| Математические заметки |
|
|
|
|
|
О скорости сходимости в локальной теореме восстановления для марковского случайного блуждания Г. А. Бакайa a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624030209 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеПусть величины $X_0,X_1,X_2,\dots$ образуют однородную неразложимую цепь Маркова с конечным множеством состояний где $L$ – натуральный параметр. Пусть на том же вероятностном пространстве определены случайные величины $\xi_n$, $n\in\mathbb{N}$, которые при фиксации $\{X_n,\ n\geqslant 0\}$ являются независимыми. Кроме того, для каждого натурального $n$ условное распределение величины $\xi_n$ зависит только от значений $X_n$ и $X_{n-1}$. Формально говоря, для произвольного натурального $n$ для процесса $\{(\xi_{k+1}, X_k)\}_{k\geqslant 0}$ выполнено соотношение
$$
\begin{equation}
\mathsf P\bigl(\xi_n \in A\mid X_{n-1}=i,\,X_{n}=j,\ \xi_{k},\,k\not=n,\ X_r,\, r\not\in \{n-1,n\}\bigr)=F(A, i,j),
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $F(\cdot, i,j)$ – вероятностное распределение при всех $i,j\in\mathcal{L}$. Положим
$$
\begin{equation}
S_0:=0, \qquad S_n:=\sum_{j=1}^{n}\xi_j, \quad n\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Условное распределение величины $\xi_n$ предполагается целочисленным и неотрицательным при всех значениях $X_n$ и $X_{n-1}$, его производящую функцию будем обозначать
$$
\begin{equation}
\phi(z, X_{n-1}, X_{n}):=\mathsf E(z^{\xi_{n}}\mid X_0,X_1,\dots).
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Приведем два примера такого рода последовательностей:
Отметим, что можно перейти от рассматриваемого блуждания, заданного на переходах цепи, к блужданию, заданному на состояниях цепи, если расширить фазовое пространство состояний до множества пар $\{(i,j)\colon i,j\in\mathcal{L}\}$. Положим
$$
\begin{equation}
u_k:=\sum_{n=0}^{+\infty}\mathsf P(S_n=k), \qquad k\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Теория восстановления для такого рода процессов развита в значительной степени; более того, рассматриваются так называемые харрисовские цепи на значительно более общих пространствах состояний, нежели рассматриваемый нами случай конечного множества состояний [1]–[3]. В указанных работах при различных предположениях доказывается существование предела
$$
\begin{equation}
\lim_{t\to\infty} \sum_{n=0}^{+\infty} \mathsf E_{x} g(X_n, t-S_n) =C\int_{S} \phi(dx)\int_{\mathbb{R}}g(x,s)\,ds.
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
Здесь $\phi$ – стационарное распределение, $S$ – множество состояний цепи, значение $C$ вычисляется явно, $x$ – произвольное начальное состояние. В частности, определенные соотношением (1.5) величины $u_k$ подпадают под такое определение в случае, если функция $g(X_n, t-S_n)$ не зависит от первой переменной, т.е. не зависит от состояния цепи, $t$ принимает только натуральные значения, и для произвольного состояния $i\in\mathcal{L}$ выполнено
$$
\begin{equation*}
g(i, 0)=1, \qquad g(i, r)=0, \quad r\in\mathbb{Z}\setminus \{0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Работа [4] дополняет результаты упомянутых выше работ, исследуя асимптотические разложения суммы в левой части (1.6) в предположении наличия степенных моментов более высокого порядка. В статье доказано, что при некоторых условиях найдутся такие $C, B_0>0, B_1>1$, что справедливо соотношение
$$
\begin{equation*}
