| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О сохраняющих дизъюнктность биаддитивных операторах Н. А. Джусоева Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, г. Владикавказ
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624050079 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеТеория ортогонально аддитивных операторов в упорядоченных пространствах является в настоящее время активно развивающейся областью функционального анализа [1]–[7]. В работе [8] был введен новый класс ортогонально биаддитивных операторов (ОБО), заданных на декартовом произведении векторных решеток $E$ и $F$, принимающих значения в векторной решетке $W$. Первое упоминание ортогонально биаддитивных операторов в функциональных пространствах можно отнести к работе Мизеля и Сандересана [9]. Необходимость изучения данного класса операторов мотивирована потребностями теории нелинейных интегро-дифференциальных уравнений. С каждым ОБО $T\colon E\times F\to W$ ассоциированы два семейства $(T(x,\cdot), x\in E)$ и $(T(\cdot,y), y\in F)$ ортогонально аддитивных операторов из $F$ в $W$ и из $E$ в $W$ соответственно. Учитывая полезность методов абстрактного порядкового анализа в исследовании линейных и ортогонально аддитивных операторов в классических функциональных пространствах [10]–[13], представляется важной разработка общей теории ОБО в векторных решетках для приложения в последующем к анализу классических нелинейных операторов анализа, заданных на произведениях функциональных пространств. Заметим, что недавно разработанные методы латерального анализа ортогонально аддитивных операторов [14], [15] оказались плодотворными и для ОБО. В частности было показано [8; теорема 1], что в случае порядковой полноты векторной решетки $W$ векторное пространство $\mathcal{OBA}_r(E,F;W)$ – всех регулярных ортогонально биаддитивных операторов из $E\times F$ в $W$ является порядково полной векторной решеткой. Этот факт говорит о богатой порядковой структуре пространства $\mathcal{OBA}_r(E,F;W)$ и указывает пути дальнейшего исследования. Определенные результаты в этом направлении представлены в недавно опубликованной статье [16]. В настоящей работе мы затронем в контексте ОБО некоторые аспекты теории операторов, сохраняющих дизъюнктность. Линейные операторы, сохраняющие дизъюнктность (ОСД), привлекают внимание исследователей в течение долгого времени (см. монографии [17], [18] и сопутствующую библиографию). Ортогонально аддитивные ОСД стали изучаться относительно недавно [2], [12], [19]–[21]. Вкратце изложим содержание статьи. В п. 2 и 3 представлены необходимые предварительные сведения о векторных решетках, ортогонально аддитивных и биаддитивных операторах, рассмотрены базовые примеры ОБО. В п. 4 мы вводим специальный класс – ортогонально биаддитивных операторов, коммутирующих с проекторами и показываем, что векторное пространство $\mathfrak{N}(E,F;W)$ таких ОБО является полосой в векторной решетке $\mathcal{OBA}_r(E,F;W)$ (теорема 1). Здесь же устанавливается общий вид оператора порядкового проектирования на эту полосу (теорема 2). Изучение данного класса мотивировано тем, что нелинейные операторы суперпозиции (операторы Немыцкого) от двух функциональных аргументов, естественно возникающие в различных задачах анализа, коммутируют с порядковыми проекторами. В заключительном п. 5 доказывается операторная версия теоремы Радона-Никодима для ОБО (теорема 3), обобщающая более ранние результаты ряда авторов [22]–[25]. 2. Предварительные сведенияВ данном пункте мы приведем необходимые вспомогательные сведения и зафиксируем базовые обозначения. Стандартными источниками для ссылок по теории векторных решеток являются монографии [26], [17], [18]. Все векторные решетки, встречающиеся ниже в тексте, являются архимедовыми. Элементы $x,y$ векторной решетки $E$ называются дизъюнктными (обозначение $x\perp y$), если $|x|\wedge|y|=0$. Отношение дизъюнктности может быть распространено на семейство всех подмножеств $E$. Подмножества $D,L$ векторной решетки $E$ называются дизъюнктными, если
