| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Краткие сообщения Конформные федосовы структуры и пространства Ч. Алмазбековa, Н. И. Гусеваb, Й. Микешc a Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызстан b Московский педагогический государственный университет c Palacký University Olomouc, Czech Republic
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623110743 
Реферативные базы данных:
  Настоящая работа посвящена изучению основных уравнений конформно федосовых структур. Эти уравнения получены в виде замкнутых линейных уравнений в ковариантных производных типа Коши. Установлено, что общее решение зависит не более чем от $n(n+1)/2$ числовых параметров. Максимум достигается в проективно евклидовых пространствах. 1. Введение в теорию конформно федосовых структур и пространствВ начале работы мы вводим понятие конформно федосовой структуры. На римановом многообразии существует единственная связность без кручения $\nabla$, относительно которой ковариантно постоянна метрика $g$, т.е. $\nabla g=0$. Это связность Леви-Чивита; она является основой для вычислений и понимания геометрии на римановых и псевдо-римановых многообразиях. На симплектическом многообразии не существует предпочтительной связности. Вместо этого существует множество симплектических связностей – связностей без кручения, сохраняющих симплектическую форму. Выбор одной из них определяет то, что называется многообразием Федосова [1]. На конформно симплектическом многообразии [2] существует локальный класс эквивалентности – класс симплектических форм, определенных с точностью до масштаба. Далее мы покажем, что можно объединить проективную дифференциальную геометрию с понятием многообразия Федосова для получения того, что названо конформно федосовым многообразием. Конформно симплектическое многообразие [2], [3] – это четномерное многообразие $M$ размерности $n$ не менее четырех, снабженное невырожденной 2-формой $J$ такой, что для некоторой замкнутой 1-формы $a$.Невырожденность $J$ гарантирует, что отображение $J\colon \Lambda^1 \to \Lambda^3$ является инъективным, а значит, $a$ однозначно определяется по $J$, если такая 1-форма существует. Она называется форма Ли [4], и в случае $\dim M \geqslant 6$ мы видим, что $0=d^2J=2da \wedge J$. В координатной форме уравнения (1) имеют вид $\nabla_{[i}J_{jk]}=a_{[i}J_{jk]}$, где $J_{ij}$ и $a_i$ – компоненты $J$ и $a$, квадратные скобки обозначают альтернирование по указанным индексам без деления. С понятием конформности многообразий связаны, например, работы [5]–[10]. Проективная структура [5] на многообразии $M$ – это класс эквивалентности аффинных связностей без кручения на $M$, где две связности $\nabla$ и $\widehat\nabla$ считаются проективно эквивалентными тогда и только тогда, когда $\widehat\nabla_a\varphi_b=\nabla_a\varphi_b-\nu_{(a}\varphi_{b)}$ для некоторой 1-формы $\nu_a$. Круглыми скобками обозначена симметризация без деления соответствующих индексов. Для антисимметрического тензора $J$ имеет место равенство $\widehat\nabla_{(a}J_{b)c}=\nabla_{(a}J_{b)c}-3\nu_{(a}J_{b)c}$ и для проективно инвариантных $J$ имеет место условие [11] $\nabla_{(a}J_{b)c}=\beta_{(a}J_{b)c}$. Последнее условие совместно с (1) в [11] является формальным определением конформно федосовых многообразиий. Более того, на основании этих результатов можно это определение формализовать следующим образом. Определение 1. Конформно федосовым многообразием $A_n=(M,[J],[\nabla])$ является конформно симплектическое многообразие $(M,[J])$, в котором для кососимметрической формы $J$ выполняется уравнение $\nabla_k J_{ij}=J_{i[j}a_{k]}$, где $a_i$ – компоненты линейной формы. В [11] показано, что этим формулам эквивалентны следующие уравнения: где $J^{ij}$ – компоненты матрицы, обратной к $\|J_{ij}\|$, т.е. $J_{ac}J^{bc}=\delta_a^b$, где $\delta_a^b$ – дельта Кронекера и $\varphi^a\equiv J^{ab}\varphi_b$, $\psi_b\equiv \psi^aJ_{ab}$. Тензоры $J_{ij}$ и $J^{ij}$ определяют федосовы многообразия; их будем называть федосовой структурой.Заметим, что основные уравнения в определении 1 являются системой нелинейных дифференциальных уравнений в ковариантных производных относительно неизвестных тензоров $J_{ij}$ и $a_i$, а уравнения (2) – линейные относительно $J^{ij}$ и $a^i$. Ввиду этого они предпочтительнее. Более того, свертыванием (2) получим $a^i=(1/(n-1))\nabla_a J^{ia}$ и после исключения $a^i$ из (2) получим систему линейных уравнений в ковариантных производных относительно неизвестного тензора $J^{ij}$. В этой системе линейным образом присутствуют компоненты тензора $J^{ij}$ и их частные производные первого порядка. 2. Основные уравнения конформно федосовых пространств в виде системы дифференциальных уравнений типа КошиКак мы уже сказали в предыдущем пункте, конформно федосовы пространства $A_n$ характеризуются наличием регулярного кососимметрического тензора $J^{ij}$, который удовлетворяет уравнениям (2). Поставим следующую задачу: найти в наперед заданном простанстве аффинной связности $A_n$ конформно федосову структуру $J$, т.е. убедиться, что заданное пространство $A_n$ является конформно федосовым. Этому вопросу посвятим следующее исследование. Убедимся в справедливости следующей теоремы. Теорема 1. Основные уравнения конформно федосовой структуры $J$ в пространстве аффинной связности $A_n$ можно записать в виде замкнутой линейной системы дифференциальных уравнений в ковариантных производных относительно неизвестного регулярного кососимметрического тензора $J^{ij}$ и вектора $a^i$ в виде где $R^h_{ijk}$ и $R_{ij}$ ($\equiv R^\alpha_{i \alpha j}$) – компоненты тензоров Римана и Риччи соответственно. Доказательство. Очевидно, что уравнение (3), a) является необходимым и достаточным условием конформно федосовой структуры (2).
