| Математические заметки |
|
|
|
|
|
О вложениях в классе частично коммутативных нильпотентных групп А. Л. Евтягин, В. А. Романьков Омский филиал Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624070204 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеИсследуется возможность изоморфного вложения одной группы в другую в классе конечно порожденных частично коммутативных нильпотентных групп данной ступени. Настоящая статья дополняет результаты, полученные вторым автором в [1], где, в частности, представлен алгоритм, определяющий возможность изоморфного вложения свободной нильпотентной группы произвольной ступени $l$ в конечно порожденную частично коммутативную нильпотентную группу ступени $l$. В данной работе приводится алгоритм, определяющий возможность вложения одной частично коммутативной нильпотентной группы ступени $2$ в другую. Также представляется алгоритм, определяющий возможность изоморфного вложения частично коммутативной нильпотентной группы произвольной ступени $l$ относительно графа ненулевого радиуса в свободную нильпотентную группу ступени $l$. Среди классов групп, определение которых связано со структурой простых графов, выделяется класс частично коммутативных групп. Эти группы, которые также называются прямоугольными группами Артина и графовыми группами, имеют приложения как в математике, так и в компьютерных науках. Выявлено много свойств топологического и алгебраического характера, составляющих их богатую теорию; см. по этому поводу обзорные статьи [2], [3]. В последнее время внимание исследователей привлекают также частично коммутативные группы в многообразиях, в основном разрешимых и нильпотентных. Приведем необходимые определения. Пусть $\Gamma=\langle X; E\rangle $ обозначает простой граф с множеством вершин $V(\Gamma )=X=\{x_1,\dots,x_n\}$ и множеством ребер $E\subseteq X\times X$. Частично коммутативная группа $F(\Gamma )$ определяется следующим представлением через порождающие элементы и определяющие соотношения:
$$
\begin{equation}
\bigl\langle X\colon xy=yx,\, \{x, y\}\in E \bigr\rangle.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
По данному многообразию групп $\mathfrak{W}$ и графу $\Gamma=\langle X; E\rangle$ определяется частично коммутативная группа $F(\Gamma; \mathfrak{W})$, которая задается следующим представлением:
$$
\begin{equation}
\bigl\langle X\colon xy=yx,\, \{x, y\} \in E;\, I(\mathfrak{W}) \bigr\rangle,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $I(\mathfrak{W})$ обозначает множество тождеств многообразия $\mathfrak{W}$. Большое внимание уделяется многообразиям $\mathfrak{N}_l$, $l\in \mathbb{N}$, всех нильпотентных групп ступени не больше чем $l$. Впервые группы вида $F(\Gamma; \mathfrak{N}_2)$ появились в работе Дромса [4], где были использованы для доказательства того, что изоморфизм групп $F(\Gamma )$ и $F(\Delta )$, где графы $\Gamma$ и $\Delta$ имеют общее множество вершин, влечет изоморфизм этих графов. А именно, вначале Дромс установил аналогичное утверждение для групп $F(\Gamma; \mathfrak{N}_2)$ и $F(\Delta; \mathfrak{N}_2)$, а затем перенес его на исходные группы – их естественные накрывающие. Впоследствии частично коммутативные группы многообразий стали изучаться как самостоятельный объект. Относительно нормальных форм элементов частично коммутативных нильпотентных групп см. работу Тимошенко [5]. Далее в работе коммутатор двух элементов группы понимается как Простые коммутаторы определяются индуктивно, как
$$
\begin{equation*}
[g_1, g_2,\dots,g_{i+1}]=\bigl[[g_1, g_2,\dots, g_{i}], g_{i+1}\bigr].
\end{equation*}
\notag
$$
Через $G'$ обозначается коммутант группы $G$. Нижний центральный ряд $G=\gamma_1(G) \geqslant \gamma_2(G) \geqslant \dots \geqslant \gamma_i(G)\geqslant \dotsb $ группы $G$ определяется индуктивно формулой $\gamma_{i+1}(G)=[\gamma_i(G), G]$. Через $\mathbb{Z}$ обозначается множество целых, а через $\mathbb{Q}$ – множество рациональных чисел.