|u_k - C| \leqslant B_0B_1^{-k}, \qquad k\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Результат такого рода ранее получен в работе [5] для более общей вложенной цепи Маркова. В указанной работе пространство состояний цепи является счетным и предполагается, что сходимость к инвариантному распределению цепи является равномерной по всем состояниям цепи. Настоящее исследование использует существенно отличающийся подход, который, в частности, позволяет получить явное выражение для параметра $B_1$. Однако само это выражение использует тот факт, что пространство состояний цепи $\{X_n,\, n\geqslant 0\}$ конечно. Работа организована следующим образом. Пункт 2 содержит основные обозначения. Основной результат статьи содержится в п. 3. Доказательства вспомогательных утверждений содержатся в п. 4. 2. Предварительные сведенияВведем набор переходных вероятностей цепи $\{X_i\}_{i\geqslant 0}$ и ее начальное распределение следующим образом:
$$
\begin{equation}
\psi_0 :=\bigl(\mathsf P(X_0=1),\dots, \mathsf P(X_0=L)\bigr), \qquad p_{ij}:=\mathsf P(X_1=j\mid X_0=i), \quad i,j\in\mathcal{L}.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Введем оператор $P(z), z\in\mathbb{C}$, следующим образом:
$$
\begin{equation}
(P(z))_{ij}:=p_{ij}\phi(z, i, j), \qquad i,j\in\mathcal{L},
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где функция $\phi(z, i, j)$ определена ранее соотношением (1.4). Мы будем далее предполагать, что найдется такое $A>1$, что при всех $i,j\in \mathcal{L}$ выполнено соотношение
$$
\begin{equation}
r^n \mathsf P(\xi_1>n\mid X_0=i,\,X_1=j)=o(1), \quad n\to\infty, \qquad \text{при} \quad r\in (0,A).
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Иными словами, для любых $i_0, j_0 \in \mathcal{L}$ функция $\phi(z, i_0, j_0)$ голоморфна в круге радиуса $A$. Из теории однородных цепей Маркова известно, что конечная неразложимая цепь является возвратной, а именно, следующие случайные величины:
$$
\begin{equation}
\tau_0(i):=\min\{k\in\mathbb{N}\cup \{0\}\colon X_k=i\}, \qquad \tau_1(i):=\min\{k>\tau_0(i)\colon X_k=i\},
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
конечны с вероятностью $1$ для любого состояния цепи. Таким образом, корректно определена случайная величина $ S_{\tau_1(i)} - S_{\tau_0(i)}$ – сумма значений величин $\xi$, соответствующих одному циклу по возвращению из состояния $i$ в себя. Мы будем предполагать выполнение следующего условия арифметичности: для некоторого $i\in\mathcal{L}$ выполнено соотношение
$$
\begin{equation}
\mathsf P\bigl(S_{\tau_1(i)} - S_{\tau_0(i)} \in \mathbb{N}\cup \{0\}\bigr)=1, \qquad \mathsf P\bigl(S_{\tau_1(i)} - S_{\tau_0(i)} \in d\mathbb{N}\cup \{0\}\bigr) <1, \quad d=2,3,4,\dots\,.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Для формулировки основного результата работы нам потребуются дополнительные обозначения. Вектор-строку стационарного распределения цепи $\{X_n\}_{n\geqslant 0}$ обозначим следующим образом:
$$
\begin{equation}
\psi:=(\psi(1),\dots, \psi(L)) \colon \qquad \psi P(1)=\psi, \quad \sum_{i=1}^{L}\psi(i)=1.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
В силу неразложимости цепи $\{X_n\}_{n\geqslant 0}$ все координаты $\psi$ положительны. Здесь и далее векторы-строки при умножении на матрицы мы будем писать слева, а векторы-столбцы – справа. Отметим, что из определения $P(z)$ вытекает, что $P(1)$ и есть матрица переходных вероятностей цепи $\{X_n\}_{n\geqslant 0}$ за один шаг. При выполнении условия (2.3) корректно определены величины
$$
\begin{equation}
\mu_{ij}:=\phi'_z(z, i, j)|_{z=1}=\mathsf E(\xi_1\mid X_0=i,\, X_1=j), \qquad \mu:=\sum_{i,j=1}^{L} \psi(i)p_{ij} \mu_{ij}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Отметим, что, следуя нашей нотации (умножении строк слева и столбцов справа), величина $\mu$ допускает такое представление:
$$
\begin{equation*}
\mu=\psi P'(1) \vec{1}, \qquad \vec{1}:=(1,1,\dots, 1)^t.
