| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Асимптотика фундаментальных решений параболических задач В. Г. Данилов Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624010176 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеВ этой заметке мы приводим различные подходы к построению асимптотики фундаментального решения (ф.р.) псевдодифференциального параболического уравнения, в частности, уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова
$$
\begin{equation}
-h\frac{\partial U}{\partial t} + H\biggl(x, -h\frac{\partial}{\partial x}\biggr)U=0.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Про символ $H(x,p)$ оператора в (1.1) будем предполагать, что
$$
\begin{equation}
H(x,p)=(Ap,p)+(B,p)+U(x)+\int(e^{\nu h}-1)\mu\,(d\nu),
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $A=A^+\geqslant \delta E$, $\delta>0$, $B$ – матрица и вектор с гладкими ограниченными элементами, $\mu(d\nu)$ – неотрицательная вероятностная мера, см. [1], [2]. Речь пойдет о формальной асимптотике, некоторые примеры обоснования известны, но в “слабом” смысле, т.е. обосновывается асимптотика решения задачи Коши, построенная с помощью асимптотики ф.р. (см., например, [1]). Известна также работа Молчанова [3], но она далека от направления наших исследований. В то же время необходимо отметить, что первоначальная конструкция ф.р., близкая к ВКБ асимптотике, была предложена Масловым [4], [5]. Маслов предложил модификацию своей конструкции канонического оператора, использовав вместо преобразования Фурье полугруппу, отвечающую уравнению теплопроводности. В его работе впервые появились важные черты рассматриваемого класса задач: фазовая функция как решение уравнения Гамильтона–Якоби–Беллмана, понятие области тени (область, где фазовая функция строго положительна) и др. Подробное изложение этой конструкции на современном уровне (с приложениями к термодинамике) дано в [6]. Мы приводим в работе новое представление главного слагаемого асимптотики ф.р. в виде ИОФ с чисто мнимой фазой (пока только в малом по времени) и представление фундаментального решения на основе понятия обобщенного решения экспоненциального типа [2], которое при некоторых предположениях о структуре особенностей проекции лагранжева многообразия на $x$-пространство пригодно на конечных временных интервалах. Мы приводим результаты для случая $x \in \mathbb R$, хотя почти все они с естественными изменениями и с учетом сделанного выше замечания о структуре особенностей переносятся на многомерный случай. В начале работы (п. 2) мы приводим кратко формулы для формальной асимптотики ф.р., следуя [7]. Из этих результатов, в частности, следует известная формула для представления главного члена асимптотики ф.р. в малом по времени (см. (2.15)), известная из [1], [4]. Важно отметить, что в [7] решена задача о пределе функции в (2.15) при $t \to +0$. Именно, в [7] построено другое (см. (2.13)), отличное от асимптотики (2.15) ф.р., совпадающее с (2.13) при $t>0$ и равномерно пригодное при $t\geqslant 0$. Из представления (2.15) начальное условие получается “по построению”. На основе этого представления мы формулируем алгоритм построения асимптотики ф.р. В п. 3 мы приводим представление главного слагаемого асимптотики ф.р. в виде интегрального оператора Фурье с чисто мнимой фазовой функцией в малом по времени. В п. 4 приводится формула для главного слагаемого асимтотики ф.р. без использования интегрального представления. Оно основано на аппроксимации малой вязкостью уравнения Гамильтона–Якоби для фазовой функции. В одномерном случае эта формула “работает” на конечных временах; в общем случае для упрощения выражения требуется тонкая работа, учитывающая структуру особенности предельного вязкого решения уравнения Гамильтона–Якоби. В одномерном случае в момент появления фокальной точки фазовая функция может быть вычислена (при $x \in \mathbb R$) в виде асимптотики, аналогичной асимптотике решения, описыващей образование ударной волны [8]. В [9] образование ударной волны рассматривается как результат нелинейного взаимодействия слабых особенностей. При этом невязка, полученная при подстановке асимптотики решения в уравнении, мала в смысле $L^1_{\mathrm{loc}}$. Учитывая, что ф.