| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 5 научных статьях (всего в 5 статьях) Исследование полных свойств колеблемости, вращаемости и блуждаемости дифференциальной системы по первому приближению И. Н. Сергеев Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624030313 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеВажнейшую роль при исследовании качественной картины множества решений дифференциального уравнения, помимо их устойчивости по Ляпунову [1], играют также колебательные свойства. Для изучения таких свойств были введены характеристические частоты [2], которые впоследствии, применительно к дифференциальным системам, постепенно эволюционировали до показателей колеблемости, вращаемости и блуждаемости [3]–[7]. Эти характеристики исследовались в дальнейшем многими авторами (см., например, [8]–[17]). В настоящей работе изучаются совершенно новые (см. доклады [18], [19]) свойства систем, а именно, полные колеблемость, вращаемость, блуждаемость и полные неколеблемость, невращаемость, неблуждаемость, напоминающие весьма отдаленно (по своему замыслу и внешним признакам) свойства устойчивости и соответственно полной неустойчивости [20]. Замечено, что наличие у системы каждого из рассматриваемых колебательных свойств однозначно определяется значением (точнее, даже только знаком) вполне конкретного нижнего или верхнего показателя самой системы. Эти показатели (шарового типа [21]) хорошо приспособлены для исследования свойств нелинейных систем, у которых в отличие от линейных решения вовсе не обязательно оказываются определенными на всей полуоси времени. Основной вопрос настоящей работы, связанный с изучением указанных свойств нелинейной системы, состоит в возможности их исследования по ее первому приближению [22], т.е. по линейной системе в вариациях (по начальному значению) вдоль нулевого решения. В работе перечислены конкретные ситуации, в которых ответ на этот вопрос оказывается положительным (для блуждаемости – всегда, а иногда и для вращаемости). Кроме того, приводятся примеры дифференциальных систем, колебательные свойства которых отчасти не совпадают с соответствующими свойствами их первых приближений. 2. Основные определенияДля области $G$ (содержащей точку $x= 0$) евклидова пространства $\mathbb{R}^n$ при $n>1$ рассмотрим дифференциальную систему вида
$$
\begin{equation}
\dot x=f(t,x), \qquad x\in G, \quad f(t,0)=0, \quad t\in\mathbb{R}_+\equiv[0,+\infty), \quad f,f'_x\in C(\mathbb{R}_+\times G).
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
С системой (2.1) свяжем линейную однородную систему ее первого приближения
$$
\begin{equation}
\dot x=A(t)x\equiv f_\prime(t,x), \qquad t\in\mathbb{R}_+, \quad x\in\mathbb{R}^n, \quad A\equiv f'_x(\cdot,0)\in C(\mathbb{R}_+),
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
причем от малости нелинейной добавки $f(t,x)-A(t)x=o(x)$, $x\to0,$ равномерности по $t\in\mathbb{R}_+$ мы не требуем. Через $x_f(\cdot,x_0)$ обозначаем непродолжаемое решение системы (2.1) с начальным значением $x_f(0,x_0)=x_0\in G,$ а через $S_\delta(f)$ – множество тех из них, у которых начальные значения удовлетворяют условиям $0<|x_0|<\delta.$ Определяемые ниже характеристики системы зарождались постепенно в работах [4]–[7], [21], [22]. Частичный итог им подводит Определение 1. Для описания характеристик блуждаемости, колеблемости и вращаемости системы (2.1) проделаем следующее. 1. Сначала для каждого числа ${t\in\mathbb{R}_{+}}$ и непрерывно дифференцируемой функции $u\colon [0,t]\to\mathbb{R}^n$ зададим неотрицательное значение соответствующего функционала (неопределенное, если функция $u$ определена не на всем отрезке $[0,t]$):
2. Далее, для момента $t\in\mathbb{R}_+$, невырожденного преобразования $L\in\operatorname{Aut}\mathbb{R}^n$ и каждого из функционалов (2.3) зададим также неотрицательные значения нижнего и верхнего функционалов системы (2.1) соответственно равенствами
$$
\begin{equation}
\check{\mathrm{K}}(f,t,L)\equiv \varliminf_{x_0\to0}\mathrm{K}(Lx_{f}(\,\cdot\,,x_0),t), \qquad \hat{\mathrm{K}}(f,t,L)\equiv \varlimsup_{x_0\to0}\mathrm{K}(Lx_{f}(\,\cdot\,,x_0),t).
