия. Условие 3 обеспечит разрешимость задач для построения асимптотического приближения решения задачи (1.1), а также построение верхних и нижних решений задачи путем модификации построенной асимптотики. Ниже рассмотрен случай, когда вектор-функция $(g,f)$ удовлетворяет условию квази-монотонности. Условие 4. Пусть вектор-функция $(g,f)$ является квази-монотонно невозрастающей по $(u,v)$ в области определения $G$ и при достаточно малых $\varepsilon$. Условие 4 означает, что $g_v\leqslant 0$ при фиксированном $u$, $f_u\leqslant 0$ при фиксированном $v$ в области определения. Основным результатом работы является теорема о существовании и асимптотической устойчивости по Ляпунову периодического решения задачи (1.1) как решения соответствующей начально-краевой задачи для параболической системы. Показано, что главным членом в приближении этого решения является решение вырожденной системы, определенной в условии 2. 3. Построение формальной асимптотики решенияАсимптотика решения задачи (1.1) строится по схеме метода пограничных функций Васильевой в виде
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, U(x,t,\varepsilon)= \overline{u}(x,t,\varepsilon)+ \Pi u(\tau,t,\varepsilon)+R u(\tau_1,t,\varepsilon), \\ V(x,t,\varepsilon)= \overline{v}(x,t,\varepsilon)+ \Pi v(\tau,t,\varepsilon)+R v(\tau_1,t,\varepsilon), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где слагаемые – частичные суммы рядов по степеням $\varepsilon$ с коэффициентами $\overline{u}_i(x,t)$, $\overline{v}_i(x,t)$, $\Pi_i u(\tau,t)$, $\Pi_i v(\tau,t)$, $R_i u(\tau_1,t)$, $R_i v(\tau_1,t)$, $\tau={x}/{\varepsilon}$, $\tau_1=(1-x)/\varepsilon$, где $\overline{u}$ и $\overline{v}$ – регулярные, $\Pi$ и $R$-функции – погранслойные части асимптотики. В аналогичном виде представляются нелинейности $g$ и $f$. Например, для $g$ имеем следующее представление: где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \overline{g}= g\bigl(\overline{u}(x,t,\varepsilon),\overline{v}(x,t,\varepsilon),x,t,\varepsilon\bigr), \\ \Pi g=g\bigl(\overline{u}(\varepsilon\tau,t,\varepsilon)+ \Pi u(\tau,t,\varepsilon), \overline{v}(\varepsilon\tau,t,\varepsilon)+ \Pi v(\tau,t,\varepsilon),t,\varepsilon\bigr) -g\bigl(\overline{u}(\varepsilon\tau,t,\varepsilon), \overline{v}(\varepsilon\tau,t,\varepsilon),t,\varepsilon\bigr) \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
В аналогичном виде представляется $R g$ (вместо $\varepsilon\tau$ будет $1-\varepsilon\tau_1$), а также функция $f$. Далее, исходная система стандартным образом расщепляется на регулярно возмущенные уравнения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varepsilon^2\biggl(\frac{\partial^2 \overline{u}}{\partial x^2}- \frac{\partial \overline{u}}{\partial t}\biggr) =\overline{g}, \\ \frac{\partial^2 \overline{v}}{\partial x^2}- \frac{\partial \overline{v}}{\partial t} =\overline{f}, \qquad x\in (0,1), \quad t\in \mathbb R, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
для регулярной части (дифференциальный оператор в первом уравнении является подчиненным, т.е. первое уравнение рассматривается как конечное) и регулярно возмущенные уравнения