р. можно рассматривать (при $t>0$) как регулярную обобщенную функцию, такой оценки может быть достаточно для получения малой невязки при подстановке решения задачи Коши, полученного с помощью такого асимптотического ф.р., в исходное параболическое уравнение. Это мы обсудим в следующей работе. 2. Формула для главного слагаемого асимптотики ф.рВ [7] была доказана формула
$$
\begin{equation}
\delta (x-\xi)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi h}}\biggl[w-\lim_{\beta \to 1-0}\biggl[\exp\biggl\{-\beta \frac{(x-\xi-a^+)^2}{2h}\biggr\}\exp\biggl(\frac{-\zeta^2}{h}\biggr) \bigg |_{\zeta=0}\biggr]\biggr],
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
названная операторным представлением $\delta$-функции Дирака через гауссову экспоненту. Здесь $a^+=\zeta - ({h}/{2}) {\partial}/{\partial \zeta}$; подробнее см. [7]. Основное в этой формуле – это отсутствие экспонент с комплексным показателем, отсутствие сингулярностей в предэкспоненте и отсутствие связи с конкретным параболическим уравнением. Формула с очевидными изменениями переносится на случай произвольного числа переменных $x \in \mathbb R^n$. Равенство (2.1) доказывается прямым вычислением: выражение под знаком предела вычисляется как решение задачи Коши ($x \in \mathbb R$):
$$
\begin{equation}
h \frac{\partial W}{\partial \beta}+\frac{1}{2}(x-\xi-a^+)^2 W=0,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
методом WKB: $W=e^{{-\psi_0}/{h}}\phi_0$ и т.д. В данном случае этот метод дает точный ответ, при $\beta < 1$ это гладкая функция, определенная, в том числе, в точке $\zeta = 0$. Формула (2.1) служит основой для следующей конструкции: введем символ фундаментального решения для (псевдодифференциального) параболического уравнения с малым параметром
$$
\begin{equation}
-h\frac{\partial V}{\partial t} + H\biggl(x, -h\frac{\partial }{\partial x}\biggr)V=0,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
полагая
$$
\begin{equation}
V \big|_{t=0} = \exp\biggl(-\beta\frac{(x-\xi-y)^2}{2h}\biggr).
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Формальное асимптотическое решение задачи (2.4), (2.5) можно построить методом WKB
$$
\begin{equation}
V=\exp\biggl(\frac{-\Phi_\beta (x,y+\xi,t)}{h}\biggr) \bigl(\varphi_0(x,y+\xi,t)+h\varphi_1(x,y+\xi,t)+\dotsb\bigr),
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
где $\Phi$ – решение уравнения Гамильтона–Якоби
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\Phi_{\beta}}{\partial t}+H\biggl(x, \frac{\partial\Phi_{\beta}}{\partial x}\biggr)=0, \qquad \Phi_{\beta} \big|_{t=0}=\frac{\beta(x-\xi-y)^2}{2},
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
а $\varphi_0,\varphi_1$ – решения уравнений переноса. Как известно, решения этих уравнений строятся с помощью решений системы Гамильтона
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \dot{\mathrm{X}}=H_p(X,P), & X\big|_{t = 0}=x_0, \\ \dot{\mathrm{P}}=-H_x(X,P), & P\big|_{t = 0}=\beta(x_0-y-\xi), \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
где $0<\beta<1$ – вспомогательный параметр (см. (2.1)). Решения уравнений Гамильтона и переноса существуют и являются гладкими функциями при выполнении известного условия – отличия от 0 якобиана Теперь формально фундаментальное решение для уравнения (1.1) можно определить формулой
$$
\begin{equation}
G(x,\xi,t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi h}} \Bigl(w-\lim_{\beta \to 1-0}V(x,a^{+} + \xi,t,h)e^{{-\zeta^2}/{h}}\Big |_{\zeta=0}\Bigr).