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
3. Наконец, нижний и верхний показатели блуждаемости, колеблемости и вращаемости системы (2.1) при соответственно зададим формулами
$$
\begin{equation}
\check{\varkappa}(f)\equiv\varliminf_{t\to+\infty} \inf_{L\in\operatorname{Aut}\mathbb{R}^n}\frac1t \check{\mathrm{K}}(f,t,L), \qquad \hat{\varkappa}(f)\equiv \inf_{L\in\operatorname{Aut}\mathbb{R}^n} \varlimsup_{t\to+\infty}\frac1t\hat{\mathrm{K}}(f,t,L).
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Замечание 1. Введенная в определении 1 вращаемость дополнительно характеризуется как ориентированная. Однако известны [5]–[7], [23], [24] и другие разновидности вращаемости, а именно, неориентированная, частотная и плоская, а также поворачиваемость заданного ранга. Аналогично обстоит дело и с колеблемостью, которая в определении 1 связана конкретно с гиперчастотами [4], но на их месте могли бы быть также и другие частоты (Сергеева [16], [25]): нулей, корней и строгих или нестрогих смен знаков. Замечание 2. В работах [21], [22] те же показатели (2.6) дополнительно именуются и обозначаются следующим образом: При описании изучаемых далее (совсем новых [18], [19]) свойств дифференциальной системы на все решения, начинающиеся достаточно близко к нулю, накладываются ограничения в виде их равномерной близости к нулю или, наоборот, отделенности от нуля, но не по норме, а по среднему значению:
При этом указанные усреднения берутся лишь на конечных, пусть и неограниченно растущих, промежутках времени, поскольку для решений нелинейной системы (не исключено даже, что для всех вообще, кроме нулевого) невозможно гарантировать, что они определены на всей временно́й полуоси. Все эти идеи реализует Определение 2. Скажем, что система (2.1) (точнее, ее нулевое решение, о чем мы в дальнейшем более не будем упоминать) обладает: 3. Формулировки утвержденийВ определении 2 все свойства из пп. 1 и 2 соответственно разбиваются на пары взаимно противоположных полных свойств, определяемых одноименными функционалами: блуждаемости и неблуждаемости, колеблемости и неколеблемости, вращаемости и невращаемости. И хотя свойства из каждой такой пары несовместны, они не служат полными логическими отрицаниями друг друга, причем уже в двумерном случае, что и подтверждает Теорема 1. Не существует системы (2.1), обладающей какой-либо парой взаимно противоположных свойств из определения 2, а при $n=2$ существует линейная система (2.1), не обладающая ни одним из этих шести свойств. Наличие у системы какого-либо свойства из определения 2 однозначно задается знаком (в широком смысле) соответствующего показателя системы, как показывает Теорема 2. При каждом $n>1$ полные блуждаемость, колеблемость или вращаемость любой системы (2.1) равносильны соответственно положительности ее нижнего показателя блуждаемости, колеблемости или вращаемости а ее полные неблуждаемость, неколеблемость или невращаемость – равенству нулю ее соответствующего верхнего показателя Как известно [22], нижние показатели колеблемости и вращаемости любой системы оцениваются сверху соответствующими показателями системы ее первого приближения, а показатели блуждаемости каждой системы, причем в двумерном случае – также и ее показатели вращаемости, просто совпадают с соответствующими показателями системы ее первого приближения, т.е. справедлива Теорема 3. При каждом $n>1$ для любой системы (2.1) и системы (2.2) ее первого приближения справедливы соотношения а при $n=2$ – еще и равенства Полные блуждаемость или неблуждаемость исходной системы, а в двумерном случае – еще и ее полные вращаемость и невращаемость, совершенно однозначно устанавливаются также и по системе ее первого приближения, о чем свидетельствует Теорема 4. При каждом $n>1$ полные блуждаемость и неблуждаемость любой системы (2.1) равносильны соответственно положительности нижнего и равенству нулю верхнего показателя блуждаемости системы (2.2) ее первого приближения Благодаря неравенствам (3.3), отдельные свойства колеблемости или вращаемости системы первого приближения переносятся на исходную систему, о чем и говорит Теорема 5. Если линейная система (2.2), служащая системой первого приближения для системы (2.1), не обладает полной колеблемостью или полной вращаемостью, то ею соответственно не обладает также и система (2.1). Некоторые свойства вращаемости системы первого приближения не переносятся, вообще говоря [22], на исходную систему уже в трехмерном случае, а некоторые свойства колеблемости – даже в двумерном, что и демонстрируют Теорема 6. При $n=2$ существует система (2.1), удовлетворяющая соотношениям т.е. не обладающая полной колеблемостью, которой, напротив, обладает линейная система (2.2) ее первого приближения. Теорема 7. При $n=3$ существует автономная система (2.1), удовлетворяющая соотношениям Замечание 3. Возможности исследования полных свойств колеблемости и вращаемости (в отличие от блуждаемости) произвольной системы (2.1) по ее первому приближению (2.2) пока еще не вполне изучены. 4. Доказательства теоремСформулированные выше теоремы докажем в таком порядке: 2, 1, 3–5, 6 и 7. Доказательство теоремы 2. Согласно определению 2 имеем следующие утверждения.