\end{equation*}
\notag
$$
3. Основные результатыТеорема 1. Пусть последовательность $\{X_n\}_{n\geqslant 0}$ является однородной неразложимой марковской цепью с конечным множеством состояний и начальным распределением $\psi_0$. Пусть величины $S_n$ определены соотношением (1.3) и выполнены соотношения (2.3) и (2.5). Тогда найдутся $B_0>0, B_1>1$ такие, что справедливо соотношение
$$
\begin{equation}
\biggl| u_k - \frac{1}{\mu}\biggr| \leqslant B_0 B_1^{-k}, \qquad k\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Здесь величины $u_k$ определены соотношением (1.5), величина $\mu$ определена соотношением (2.7). Величина $B_1$ может быть выбранной произвольным образом из интервала $(1,R_1)$, где минимум пустого множества равен $+\infty$. Здесь $E$ – единичная матрица размера $L\times L$. Замечание 1. Если функция $\phi(z, i, j)$ не зависит от $i,j$, то случайные величины $\xi_k$, $k\in\mathbb{N}$, являются независимыми и одинаково распределенными (н.о.р.), величина $\mu$ совпадает с $\mathsf E\xi_1$. Утверждение о существовании предела $u_k$ называют локальной теоремой восстановления, доказательство которой принадлежит Колмогорову [6]. Утверждение об экспоненциальной скорости сходимости к своему предельному значению величин $u_k$ при $k\to\infty$ в случае н.о.р. $\xi_k$ с арифметическим распределением доказано в работе [7; теорема 3.4]. В указанной работе доказано соотношение (3.1), и величина $B_1$ может быть выбрана произвольным образом из интервала $(1, \widetilde{R}_1)$, где Здесь $\phi(z)=\phi(z,i,j)$, $i,j\in\mathcal{L}$. Замечание 2. Отметим, что в условиях теоремы 1 нет предположения о непериодичности цепи $\{X_n\}_{n\geqslant 0}$, требуется только ее неразложимость (неприводимость). Соответственно, распределение $\psi$, вообще говоря, не является предельным распределением величин $X_n$ при $n\to\infty$. Если же дополнительно к условиям теоремы цепь $\{X_n\}_{n\geqslant 0}$ является непериодичной, то для величины $\mu$ справедливо соотношение независимо от выбора начального распределения цепи. Доказательство теоремы 1 включает в себя несколько лемм, обоснования которых будут проведены в следующем пункте. В силу леммы 1 для вероятностей $\mathsf P(S_n=k)$ справедливо соотношение
$$
\begin{equation*}
\mathsf P(S_n=k)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=0.5} \frac{\psi_0P^n(z)\vec{1}}{z^{k+1}}\,dz, \qquad k\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь мы воспользовались формулой обращения Коши для выражения коэффициентов степенного ряда; ориентация при интегрировании по контуру общепринятая: Таким образом,
$$
\begin{equation*}
u_k=\sum_{n=0}^{+\infty} \mathsf P(S_n=k)=\frac{1}{2 \pi i} \sum_{n=0}^{+\infty} \int_{|z|=0.5} \frac{\psi_0P^{n}(z)\vec{1}}{z^{k+1}}\,dz.