2. Предварительные результатыВ [6] Мальцев доказал, что множество элементов $\{z_{\xi},\,\xi \in \Xi \}$ порождает в свободной нильпотентной группе $N_{r,l}$ ранга $r$ ступени $l$ свободную нильпотентную подгруппу той же ступени $l$, для которой оно является множеством свободных порождающих, тогда и только тогда, когда образы этих элементов линейно независимы в абелизации (факторе по коммутанту) $N_{r,l}/N_{r,l}'$. Мальцевские базы. Пусть $G$ – конечно порожденная нильпотентная группа без кручения. Тогда в ней существует центральный нормальный ряд с бесконечными циклическими факторами Возьмем элементы $a_i\in G_i$ такие, что $G_{i}=\operatorname{gp}(a_i, G_{i+1})$, $i=1,\dots,s$. Следующее определение содержится, например, в [7].Определение 1. Упорядоченный набор элементов $\overline{a}=(a_1,\dots,a_s)$ называется мальцевской базой группы $G$, соответствующей ряду (2.1). Произвольный элемент $g\in G$ однозначно представляется в виде
$$
\begin{equation}
g=\prod_{i=1}^sa_i^{\alpha_i}, \qquad \alpha_i\in \mathbb{Z},
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где множители расположены в указанном порядке. Операции умножения и возведения в степень элементов группы $G$ осуществляются через полиномиальные функции с коэффициентами из $\mathbb{Q}$. А именно, существуют такие функции $F_i\colon \mathbb{Z}^s \oplus\mathbb{Z}^s \to \mathbb{Z}$ и $K_i\colon \mathbb{Z}^s \oplus \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$, для которых
$$
\begin{equation}
\biggl(\prod_{i=1}^sa_i^{\alpha_i}\biggr) \biggl(\prod_{i=1}^sa_i^{\beta_i}\biggr) =\prod_{i=1}^sa_i^{F_i(\alpha_1,\dots,\alpha_s; \beta_1,\dots,\beta_s)},
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
$$
\begin{equation}
\biggl(\prod_{i=1}^sa_i^{\alpha_i}\biggr)^{\gamma} =\prod_{i=1}^sa_i^{K_i(\gamma_1,\dots,\gamma_s; \gamma )}.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Функции $F_i$ и $K_i$ называются полиномами Холла. Известно (см., например, [7] или [8]), что факторы верхнего центрального ряда нильпотентной группы без кручения также не имеют кручения. В этом случае центральный ряд с бесконечными циклическими факторами можно выбрать как уплотнение верхнего центрального ряда, взяв в качестве мальцевской базы прообразы базисных элементов факторов как свободных абелевых групп конечного ранга. Как правило, в качестве мальцевской базы свободной нильпотентной группы выбираются простые и сложные коммутаторы от порождающих элементов, называемые базисными коммутаторами. Примером служат базисные коммутаторы Холла [8] группы $N_{r,l}$ с базой $X=\{x_1,\dots,x_r\}$. Они определяются и упорядочиваются следующим образом:
Известно, что частично коммутативные группы многообразия $\mathfrak{N}_l$ не имеют кручения. Более того, факторы нижних центральных рядов этих групп также не имеют кручения (см. [5]). Следовательно, эти факторы являются свободными абелевыми группами конечного ранга. Зафиксировав в каждом факторе базу свободной абелевой группы, мы определяем мальцевскую базу исходной группы как объединение прообразов элементов этих баз. В качестве прообразов берем произведения коммутаторов соответствующего веса. Таким образом, элементы мальцевской базы разбиваются на непересекающиеся подмножества в соответствии с их весами. Такие мальцевские базы будем называть соответствующими уплотнению нижнего центрального ряда. В работе [5] получено описание мальцевской базы произвольной частично коммутативной нильпотентной группы $F(\Gamma, \mathfrak{N}_l)$, соответствующей уплотнению нижнего центрального ряда. Описание этой базы конструктивное, для любого элемента $g$, записанного через порождающие элементы группы, эффективно находится запись вида (2.2). В виду сложности и громоздкости данное описание и процесс записи элемента в соответствующей нормальной форме (2.2) здесь не приводятся. 