1. Полная блуждаемость, колеблемость или вращаемость системы (2.1) означает, что для соответствующего значения (2.3) при некоторых $\varepsilon>0$ и $T\in\mathbb{R}_{+}$ для каждого $L\in\operatorname{Aut}\mathbb{R}^n$ справедливы оценки (2.7), что равносильно тому, что для некоторого $T\in\mathbb{R}_{+}$ выполнена оценка
$$
\begin{equation*}
0<\inf_{t>T}\inf_{L\in\operatorname{Aut}\mathbb{R}^n}\frac1t \check{\mathrm{K}}(f,t,L),
\end{equation*}
\notag
$$
а это для соответствующего значения (2.5) равносильно неравенству
$$
\begin{equation*}
0<\varliminf_{t\to+\infty}\inf_{L\in\operatorname{Aut}\mathbb{R}^n} \frac1t\check{\mathrm{K}}(f,t,L)\equiv\check{\varkappa}(f).
\end{equation*}
\notag
$$
2. Полная неблуждаемость, неколеблемость или невращаемость системы (2.1) означает, что для соответствующего значения (2.3) и каждого $\varepsilon>0$ при некоторых $T\in\mathbb{R}_{+}$ и $L\in\operatorname{Aut}\mathbb{R}^n$ справедливы оценки (2.8), что равносильно тому, что для каждого $\varepsilon>0$ при некотором $L\in\operatorname{Aut}\mathbb{R}^n$ выполнена оценка
$$
\begin{equation*}
\varepsilon>\varlimsup_{t\to+\infty}\frac1t \hat{\mathrm{K}}(f,t,L),
\end{equation*}
\notag
$$
а это для соответствующего значения (2.5) и каждого $\varepsilon>0$ равносильно неравенству что для последнего показателя $\hat{\varkappa}(f)\geqslant0$ равносильно его равенству нулю. Доказательство теоремы 1. Для системы (2.1) и любого значения (2.3) имеем цепочку соотношений
$$
\begin{equation*}
0\leqslant\check{\varkappa}(f)=\inf_{L\in\operatorname{Aut}\mathbb{R}^n} \varliminf_{t\to+\infty}\inf_{L\in\operatorname{Aut}\mathbb{R}^n} \frac1t\check{\mathrm{K}}(f,t,L)\leqslant\hat{\varkappa}(f)
\end{equation*}
\notag
$$
(с фиктивной нижней гранью впереди), откуда следует нереализуемость цепочки крайние соотношения которой по теореме 2 равносильны выполнению взаимно противоположных свойств из пп. 1 и 2 определения 2 соответственно. Зато на некоторой линейной системе (2.1), записываемой в ортонормированном базисе в виде
$$
\begin{equation}
\dot x=\zeta(t)Ix, \qquad I\equiv\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}, \quad \zeta\in C^1(\mathbb{R}_{+},[0,1]), \quad x\in G\equiv\mathbb{R}^2,
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
сразу при всех значениях (2.5) реализуемы цепочки исключающие выполнение каждого из свойств определения 2. Для реализации этих цепочек достаточно взять
$$
\begin{equation*}
\zeta(t)\equiv \begin{cases} 0, &t=t_0\equiv0, \quad t\in [t_{k-1}+1,t_k], \quad k=2,4,\dots, \\ 1, &t\in [t_{k-1}+1,t_k], \quad k=1,3,\dots, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
подобрав последовательно числа $t_1<t_2<\dotsb$ столь большими, чтобы для всех значений (2.3) при четных и нечетных $k$ соответственно выполнялись условия
$$
\begin{equation*}
\inf_{L\in\operatorname{Aut}\mathbb{R}^n}\inf_{x_0\in\mathbb{R}^n_*} \frac1{t_k}\mathrm{K}(Lx_{f}(\cdot,x_0),t_k)<\frac1k, \qquad \inf_{L\in\operatorname{Aut}\mathbb{R}^n}\sup_{x_0\in\mathbb{R}^n_*} \frac1{t_k}\mathrm{K}(Lx_{f}(\cdot,x_0),t_k)>1-\frac1k,
\end{equation*}
\notag
$$
что возможно, поскольку для системы (4.1) в случае, когда $\zeta(\cdot)\equiv c\geqslant0$, при всех значениях (2.5) имеем $\check{\varkappa}(f)=c=\hat{\varkappa}(f)$. Доказательство теорем 3–5. Справедливость всех утверждений теоремы 3 в несколько иных обозначениях (см. замечание 1) установлена в работе [22] при доказательстве теорем 3 и 4 указанной работы, опирающемся, по сути, на непрерывность различных функционалов $\mathrm{K}(t,u)$ по переменной $u$ при фиксированных $t$ в некритических ситуациях (см. п. 1 в определении 1).