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
При $t>0$ (при условии отличия от нуля якобиана ${dX}/{dx_0}> 0$) символ $V(x,\xi+y, t,h)$ гладко зависит от $\beta$ при $\beta \leqslant 1$ и знак предела и индекс $\beta$ у $\Phi_{\beta}$ при $t>0$ мы ниже опускаем, полагая $\beta=1$ при $t>0$. Из формул (2.4) и (2.5) следует, что фундаментальное решение вычисляется как результат действия функции от оператора $a^+$ на $e^{-\zeta^2/h}$, в то время как оператор $a^+$ не самосопряженный и для строгого определения функции от $a^+$ требуется, как минимум, аналитичность по $y$. Однако так как мы интересуемся асимптотическими решениями, достаточно определить действие функций от оператора $a^+$ по $\mod O(h^N)$. Такое определение дано в [7]. Результат действия операторной экспоненты
$$
\begin{equation*}
\widehat{W}=\exp\biggl(\frac{-\Phi(x,a^++\xi,t)}{h}\biggr) \exp\biggl(\frac{-\zeta^2}{h}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
определяется как решение задачи Коши по формальному времени $\eta$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag h\frac{dW}{d\eta}+\Phi(x,a^++\xi,t)W=0, \\ W\big|_{\eta =0}=e^{{-\zeta^2}/{h}}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Тогда $\widehat{W}=W|_{\eta=1}$ и решение $W$ задачи Коши (2.10) может быть построено методом WKB, так же, как решение задачи для символа (2.4), (2.5). Вычисление выражения
$$
\begin{equation*}
\varphi_k\biggl(x,\zeta-\frac{h}{2}\frac{\partial}{\partial \zeta}+\xi,t\biggr)e^{{-\zeta^2}/{h}}\bigg|_{\zeta =0}
\end{equation*}
\notag
$$
делается с помощью формулы коммутации псевдодифференциального оператора с экспонентой и разложения по формуле Тейлора
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\varphi_k\biggl(x, \zeta-\frac{h}{2}\,\frac{\partial}{\partial \zeta}+\xi,t\biggr)e^{-\zeta^2/{h}}\bigg|_{\zeta =0} =e^{-\zeta^2/{h}}\varphi_k\biggl(x, 2\zeta-\frac{h}{2}\,\frac{\partial}{\partial \zeta}+\xi,t\biggr)1\bigg|_{\zeta =0} \\ &\qquad =e^{\zeta^2/h}\varphi_k\biggl(x,{-\frac{h}{2}\,\frac{\partial}{\partial \zeta}}+\xi,t\biggr)e^{-\zeta^2/{h}}\bigg|_{\zeta =0}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
В правой части последнего равенства в показателе экспоненты слева можно положить $\zeta=0$, а оставшееся выражение вычисляется формально по формуле коммутации псевдодифференциального оператора с экспонентой, например,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\varphi_k\biggl(x,{-\frac{h}{2}\,\frac{\partial}{\partial \zeta}}+\xi,t\biggr)e^{-\zeta^2/h} \\ \notag &\qquad =e^{-\zeta^2/{h}}\biggl(\varphi_k(x,2\zeta+\xi,t) -\frac{h}{2}\biggl(\frac{\partial\varphi_k}{\partial y}(x, 2\zeta+\xi)\frac{\partial}{\partial \zeta}1+O(h)\biggr)\biggr) \\ &\qquad=\varphi_k(x,\xi,t)+O(h^2). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Таким образом, в случае гладких функций $\Phi$ и $\varphi_k$ в (2.6) выражение в правой части (2.9) вычисляется по $\mod O(h^N)$. При этом полученное выражение (подробно эти вычисления изложены в [7]) можно рассматривать независимо от способа его получения:
$$
\begin{equation}
G(x,\xi,t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi h}} \exp\biggl(\frac{y^2/2-\Phi(x,y+\xi,t)}{h}\biggr) \frac{(\phi_0(x,y+\xi,t)+O(h))}{\sqrt{1-\Phi''_{yy}}},
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
где $y=y(x,\xi,t)$ есть решение неявного уравнения Корень из якобиана этого неявного уравнения и стоит в знаменателе правой части в (2.13). Подчеркнем, что вычисления, приводящие к (1.1), локальные. По построению получается, что если ${dX}/{dx_0}> 0$, то функция $ G(x,\xi,t)$ удовлетворяет уравнению с невязкой $O(h^2)$. Напомним, что $ G(x,\xi,t)$ и при $t=0$, $\beta<1$ является гладкой функцией (а также это гладкая функция при $t>0$, $\beta \leqslant1$, поэтому можно положить $\beta=1$ при $t>0$). При $t=0$, $\beta \to 1-0$ имеем где $\delta(x-\xi)$ – дельта-функция Дирака.Далее, справедливо следующее утверждение. Предложение 1. Пусть $H_{pp}>0$ и якобиан ${\partial X}/{\partial x_0}$ не равен нулю. Тогда справедливо равенство Далее, в силу конструкции WKB решения справедливо равенство (см. [7])