\end{equation*}
\notag
$$
Справедливо следующее утверждение. Нам потребуется вспомогательное утверждение о спектре оператора $P(z)$. Лемма 3. Пусть выполнены соотношения (2.3) и (2.5) и величина $R_1$ определена соотношением (3.2). Тогда $R_1>1$. Пусть $B_1$ – произвольная величина из интервала $(1,R_1)$. Рассмотрим интеграл
$$
\begin{equation*}
J_{+}:=\frac{1}{2 \pi i}\int_{|z|=B_1} \frac{\psi_0(E-P(z))^{-1}\vec{1}}{z^{k+1}}\,dz.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что при любом $k\in\mathbb{N}$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
|J_{+}| \leqslant \sup_{|z|=B_1} |\psi_0(E-P(z))^{-1}\vec{1}| B_1^{-k}=: B_0B_1^{-k},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
|J_{+}|=|(J_{+} - J_{-}) + J_{-}|= |(J_{+} - J_{-}) + u_k| \leqslant B_0B_1^{-k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство теоремы завершает вспомогательное утверждение, доказательство которого проведем позднее. Лемма 4. Пусть $B_1\in (1, R_1)$ и величина $\mu$ определена соотношением (2.7). Тогда Теорема доказана. Замечание 3. Доказательство теоремы 1 позволяет получить результат теоремы 3.4 работы [7]. Как утверждалось выше, случай н.о.р. $\xi_k$, $k\in\mathbb{N}$, реализуется, если $\phi(z, i, j)$ не зависит от $i,j$. Обозначим $\phi(z)=\phi(z,i,j)$. Заметим, что $P(z)=\phi(z)P(1)$, откуда при любом $n\geqslant 0$ справедливо соотношение Таким образом, выражения для $J_-$ и $J_+$ значительно упрощаются:
$$
\begin{equation*}
J_-=\frac{1}{2 \pi i}\int_{|z|=0.5} \frac{1}{(1-\phi(z))z^{k+1}}\,dz, \qquad J_+=\frac{1}{2 \pi i}\int_{|z|=B_1} \frac{1}{(1-\phi(z))z^{k+1}}\,dz.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $B_1$ принадлежит интервалу $(1, \widetilde{R}_1)$, где, как и прежде, то $J_+-J_-=-1/\phi'(1)=-1/\mu$ и для произвольного натурального $k$ справедливо неравенство 4. Доказательство вспомогательных утверждений Доказательство леммы 1. Напомним, $S_n=\sum_{i=1}^n\xi_i$, причем случайные величины $\xi_1,\dots,\xi_n$ условно независимы при условии цепи (см. соотношение (1.2)). Таким образом, при каждом натуральном $n$ справедливо соотношение:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathsf Ez^{S_n} &=\mathsf E \biggl( \mathsf E \biggl(\prod_{j=1}^{n}z^{\xi_j}\biggm| X_0,\dots, X_n\biggl)\biggr) =\mathsf E\biggl(\prod_{j=1}^{n} \mathsf E(z^{\xi_j}\mid X_0,\dots, X_n)\biggr) \\ &=\mathsf E\biggl(\prod_{j=1}^{n} \phi(z, X_{j-1}, X_j)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для завершения доказательства остается заметить, что
$$
\begin{equation*}
\mathsf E\biggl(\prod_{j=1}^{n} \phi(z, X_{j-1}, X_j)\biggr) =\sum_{i_0,\dots,i_n=1}^L \psi_0(i_0) \biggl(\prod_{j=1}^{n} p_{i_{j-1}i_{j}}\phi(z, i_{j-1}, i_j)\biggr)= \psi_0P^n(z)\vec{1}
\end{equation*}
\notag
$$
в силу определения оператора $P(z)$ (см. соотношение (2.2)). Доказательство леммы 2. Введем спектральный радиус оператора $P(z)$ следующим образом: В силу теоремы Гельфонда для величины $r(z)$ справедливо соотношение для любой операторной нормы. Покажем, что выполнено соотношение
Выберем в качестве операторной нормы норму пространства $\ell^1$, а именно
$$
\begin{equation*}
\|P(z)\|_1:=\sup_{i}\biggl(\sum_{j=1}^{L} |(P(z))_{ij}|\biggr) =\sup_{i}\biggl(\sum_{j=1}^{L} |p_{ij}\phi(z, i, j)|\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, оператор $P(z)$ был определен соотношением (2.2). Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\|P(z)\|_1\leqslant \|P(|z|)\|_1, \qquad \|P(0.5)\|_1\leqslant\|P(1)\|_1=1,
\end{equation*}
\notag
$$
так как функции $\phi(z, i, j)$ являются степенными рядами с неотрицательными коэффициентами. Отсюда $r(z)\leqslant r(|z|)$, следовательно, Для доказательства соотношения (4.1) достаточно теперь применить теорему 4.3 работы [8].