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{\partial^2 \Pi u}{\partial \tau^2}- \varepsilon^2\frac{\partial \Pi u }{\partial t} =\Pi g, \qquad \frac{\partial^2 R u}{\partial \tau_1^2}- \varepsilon^2\frac{\partial R u }{\partial t} =R g, \\ \frac{\partial^2 \Pi v}{\partial \tau^2}-\varepsilon^2 \frac{\partial \Pi v}{\partial t} =\varepsilon^2\Pi f, \qquad \frac{\partial^2 R v}{\partial \tau^2}- \varepsilon^2\frac{\partial R v}{\partial t} =\varepsilon^2 R f, \\ \tau\in (0,\infty), \qquad\tau_1\in (0,\infty), \qquad t\in \mathbb R, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
для погранслойных частей, связанные через следующие граничные условия:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varepsilon\frac{\partial \overline{u}}{\partial x}(0,t,\varepsilon)+\frac{\partial \Pi u}{\partial \tau}(0,t,\varepsilon) = \varepsilon u^0(t), \qquad \varepsilon\frac{\partial \overline{u}}{\partial x}(1,t,\varepsilon)+\frac{\partial R u}{\partial \tau}(1,t,\varepsilon) = \varepsilon u^1(t), \\ \overline{v}(0,t,\varepsilon)+ \Pi v(0,t,\varepsilon) = v^0(t), \quad \overline{v}(1,t,\varepsilon)+ R v(0,t,\varepsilon) = v^1(t), \qquad t\in \mathbb R. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
К этим уравнениям добавляются условия периодичности по $t$ и стандартные условия убывания по растянутому аргументу на бесконечности для пограничных функций компоненты $v$: Порядок определения коэффициентов асимптотического представления (3.1) следующий. На $k$-м шаге вначале определяются пограничные функции компоненты $v$, затем определяются функции $\overline{u}_k$, $\overline{v}_k$, после чего определяются пограничные функции компоненты $u$. Из уравнений (3.3) и условий убывания на бесконечности следует, что $\Pi_kv(\tau,t)=R_kv(\tau_1,t)=0$, $k=0,1,2$. Регулярная часть асимптотики – функции $\overline{u}_0(x,t)$ и $\overline{v}_0(x,t)$, определяется из вырожденной системы, определенной в условии 2:
$$
\begin{equation*}
\overline{u}_0(x,t)=\overline{u}(x,t), \qquad \overline{v}_0(x,t)=\overline{v}(x,t).
\end{equation*}
\notag
$$
Пограничные функции $\Pi_0u(\tau,t)=R_0u(\tau_1,t)=0$ в силу граничных условий Неймана. Функции регулярной части асимптотики $\overline{u}_1(x,t)$ и $\overline{v}_1(x,t)$ определяются из краевой задачи для линейной дифференциально-алгебраической системы уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \overline{g}_u(x,t)\overline{u}_1 + \overline{g}_v(x,t)\overline{v}_1 = -\overline{g}_\varepsilon(x,t), \\ \frac{\partial^2 \overline{v}_1}{\partial x^2}- \frac{\partial \overline{v}_1}{\partial t} - [\overline{f}_u(x,t)\overline{u}_1 + \overline{f}_v(x,t) \overline{v}_1]=\overline{f}_\varepsilon(x,t), \qquad x\in (0,1), \quad t\in \mathbb R, \\ \overline{v}_1(0,t)=\overline{v}_1(1,t)=0, \quad \overline{v}_1(x,t,) = \overline{v}_1(x,t+T), \qquad t\in \mathbb R. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Из первого уравнения системы (3.5) выразим $\overline{u}_1$:
$$
\begin{equation}
\overline{u}_1=\overline{\varphi}_v \overline{v}_1 - \overline{g}_u^{-1}\overline{g}_\varepsilon.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Подставляя $ \overline{u}_1$ во второе уравнение системы (3.5), получим следующую задачу для $\overline{v}_1$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag \begin{split} &\frac{\partial^2 \overline{v}_1}{\partial x^2}- \frac{\partial \overline{v}_1}{\partial t} - \bigl[\overline{f}_u(x,t)\overline{\varphi}_v(x,t)+ \overline{f}_v(x,t)\bigr] \overline{v}_1 \\ &\qquad=\overline{f}_\varepsilon(x,t)-\overline{f}_u(x,t) \overline{g}_u^{-1}(x,t)\overline{g}_\varepsilon(x,t), \qquad x\in (0,1), \quad t\in \mathbb R, \end{split} \\ \overline{v}_1(0,t)=\overline{v}_1(1,t)=0, \quad \overline{v}_1(x,t,) = \overline{v}_1(x,t+T), \qquad t\in \mathbb R. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Пограничные функции $\Pi_1 u$ и $R_1 u$ определяются из стандартных краевых задач, получаемых из представления (3.3). Например, для $\Pi_1 u$ получим задачу (аналогичную задачу получим для $R_1 u$)