3. Вложения в классе частично коммутативных нильпотентных групп ступени 2В дальнейшем нам понадобится следующее утверждение из работы [1]. Лемма 1 [1; лемма 1]. Пусть $G$ – конечно порожденная нильпотентная группа без кручения, порожденная элементами $y_1,\dots,y_r$, $\overline{a}=(a_1,\dots,a_s)$ – ее мальцевская база. Пусть $H$ – нильпотентная группа с выделенным набором элементов $g_1,\dots,g_r$ такая, что отображение $ y_i \mapsto g_i$, $i=1,\dots,r$, определяет гомоморфизм $\phi$ группы $G$ в группу $H$. Тогда $\phi $ является вложением в том и только том случае, если набор элементов $\phi (\overline{a})=(\phi (a_1),\dots,\phi (a_s))$ составляет мальцевскую базу образа $\phi (G)$. Пусть $\Gamma=\langle X; E_1\rangle$ и $\Delta=\langle Y; E_2\rangle$– графы с вершинами $X=\{x_1,\dots,x_n\}$ и $Y=\{y_1,\dots,y_m\}$ соответственно, а $F_1=F(\Gamma; \mathfrak{N}_2)$ и $F_2=F(\Delta; \mathfrak{N}_2)$ – определенные по ним частично коммутативные нильпотентные группы ступени $2$. Рассмотрим набор элементов группы $F_1$, записанных в виде с неопределенными показателями степеней из алгебры многочленов $ \Lambda= \mathbb{Z}[\alpha_{1,1}, \dots,\alpha_{m,n}]$, которые могут принимать целые значения, и произвольными элементами $u_j$ из коммутанта $F_1'$. При конкретных значениях параметров так записывается любой набор элементов группы $F_1$. В этих обозначениях справедливаТеорема 1. Существует алгоритм, который определяет, будет ли вложением отображение $\theta\colon F_2 \to F_1$, $\theta (y_i)=g_i$, $i=1,\dots,m$, при некотором выборе параметров $\alpha_{i,j}$. То есть существует ли вложение группы $F_2$ в группу $F_1$. Доказательство. Мальцевская база группы $F_1$ состоит из совокупности базисных элементов $x_1,\dots,x_n$ и всех коммутаторов $[x_i, x_j]$, $i>j$, для которых вершины $x_i$, $x_j$ не смежны в графе $\Gamma$. Аналогично мальцевская база группы $F_2$ состоит из совокупности базисных элементов $y_1,\dots,y_m$ и всех коммутаторов $[y_i, y_j]$, $i>j$, для которых вершины $y_i$, $y_j$ не смежны в графе $\Delta$.
Для того, чтобы отображение $\theta$ определяло гомоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы для любых смежных вершин $y_i$, $y_j$ графа $\Delta$ выполнялось равенство $[\theta (y_i), \theta (y_j)]=[g_i, g_j]=1$. Подставив вместо элементов $g_i$, $g_j$ их выражения по формуле (3.2) и произведя необходимые вычисления, получим равенство
$$
\begin{equation}
[g_i, g_j]=\prod_{(k, t),\, k > t} [x_k, x_t]^{\delta_{k,t}(i,j)},
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где $\delta_{k,t}(i,j)= \alpha_{i,k}\alpha_{j,t}-\alpha_{i,t}\alpha_{j,k}$.
Для смежных вершин $x_k$, $x_t$ соответствующий коммутатор в записи (3.3) равен 1 по определению. Для несмежных вершин $x_k$, $x_t$ необходимо и достаточно, чтобы наборы $(\alpha_{i,k}, \alpha_{i,t})$ и $(\alpha_{j,k}, \alpha_{j,t})$ были коллинеарны, т.