Таким образом, величина $r(0.5)$ меньше единицы. Отсюда вытекает, что ряд сходится равномерно по $z$ таким, что $|z|=0.5$, в силу оценки следовательно, Остается заметить, что Лемма доказана. Доказательство леммы 3. Рассмотрим функцию Известно, что оператор $E-P(z)$ не обратим при тех и только тех $z$, что $D(z)=0$. Положим
В первой части доказательства леммы мы покажем, что при $z\in K_1$ оператор $E-P(z)$ обратим. Предположим противное. Тогда найдется вектор $\vec{f}$ и $z_{0}\in K_1$ такие, что Лемма 5. Пусть выполнено (4.2). Тогда все координаты вектора $\vec{f}$ ненулевые. Лемма 6. Пусть выполнено (4.2). Тогда величины образуют мартингал относительно фильтрации Выберем такое состояние, для которого выполнено условие (2.5). Рассмотрим случай, когда начальное распределение сосредоточено в состоянии $i$, иными словами, $\tau_0(i)=0$ п.н. Тогда в силу теоремы Дуба об остановке для произвольного натурального $n$ справедливо соотношение Последовательность случайных величин $\{Y_{\min(\tau_1(i),n)}\}$ ограничена в силу условия $z_0\in K_1$ и сходится п.н. к случайной величине $Y_{\tau_1(i)}$. Таким образом, в силу теоремы Лебега о мажорируемой сходимости справедливо соотношение
$$
\begin{equation*}
\mathsf E Y_{\tau_1(i)}=f(i)=\mathsf E z_0^{S_{\tau_1(i)}}f(i).
\end{equation*}
\notag
$$
Значение $f(i)$ отлично от нуля в силу леммы 5, откуда $\mathsf E z_0^{S_{\tau_1(i)}}=1$, что противоречит условию (2.5), если $z_0\in K_1$. Случай $\tau_0(i)\not=0$ сводится к предыдущему, поскольку распределение процесса
$$
\begin{equation*}
\{(X_{\tau_0(i)+k},\,\xi_{\tau_0(i)+k+1})\}_{k\geqslant 0}
\end{equation*}
\notag
$$
совпадает с распределением процесса $\{(X_{k}, \xi_{k+1})\}_{k\geqslant 0}$, где $X_0=i$ п.н. Следовательно, $\mathsf Ez_0^{S_{\tau_1(i)}}=\mathsf Ez_0^{S_{\tau_0(i)}}$. Остается заметить, что
$$
\begin{equation*}
\mathsf Ez_0^{S_{\tau_1(i)}}=\mathsf Ez_0^{S_{\tau_0(i)}} \mathsf Ez_0^{S_{\tau_1(i)}-S_{\tau_0(i)} }.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы показали, что функция $D(z)=\operatorname{det}(P(z)-E)$ не обращается в нуль при $z_0\in K_1$. Для завершения доказательства леммы остается заметить, что в силу условия (2.3) функция $D(z)$ является голоморфной в круге $|z|<A$, следовательно, множество ее нулей дискретно. Таким образом, найдется такое $\varepsilon\in (0, A-1)$, что
$$
\begin{equation*}
D(z)\not=0 \qquad \text{при}\quad z\in \{z\in \mathbb{C}\colon |z|\leqslant 1+\varepsilon\} \setminus \{1\},
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно, величина $R_1$, определенная соотношением (3.2), больше единицы. Лемма доказана. Доказательство леммы 4. Введем для краткости оператор
$$
\begin{equation*}
G(z):=(E-P(z))^{-1}, \qquad |z|\leqslant B_1, \quad z\not=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно видеть, что $J_{+} - J_{-}$ является интегралом от функции по границе кольца причем в силу леммы 3 функция $U(z)$ голоморфна в области Таким образом, для доказательства леммы достаточно показать, что точка $1$ является полюсом для функции $U(z)$ и вычет равен $(-1/\mu)$.