$$
\begin{equation}
\varphi_0=\biggl(\frac{\partial X}{\partial x_0}(x_0,y+\xi,t)\biggr)^{-1/2} \exp\biggl(\int^{t}_{0}H ''_{xp}\,dt\biggr),
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
где $X(x_0,y+\xi,t)$ – $x$-компонента решения системы Гамильтона (2.8). С другой стороны, в [1] показано, что формула (2.13) при $t>0$ может быть переписана в виде
$$
\begin{equation}
G(x,\xi,t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi h}}\exp\biggl(\frac{-S(x,\xi,t)}{h}\biggr) \biggl(\frac{1}{\sqrt{{dX}/{dp_0}}(p_0,\xi,t)}+O(h)\biggr),
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
где
$$
\begin{equation*}
S(x,\xi,t)=\int^t_0[PH_p(X,P)-H(X,P)]\,dt'\big|_{p_0=p_0(x,\xi,t)}
\end{equation*}
\notag
$$
и $ X(p_0,\xi,t), P(p_0,\xi,t) $ – решения системы Гамильтона
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \dot{\mathrm{X}}=H_p(X,P), & X\big|_{t = 0}=\xi, \\ \dot{\mathrm{P}}=-H_x(X,P), & P\big|_{t = 0}=p_0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
а $p_0(x,\xi,t)$ – решение неявного уравнения $X(p_0,\xi,t)=x$. Справедливо следующее утверждение. Предложение 2. Пусть ${dX}/{dx_0}> 0$. Тогда фазовая функция в (2.13) неотрицательная при $t>0$. Доказательство следует из сравнения формул (2.9) и (2.15).
Непосредственными вычислениями проверяется, что фазовая функция в (2.13) совпадает с $S(x,\xi,t)$ и справедливо равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\frac{\partial X}{\partial x_0}(x_0,y+\xi,t)\Big |_{y=y(x,\xi,t), x_0=x_0(x,\xi,t)} \bigl(1-\Phi''(x,y(x,\xi,t)+\xi,t)\bigr) \\ &\qquad =\frac{\partial X(p_0,\xi,t)}{\partial p_0}\Big|_{p_0=p_0((x,\xi,t))}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
где в левой части $X(x_0,y+\xi,t)$ – $x$-компонента решения системы Гамильтона (2.8), а в правой части $X(p_0,\xi,t)$ – $x$-компонента решения системы Гамильтона (2.16). Используя соображения компактности (финитные начальные условия и рассмотрение значений решения в ограниченной области), можно без ограничения общности предполагать, что при некотором $\delta>0$ при $0 \leqslant t \leqslant \delta$ якобианы в правой части (2.13) (см. также (2.14) не обращаются в 0 и формула (2.13) корректно определена. 3. Фундаментальное решение в виде интегрального оператора ФурьеРассмотрим еще раз (2.13). Нетрудно видеть, что эта функция получается применением (формально) метода Лапласа к интегралу в левой части равенства ниже
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int \exp\biggl(\frac{y^2}{2}-\frac{\Phi(x,y+\xi,t)}{h}\biggr)\varphi_0(x,y+\xi,t)dy \\ &\qquad = \exp\biggl(\frac{y^2}{2}-\frac{\Phi(x,y+\xi,t)}{h}\biggr) \frac{\varphi_0(x,y+\xi,t)}{\sqrt{1-\Phi''_{yy}}} \bigg|_{y=\Phi'_y(x,y+\xi,t)}(1+O(h)). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Однако фазовая функция в подынтегральном выражении знакоопределена (неотрицательна) только на множестве стационарных точек $y=\Phi'_y$, и интеграл, вообще говоря, расходится. Поэтому мы используем другую формулу. Теорема 1. Пусть $\beta \leqslant 1-\delta$, $0<\delta<1$, ${dX}/{dx_0} > 0$, $\Phi''_{yy}<(1+\beta)/2$. Тогда Замечание 1. Выше (см. предложение 1) было отмечено, что ${d\Phi''_{yy}}/{dt}<0$, где ${d}/{dt}$ – производная вдоль проекций траектории системы Гамильтона на $x$-плоскость. Доказательство теоремы 1. Вычислим фазу подынтегрального выражения в левой части при $t=0$:
Нетрудно проверить, что при $0<\beta<1-\delta$ последнее выражение есть положительно определенная квадратичная форма относительно переменных $y$, $x-\xi$. Положим
$$
\begin{equation*}
\Psi(x,\xi,t)=\frac{2}{1-\beta}(y-\Phi'_y)^2-\frac{y^2}{2}+\Phi
\end{equation*}
\notag
$$
и рассмотрим функцию $\widetilde{\Psi}(x_0,\xi,t)=\Psi(X,\xi,t)$, где $X$ – $x$-компонента решения системы Гамильтона (2.8). Аналогично обозначим $\widetilde{\Phi}(x_0, y+\xi,t)=\Phi(X,y+\xi,t)$.