$$
\begin{equation*}
\forall\, x\in D,\ \forall\,y\in L \quad\Longrightarrow\quad x\perp y.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем писать $x=\bigsqcup_{i=1}^{n}x_{i}$, если $x=\sum_{i=1}^{n}x_{i}$ и $x_{i}\perp x_{j}$ для всех $i\neq j$. В частном случае, когда $n=2$, будем писать $x=x_{1}\sqcup x_{2}$. Элемент $y$ называется осколком $x \in E$, (обозначение $y \sqsubseteq x$), если $y\perp(x-y)$. Отношение $\sqsubseteq$ является частичным порядком на векторной решетке $E$, известным в литературе как латеральный порядок [15]. Множество всех осколков элемента $x\in E$ обозначается $\mathfrak{F}_{x}$. Линейное подпространство $I$ векторной решетки $E$ называется порядковым идеалом, если для любых $x\in I$ и $y\in E$ условие $|y|\leqslant |x|$ влечет включение $y\in I$. Будем говорить, что сеть $(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ в $\mathcal{E}$ порядково сходится к $x\in E$, если существует убывающая сеть $(e_{\xi})_{\xi\in\Xi}$ положительных элементов в $E$ такая, что $\inf_{\xi\in\Xi}(e_{\xi})=0$ и для любого индекса $\xi\in\Xi$ существует индекс $\lambda(\xi)\in\Lambda$ такой, что $|x-x_{\lambda}|\leqslant e_{\xi}$ для любых $\lambda\geqslant\lambda(\xi)$. Говорят, что порядковый идеал $I$ векторной решетки $E$ порядково замкнут, если для любой сети $(x_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}$ в $I$ порядково сходящейся к $x\in E$ следует, что $x\in I$. Порядково замкнутый порядковый идеал $I$ векторной решетки $E$ называется полосой. Единичный оператор на векторном пространстве $E$ обозначается $\mathrm{Id}_{E}$. Положительный линейный оператор $\pi\colon E\to E$ называется порядковым проектором, если выполняются следующие условия: Пусть $D\subset E$. Положим по определению
$$
\begin{equation*}
D^{\perp}:=\{x\in E\colon x\perp y,\,\forall y\in D\}, \qquad D^{\perp\perp}:=(D^{\perp})^{\perp}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $D^{\perp}$ является полосой в $E$. Будем говорить, что полоса $L$ в $E$ порождена множеством $D$, если $L=D^{\perp\perp}$. Полоса $\{x\}^{\perp\perp}$, порожденная одним элементом $x\in E$, называется главной. Будем говорить, что полоса $L$ в $E$ допускает порядковый проектор, если существует разложение векторной решетки $E$ в прямую сумму дизъюнктных полос, в силу чего каждый элемент $x\in E$ допускает однозначное представление
$$
\begin{equation*}
x=x_{L}+x_{L^{\perp}}, \qquad\text{где}\quad x_{L}\in L \quad\text{и}\quad x_{L^{\perp}}\in L^{\perp}.
\end{equation*}
\notag
$$
Линейный оператор $\mathfrak{p}_{L}\colon E\to E$, заданный формулой является порядковым проектором в $E$, называемым проектором на полосу $L$. Элементы $x_{L}$ и $x_{L^{\perp}}$ называются проекциями элемента $x$ на взаимно дополняемые полосы $L$ и $L^\perp$ соответственно. Ниже, для экономии обозначений, мы будем писать $\mathfrak{p}$ вместо $\mathfrak{p}_{L}$. Для обозначения проекторов на полосы далее будем использовать греческие и готические буквы $\pi,\sigma,\mathfrak{p}$ и т.д. Множества всех полос векторной решетки $E$ и проекторов на полосы в $E$ будем обозначать $\mathfrak{Br}(E)$ и $\mathfrak{B}(E)$ соответственно. На множестве $\mathfrak{B}(E)$ существует естественный частичный порядок:
$$
\begin{equation*}
\pi\leqslant \sigma \quad\Longleftrightarrow\quad \pi\circ \sigma=\pi, \qquad \pi,\sigma \in \mathfrak{B}(E).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что множество $\mathfrak{B}(\mathcal{E})$ является булевой алгеброй, т.е. дистрибутивной решеткой с дополнением. Роль нулевого элемента выполняет нулевой проектор $0$, а единицы – единичный оператор $\mathrm{Id}_{E}$. Булевы операции имеют следующий вид:
$$
\begin{equation*}
