| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Обобщенное кратное мультипликативное преобразование Фурье и оценки интегральных модулей непрерывности С. С. Волосивец Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624030246 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеПусть $\{ p_n \}_{n=1}^\infty\subset \mathbb N$ такова, что $2\leqslant p_j\leqslant N$, $p_{-j}=p_j$ для всех $j\in\mathbb N=\{1,2,\dots\}$. Положим $m_j=p_1\dotsb p_j$ при $j \in\mathbb N$, $m_0=1$ и $m_{-l}=1/m_l$ при $l\in \mathbb N$. Каждому $x\in \mathbb R_+$ можно сопоставить разложение
$$
\begin{equation}
x=\sum_{j=1}^\infty {x_{-j}}{m_{j-1}}+\sum_{j=1}^\infty \frac{x_{j}}{m_{j}}, \qquad x_j\in\mathbb Z\cap [0,p_j), \quad |j|\in\mathbb N.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
В первой сумме из (1.1) присутствует конечное число ненулевых слагаемых. Если для чисел вида $x=k/m_l$, $k,l\in \mathbb N$, брать разложение с конечным числом $x_j\ne 0$, то разложение (1.1) становится однозначным. Для чисел $x,y\in \mathbb R_+$, записанных в виде (1.1), по определению полагаем
$$
\begin{equation}
x\ominus y=z=\sum_{j=1}^{\infty}{z_{-j}}{m_{j-1}}+\sum_{j=1}^{\infty} \frac{z_{j}}{m_{j}}, \qquad z_j \in\mathbb Z\cap[0,p_j), \quad |j|\in \mathbb N,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $z_{j}=x_j-y_j\pmod{p_j}$. Аналогично определяется операция $x\oplus y$. Эти операции определены для всех $y\in\mathbb R_+$, кроме счетного числа, при фиксированном $x$ (см. [1; гл. 1, § 1.5]; более точно, $x\ominus y$ из (1.2) не определено, если $z_j=p_j-1$ при $j\geqslant j_0$). Для $x,y\in \mathbb R_+$, записанных в виде (1.1), определим ядро $\chi(x,y)$ равенством
$$
\begin{equation*}
\chi(x,y)=\exp\biggl(2\pi i\sum_{j=1}^\infty \frac{x_jy_{-j}+x_{-j}y_j}{p_j}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Для почти всех пар $(x,z)\in\mathbb R_+\times\mathbb R_+$ при фиксированном $y\in\mathbb R_+$ имеем равенства
$$
\begin{equation*}
\chi(x\oplus z,y)=\chi(x,y)\chi(z,y), \qquad \chi(x\ominus z,y)=\chi(x,y)\overline{\chi(z,y)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что $\chi(x,y)=\chi(\{x\},[y])\chi([x],\{y\})$, где $[x]$ – целая часть $x$, $\{x\}=x-[x]$ – дробная часть $x$, и что $\chi(x,y)$ постоянна по $x$ на всех промежутках $I_j^k=[(j-1)/m_k,j/m_{k})$, $j\in\mathbb N$, при $0\leqslant y<m_k$, $k\in\mathbb Z$ (см. [1; гл. 1, § 1.5]). Пусть $\mathbf x, \mathbf z\in \mathbb R^n_+$, $\mathbf x=(x^1,x^2,\dots,x^n)$, $\mathbf z=(z^1,z^2,\dots,z^n)$. Тогда по определению
$$
\begin{equation*}
\chi(\mathbf x,\mathbf z)=\prod^n_{k=1}\chi(x^k,z^k), \qquad \mathbf x\ominus \mathbf z=(x^1\ominus z^1, \dots, x^n\ominus z^n).