Тогда
$$
\begin{equation*}
\frac{d\widetilde{\Phi}}{d t}=p H_p-H, \qquad \frac{d}{dt}\widetilde{\Phi'_y}=0
\end{equation*}
\notag
$$
(последнее – в силу уравнения Гамильтона–Якоби (2.7)) и
$$
\begin{equation*}
\frac{d \widetilde{\Psi}}{dt}=P H_p(X,P)-H(X,P)\geqslant0.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, фазовая функция под интегралом в левой части (3.2) неотрицательная и можно применить метод Лапласа. При $t>0$, обозначив $\gamma=2/(1-\beta)$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Psi'_y=\gamma(y-\Phi'_y)(1-\Phi_{yy}'')-y+\Phi'_y=0 \quad\Longleftrightarrow\quad y=\Phi'_y, \\ \Psi''_{yy}|_{y=\Phi'_y}=(1-\Phi''_{yy})(\gamma(1-\Phi''_{yy})-1) =(1-\Phi''_{yy})(1+\beta-2\Phi''_{yy})(1-\beta)^{-1}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда при $0<t<t_0$, $0<\beta<1-\delta$ после применения метода Лапласа к интегралу в левой части (3.2) следует утверждение теоремы. Значение $t_0$ здесь выбирается так, чтобы $\Phi''_{yy}<(1+\beta/2)$ и ${\partial X}/{\partial x_0}>0$ при $t\leqslant t_0.$ Рассмотрим выражение при $\delta=0$, т.е. вычислим это выражение при $0<\beta<1$. Напомним, что $\Phi''_{yy}=\beta$ при $t=0$. Отсюда получаем при $t=0$ следующее равенство: Таким образом, формула, приведенная в теореме, верна при $0<\beta<1$; при $\beta \to 1-0$ в правой части равенства получится $\delta$-функция Дирака, как было объяснено в п. 2.Таким образом, до фокальных точек главное слагаемое формальной асимптотики фундаментального решения может быть (в малом по времени) представлено в виде аналога интегрального оператора Фурье с чисто мнимой фазой; это левая часть формулы в теореме 1. Конечно можно попробовать найти эквивалентную фазовую функцию $G(x,y+\xi,t)$ такую, что
$$
\begin{equation*}
\biggl(x,\frac{\partial G}{\partial x}\biggr)=\Lambda_t
\end{equation*}
\notag
$$
при $G_y'=0$, где $\Lambda_t$ – лагранжево многообразие (кривая), полученное сдвигом начальной прямой $\{x,(x-y-\xi)\beta\}$ вдоль траекторий системы Гамильтона. Фазовая функция по формуле из теоремы 1 этому условию удовлетворяет.