Заметим, что оператор $G(z)$ в окрестности точки $1$ допускает представление при некотором натуральном $k$, поскольку $D(z)=\operatorname{det}(P(z)-E)$ обращается в нуль в точке 1 и кратность корня конечна (в противном случае $D(z)\equiv 0 $ в окрестности 1). Здесь и далее под пределом матриц будем понимать поэлементную сходимость.В силу определения $G(z)$ справедливы тождества В окрестности точки $1$ для оператора $P(z)$ справедливо разложение в ряд Тейлора где $(P'(1))_{ij}=\mu_{ij}$, величины $\mu_{ij}$ определены ранее соотношением (2.7). Подставим разложения $P(z)$ и $G(z)$ в соотношение (4.4) и приравняем соответствующие степени. Получим Это означает, что для некоторого $C\not=0$
$$
\begin{equation}
\psi_0 G_{-k}=C \psi, \qquad G_{-k}\vec{1}=C \vec{1},
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
так как геометрическая кратность с.з. $1$ равна $1$ для матрицы $P(1)$. Напомним, вектор $\psi$ определен соотношением (2.6). Предположим, что $k>1$. Тогда справедливо соотношение следовательно,
$$
\begin{equation*}
\psi G_{-k+1} \vec{1}= \psi P(1)G_{-k+1}\vec{1} + \psi P'(1)G_{-k} \vec{1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, принимая во внимание соотношение $\psi P(1)=\psi$, получаем
$$
\begin{equation*}
\psi P'(1)G_{-k} \vec{1}=C \psi P'(1) \vec{1}=C \mu=0,
\end{equation*}
\notag
$$
что невозможно, так как величина $\mu$, определенная соотношением (2.7), отлична от нуля. Отсюда вытекает, что $k=1$, следовательно,
$$
\begin{equation*}
G_{0}=E+ P(1)G_{0} + P'(1)G_{-1}= E+ G_{0}P(1) + G_{-1}P'(1).
\end{equation*}
\notag
$$
Принимая во внимание (4.5), получаем, что Таким образом, $C\mu + 1=0$, откуда $C=-1/\mu$. Следовательно, вычет функции $U(z)=\psi_0 G(z) \vec{1}/z^{k+1}$ в точке $z=1$ равен $-1/\mu$, откуда в силу теоремы Коши о вычетах Лемма доказана. Доказательство леммы 5. Пусть для некоторого $z_0\in K_1$ Здесь, как и прежде,
$$
\begin{equation*}
K_1=\{z\in\mathbb{C}\colon |z|\leqslant 1\}\setminus \{1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что в таком случае вектор-столбец из модулей координат $\vec{f}$ является собственным для матрицы $P(1)$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{j=1}^{L}(P(z_0))_{ij} f(j)=f(i), \qquad i\in\mathcal{L},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда при каждом $i\in\mathcal{L}$ получаем
$$
\begin{equation*}
|f(i)| \leqslant \sum_{j=1}^{L}|(P(z_0))_{ij}|\,|f(j)| .