Покажем, что из этих уравнений вытекают условия (3), b) и тем самым образуется замкнутая линейная система уравнений, для которой существуют регулярные методы ее решения. Сначала найдем условия интегрируемости уравнений (2). Для этого их продифференцируем по $x^l$: $\nabla_l \nabla_k J^{ij}=\nabla_l a^i\delta^j_k- \nabla_l a^j\delta^i_k$, а затем проальтернируем по индексам $k$ и $l$:
$$
\begin{equation*}
\nabla_l \nabla_k J^{ij}-\nabla_k \nabla_l J^{ij}= \nabla_l a^i\delta^j_k-\nabla_l a^j\delta^i_k- \nabla_k a^i\delta^j_l+\nabla_k a^j\delta^i_l.
\end{equation*}
\notag
$$
На основании тождеств Риччи, которые имеют вид $\nabla_{[l}\nabla_{k]}J^{ij}=-J^{\alpha j}R^i_{\alpha kl}- J^{i\alpha}R^j_{\alpha kl}$, получим выражение
$$
\begin{equation*}
\nabla_l a^i\delta^j_k-\nabla_l a^j\delta^i_k- \nabla_k a^i\delta^j_l+\nabla_k a^j\delta^i_l= -J^{\alpha j}R^i_{\alpha kl}-J^{i\alpha}R^j_{\alpha kl},
\end{equation*}
\notag
$$
которое является условием интегрируемости уравнений (2). Это выражение свернем по индексам $j$ и $k$; получим
$$
\begin{equation}
(n-2)\cdot\nabla_l a^i+\nabla_\alpha a^\alpha\cdot\delta^i_l= -J^{\alpha\beta}R^i_{\alpha\beta l}- J^{i\alpha}R^\beta_{\alpha\beta l}.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Затем свернем (4) по индексам $i$ и $l$; находим
$$
\begin{equation*}
2(n-1)\nabla_\alpha a^\alpha= -J^{\alpha\beta}R^\gamma_{\alpha\beta\gamma}- J^{\gamma\alpha}R^\beta_{\alpha\beta\gamma}.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая определение тензора Риччи и известные свойства тензора Римана и кососимметричности $J$, правую сторону этого выражения можно упростить следующим образом:
$$
\begin{equation*}
-J^{\alpha\beta}R^\gamma_{\alpha\beta\gamma}- J^{\gamma\alpha}R^\beta_{\alpha\beta\gamma}= J^{\alpha\beta}R_{\alpha\beta}-J^{\gamma\alpha}R_{\gamma\alpha}= J^{\alpha\beta}R_{[\alpha\beta]}=2J^{\alpha\beta}R_{\alpha\beta}.