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{\partial^2 \Pi_1 u}{\partial \tau^2} =\Pi_1 g = g_u\bigl(\overline{u}_0(0,t), \overline{v}_0(0,t),0,t,0\bigr) \Pi_1 u, \qquad \tau\in (0,\infty), \quad t\in \mathbb R, \\ \frac{\partial \Pi_1 u}{\partial \tau}(0,t)=u^0(t) - \frac{\partial \overline{u_0}}{\partial x}(0,t,), \qquad\Pi_1 u(\infty,t) = 0, \quad t\in \mathbb R. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Пограничные функции компоненты $u$ следующих порядков определяются из аналогичных задач (с неоднородными уравнениями), решение которых выписывается в явном виде. Отметим также, что пограничные функции компоненты $v$ порядка $k\geqslant3$ определяются из неоднородных уравнений, решения которых также выписываются явно. В частности, для $\Pi_3v(\tau,t)$ имеем следующую задачу:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{\partial^2 \Pi_3 v}{\partial \tau^2} =\Pi_1 f = f_u\bigl(\overline{u}_0(0,t), \overline{v}_0(0,t),0,t,0\bigr) \Pi_1 u, \qquad \tau\in (0,\infty), \quad t\in \mathbb R, \\ \Pi_3 v(\infty,t) = 0, \qquad t\in \mathbb R, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
решение которой находится двукратным интегрированием и экспоненциально убывает. Остальные погранфункции компоненты $v$ определяются из аналогичных задач. Функции регулярной части асимптотики следующих порядков по $\varepsilon$ $\overline{u}_k(x,t)$ и $\overline{v}_k(x,t)$ определяются из аналогичных краевых задач с таким же дифференциально-алгебраическим оператором. Из (3.4) следует, что граничные условия для $k\geqslant3$ будут неоднородными. Условие 3 обеспечит их однозначную разрешимость, а также монотонность оператора, порождающего регулярную часть асимптотики. Результат сформулируем в виде леммы. Лемма 1. Дифференциально-алгебраическая система Доказательство. Действительно, выражая $\gamma_1(x,t)$ через $\gamma_2(x,t)$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
\gamma_1=\overline{\varphi}_v\gamma_2 + \overline{g}_u^{-1}h_1(x,t),
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
получим задачу для $\gamma_2(x,t)$ (аналогичную задаче для $ \overline{v}_1(x,t)$ (3.7)):
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{split} &\frac{\partial^2 \gamma_2}{\partial x^2}- \frac{\partial \gamma_2}{\partial t} - \bigl[\overline{f}_u(x,t)\overline{\varphi}_v(x,t) + \overline{f}_v(x,t)\bigr] \gamma_2 \\ &\qquad = h_2(x,t) + \overline{f}_u(x,t)\overline{g}_u^{-1}(x,t)h_1(x,t)\equiv h(x,t), \qquad x\in (0,1), \quad t\in \mathbb R, \end{split} \\ \gamma_2(0,t)> 0, \quad\gamma_2(1,t)> 0, \quad\gamma_2(x,t,) = \gamma_2(x,t+T), \qquad t\in \mathbb R, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
где $ h(x,t)<0$ при $x\in [0,1]$, $t\in \mathbb R$ в силу условия 4 ($\overline{f}_u(x,t)\leqslant 0$) и условия $ h_1(x,t)> 0$. Очевидно, что $\alpha=0$ является нижним решением задачи (3.12) (определение нижнего и верхнего решений периодической параболической краевой задачи см., например, в [14]).