\end{equation*}
\notag
$$
Операция $\mathbf x\oplus \mathbf z$ вводится аналогично операции $\mathbf x\ominus \mathbf z$. При фиксированном $\mathbf x\in\mathbb R^n_+$ обе операции снова определены для всех $\mathbf z$, кроме счетного числа. Пространства $L^q(\mathbb R^n_+)$, $1\leqslant q<\infty$, состоят из измеримых на $\mathbb R^n_+$ функций, для которых
$$
\begin{equation*}
\|f\|_q=\biggl(\int_{\mathbb R^n_+}{|f(\mathbf t)|^q}\,d\mathbf t \biggr)^{1/q}< \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $f\in L^1(\mathbb R^n_+)$ мультипликативное $\mathbf P$-преобразование Фурье (см. [1; гл. 6] при $n=1$) задается формулой
$$
\begin{equation*}
\widehat{f}(\mathbf x)=\int_{\mathbb R^n_+} f(\mathbf y)\overline{\chi(\mathbf x, \mathbf y)}\,d\mathbf y,
\end{equation*}
\notag
$$
где в правой части интеграл понимается в смысле Лебега. Можно показать, что для $f \in L^1(\mathbb R^n_+)$ и сдвига $\tau_\mathbf h f(\mathbf x)=f(\mathbf x-\mathbf h)$, $\mathbf h \in \mathbb R^n_+$, справедливо равенство
$$
\begin{equation}
\widehat{\tau_\mathbf h f}(\mathbf x)=\overline{\chi(\mathbf x,\mathbf h)} \widehat f(\mathbf x), \qquad (\chi(\cdot,\mathbf h)f)\widehat{}(\mathbf x)=\tau_\mathbf h \widehat f(\mathbf x)
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
(при $n=1$ см. [1; гл. 6, п. 6.1.2]). Обозначим через $B_k=B_k(\mathbf 0)$ множество $[0,m_k)^n$, через $B_k(\mathbf x)$ – множество $\mathbf x\oplus B_k(\mathbf 0)$ и через $S_k=S_k(\mathbf 0)$ – множество $B_k(\mathbf 0)\setminus B_{k-1}(\mathbf 0)$. Будем писать $|x|_\mathbf P=m_k$, если $x\in S_k(0)\subset\mathbb R_+$, и $|\mathbf x|_\mathbf P=\max_{1\leqslant i\leqslant n}|x^i|_\mathbf P$ для $\mathbf x=(x^1,x^2,\dots,x^n)\in\mathbb R^n_+$. Можно показать, что $|\mathbf x+\mathbf y|_\mathbf P\leqslant\max(|\mathbf x|_\mathbf P,|\mathbf y|_\mathbf P)\leqslant |\mathbf x|_\mathbf P+|\mathbf y|_\mathbf P$. Известно, что при $k\in\mathbb Z$
$$
\begin{equation}
\widehat{X_{B_k}}(\mathbf x)=m^n_kX_{B_{-k}}(\mathbf x)=:\Delta_k(\mathbf x); \qquad \widehat{\Delta_k}(\mathbf x)=X_{B_k}(\mathbf x),
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где $X_E$ является индикатором множества $E$ (см. [2]). Для $f\in L^q({\mathbb R^n_+})$, $1<q\leqslant 2$, мультипликативное $\mathbf P$-преобразование Фурье вводится как предел в $L^{q'}({\mathbb R^n_+})$, $q'=q/(q-1)$, а именно,
$$
\begin{equation*}
\widehat{f}(\mathbf x)=(L^{q'}({\mathbb R^n_+})) \lim_{k\to+\infty}\int_{\mathbb R^n_+} f(\mathbf y)\overline{\chi(\mathbf x, \mathbf y)}X_{B_k}(\mathbf y)\,d\mathbf y.
\end{equation*}
\notag
$$
Стандартным методом с помощью интерполяционной теоремы Рисса–Торина [3; гл. 12, § 1] выводится неравенство Хаусдорфа–Юнга
$$
\begin{equation}
\|\widehat{f}\|_{q'}\leqslant \|f\|_q, \qquad f\in L^q({\mathbb R^n_+}), \quad 1<q\leqslant 2
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
(см. [2; формула (1.4)]). Пусть $G_k$, $k\in\mathbb Z$, – множество функций, постоянных на всех $I^k_j$, $j\in\mathbb N$, а $1\leqslant q< \infty$, $f\in L^q(\mathbb R^n_+)$. Тогда для $k\in\mathbb Z_+=\{0,1,\dots\}$ введем наилучшее приближение
$$
\begin{equation*}
A_k(f)_q=\inf\{\|f-g\|_q\colon g\in L^q(\mathbb R^n_+)\cap G_k\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что для $f\in G_k$, $k\in\mathbb Z_+$, $g\in L^1(\mathbb R_+)$, свертка
$$
\begin{equation*}
f*g(\cdot)=\int_{\mathbb R^n_+}f(\cdot\ominus \mathbf y)g(\mathbf y)\,d\mathbf y,
\end{equation*}
\notag
$$
если она существует, тоже принадлежит $G_k$. Для $f\in L^q({\mathbb R^n_+})$, $1\leqslant q<\infty$, определим также дискретный модуль непрерывности
$$
\begin{equation}
\omega_k(f)_q=\sup_{\mathbf h\in B_{-k}}\|f-\tau_{\mathbf h}f\|_q, \qquad k\in\mathbb Z_+.
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
В [2; лемма 2] доказано неравенство типа Ефимова
$$
\begin{equation}
A_k(f)_q \leqslant \|f-f*\Delta_k\|_q\leqslant \omega_k (f)_q\leqslant 2 A_k(f)_q, \qquad f\in L^q(\mathbb R^n_+), \qquad 1\leqslant q<\infty.