е. выполнялось равенство $(\alpha_{j,k}, \alpha_{j,t})=\lambda_{i,j,k,t} (\alpha_{i,k}, \alpha_{i,t})$ для рационального параметра $\lambda_{i,j,k,t}$, либо $(\alpha_{i,k}, \alpha_{i,t})=(0, 0)$. Имеется конечное множество выборов нулевых значений в последнем случае. Остается перебрать каждое из соответствующих некоторому выбору выражений (3.2) и (3.3) с внесением вместо показателей $\alpha_{j,k}$ и $\alpha_{j,t}$ показателей $\lambda_{i,j,k,t}\alpha_{i,k}$ и $\lambda_{i,j,k,t}\alpha_{i,t}$ соответственно. Итак, отображение $\theta$ является гомоморфизмом. Далее, определяем все выборы, при которых наборы показателей степеней элементов $x_1,\dots,x_n$ из (3.2) линейно независимы. Если таких нет, искомого вложения не существует. Затем рассматриваем только те выборы, для которых эти наборы линейно независимы. Это равносильно тому, что в матрице ($\alpha_{i,j}$) число строк $m$ не превышает числа столбцов $n$ и существует ненулевой минор $M_1$ максимального порядка $m\times m$. Остается определить, будут ли хотя бы при одном оставшемся выборе линейно независимыми наборы показателей степеней коммутаторов $[x_k, x_t]^{\delta{k,t}(i,j)}$ для всех несмежных пар вершин $y_i$, $y_j$. Из этих наборов составим матрицу $A$. Если в ней строк больше, чем столбцов, то они линейно зависимы и рассматриваемое отображение не является вложением. Считаем, что строк в матрице $A$ не больше, чем столбцов. Вычислим все максимальные миноры матрицы $A$. Если хотя бы один из них (пусть это будет $M_2$) не равен $0$, данные наборы линейно независимы. Тогда существует специализация кольца $\Lambda$ в $\mathbb{Z}$, для которой образы соответствующих миноров $M_1$ и $M_2$ также ненулевые, что сохраняет связанные с ними линейные независимости. Значит, рассматриваемый гомоморфизм по лемме 1 является вложением. Если при любом выборе ненулевого минора $M_2$ не существует, то искомого вложения также не существует. 4. Вложение частично коммутативных нильпотентных групп произвольной ступени $l$ в свободные нильпотентные группы ступени $l$Так как случай $l=1$ очевиден, считаем, что $l\geqslant 2$. Через $N_{r,l}^{\mathbb{Q}}$ обозначим пополнение свободной нильпотентной группы $N_{r,l}$. Пополнения членов нижнего центрального ряда группы $N_{r,l}$ совпадают с соответствующими членами нижнего центрального ряда группы $N_{r,l}^{\mathbb{Q}}$. Центр группы $N_{r,l}^{\mathbb{Q}}$ совпадает с $\gamma_l(N_{r,l})^{\mathbb{Q}}$ (см. [6]). Мальцевская база $a_1,\dots,a_s$ группы $N_{r,l}$ позволяет однозначно записывать элементы группы $N_{r,l}^{\mathbb{Q}}$ в виде
$$
\begin{equation}
g=\prod_{i=1}^sa_i^{\alpha_i}, \qquad \alpha_i\in \mathbb{Q}.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Следующее утверждение имеет самостоятельное значение, так как полностью описывает централизаторы элементов группы $N_{r,l}^{\mathbb{Q}}$, не принадлежащих коммутанту $(N_{r,l}^{\mathbb{Q}})'$. Предложение 1. Пусть $g \in N_{r,l}^{\mathbb{Q}}\setminus (N_{r,l}^{\mathbb{Q}})'$. Тогда элемент $f\in N_{r,l}^{\mathbb{Q}}$ коммутирует с $g$, если только он является рациональной степенью $g$ по модулю $\gamma_l(N_{r,l})^{\mathbb{Q}}$. Это условие равносильно утверждению, что элементы $g$ и $f$ являются рациональными степенями одного и того же элемента $h$ по модулю $\gamma_l(N_{r,l})^{\mathbb{Q}}$. Доказательство. Ясно, что элемент вида $g^{\alpha}c$, где $\alpha \in \mathbb{Q}, c \in \gamma_l(N_{r,l}^{\mathbb{Q}})$ коммутирует с $g$. Докажем обратное. Предположим сначала, что $f \not\in (N_{r,l}^{\mathbb{Q}})'$. Так как элементы $g$ и $f$ перестановочны по модулю $\gamma_3(N_{r,l}^{\mathbb{Q}})$, существует $\alpha \in \mathbb{Q}$, для которого $f \equiv g^{\alpha}\operatorname{mod}(N_{r,l}^{\mathbb{Q}})'$. Элемент $f'=fg^{-\alpha}\in (N_{r,l}^{\mathbb{Q}})'$ также перестановочен с $g$, значит, $[g, f']=1$, т.е. $[g, f']$ принадлежит $\gamma_{l+1}(N_{r,l})^{\mathbb{Q}}$. Элементы $g$ и $f'$ принадлежат разным членам нижнего центрального ряда группы $N_{r,l}^{\mathbb{Q}}$.