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге получим, что $(n-1)\cdot\nabla_\alpha a^\alpha=J^{\alpha\beta}R_{\alpha\beta}$. Исключив $\nabla_\alpha a^\alpha$ из (4), получим уравнение (3), b). Этим теорема доказана. Заметим, что в эквиаффиных пространствах, которые характеризуются симметричностью тензора Риччи (в частности, римановы и псевдо-римановы пространства являются эквиаффинными) основные уравнения (3) упростятся следующим образом:
$$
\begin{equation}
{\rm(a)}\quad \nabla_k J^{ij}=a^i\delta^j_k-a^j\delta^i_k,\qquad {\rm(b)}\quad (n-2)\nabla_l a^i=-J^{\alpha p}R^i_{\alpha pl}- J^{i\alpha}R_{\alpha l}.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Из общей теории замкнутых систем линейных уравнений в ковариантных производных, которая детально изложена в [12; с. 130–135], вытекает, что система (3) (и (5)) имеет не более одного решения относительно начальных значений неизвестных функций $J^{ij}(x_0)$ и $a^i(x_0)$ в заданной точке $x_0$. Поэтому общее решение (3) (и (5)) зависит от конечного числа числовых параметров, которыми могут быть, например, эти начальные значения $J^{ij}(x_0)$ и $a^i(x_0)$. Ввиду того, что $J^{ij}(x_0)$ кососимметрический, этих начальных значений $n(n-1)/2+n=n(n+1)/2$. Таким образом, имеет место Теорема 2. Общее решение основных уравнений конформно федосовых уравнений зависит не более чем от $n(n+1)/2$ существенных числовых параметров. Подобные результаты были получены для движений, конформных и проективных движений [13]–[15]. Основные уравнения в виде систем типа Коши были найдены, например, в теории геодезических, голоморфно-проективных и поворотных отображений [14]–[20]. 3. Условия дифференцируемости федосовых структур и пространствОтветим на вопрос, какой класс непрерывности требуется для того, чтобы существовало решение основных уравнений конформно федосовых структур. Очевидно, из уравнений (2) следует, что компоненты федосовой структуры $J$ – дифференцируемы, а компоненты формы $a$ и связности $\nabla$ непрерывны, что будем записывать так:
$$
\begin{equation}
J^ {ij}\in C^1, \qquad a^i\in C^0,\qquad \Gamma^h_{ij}\in C^0.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Поскольку в федосовых пространствах структура $J$ однозначно генерирует связность $\nabla$, подобно тому, как метрика риманова пространства определяет связность Леви-Чивита, легко убедиться, что $J^ {ij}\in C^r$, $r\geqslant1$, влечет $\Gamma^h_{ij}\in C^{r-1}$. Очевидно, что и $a^i\in C^{r-1}$. Для формулировки теоремы 1, а также для ее доказательства необходимо повысить класс дифференцируемости изучаемых объектов следующим образом:
$$
\begin{equation}
J^ {ij}\in C^2, \qquad a^i\in C^1, \qquad {\Gamma}^{h}_{ij}\in C^1.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Когда ${\Gamma}^{h}_{ij}\notin C^1$, в общем случае не существуют тензоров Римана или Риччи, следовательно, не может быть речи о тождествах Риччи. В частности, не могут существовать уравнения (3), b). Из свойств системы уравнений (3) вытекает, что если $\Gamma^{h}_{ij}\in C^r$, $r>2$, и выполняются условия (7), то по необходимости решения (3) будут иметь класс дифференцируемости, повышенный следующим образом: $J^ {ij}\in C^{r+1}$ и $a^i\in C^r$. В случае, когда ${\Gamma}^{h}_{ij}(x)\in C^\infty(C^\omega)$, отсюда следует, что $J^{ij}$ и $a^i\in C^\infty(C^\omega)$; $C^\infty$ – бесконечно дифференцируемые функции и $C^\omega$ – аналитические действительные функции. С помощью более детального анализа, видимо, условие (7) можно заменить минимальным условием (6). Это, в частности, выполняется при анализе основных уравнений теории геодезических отображений [16], [12; с. 312]: $\nabla_k a^{ij}=\lambda^i\delta^j_k+\lambda^j\delta^i_k$ в работах [17], [18], [12; с. 315–317]. 4. Плоские конформно федосовы пространстваВ заключение отметим, что в аффинной системе координат $x$ в плоском пространстве $A_n$ общее решение уравнений (2) имеет вид $J^{ij}=x^i\alpha^j-x^j\alpha^i+\beta^{ij}$, где $\alpha^i,\beta^{ij}$ – постоянные такие, что $\alpha^i\not\equiv 0$, $\beta^{ij}+\beta^{ji}=0$, в области $\Omega\subset {\mathbb R}^n$, в которой $\det\|x^i\alpha^j-x^j\alpha^i+\beta^{ij}\|\ne 0$; см. [21]. Отметим, что $0\in \Omega$ в случае, когда $\det\|\beta^{ij}\|\ne 0$. Это решение получено интегрированием уравнений (2) при минимальных требованиях на дифференцируемость неизвестных функций $J^{ij}\in C^1$ и $a^ i\in C^0$. Основываясь на результатах [22], получаем, что указанное выше решение генерирует общее решение (2) в эквиаффинных проективно евклидовых пространствах. В этих пространствах достигается максимальное число параметров, которое указано в теореме 2. Более общими, чем федосовы, являются пространства исследуемые, например, в [23], [24]. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AlmGusMik23} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|