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
Будем писать $f \in L_{\mathrm{loc}}^q(\mathbb R^n_+)$, $1 \leqslant q < \infty$, если $f \in L^q(B_k)$ для всех $k \in \mathbb N$. Положим
$$
\begin{equation*}
F_k(f)(\mathbf z)=\int_{B_k} f(\mathbf x) \overline{\chi(\mathbf x,\mathbf z)}\,d\mathbf x
\end{equation*}
\notag
$$
для $f \in L_{\mathrm{loc}}^q(\mathbb R^n_+)$. Если существует $F \in L^q(\mathbb R^n_+)$ такая, что $\lim_{k \to \infty } \| F-F_k(f)\|_q= 0$, то $F$ называется обобщенным мультипликативным $L^q$-преобразованием Фурье функции $f$. Введем также класс $\mathrm{GL}^q(\mathbb R^n_+)$ функций $f$, для которых последовательность $\{\| F_k(f)\|_q\}_{k=1}^\infty$ ограничена. Платонов [4] доказал следующие два результата. Теорема A. Для любой функции $f\in L^2(\mathbb R_+)$ справедливо неравенство Теорема B. Пусть $\{\omega_j\}^\infty_{j=1}\subset\mathbb R$ – невозрастающая сходящаяся к нулю последовательность, $f\in L^2(\mathbb R_+)$. Тогда условия $\omega_j(f)_2\leqslant C_1\omega_j$ при $j\in\mathbb N$ и фиксированном $C_1>0$ и эквивалентны. Здесь снова $\omega_k(f)_2$ определено для $p_i\equiv 2$. Теорема B является аналогом известной теоремы эквивалентности Титчмарша (см. [5; теорема 80]). Одной из целей настоящей работы является установление свойств функций класса $\mathrm{GL}^q(\mathbb R^n_+)$, которые при $n=1$ изучались в [6]. Кроме того, мы доказываем $n$-мерные обобщения теорем A и B для общих мультипликативных преобразований Фурье. Также мы получим обращение неравенства теоремы A для функций $f\in \mathrm{GL}^q(\mathbb R^n_+)$, $1<q\leqslant 2$, и $\omega_k(f)_{q'}$, $1/q+1/q'=1$. 2. Вспомогательные утвержденияЛемма 1. Пусть $1<q<\infty$, $f\in \mathrm{GL}^{q}(\mathbb R^n_+)$. Тогда существует подпоследовательность $\{ F_{n_j}(f)\}_{j=1}^\infty$, которая слабо сходится к $F(f) \in L^q(\mathbb R^n_+)$. Доказательство. Так как пространство $L^q(\mathbb R^n_+)$ является сопряженным к пространству $L^{q'}(\mathbb R^n_+)$, $1/q+1/q'=1$, результат леммы 1 вытекает из теоремы о слабой компактности шара в сопряженном пространстве (см. [7; гл. 4, § 3, теорема 3]). Лемма 2. Пусть $1 < q < \infty$, $f \in \mathrm{GL}^q(\mathbb R^n_+)$, $h \in L^1(\mathbb R^n_+) \cap L^{q'}(\mathbb R^n_+)$. Тогда для $F(f)$ и последовательности $\{ n_j\}_{j=1}^\infty$ из леммы 1 выполнено равенство Доказательство. Поскольку $f \in L^1(B_{n_j})$ для всех $j \in \mathbb{N}$ и $h \in L^1(\mathbb R^n_+)$, то $\widehat{h}(x)$ ограничена и по теореме Фубини–Тонелли имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \int_{B_{n_j}} f(\mathbf u) \widehat h(\mathbf u)\, d\mathbf u &=\int_{B_{n_j}} f(\mathbf u)\int_{\mathbb R^n_+} h(\mathbf v) \overline{\chi(\mathbf u,\mathbf v)}\,d \mathbf v \,d\mathbf u \\ &=\int_{\mathbb R^n_+} h(\mathbf u) \int_{B_{n_j}} f(\mathbf u) \overline{\chi(\mathbf u,\mathbf v)}\,d\mathbf u\,d\mathbf v =\int_{\mathbb R^n_+} h(\mathbf v) F_{n_j}(\mathbf v) \,d\mathbf v. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
В силу условия $h \in L^{q'}(\mathbb R^n_+)$ и леммы 1 правая часть (2.1) сходится к
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb R^n_+}F(f)(\mathbf v)h(\mathbf v)\,d \mathbf v
\end{equation*}
\notag
$$
при $j\to+\infty$, откуда следует утверждение леммы 2. Доказательство. Пусть $k, m \in \mathbb{N}$. Тогда по теореме Фубини
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \int_{B_k} F_m(f)(\mathbf u) h(\mathbf u)\,d\mathbf u &=\int_{B_k} h(\mathbf u) \int_{B_m} f(\mathbf v) \overline{\chi(\mathbf u,\cdot\mathbf v)}\,d\mathbf v\,d\mu\mathbf u \\ &=\int_{B_m} f(\mathbf v) \int_{B_k} h(\mathbf u) \overline{\chi(\mathbf u,\cdot\mathbf v)}\, d\mathbf u\,d\mathbf v =\int_{B_m} F_k(h)(\mathbf v) f(\mathbf v)\,d\mathbf v. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Так как $f, h \in L^q(\mathbb R^n_+)$, $1 < q \leqslant 2$, по определению откуда с помощью неравенства Гёльдера получаем
$$
\begin{equation*}
\lim_{m \to +\infty} \int_{B_k} F_m(f)(\mathbf u) h(\mathbf u)\,d\mathbf u =\int_{B_k} \widehat f(\mathbf u) h(\mathbf u)\,d\mathbf u.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны,
$$
\begin{equation*}
\lim_{m \to \infty} \int_{B_m} F_k(h)(\mathbf v) f(\mathbf v)\,d\mathbf v =\int_{\mathbb R^n_+} F_k( h)(\mathbf v) f(\mathbf v)\,d\mathbf v,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. в силу (2.2)
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb R^n_+} F_k( h)(\mathbf v) f(\mathbf v)\,d\mathbf v =\int_{B_k} \widehat f(\mathbf u) h(\mathbf u)\,d\mu(\mathbf u).