По следствию 5.12, (iii) из [9] если в свободной группе $F_r$ ранга $r\geqslant 2$ элемент $u$ принадлежит $\gamma_k(F_r) \setminus \gamma_{k+1}(F_r)$, а $v\in \gamma_t(F_r) \setminus \gamma_{t+1}(F_r)$, причем $k\not=t$, то $[u,v]\in \gamma_{k+t}(F_r) \setminus \gamma_{k+t+1}(F_r)$. Ясно, что аналогичное утверждение справедливо также для свободных нильпотентных групп и их пополнений. Равенство $[g,f']=1$ выполнено только в случае, если $f'\in \gamma_l(N_{r,l}^{\mathbb{Q}})$, что доказывает утверждение при сделанном предположении. Если $f \in (N_{r,l}^{\mathbb{Q}})'$, то мы сразу используем следствие 5.12, (iii) из [9], по которому $f \in \gamma_l(N_{r,l}^{\mathbb{Q}})$. В качестве фигурирующего в формулировке предложения элемента $h$, очевидно, можно взять любую рациональную степень элемента $g$ или элемента $f$. Следствие 1. Для элементов группы $N_{r,l}^{\mathbb{Q}}$, не принадлежащих коммутанту $(N_{r,l}^{\mathbb{Q}})'$, перестановочность является отношением эквивалентности. Известно (см. [5]), что факторы нижнего центрального ряда группы $F(\Gamma; \mathfrak{N}_l)$ не имеют кручения. Тогда существует мальцевская база $b_1,\dots, b_t$ этой группы, приуроченная к ее нижнему центральному ряду. Любой элемент пополнения $F(\Gamma; \mathfrak{N}_l)^{\mathbb{Q}}$ однозначно записывается как
$$
\begin{equation}
g=\prod_{j=1}^tb_j^{\beta_j}, \qquad \beta_j\in \mathbb{Q}.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Умножение и возведение в рациональную степень осуществляются аналогично формулам (2.3) и (2.4) с помощью полиномов Холла, соответствующих записям по мальцевской базе $b_1,\dots,b_t$ группы $F(\Gamma; \mathfrak{N}_l)$ Явный вид мальцевской базы группы $F(\Gamma; \mathfrak{N}_l)$ указан в [5]. Считаем, что группа $N_{r,l}$ имеет базис $x_1,\dots,x_r$. В группе $N_{r,l}^{\mathbb{Q}}$ для любого набора $\overline{\gamma}=(\gamma_1,\dots,\gamma_r) \in \mathbb{Q}^r$ отображение $\mu\colon x_i \to x_i^{\gamma_i}$, $i=1,\dots,r$, продолжается до мономорфизма. Лемма 2. Пусть $N=\operatorname{gp}(y_1,\dots,y_m)$ – конечно порожденная нильпотентная группа. Для любого вложения $\theta\colon N \to N_{r,l}^{\mathbb{Q}}$ существует мономорфизм такой, что $\mu \circ \theta (N) \leqslant N_{r,l}$. Другими словами, если конечно порожденная нильпотентная группа $N$ вложима в пополнение $N_{r,l}^{\mathbb{Q}}$ свободной нильпотентной группы, то она вложима в саму свободную нильпотентную группу $N_{r,l}$. Доказательство. Пусть мальцевская база $a_1,\dots,a_s$ группы $N_{r,l}$ составлена из базисных коммутаторов относительно свободных порождающих $x_1,\dots,x_r$. Запишем элементы $\theta (y_j)$, $j=1,\dots,m$, в стандартном виде (4.1) относительно этой мальцевской базы: Пусть $\lambda_1$ – наименьшее общее кратное знаменателей всех показателей степеней при $x_1,\dots,x_r$. Тогда мономорфизм $\mu_1\colon x_i \to x_i^{\lambda_1}$ переводит эти показатели в целые числа.
Допустим, после применения аналогичных мономорфизмов $\mu_1,\dots,\mu_k$ все показатели степеней в стандартных записях элементов $\mu_k \circ \dots \circ \mu_1(\theta (y_i))$, $i=1,\dots,m$, при базисных коммутаторах веса не больше чем $k$ – целые числа. Пусть $\lambda_{k+1}$ – наименьшее общее кратное знаменателей всех показателей степеней при базисных коммутаторах веса $k+1$. Применим мономорфизм $\mu_{k+1}\colon x_i \to x_i^{\lambda_{k+1}}$. Теперь все показатели степеней в стандартных записях элементов $\mu_{k+1} \circ \dots \circ \mu_1(\theta (y_i))$, $i=1,\dots,m$, при базисных коммутаторах веса не больше чем $k+1$ – целые числа. Искомым является мономорфизм $\mu= \mu_l \circ \dots \circ \mu_1$. Напомним, что эксцентриситетом $\varepsilon (y)$ вершины $y$ графа $\Delta$ называется максимальное расстояние от нее до других вершин графа, т.е. Соответственно радиусом $r(\Delta )$ графа $\Delta$ называется минимальный эксцентриситет его вершин, т.е. Граф $\Delta $ имеет радиус больше единицы тогда и только тогда, когда в нем нет вершин, инцидентных всем другим вершинам. В частности для группы $F(\Delta; \mathfrak{N}_l)$ это означает отсутствие вершин, принадлежащих ее центру.Теорема 2. Существует алгоритм, определяющий возможность вложения $\theta$ конечно порожденной частично коммутативной нильпотентной группы $F(\Delta; \mathfrak{N}_l)$ произвольной ступени $l$ относительно графа $\Delta$ ненулевого радиуса в свободную нильпотентную группу $N_{r,l}$. Доказательство. Пусть $V(\Delta )=\{y_1,\dots,y_m\}$ – порождающие элементы группы $F(\Delta; \mathfrak{N}_l)$, а $X=\{x_1,\dots,x_r\}$ – свободные порождающие группы $N_{r,l}$. Как замечено в лемме 2, достаточно проверить возможность вложения $\theta$ группы $F(\Delta; \mathfrak{N}_l)$ в группу $N_{r,l}^{\mathbb{Q}}$.