Пусть выполнено неравенство (2.1) условия 3. Определим функцию где $\delta$ – достаточно малая постоянная. Можно показать, что функция $\beta=M_\beta W(x)$, где $M_\beta$ – некоторая достаточно большая положительная постоянная, является верхним решением задачи (3.12). Действительно, выполнение граничных неравенств очевидно. Проверим дифференциальное неравенство для $\beta$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\frac{\partial^2 \beta}{\partial x^2}- \frac{\partial \beta}{\partial t} - \bigl[\overline{f}_u(x,t)\overline{\varphi}_v(x,t) + \overline{f}_v(x,t)\bigr] \beta \\ \notag &\qquad =\biggl[- \biggl(\frac{\pi}{1+2\delta}\biggr)^2 -\bigl(\overline{f}_u(x,t)\overline{\varphi}_v(x,t) + \overline{f}_v(x,t)\bigr)\biggr]M_\beta W(x) \\ &\qquad< h(x,t), \qquad x\in [0,1], \quad t\in \mathbb R, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
при достаточно малых $\delta$ и больших $M_\beta$, так как
$$
\begin{equation*}
\biggl[- \biggl(\frac{\pi}{1+2\delta}\biggr)^2 -\bigl(\overline{f}_u(x,t)\overline{\varphi}_v(x,t) + \overline{f}_v(x,t)\bigr)\biggr] \leqslant \biggl[- \biggl(\frac{\pi}{1+2\delta}\biggr)^2 - k_1(x))\biggr]<0
\end{equation*}
\notag
$$
при достаточно малых $\delta$, т.е. соответствующее дифференциальное неравенство для верхнего решения выполняется. Таким образом, существует решение задачи (3.12) $\gamma_2(x,t)\geqslant 0$. Из (3.11) следует, что $\gamma_1(x,t)>0$, что завершает доказательство леммы для этого случая.
Пусть выполнено неравенство (2.2) условия 3. Можно показать, что функция $\beta(t)$, определенная как решение задачи
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial \beta}{\partial t} + k_2(t)\beta = H(t),
\end{equation*}
\notag
$$
где $H(t)>c$ – $T$-периодическая функция, $c$ – достаточно большая положительная постоянная, является верхним решением задачи (3.12). Действительно, решение этой задачи выписывается явно и положительность следует из (2.2). Выполнение граничных неравенств очевидно. Проверим дифференциальное неравенство для $\beta(t)$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &-\frac{\partial \beta}{\partial t} - \bigl[\overline{f}_u(x,t)\overline{\varphi}_v(x,t) + \overline{f}_v(x,t)\bigr] \beta(t) \\ &\qquad\qquad - h(x,t)=\bigl(k_2(t)-[\overline{f}_u(x,t)\overline{\varphi}_v(x,t)) + \overline{f}_v(x,t)]\bigr)\beta(t) - (h(x,t) +H(t))<0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
в силу условия (2.2) (отрицательно первое слагаемое) для достаточно больших $H(t)$ (отрицательно второе слагаемое). Таким образом, $\beta(t)$ удовлетворяет определению верхнего решения задачи (3.12). Следовательно, $\gamma_2(x,t)\geqslant 0$.