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Используя равенство $\lim_{k \to +\infty}\|F_k(h)-\widehat{h}\|_{q'}=0$ и применяя неравенство Гёльдера, из (2.3) при $k \to +\infty$ выводим неравенство леммы. Лемма 4. Пусть $1 < q \leqslant 2$, $f \in L^q(\mathbb R^n_+)$, $1/q+1/q'=1$, $k \in \mathbb{Z}_+$. Тогда Будем при $n=1$ писать $g=D^\alpha_qf$, где $1<q\leqslant 2$, $\alpha>0$, если $g,f\in L^q(\mathbb R_+)$ и $\widehat{g}(x)=|x|^{\alpha}_\mathbf P\widehat{f}(x)$ п.в. на $\mathbb R_+$. В работе [8] дано другое определение модифицированной мультипликативной производной, и в теореме 11 указанной работы доказана его эквивалентность приведенному выше. В [9; теорема 5] установлен следующий результат. Лемма 5. Пусть $\alpha>0$ и $f\in L^q(\mathbb R_+)$, $1<q\leqslant 2$, такова, что существует $D^{\alpha}_q(f)=g$. Тогда справедливы неравенства 3. Свойства обобщенного мультипликативного преобразования ФурьеТеорема 1. Пусть $f \in \mathrm{GL}^q(\mathbb R^n_+)$, $1 < q < \infty$. Тогда существует $F=F(f) \in L^q(\mathbb R^n_+)$ такая, что Доказательство. Пусть $\mathbf x \in \mathbb R^n_+$ фиксировано и $h_k(\mathbf u)= \Delta_k(\mathbf u\ominus \mathbf x)=\Delta_k(\mathbf x\ominus \mathbf u)$ (напомним, что $\Delta_k(\mathbf x)=m^n_kX_{B_{-k}}(\mathbf x)$). Из инвариантности одномерного интеграла относительно сдвига $\tau_h$ (см. [1; § 2.1] в двоичном случае) легко следует такое же свойство на $\mathbb R^n_+$. Поэтому
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \widehat{h_k}(\mathbf y) &=\int_{\mathbb R^n_+} \Delta_k(\mathbf u \ominus \mathbf x) \overline{\chi(\mathbf y,\mathbf u)}\, d\mathbf u=\int_{\mathbb R^n_+} \Delta_k(\mathbf u\ominus \mathbf x) \overline{\chi(\mathbf y,\mathbf u\ominus \mathbf x))\chi(\mathbf y,\mathbf x)}\, d\mathbf u \\ &=\overline{\chi(\mathbf y,\mathbf x)} \widehat{\Delta_k}(\mathbf y)=X_{B_k}(\mathbf y)\overline{\chi(\mathbf y,\mathbf x)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Ясно, что $h_k \in L^1(\mathbb R^n_+)$ и $|h_k(\mathbf y)|\leqslant m^n_k$ на $\mathbb R^n_+$, т.е. $h_k$ удовлетворяет условиям леммы 2. Поэтому для $F(f)$ из леммы 1 согласно лемме 2 и (3.1) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\mathbb R^n_+} \Delta_k(\mathbf x\ominus \mathbf u) F(f)(\mathbf u)\,d\mathbf u &=\lim_{j \to \infty} \int_{B_{n_j}} f(\mathbf u) \widehat{\Delta_k}(\mathbf u\ominus \mathbf x)\,d\mathbf u \\ &=\lim_{j \to \infty} \int_{B_{n_j}} f(\mathbf u) X_{B_k}(\mathbf u) \overline{\chi(\mathbf x,\mathbf u)}\, d\mathbf u =\int_{B_k} f(\mathbf u) \overline{\chi(\mathbf x,\mathbf u)} \,d\mathbf u. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее равенство означает, что $F_k(f)(\mathbf x)=F(f) * \Delta_k(\mathbf x)$. Из формулы (1.7) следует, что и б) доказано.