Прежде всего, заметим, что образы элементов $y_1,\dots,y_m$ не принадлежат коммутанту $(N_{r,l}^{\mathbb{Q}})'$. Действительно, так как для любой вершины $y_i$ найдется несмежная с ней вершина $y_j$, порождающая с ней подгруппу $\operatorname{gp}(y_i, y_j) \simeq N_{2,l}$, то ее образ $\operatorname{gp}(\theta (y_i), \theta (y_j))$ также должен быть изоморфен группе $N_{2,l}$. По упоминавшейся выше теореме Мальцева элементы $\theta (y_i)$ и $\theta (y_j)$ не могут быть коллинеарными и, тем более, ни один из них не может принадлежать $(N_{r,l})^{\mathbb{Q}})'$. Возьмем в одной из связных компонент графа $\Delta$ вершину $y_i$ и запишем ее образ $\theta (y_i)$ в произвольном виде (4.3) с неопределенными показателями степеней. По следствию 1 другие вершины $y_{j}$ этой связной компоненты должны отображаться в рациональные степени элемента $\theta (y_{i})$, умноженные на произвольные элементы $u_j$ из $\gamma_l(N_{r,l}^{\mathbb{Q}})$. Аналогично определим образы элементов из других связных компонент графа $\Delta$. Так определенное отображение $\theta$ продолжается до гомоморфизма. Очевидно, что в силу предложения 1 любой гомоморфизм записывается в таком виде при определенных значениях параметров. Вычислим образы элементов мальцевской базы $b_1,\dots,b_t$ группы $F(\Delta; \mathfrak{N}_l)$. Представим каждый такой образ элемента веса $i$ в виде произведения степеней базисных коммутаторов веса $i$ группы $N_{r,l}$. Представим эти элементы в виде линейных комбинаций базисных коммутаторов веса $i$ по модулю $\gamma_{i+1}(N_{r,l})$. Такое представление единственно. Показатели степеней при этом (коэффициенты представления) не зависят от элементов $u_j$. Из коэффициентов представлений составим матрицу $A_i$. В ней количество строк должно быть не больше, чем столбцов, иначе искомое вложение не существует, так как образы элементов $\theta (y_1),\dots,\theta (y_m)$ не будут составлять мальцевской базы образа $\theta (F(\Delta; \mathfrak{N}_l))$, что необходимо по лемме 1. Вычислим все максимальные миноры матрицы $A_i$. Если хотя бы один из них не равен $0$, данные векторы линейно независимы. Если для любого $i$ существует так полученный ненулевой минор $M_i$, то существует специализация кольца $\Lambda$, порожденного всеми параметрами, в $ \mathbb{Z}$, для которой образы этих миноров также ненулевые. Значит, по лемме 1 подгруппа $\operatorname{gp}(\theta (y_1),\dots,\theta (y_m))$ изоморфна группе $F(\Delta; \mathfrak{N}_l)$, а отображение $\theta $ является вложением. Если хотя бы для одного $i$ все максимальные миноры нулевые, то любой максимальный минор для этого $i$, полученный гомоморфизмом специализации кольца $\Lambda$, порожденного всеми параметрами, в $\mathbb{Q}$, будет нулевым, следовательно, полученные специализацией векторы линейно зависимы над $\mathbb{Q}$. По лемме 1 и лемме 2 группа $F(\Delta; \mathfrak{N}_l)$ не вложима в $N_{r,l}^{\mathbb{Q}}$, значит, и в $N_{r,l}$. Теорема доказана. Авторы глубоко признательны Е. И. Тимошенко за интерес к работе и существенные замечания. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{EvtRom24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|