Далее, с помощью теорем 2 и 3 выводятся
Доказательство теоремы 6. Подходящий пример системы (2.1) описан в доказательстве теоремы 6 из работы [22]. Пусть линейная система (2.2) первого приближения, имея правую часть $f_\prime$ вида (4.1) с коэффициентом задает вращения всей фазовой плоскости вокруг точки $x=0$ попеременно то в одну, то в другую сторону, причем в точности на половину полного оборота (за исключением самого первого вращения на четверть оборота), что дает нужные соотношения
$$
\begin{equation*}
t-2\pi\leqslant\check{\mathrm{N}}(f_\prime,t,L)\leqslant t, \quad t>0, \ \ L\in\operatorname{Aut}\mathbb{R}^n, \qquad \check\nu(f_\prime)=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда исходная нелинейная система (2.1) с первым приближением (2.2) и правой частью задает аналогичные вращения, но уже строго меньшие, чем на полоборота (их размеры зависят от величины $|x|>0$), поэтому абсолютно все значения $\check{\mathrm{N}}(f,t,L)$ ее нижнего функционала колеблемости, а с ними и показателя $\check\nu(f)$, равны нулю. Доказательство теоремы 7. Искомый пример линейной системы (2.2) записывается (см. доказательство теоремы 7 [22]) с помощью матрицы $I$ (4.1) в виде Она задает вращение каждой плоскости, параллельной плоскости ${S\equiv\{y=0\}}$, вокруг неподвижной оси $q\equiv\{x=0\}$ с единичной угловой скоростью.
Поэтому для любой фазовой кривой, не лежащей в плоскости $S$, ее проекция уже на прямую $q$ неподвижна и не обнуляется, а проекция на произвольную плоскость $Q\supset q$ лежит строго в одной полуплоскости относительно аналогичной проекции плоскости $S$ (если фазовая кривая лежит в плоскости $S$, то указанные ее проекции дают для функционалов колеблемости и вращаемости критические ситуации). Значит, верхние показатели колеблемости и вращаемости системы (2.2) равны 0. Требуемый пример исходной системы (2.1) (заметно отличающийся от аналогичного примера из работы [22]) с первым приближением (2.2) получается из системы (4.2) заменой, которая переводит переменную $y$ в новую переменную $z$, второе уравнение (4.2) – в новое уравнение с тем же линейным приближением в нуле, а плоскость $S$ – в касающуюся ее в нуле неплоскую поверхность $Z$ по формулам
$$
\begin{equation*}
z=|x|x_1+|x|^2x_2+y, \qquad \dot z=-|x|x_2+|x|^2x_1, \qquad Z\equiv\{z=|x|x_1+|x|^2x_2\}.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом каждая фазовая кривая из семейства прежних окружностей различных радиусов $|x|=c>0$, лежавших в плоскости $S$, теперь будет лежать в плоскости ${z=cx_1+c^2x_2}$ и с убыванием параметра $c$ к 0 будет все более походить на исходную. Следовательно, в результате проектирования кривых нового семейства на любую плоскость $Q\not\supset q$ ее достаточно малая окрестность нуля будет состоять сплошь из эллиптических кривых с центром симметрии в нуле. Этим же свойством будут обладать и проекции кривых из поверхности $Z$ на любую плоскость $Q\supset q$, поскольку критическую ситуацию для нее может дать лишь одна кривая, а именно, соответствующая значению $c=c_Q$, при котором нормаль к плоскости $Q$ задается в плоскости $S$ уравнением $x_1+c_Qx_2=0$. Значит, при условии $|x_0|<c_Q$ эти кривые не приведут к критической ситуации ни функционал вращаемости, ни функционал колеблемости при их проектировании на прямую $q$. Все остальные фазовые кривые системы (2.1) получаются сдвигами вдоль прямой $q$ уже рассмотренных кривых (включая неподвижную точку 0), а значит, при проектировании на различные плоскости $Q$ будут либо также окружать нулевую точку, либо лежать относительно нее строго в одной полуплоскости, либо давать критическую ситуацию для функционала вращаемости. Все это определит и соответствующие свойства их последующего проектирования на различные прямые. Общая качественная картина множества всех рассмотренных проекций практически не изменится под действием различных линейных преобразований $L\in\operatorname{Aut}\mathbb{R}^n$. Поэтому верхние показатели колеблемости и вращаемости системы (2.1) равны 1. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ser24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|