Сходимость $F(f)*\Delta_k(\mathbf x)$ к $F(f)(\mathbf x) \in L^1(\mathbb R^n_+)$ п.в. на $\mathbb R^n_+$ следует из двух фактов:
Общий результат а) получается в силу плотности $L^1(\mathbb R^n_+)$ в $L^q(\mathbb R^n_+)$. Доказательство. Так как мы получаем $f \in \mathrm{GL}^{q'}(\mathbb R^n_+)$. Поэтому можно применять теорему 1. Теорема 2. а) Пусть $2 \leqslant q < \infty$, $f \in \mathrm{GL}^q(\mathbb R^n_+)$, $h \in L^{q'}(\mathbb R^n_+)$ и $\widehat{h}$ ограничена на каждом $B_k$, $k\in\mathbb Z$. Если $F(f)$ – функция из теоремы 1, то б) Пусть $1 < q \leqslant 2$, $f \in \mathrm{GL}^q(\mathbb R^n_+)$, $h \in L^{q}(\mathbb R^n_+)$ и $h$ ограничена на каждом $B_k$, $k\in\mathbb Z$. Тогда Доказательство. а) Пусть $2 \leqslant q < \infty$, $f \in \mathrm{GL}^q(\mathbb R^n_+)$, $h \in L^{q'}(\mathbb R^n_+)$. По неравенству Гёльдера и теореме Фубини имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_{\mathbb R^n_+} F(f)(\mathbf x) h(\mathbf x)\, d\mathbf x=\lim_{k \to+\infty} \int_{\mathbb R^n_+} F_k(f)(\mathbf x) h(\mathbf x)\, d\mathbf x \\ \notag &\qquad=\lim_{k \to +\infty} \int_{\mathbb R^n_+} \int_{B_k} h(\mathbf x) f(\mathbf u) \overline{\chi(\mathbf x,\mathbf u)}\, d\mathbf u\,d\mathbf x \\ &\qquad =\lim_{k \to+\infty} \lim_{r \to +\infty} \int_{B_k} \int_{B_r} h(\mathbf x) f(\mathbf u) \overline{\chi(\mathbf u,\mathbf x)}\,d\mathbf x\,d\mathbf u. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Поскольку $h \in L^{q'}(\mathbb R^n_+)$, существует $\widehat h \in L^q(\mathbb R^n_+)$ и по следствию 1 имеем
$$
\begin{equation*}
\widehat h(\mathbf u)=\lim_{r \to +\infty} \int_{B_r} h(\mathbf x) \overline{ \chi(\mathbf u,\mathbf x)} \,d\mathbf x \qquad\text{п.в. на}\quad \mathbb R^n_+.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя лемму 3 и (3.1), находим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{B_r} h(\mathbf x) \overline{\chi(\mathbf x,\mathbf u)} \,d\mathbf x =\int_{\mathbb R^n_+}h(\mathbf x) X_{B_r}(\mathbf x) \overline{\chi(\mathbf x,\mathbf u)}\,d\mathbf x \\ &\qquad =\int_{\mathbb R^n_+}\widehat h(\mathbf v)\Delta_r(\mathbf u-\mathbf v)\, d\mu(\mathbf v) = \widehat{h}*\Delta_r(\mathbf u). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $k$ фиксировано. Если $\mathbf v \in B_k$ и $r \in \mathbb{N}$, то для $\mathbf u \in B_{-r}$ и $|\mathbf v|_\mathbf P \geqslant 1$ имеем
$$
\begin{equation*}
|\mathbf v-\mathbf u|_\mathbf P \leqslant \max(|\mathbf u|_\mathbf P, |\mathbf v|_\mathbf P) = |\mathbf v|_\mathbf P \leqslant m_k,
\end{equation*}
\notag
$$
а если $|\mathbf v|_\mathbf P \leqslant 1$, то $|\mathbf v-\mathbf u|_\mathbf P \leqslant 1$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
|\widehat{h}*\Delta_r(\mathbf v)| =\biggl|\int_{B_{-r}}m^n_r \widehat{h}(\mathbf v\ominus \mathbf u)\,d\mathbf u \biggr| \leqslant \operatorname*{esssup}_{\mathbf u \in B_k} |\widehat h(\mathbf u)|
\end{equation*}
\notag
$$
при $|\mathbf v|_p \geqslant 1$ и $|\widehat h * \Delta_r(\mathbf v)| \leqslant \operatorname{esssup}_{\mathbf u \in B_0} |\widehat h(\mathbf u)|$ при $|\mathbf v|_p < 1$. В силу ограниченности $\widehat h$ на $B_k$ мы видим, что интегралы $\int_{B_r} h(\mathbf x) \overline{\chi(\mathbf x,\mathbf u)}\,d\mathbf x$ равномерно ограничены по $u\in B_k$. Так как $f \in L^q_{\mathrm{loc}}(\mathbb R^n_+)\subset L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R^n_+)$, по теореме Лебега о мажорируемой сходимости
$$
\begin{equation*}
\lim_{r \to +\infty} \int_{B_k} \int_{B_r} f(\mathbf u) h(\mathbf x) \overline{\chi(\mathbf x,\mathbf u)} \,d\mathbf x\,d\mathbf u =\int_{B_k} f(\mathbf u) \widehat{h}(\mathbf u)\,d\mathbf u
\end{equation*}
\notag
$$
в силу (3.2) заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb R^n_+} F(f)(\mathbf x) h(\mathbf x)\,d\mathbf x =\lim_{k \to+\infty} \int_{B_k} f(\mathbf u ) \widehat h(\mathbf u)\,d\mathbf u.