Это завершает доказательство леммы. 4. Существование и асимптотика решенияОбозначим через $U_k(x,\varepsilon)$ и $V_k(x,\varepsilon)$ частичные суммы порядка $k$ построенные в предыдущем параграфе асимптотических приближений (3.1). Для доказательства существования решения задачи (1.1) применим асимптотический метод дифференциальных неравенств (базовые идеи см. в [5] и ссылках этой работы). Ниже, с использованием этого метода, будут построены асимптотические нижнее и верхнее решения задачи (1.1) $(u_k^\alpha,v_k^\alpha)$ и $(u_k^\beta,v_k^\beta)$. Эти вектор-функции должны образовывать упорядоченную пару (покомпонентно), удовлетворять дифференциальным и граничным неравенствам
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal N_u(u_k^\beta,v_k^\beta)\leqslant 0 \leqslant \mathcal N_u(u_k^\alpha,v_k^\alpha), \quad \mathcal N_v(u_k^\beta,v_k^\beta)\leqslant 0 \leqslant \mathcal N_v(u_k^\alpha,v_k^\alpha), \qquad x\in [0,1], \quad t\in \mathbb R, \\ \frac{\partial u_k^\beta}{\partial x}(0,t,\varepsilon)\leqslant u^0(t) \leqslant\frac{\partial u_k^\alpha}{\partial x}(0,t,\varepsilon), \qquad \frac{\partial u_k^\beta}{\partial x}(1,t,\varepsilon)\geqslant u^1(t) \geqslant \frac{\partial u_k^\alpha}{\partial x}(0,t,\varepsilon), \\ v_k^\alpha(0,t,\varepsilon)\leqslant v^0(t)\leqslant v_k^\beta(0,t,\varepsilon), \quad v_k^\alpha(1,t,\varepsilon)\leqslant v^1(t)\leqslant v_k^\beta(1,t,\varepsilon), \qquad t\in \mathbb R. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Нижнее и верхнее решения задачи (1.1) – $(u_k^\alpha,v_k^\alpha)$ и $(u_k^\beta,v_k^\beta)$ – строим как модификацию формальной асимптотики порядка $k$:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} u_k^\alpha(x,t,\varepsilon)=U_k(x,t,\varepsilon)-\varepsilon^k\gamma_1(x,t)-\varepsilon^{k+1}(\exp{(-\kappa \tau)}+\exp{(-\kappa \tau_1)}), \\ v_k^\alpha(x,t,\varepsilon)=V_k(x,t,\varepsilon)-\varepsilon^k\gamma_2(x,t), \\ u_k^\beta(x,t,\varepsilon)=U_k(x,t,\varepsilon)+\varepsilon^k\gamma_1(x,t)+\varepsilon^{k+1}(\exp{(-\kappa \tau)}+\exp{(-\kappa \tau_1)}), \\ v_k^\beta(x,t,\varepsilon)=V_k(x,t,\varepsilon)+\varepsilon^k\gamma_2(x,t), \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
где $\gamma_1(x,t)$ и $\gamma_2(x,t)$ определены в лемме 1 (см. (3.10)), а $\kappa$ выбирается достаточно большим, чтобы удовлетворить дифференциальным неравенствам на границе для первого уравнения системы (1.1). В частности,
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial u_k^\beta}{\partial x}(0,t,\varepsilon)=u^0(t) + \varepsilon^{k} \biggl(\frac{\partial \overline{u}_k}{\partial x}(0,t) + \frac{\partial \overline{\gamma}_1}{\partial x}(0,t)-\kappa\biggr) + o(\varepsilon^{k})<u^0(t)
\end{equation*}
\notag
$$
при достаточно больших $\kappa$ и достаточно малых $\varepsilon$. Упорядоченность нижних и верхних решений и граничные неравенства для компоненты $v$ следуют из леммы 1 ($\gamma_1(x,t)\geqslant 0$, $\gamma_2(x,t)\geqslant 0$). Дифференциальные неравенства для нижних и верхних решений проверяются непосредственной подстановкой стандартным образом с учетом уравнений для коэффициентов формальной асимптотики. Для верхнего решения $(u_k^\beta,v_k^\beta)$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{split} &\mathcal N_u(u_k^\beta,v_k^\beta):=\varepsilon^{2} \biggl(\frac{\partial^2 u_k^\beta}{\partial x^2}- \frac{\partial u_k^\beta}{\partial