\end{equation*}
\notag
$$
При этом из определения $P(z)$ (см. соотношение (2.2)) вытекает, что $|(P(z_0))_{ij}| \leqslant (P(1))_{ij}$ при всех $i,j\in\mathcal{L}$ и $z_0\in K_1$. Следовательно, Предположим, что для некоторого $i_0\in\mathcal{L}$ нестрогое неравенство (4.6) становится строгим. Тогда
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{L} \psi(i) |f(i)| < \sum_{i=1}^{L} \psi(i) \sum_{j=1}^{L}(P(1))_{ij} |f(j)|=\sum_{j=1}^{L} |f(j)| \sum_{i=1}^{L}\psi(i)(P(1))_{ij}=\sum_{j=1}^{L} \psi(j) |f(j)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Получили противоречие, следовательно, все нестрогие неравенства (4.6) являются равенствами. Следовательно, вектор из модулей координат $\vec{f}$ является собственным вектором матрицы $P(1)$ с собственным значением $1$. В то же время корневое подпространство, соответствующее с.з. $1$, является одномерным, поскольку $P(1)$ является матрицей переходных вероятностей неразложимой цепи Маркова с конечным множеством состояний. Следовательно, найдется такое положительное $c_0$, при котором справедливо $c_0|f(i)|=1$, что и завершает доказательство леммы. Доказательство леммы 6. При $z_0\in K_1$ $|z_0|$ не превосходит единицы, откуда следует абсолютная интегрируемость случайных величин $Y_n=z_0^{S_n}f(X_n)$ при каждом натуральном $n\in\mathbb{N}$. Измеримость $Y_n$ относительно $\mathcal{F}_n$ очевидна.
Покажем, что при каждом натуральном $n\in\mathbb{N}$ справедливо соотношение
$$
\begin{equation}
\mathsf E(Y_n\mid \mathcal{F}_{n-1})=Y_{n-1}, \qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
При каждом натуральном $n$ случайная величина $S_{n-1}$ измерима относительно $\mathcal{F}_{n-1}$, откуда
$$
\begin{equation*}
\mathsf E(Y_n\mid\mathcal{F}_{n-1})=z_0^{S_{n-1}}\mathsf E \bigl(z_0^{\xi_n}f(X_n)\mid\mathcal{F}_{n-1}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для доказательства соотношения (4.7) достаточно доказать, что
$$
\begin{equation}
\mathsf E \bigl(z_0^{\xi_n}f(X_n)\mid\mathcal{F}_{n-1}\bigr)=f(X_{n-1}), \qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Заметим, что в силу соотношения (1.2)
$$
\begin{equation*}
\mathsf E \bigl(z_0^{\xi_n}f(X_n)\mid\mathcal{F}_{n-1}\bigr)= \mathsf E \bigl(z_0^{\xi_n}f(X_n)\mid X_{n-1}\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
причем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\mathsf E\bigl(z_0^{\xi_n}f(X_n)\mid X_{n-1}\bigr)= \mathsf E\bigl(\mathsf E(z_0^{\xi_n}f(X_n)\mid X_{n-1}, X_{n})\mid X_{n-1}\bigr) \\ &\qquad =\mathsf E \bigl(f(X_n)\mathsf E(z_0^{\xi_n}\mid X_{n-1}, X_{n})\mid X_{n-1}\bigr) =\mathsf E\bigl(f(X_n)\phi(z_0, X_{n-1}, X_n)\mid X_{n-1}\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
При последнем переходе мы воспользовались определением функции $\phi$ (см. соотношение (1.4)).
Таким образом, если $X_{n-1}=i$ и справедливо соотношение (4.2), то правая часть (4.9) равна
$$
\begin{equation*}
\sum_{j=1}^{L} \mathsf P(X_n=j\mid X_{n-1}=i) \phi(z_0, i, j) f(j) = \sum_{j=1}^{L} p_{ij} \phi(z_0, i, j) f(j)=f(i).
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее соотношение доказывает справедливость соотношения (4.8), из чего следует (4.7). Лемма доказана. Автор благодарит своего научного руководителя А. В. Шкляева за ценные замечания по форме работы. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bak24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|