\end{equation*}
\notag
$$
б) Доказывается аналогично а) (см. доказательство части 2) теоремы 2 в [6]). Приведем также формулу обращения обобщенного мультипликативного преобразования. Теорема 3. Пусть $1 < q < \infty$, $f \in \mathrm{GL}^q(\mathbb R^n_+)$ и $F(f)$ – функция из теоремы 1. Тогда Доказательство. Рассмотрим $h_k(\mathbf u)=X_{B_k}(\mathbf u) \chi(\mathbf x,\mathbf u)$ при $2 \leqslant q < \infty$ и $h_k(\mathbf u)=\Delta_k(\mathbf x-\mathbf u)$ при $1 < q < 2$, $k \in \mathbb{N}$.
В первом случае имеем
$$
\begin{equation*}
\widehat{h_k}(\mathbf y) =\int_{\mathbb R^n_+} X_{B_k}(\mathbf u) \overline{\chi(\mathbf y,\mathbf u)}\chi(\mathbf x,\mathbf u)\,d\mathbf u =\int_{B_k}\chi(\mathbf x\ominus \mathbf y,\mathbf u)\,d\mathbf u=\Delta_k(\mathbf x\ominus \mathbf y).
\end{equation*}
\notag
$$
Во втором случае в силу (3.1) находим, что $\widehat{h_k}(\mathbf y)=X_{B_k}(\mathbf y)\overline{\chi(\mathbf x,\mathbf y)}$. Так как в обоих случаях функции $h_k$ и $ \widehat{h_k}$ ограничены и имеют компактный носитель, они удовлетворяют условиям теоремы 2. Применяя эту теорему, при $q \geqslant 2$ получаем
$$
\begin{equation*}
\int_{B_k} F(f)(\mathbf u)\chi(\mathbf x,\mathbf u)\,d\mathbf u =\lim_{j \to \infty} \int_{B_j} f(\mathbf v)\Delta_k(\mathbf x\ominus\mathbf v)\,d\mathbf v=f*\Delta_k(\mathbf x).
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично доказательству теоремы 1 заключаем, что правая часть последнего равенства сходится п.в. к $f(\mathbf x)$. При $1 < q < 2$ также по теореме 2 имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \int_{\mathbb R^n_+}F(f)(\mathbf u)\widehat{h_k}(\mathbf 0\ominus \mathbf u)\,d\mathbf u &= \int_{B_k} F(f)(\mathbf u) \overline{\chi(\mathbf x,\mathbf 0\ominus \mathbf u)} \,d\mathbf u \\ &=\lim_{j \to \infty} \int_{B_j} f(\mathbf v)\Delta_k(\mathbf x\ominus\mathbf v)\,d\mathbf v, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
и доказательство завершается так же, как и выше. Следствие 2. Пусть $1 < q \leqslant 2$ и $f \in L^q(\mathbb R^n_+)$. Тогда Доказательство. По определению $\lim_{k\to+\infty}\|\widehat{f}-F_k(f)\|_{q'}=$ для $f \in L^q(\mathbb R^n_+)$, $1 < q \leqslant 2$, т.е. $f \in \mathrm{GL}^{q'}(\mathbb R^n_+)$. Поэтому результат а) вытекает из теоремы 3. С другой стороны, в силу (3.3) для $f \in \mathrm{GL}^{q'}(\mathbb R^n_+)$ находим, что
$$
\begin{equation*}
F_k(\widehat{f})(\mathbf 0\ominus\mathbf x)=\int_{B_k} \widehat{f}(\mathbf u) \overline{\chi(\mathbf 0\ominus\mathbf x,\mathbf u)}\,d\mathbf u =\int_{B_k} \widehat f(\mathbf u) \overline{\chi(\mathbf x,\mathbf 0\ominus\mathbf u)}\,d\mathbf u =f * \Delta_k(\mathbf x).
\end{equation*}
\notag
$$
Из последнего равенства следует утверждение б). 4. Оценки интегрального модуля непрерывностиВ качестве оценки снизу приведем следствие из леммы 4 и определения обобщенной мультипликативной производной. Следствие 3. Пусть $1 < q \leqslant 2$, $\alpha>0$, $f \in L^q(\mathbb R^n_+)$ имеет обобщенную мультипликативную производную $g=D^\alpha_q f \in L^q(\mathbb R^n_+)$. Тогда Следуя Платонову [4], уточним лемму 4 при $q=2$. Теорема 4. Пусть $f \in L^2(\mathbb R^n_+)$. Тогда для всех $k \in \mathbb{Z}_+$ имеем Доказательство. 1) Пусть $f\in L^2(\mathbb R^n_+)$. В силу плотности $L^1(\mathbb R^n_+)$ в $L^2(\mathbb R^n_+)$ равенства (1.3) верны для $f$ и
$$
\begin{equation*}
(\widehat{f-\tau_\mathbf hf})(\mathbf x)=(1-\overline{\chi_p(\mathbf x\cdot\mathbf h)})\widehat{f}(\mathbf x)
\end{equation*}
\notag
$$
в $L^2(\mathbb R^n_+)$. Если $\mathbf x=(x^1,x^2,\dots,x^n)\in B_k$, $\mathbf h=(h^1,h^2,\dots,h^n)\in B_{-k}$, то $x^i\in B_k(0)$, $h^i\in B_{-k}(0)$ и согласно [1; § 1.5, теорема 1.5.4] верно равенство $\chi(x^i,h^i)=1$ при всех $1\leqslant i\leqslant n$, т.е. $\chi(\mathbf x,\mathbf h)=1$.