4. Глобальная конструкцияОбсудим теперь формулу для фундаментального решения в случае, когда неравенство ${\partial X}/{\partial x_0} > 0$ в полосе $[0,t_0]$ не выполнено. Это означает, что задача Коши (2.7) уже не имеет гладкого решения. В [2] предложено в этом случае рассматривать вязкие решения уравнения Гамильтона–Якоби в (2.7). Согласно этому определению, решение задачи Коши
$$
\begin{equation*}
-h\frac{\partial U}{\partial t}+H\biggl(x,-h\frac{\partial}{\partial x}\biggr)U=0, \qquad U|_{t=0}=e^{-S_0(x)/h}\varphi_0(x)
\end{equation*}
\notag
$$
строится так: $U=\exp(-S(x,t)/h)(\varphi(x,t)),$ где $S(x,t)$ – вязкое решение уравнения Гамильтона–Якоби, а $\varphi(x,t)=\sqrt{\rho_{\mathrm{reg}}}$, где $\rho_{\mathrm{reg}}$ – регулярная в смысле обобщенных функций часть решения задачи Коши для уравнения неразрывности
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}\biggl(H_{p}\biggl(x,\frac{\partial S}{\partial x}\biggr)\rho\biggr)-H_{xp}\biggl(x,\frac{\partial S}{\partial x}\biggr)\rho=0, \notag \\ \rho|_{t=0}=\varphi_0^2(x) \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
типа $\delta$-ударной волны, [2]. Здесь мы дополнительно предположим, что множество точек, в которых производная ${\partial S}/{\partial x}$ не существует (имеет разрыв первого рода) есть связный граф (дерево) с гладкими дугами $\Gamma_t$. Вершины степени 1 – точки, в которых образуется особенность, т.е. обращается в 0 якобиан ${\partial X}/{\partial x_0}$; вершины степени $>1$ – точки слияния особенностей. Пусть точка $(x^*,t^*)$ – первая (в смысле упорядочения по $t \nearrow$) и единственная точка, в которой ${\partial X}/{\partial x_0}=0$ (единственная здесь для простоты). В этой точке при $t\geqslant t^*$ возникает решение
$$
\begin{equation*}
\rho = \rho_0(x,t)+\rho_1(x,t)\theta(x-\varphi)+e(t)\delta(x-\varphi), \qquad e(t^*)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
типа $\delta$-волны, $\theta(z)$ – функция Хевисайда, $\rho_0,\rho_1$ – решения соответственно слева $(x\leqslant \varphi)$ и справа $(x\geqslant\varphi)$, которые строятся методом характеристик, траектория $\{x=\varphi\}$ определяется условием Ренкина–Гюгонио
$$
\begin{equation*}
\varphi_t=\frac{[H(x,\partial S/\partial x)]}{[{\partial S}/{\partial x}]}\bigg|_{x=\varphi}, \qquad \varphi(t^*)=x^*
\end{equation*}
\notag
$$
(cм. [2]), и
$$
\begin{equation*}
\rho_{\mathrm{reg}}=\rho_0(x,t)+\theta(x-\varphi)\rho_1(x,t).
\end{equation*}
\notag
$$
При этом
$$
\begin{equation*}
\rho_1(x^*,t^*)=[\rho]\big|_{x=\varphi,\,x=x^*,\,t=t^*}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть теперь решение уравнения (1.1) мы строим в виде
$$
\begin{equation*}
U=\exp\biggl(-\frac{S_v}{h}\biggr), \qquad S_v\geqslant-c, \quad c>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая $\mu\equiv0$ в (1.2), получим, что функция $U$ будет точным решением уравнения, если
$$
\begin{equation}
\frac{\partial S_v}{\partial t}+H\biggl(x,\frac{\partial S_v}{\partial x}\biggr)-ha(x)\frac{\partial^2 S_v}{\partial x^2}=0.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Таким образом, функция $S_v(x,t)$ может быть построена как асимптотическое решение уравнение типа Бюргерса
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{\partial P}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}H(x,P)-h\frac{\partial}{\partial x}a(x)\frac{\partial P}{\partial x}=0, \notag \\ \frac{\partial S_v}{\partial x}=P. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Решение последнего уравнения для $P$ строится методом Уизема–Кузмака [5] и представляет собой (при наших предположениях) сглаженный скачок, распространяющийся вдоль той же траектории, что и скачок производной решения предельного уравнения Гамильтона–Якоби. Ясно, что решение $S_v$ уравнения (4.2) локально ограничено. Более того, в силу свойств вязких решений [10] $S_v$ локально выпукла вверх по траектории $x=\varphi$. Замечание 2. Такой подход не позволяет прямо рассматривать финитные решения, что не ограничивает общность, так как известно, что решение рассматриваемых уравнений с финитными неотрицательными начальными условиями при $t>0$ отлично от 0 везде. Все сказанное применимо к построению фундаментального решения. Зафиксируем $\xi$ и найдем точку $(x^*(\xi),t^*(\xi))$, в которой начинается траектория $x=\varphi(t)$ особенности производной ${\partial S}/{\partial x}(x,\xi,t)$, т.е. ${\partial X}/{\partial p_0}\big|_{x^*(\xi),t^*(\xi)}=0$, и пусть $\Omega$ – область, содержащая эту траекторию. Выберем элемент разбиения единицы $e_\xi(x,t)\geqslant0$ таким, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, e_\xi(x,t)=0, \qquad (x,t)\notin \Omega, \\ e_\xi(x,t)=1, \qquad (x,t)\in \Omega_{\mathrm{in}}, \qquad \Omega_{\mathrm{in}}\subset\Omega, \qquad \{x=\varphi(t),\,t^*\leqslant t\leqslant T\}\subset \Omega_{\mathrm{in}}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
При $t=t^*-\delta$ определим главное слагаемое асимптотики фундаментального решения
$$
\begin{equation*}
G(x,\xi,t)=\frac{1}{2\pi h\sqrt{\partial X/{\partial p_0}}}\exp\biggl\{-\frac{S(x,\xi,t)}h\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
которое можно представить в виде
$$
\begin{equation*}
G(x,\xi,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi h}}\exp\biggl\{-\frac{1}{h}\bigl(S(x,\xi,t)+h S_1(x,\xi,t)\bigr)\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
S_1(x,\xi,t)=-\frac{1}{2}\ln\frac{\partial X}{\partial p_0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, обозначим через $S_v(x,\xi,t)$ решение задачи Коши для уравнения (4.2) такое, что Решение задачи Коши $S_v(x,\xi,t)$ существует [10], [11] и принадлежит $C^2$ при любом фиксированном $h$, непрерывно при $h\geqslant0$. Более того, в силу наших предположений о структуре особенностей вязкого (глобального) решения предельного уравнения Гамильтона–Якоби $S_v$ – гладкая функция вне траектории $\{x=\varphi(t),\,t^*\leqslant t\leqslant T\}$. Теорема 2. Главное слагаемое (формальной) асимптотики фундаментального решение $G(x,\xi,t)$ имеет вид Подробности см. в книге Ильина [8]. Представление в окрестности точки $(x^*,t^*)$ более сложное, чем (4.5) см. [8]. Доказательство. По построению функция в правой части удовлетворяет начальному условию и уравнению с точностью $O(h^2)$, причем множителями при функциях $e_{\xi}(x,t)$ и $1-e_{\xi}(x,t)$ являются асимптотические решения в соответствующих областях.
Сшивание решений в $\Omega\setminus\Omega_{\mathrm{in}}$ происходит автоматически с любой требуемой степенью точности по параметру $h$ в силу гладкости $S_v(x,\xi,t,h)$ вне $\Omega_{\mathrm{in}}$ и единственности решений Гамильтона–Якоби и поправок в силу сделанных предположений о структуре особенности. Замечание 3. Из предложенного следует несколько выводов. Во-первых, асимптотика фундаментальнго решения задач Коши для рассмотренных здесь уравнений может быть построена без использования интегральных представлений, которые заменяются в приведенной глобальной конструкции задачей об образовании сглаженной ударной волны и взаимодействия таких уединенных волн. Во-вторых, по крайней мере при малых $t$ можно предложить представление ф.р. в виде интегрального оператора Фурье с чисто мнимой фазой. Возможно, такое представление существует на конечных временах; здесь следует упомянуть недавние работы Доброхотова, Назайкинского, Шафаревича [12] о новом представлении канонического оператора Маслова в виде ИОФ. Автор благодарен С. Ю. Доброхотову за обсуждение работы. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Dan24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|