t}\biggr) - g(u_k^\beta,v_k^\beta, x,t, \varepsilon) \\ &\qquad\qquad -\bigl[\overline{g}_u(x,t)\gamma_1 + \overline{g}_v(x,t)\gamma_2\bigr]\varepsilon^k +O(\varepsilon^{k+1}) =-\varepsilon^k h_1(x,t) +O(\varepsilon^{k+1})<0, \\ &\varepsilon^2\mathcal N_v(u_k^\beta,v_k^\beta):= \varepsilon^2 \biggl[\frac{\partial^2 v_k^\beta}{\partial x^2}- \frac{\partial v_k^\beta}{\partial t} - f(u_k^\beta,v_k^\beta, x,t, \varepsilon)\biggr] \\ &\quad = \biggl(\frac{\partial^2 \gamma_2}{\partial x^2}- \frac{\partial \gamma_2}{\partial t} - [\overline{f}_u(x,t)\gamma_1 + \overline{f}_v(x,t)\gamma_2]\biggr)\varepsilon^k +O(\varepsilon^{k+1}) = \varepsilon^k h_2(x,t)+O(\varepsilon^{k+1})<0 \end{split}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
в силу леммы 1. Аналогичным образом проверяется выполнение дифференциальных неравенств для $(u_k^\alpha,v_k^\alpha)$. Из теорем сравнения (см., например, [14], [15]) следует, что существует решение задачи (1.1), для которого выполняются неравенства:
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} u_k^\alpha(x,t,\varepsilon)\leqslant u(x,t,\varepsilon)\leqslant u_k^\beta(x,t,\varepsilon), \qquad x\in [0,1], \quad t\in \mathbb R, \\ v_k^\alpha(x,t,\varepsilon)\leqslant v(x,t,\varepsilon)\leqslant v_k^\beta(x,t,\varepsilon), \qquad x\in [0,1], \quad t\in \mathbb R. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Из представления (4.2) следует, что
$$
\begin{equation*}
u_k^\beta(x,t,\varepsilon)- u_k^\alpha(x,t,\varepsilon)= O(\varepsilon^{k}), \qquad v_k^\beta(x,t,\varepsilon)- v_k^\alpha(x,t,\varepsilon)= O(\varepsilon^{k}),
\end{equation*}
\notag
$$
а так как верхнее и нижнее решения отличаются на величину порядка $O(\varepsilon^{k})$ от асимптотики порядка $k-1$, то имеет место следующая теорема существования и оценка построенного приближения. Теорема 1. Пусть выполняются условия 1–4. Тогда при достаточно малом $\varepsilon$ существует такое решение $u(x,t,\varepsilon)$, $v(x,t,\varepsilon)$ задачи (1.1), для которого функции $U_n(x,t,\varepsilon)$, $V_n(x,t,\varepsilon)$ являются равномерным асимптотическим приближением с точностью $O(\varepsilon^{n+1})$ при $ x\in [0,1]$, $t\in \mathbb R$. 5. Асимптотическая устойчивость решенияРешение задачи (1.1) является периодическим решением начально-краевой задачи
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal N_u(u,v):=\varepsilon^{2}\biggl(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}- \frac{\partial u}{\partial t}\biggr) - g(u,v, x,t, \varepsilon)=0, \\ \mathcal N_v(u,v):= \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}- \frac{\partial v}{\partial t} - f(u,v, x,t, \varepsilon)=0, \qquad x\in (0,1), \quad t\in \mathbb R^+, \\ \frac{\partial u}{\partial x}(0,t,\varepsilon)=u^0(t), \quad \frac{\partial u}{\partial x}(1,t,\varepsilon)=u^1(t), \qquad t\in \mathbb R^+, \\ v(0,t,\varepsilon)=v^0(t), \quad v(1,t,\varepsilon)=v^1(t), \qquad t\in \mathbb R^+, \\ u(x,0,\varepsilon) = u_0(x,\varepsilon), \qquad v(x,0,\varepsilon) = v_0(x,\varepsilon). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Отметим, что в качестве начальной точки может быть выбрана произвольная $t_0$. Для доказательства асимптотической устойчивости периодического решения задачи (1.1) как решения задачи (5.1) используется эффективный во многих классах задач подход, использующий верхние и нижние решения специальной структуры (см. [5] и ссылки в указанной работе). Верхнее и нижнее решения задачи (5.1) – $(U_\beta(x,t,\varepsilon),V_\beta(x,t,\varepsilon))$ и $(U_\alpha(x,t,\varepsilon),V_\alpha(x,t,\varepsilon))$ – определим следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} U_\beta(x,t,\varepsilon)=u(x,t,\varepsilon)+(u_k^\beta(x,t,\varepsilon) -u(x,t,\varepsilon))e^{-\lambda t}, \\ U_\alpha(x,t,\varepsilon)=u(x,t,\varepsilon)+(u_k^\alpha(x,t,\varepsilon) -u(x,t,\varepsilon))e^{-\lambda t}, \\ V_\beta(x,t,\varepsilon)=v(x,t,\varepsilon)+(v_k^\beta(x,t,\varepsilon) -v(x,t,\varepsilon))e^{-\lambda t}, \\ V_\alpha(x,t,\varepsilon)=v(x,t,\varepsilon)+(v_k^\alpha(x,t,\varepsilon) -v(x,t,\varepsilon))e^{-\lambda t}, \end{cases} \qquad x\in (0,1), \quad t\in \mathbb R^+,
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
где $u(x,t,\varepsilon)$, $v(x,t,\varepsilon)$ – решение задачи (1.1), существование которого доказано в теореме 1, $(u_k^\alpha,v_k^\alpha)$ и $(u_k^\beta,v_k^\beta)$ – нижнее и верхнее решения этой задачи, $\lambda>0$ – постоянная. Напомним, что вектор-функции $(U_\beta(x,t,\varepsilon),V_\beta(x,t,\varepsilon))$ и $(U_\alpha(x,t,\varepsilon),V_\alpha(x,t,\varepsilon))$ называются соответственно верхним и нижним решениями системы задачи (5.1), если они удовлетворяют при достаточно малых $\varepsilon$ условиям, аналогичным условиям для $(u_k^\alpha,v_k^\alpha)$ и $(u_k^\beta,v_k^\beta)$ (4.1) (определение см., например, в [16]). Упорядоченность нижнего и верхнего решений следует из представления (5.2), граничные неравенства следуют из граничных неравенств для $(u_k^\alpha,v_k^\alpha)$ и $(u_k^\beta,v_k^\beta)$. Проверка операторных дифференциальных неравенств проводится подстановкой (5.2) в уравнения задачи (5.1). Для $(U_\beta(x,t,\varepsilon),V_\beta(x,t,\varepsilon))$ после несложных преобразований получим
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \mathcal N_u(U_\beta,V_\beta)=e^{-\lambda t}[-h_1(x,t)\varepsilon^k + O(\varepsilon^{k+1}) ]<0, \\ \varepsilon^2\mathcal N_v(U_\beta,V_\beta)=e^{-\lambda t}[h_2(x,t)\varepsilon^k + O(\varepsilon^{k+1} )]<0, \end{cases} \qquad x\in [0,1], \quad t\in \mathbb R^+,
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
при достаточно малых $\varepsilon$, $k\geqslant1$, так как $h_1(x,t)>0$, а $h_2(x,t)<0$ (см. теорему 1). Аналогичным образом проверяются дифференциальные неравенства для $(U_\alpha(x,t,\varepsilon),V_\alpha(x,t,\varepsilon))$. Из структуры $(U_\beta(x,t,\varepsilon),V_\beta(x,t,\varepsilon))$ и $(U_\alpha(x,t,\varepsilon),V_\alpha(x,t,\varepsilon))$ и единственности решения начально-краевой задачи (5.1) (предположение о существовании других решений между предъявленными в теореме 1 нижним и верхним решениями очевидным образом противоречит единственности решения задачи (5.1)) вытекает следующая теорема. Теорема 2. Пусть выполняются условия 1–4. Тогда при достаточно малом $\varepsilon$ периодическое решение $(u(x,t,\varepsilon), v(x,t,\varepsilon))$ задачи (1.1) асимптотически устойчиво по Ляпунову как решение задачи (5.1) с областью устойчивости В заключение нужно отметить, что работа имеет очевидный потенциал развития и на другие классы систем тихоновского типа, в том числе с другими типами квазимонотонности, а также в случае ее нарушения, что имеет место в ряде прикладных задач. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Nef24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|