Далее,
$$
\begin{equation*}
|1-\overline{\chi(\mathbf x,\mathbf h)}|^2=2-2\operatorname{Re}\chi(\mathbf x,\mathbf h),
\end{equation*}
\notag
$$
и по теореме Планшереля (см. [2])
$$
\begin{equation}
\int_{B_{-k}} \|f-\tau_\mathbf h f\|_2^2\,d\mathbf h=\int_{B_{-k}} \int_{\mathbb R^n_+ \setminus B_k(\mathbf 0)} (2-2 \operatorname{Re} \chi(\mathbf x,\mathbf h)) |\widehat f(\mathbf x)|^2 \,d\mathbf x\, d\mathbf h.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Согласно (1.5.18) и теореме 1.5.3 из [1; § 1.5] при $x^i\in\mathbb R_+\setminus B_k(0)$ и $k\geqslant 0$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{B_{-k}(0)}\chi(x^i,h^i)\,dh^i &=\int_{B_{-k}(0)}\chi([x^i],\{h^i\})\chi(\{x^i\},[h^i])\,dh^i \\ &=\int_{B_{-k}(0)}\chi([x^i],\{h^i\})\,dh^i=0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда при $\mathbf x\in \mathbb R^n_+ \setminus B_k(\mathbf 0)$, $h\in B_{-k}(\mathbf 0)$ вытекает равенство
$$
\begin{equation*}
\int_{B_{-k}(\mathbf 0)}\chi(\mathbf x,\mathbf h)=\prod^n_{i=1}\int_{B_{-k}(0)}\chi(x^i,h^i)\,dh^i=0,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. правая часть (4.2) равна $2\int_{B_{-k}} \int_{\mathbb R^n_+ \setminus B_k(\mathbf 0)}|\widehat f(\mathbf x)|^2 \,d\mathbf x\,d\mathbf h $. Теперь в силу (4.2) мы имеем неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \omega_k(f)_2 m^{-n}_k &\geqslant \int_{B_{-k}(\mathbf 0)} \|f-\tau_\mathbf h f\|_2^2\,d\mathbf h \\ & =2\int_{B_{-k}} \int_{\mathbb R^n_+ \setminus B_k(\mathbf 0)}|\widehat f(\mathbf x)|^2 \,d\mathbf x\,d\mathbf h =\frac{2}{m^n_k}\int_{\mathbb R^n_+ \setminus B_k(\mathbf 0)}|\widehat f(\mathbf x)|^2\,d\mathbf x, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
откуда следует (4.1).
2) Рассмотрим $\varphi_k(\mathbf x)=X_{B_{-k}}(\mathbf x)$. Тогда $\|\varphi_k\|^2_2=\int_{B_{-k}(\mathbf 0)}1\,dx=m^{-n}_k$ и $\tau_\mathbf h\varphi_k(\mathbf x)=\varphi_k(\mathbf x\ominus \mathbf h)=X_{B_{-k}(\mathbf h)}(\mathbf x)$. Легко видеть, что $B_{-k}(\mathbf 0)$ и $B_{-k}(\mathbf h)$ совпадают при $\mathbf h\in B_{-k}(\mathbf 0)$ и не пересекаются при $\mathbf h\notin B_{-k}(\mathbf 0)$, т.е.
$$
\begin{equation}
\|\varphi_k-\tau_\mathbf h\varphi_k\|^2_2= \begin{cases} 0, &|\mathbf h|_\mathbf P\leqslant m^{-1}_k; \\ 2m^{-n}_k, &|\mathbf h|_\mathbf P> m^{-1}_k; \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
или $\omega^2_j(\varphi_k)_2$ равно нулю при $j\geqslant k$ и равно $2m^{-n}_k$ при $j<k$. С другой стороны, при $j<k$ из (4.3) и (4.4) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\mathbb R^n_+ \setminus B_j(\mathbf 0)}|\widehat f(\mathbf x)|^2 \,d\mathbf x &=\frac{m^n_j}{2}\int_{B_{-j}(\mathbf 0)} \|f-\tau_\mathbf h f\|_2^2 \,d\mathbf h=\frac{m^n_j}{2}\int_{B_{-j}\setminus B_{-k}}2m^{-n}_k\,d\mathbf h \\ &=\frac{m^n_j}{2}\omega_j(\varphi_k)_2(m^{-n}_j-m^{-n}_k) =\frac{1}{2}\omega_j(\varphi_k)_2\biggl(1-\biggl(\frac{m_j}{m_k}\biggr)^n\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из последнего неравенства следует точность (4.1). Теорема 5. Пусть $1 < q \leqslant 2$, $f \in \mathrm{GL}^q(\mathbb R^n_+)$. Тогда $f \in L^{q'}(\mathbb R^n_+)$ и справедливо неравенство Доказательство. По теореме 1 имеем $F(f) \in L^q(\mathbb R^n_+)$, поэтому $F(f)$ имеет мультипликативное преобразование Фурье $g \in L^{q'}(\mathbb R^n_+)$. Применяя следствие 1 и теорему 3, получаем
$$
\begin{equation*}
g(\mathbf 0\ominus \mathbf x)=f(\mathbf x) =\lim_{k \to \infty} \int_{B_k} F(f)(\mathbf u) \chi(\mathbf x,\mathbf u)\,d\mathbf u
\end{equation*}
\notag
$$
п.в. на $\mathbb R^n_+$. Поэтому $f \in L^{q'}(\mathbb R^n_+)$ и $\omega_j(f)_{q'}=\omega_j(g)_{q'}$ для всех $j \in \mathbb{Z}$. Если $\mathbf h \in B_{-j}$, то из (1.3) и из плотности $L^1(\mathbb R^n_+)$ в $L^{q'}(\mathbb R^n_+)$ следует, что
$$
\begin{equation*}
g(\mathbf x\ominus\mathbf h)-g(\mathbf x) =[F(f)(\cdot) (\chi({\cdot, \mathbf h} )- 1)]\widehat{ \vphantom{|}}(\mathbf x),
\end{equation*}
\notag
$$
и в силу неравенства Хаусдорфа–Юнга (1.5)
$$
\begin{equation*}
\|\tau_\mathbf h g-g\|_{q'} \leqslant \biggl(\int_{\mathbb R^n_+}|F(f)(\mathbf x)|^q |\chi(\mathbf x,\mathbf h)-1|^q\,d\mathbf x \biggr)^{1/q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Как отмечалось при доказательстве теоремы 4, для $\mathbf x\in B_j$, $\mathbf h\in B_{-j}$ верно, что $\chi(\mathbf x,\mathbf h)=1$. При $\mathbf x\notin B_j$, $\mathbf h\in B_{-j}$ имеем очевидную оценку $|\chi(\mathbf x,\mathbf h)-1|\leqslant 2$. Окончательно, получаем что и требовалось установить. Неравенство следствия 4 вытекает из леммы 5, неравенства (1.7) и теоремы 5. Следствие 4. Пусть $1 < q \leqslant 2$, $\alpha>0$ и для $f \in \mathrm{GL}^q(\mathbb R^n_+)$ существует $g=D^\alpha_{q'}f$. Тогда Следствие 5 является аналогом теоремы B и теоремы эквивалентности Титчмарша и вытекает из леммы 4 и теоремы 5 при $q=q'=2$. Следствие 5. Пусть $f \in L^2(\mathbb R^n_+)$ и $\{ \omega_j\}_{j=0}^\infty$ убывает к нулю. Тогда $f$ обладает свойством $\omega_j(f)_2=O(\omega_j)$, $j\in \mathbb Z_+$, в том и только том случае, когда Следствие 6. Пусть $f\in L^2(\mathbb R_+)$, $\alpha>0$ и существует $g=D^\alpha_2f$, $\{ \omega_j\}_{j=0}^\infty$ убывает к нулю и обладает свойством Доказательство. Пусть верны условия (4.5) и (4.6). Тогда из следствия 4 при $q=q'=2$ выводим неравенство
$$
\begin{equation*}
\omega_j(g)_2\leqslant C_1\biggl(\sum^\infty_{i=j}m^{2\alpha}_i\omega^2_i\biggr)^{1/2}\leqslant C_2m^\alpha_j\omega_j, \qquad j\in\mathbb Z_+.
\end{equation*}
\notag
$$
Обратно, пусть $\omega_j(g)_2\leqslant C_3m^\alpha_j\omega_j$, $j\in\mathbb Z_+$. Тогда в силу лемм 4 и 5 имеем
$$
\begin{equation*}
C_4\biggl(\sum^\infty_{i=j}m^{2\alpha}_i\omega^2_i(f)_2\biggr)^{1/2}\leqslant\omega_j(g)_2\leqslant C_3m^\alpha_j\omega_j, \qquad j\in\mathbb Z_+,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда $C_4m^\alpha_j\omega_j(f)_2\leqslant C_3m^\alpha_j\omega_j$, т.е. $\omega_j(f)_2=O(\omega_j)$, $ j\in\mathbb Z_+$. Согласно следствию 5 последнее условие равносильно условию (4.5). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Vol24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|