\pi\wedge\sigma= \pi\circ\sigma, \qquad \pi\vee\sigma = \pi+\sigma-\pi\circ\sigma, \qquad \pi^{\perp}= \mathrm{Id}_{\mathcal{E}}-\pi,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\pi,\sigma,\in \mathfrak{B}(E)$. Ясно, что $\pi\circ\sigma=\sigma\circ\pi$ для любых $\pi,\,\sigma\in \mathfrak{B}(E)$. Заметим, что каждая полоса $L$ в порядково полной векторной решетке $E$ допускает порядковый проектор [18; теорема 1.42]. Будем говорить, что $E$ – векторная решетка с проекциями (с проекциями на главные полосы), если каждая полоса (главная полоса) допускает порядковый проектор. Порядковый проектор в $E$ на главную полосу $\{x\}^{\perp\perp}$, порожденную элементом $x\in E$, будем обозначать $\pi_x$. Для векторных решеток $E$ и $F$ через $E\times F$ обозначим их декартово произведение. Заметим, что $E\times F$ является векторной решеткой с относительно поточечного частичного порядка. Опишем это более подробно. Для любых $x,u\in E$ и $y,v\in F$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (x,y)\leqslant (u,v) \quad\Longleftrightarrow\quad x\leqslant u\quad\text{и}\quad y\leqslant v, \\ (x,y)\vee(u,v)=(x\vee u,y\vee v), \qquad (x,y)\wedge(u,v)=(x\wedge u,y\wedge v), \\ |(x,y)|=(|x|,|y|). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Ниже мы приведем некоторые факты теории пространств измеримых функций. Базовыми источниками для ссылок являются монографии [27], [28]. Пусть $(A,\Sigma,\mu)$ – пространство с конечной мерой. Носителем измеримой функции $f\in L_{0}(\mu)$ (обозначение $\operatorname{supp}f$) называется измеримое множество Характеристическая функция множества $D$ обозначается $1_{D}$. Объединение $H\cup D$ непересекающихся (дизъюнктных) множеств $H$ и $D$ обозначается через $H\sqcup D$.Определение 1. Пусть $V$ – векторная решетка и $W$ – векторное пространство. Отображение $S\colon V\to W$ называется ортогонально аддитивным оператором, если $S(x\sqcup y)=Sx+Sy$ для любых дизъюнктных $x,y\in V$. Из определения легко выводится, что $S(0)=0$. Интерес к ортогонально аддитивным операторам вызван тем фактом, что классические нелинейные интегральные операторы Урысона и Гаммерштейна, также как и оператор Немыцкого, действующие в идеальных пространствах измеримых функций, являются ортогонально аддитивными [29]. Пусть $E,F$ – векторные решетки и $W$ – векторное пространство. С отображением $T\colon E\times F\to W$ ассоциированы два семейства частичных отображений $T_x\colon F\to W$, $x\in E$ и $T_y\colon E\to W$, $y\in F$ соответственно, заданных по правилам:
$$
\begin{equation*}
T_x(v):=T(x,v), \quad v\in F; \qquad T_y(u):=T(u,y), \quad u\in E.
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 2. Отображение $T\colon E\times F\to W$ называется ортогонально биаддитивным оператором (OБО), если все частичные отображения $T_x\colon F\to W$, $x\in E$ и $T_y\colon E\to W$, $y\in F$ являются ортогонально аддитивными операторами из $E$ в $W$ и из $F$ в $W$ соответственно. Векторное пространство всех ортогонально биаддитивных операторов из $E\times F$ в $W$ обозначается $\mathcal{OBA}(E,F;W)$. В случае, когда $E=F=W$, будем использовать обозначение $\mathcal{OBA}(E)$ вместо $\mathcal{OBA}(E,E;E)$. Непосредственно из определения следует, что $T(0,y)=T(x,0)=0$ для любых $x\in E$ и $y\in F$. Ортогонально биаддитивные операторы в векторных решетках были введены в работе [8]. 3. Базовые свойства и примеры ортогонально биаддитивных операторовВ этом пункте мы рассмотрим основные примеры ОБО и изучим некоторые их свойства. Предложение 1. Пусть $E=F=W=\mathbb{R}$. Тогда $\mathcal{OBA}(E,F;W)$ совпадает с векторным пространством всех функций $f\colon\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ таких, что $f(0,y)=f(x,0)=0$ для любых $x,y\in\mathbb{R}$. Доказательство. Напомним, что из дизъюнктности $x_1\perp x_2$ двух элементов $\mathbb{R}$ – поля действительных чисел следует, что либо $x_1=0$, либо $x_2=0$. Пусть $f\in \mathcal{OBA}(E,F;W)$. Возьмем пару дизъюнктных элементов $x_1,x_2\in \mathbb{R}$ и некоторый элемент $y\in \mathbb{R}$. Положим, что $x_2=0$. Тогда можем написать Аналогичными рассуждениями устанавливается равенство $f(x,0)=0$. Пример 2. Пусть $E,F$ – векторные решетки, $G\colon E\to \mathbb{R}$ и $R\colon F\to \mathbb{R}$ – ортогонально аддитивные функционалы. Тогда отображение $S\colon E\times F\to \mathbb{R}$, заданное формулой является ортогонально биаддитивным функционалом. Пусть $(A,\Sigma,\mu)$ и $(B,\Xi,\nu)$ – пространства с конечными мерами. Будем говорить, что функция $N\colon A\times B\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ принадлежит классу $\mathcal{N}(A,B)$, если выполняются следующие условия:
Пример 3 [8; предложение 17]. Пусть $N\in \mathcal{N}(A,B)$, $E$ и $F$ – порядковые идеалы $L_{0}(\mu)$ и $L_{0}(\nu)$ – пространств измеримых почти всюду конечных функций на $A$ и $B$ соответственно. Тогда отображение $S_N$, заданное формулой является ортогонально биаддитивным оператором из $E\times F$ в $L_{0}(\mu\otimes\nu)$. Определение 3. Пусть $(C,\Theta,\lambda)$, $(A,\Sigma,\mu)$ и $(B,\Xi,\nu)$ – пространства с конечными мерами. Через $(C\times A\times B,\lambda\otimes\mu\otimes\nu)$ обозначим их произведение. Отображение $K\colon C\times A\times B\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ принадлежит классу $\mathcal{K}$, если выполняются следующие условия: Пример 4 [8; предложение 21]. Пусть $K\colon C\times A\times B\times\mathbb{R}^2$ – функция из класса $\mathcal{K}$, $E$ и $F$ – порядковые идеалы $L_{0}(\mu)$ и $L_{0}(\nu)$ соответственно и $K(p,\cdot,\cdot,f(\cdot),g(\cdot))\in L_{1}(\mu\otimes\nu)$ для любых элементов $f\in E$, $g\in F$ и $\lambda$-почти всех $p\in C$. Тогда отображение $T\colon E\times F\to L_{0}(\lambda)$, заданное формулой будет ортогонально биаддитивным оператором из $E\times F$ в $L_{0}(\lambda)$. Определение 4. Пусть $E,F,W$ – векторные решетки. Ортогонально биаддитивный оператор $T\colon E\times F\to W$ называется: Множества всех положительных, регулярных, порядково ограниченных и осколочно ограниченных ортогонально биаддитивных операторов из $E\times F$ в $W$ обозначается
$$
\begin{equation*}
\mathcal{OBA}_+(E,F;W), \quad \mathcal{OBA}_r(E,F;W), \quad \mathcal{OBA}_{b}(E,F;W) \quad\text{и}\quad \mathcal{OBA}_{cb}(E,F;W)
\end{equation*}
\notag
$$
соответственно. В векторном пространстве $\mathcal{OBA}_r(E,F;W)$ существует естественный частичный порядок, который задается следующим образом:
$$
\begin{equation*}
S\leqslant T \quad \Longleftrightarrow\quad (T-S)\in\mathcal{OBA}_{+}(E,F;W).
\end{equation*}
\notag
$$
В случае порядковой полноты векторной решетки $W$ векторное пространство всех регулярных ОБО обладает следующим замечательным свойством. Лемма 1 [8; теорема 1]. Пусть $E,F$ – векторные решетки, причем решетка $W$ порядково полна. Тогда векторное пространство $\mathcal{OBA}_r(E,F;W)$ является порядково полной векторной решеткой. Определение 5. Пусть $V,W$ – векторные решетки. Ортогонально аддитивный оператор $S\colon V\to W$ сохраняет дизъюнктность, если $Sx\perp Sy$ для любых дизъюнктных $x,y\in V$. Определение 6. Пусть $E,F,W$ – векторные решетки. Будем говорить, что OБO $T\colon E\times F\to W$ сохраняет дизъюнктность, если все частичные операторы $T_x\colon F\to W$, $x\in E$ и $T_y\colon E\to W$, $y\in E$ являются операторами сохраняющими дизъюнктность. Предложение 2. Пусть $E,F,W$ – векторные решетки и $T\colon E\times F\to W$ – ортогонально биаддитивный оператор, сохраняющий дизъюнктность. Тогда существует модуль $|T|$ оператора $T$. Доказательство. Рассмотрим отображение $R\colon E\times F\to W$, заданное формулой Так как $T$ сохраняет дизъюнктность, то пользуясь равенством $|a\sqcup b|=|a|\sqcup|b|$, справедливым для дизъюнктных элементов произвольной векторной решетки, для любых дизъюнктных $x_1,x_2\in E$ и $y\in F$ можем написать Аналогичные формулы верны для любых дизъюнктных $y_1,y_2\in F$ и $x\in E$. Таким образом, $R\colon E\times F\to W$ является сохраняющим дизъюнктность ортогонально биаддитивным положительным оператором. Заметим также, что $T\leqslant R$ и $-T\leqslant R$ в пространстве $\mathcal{OBA}_r(E,F;W)$. Пусть $G\in \mathcal{OBA}_r(E,F;W)$ такой, что $T\leqslant G$ и $-T\leqslant G$. Тогда для любых $(x,y)\in E\times F$ в силу чего $R=|T|$. Замечание 1. Пусть $E,F,W$ – векторные решетки и $T\colon E\times F\to W$ – ортогонально биаддитивный оператор, сохраняющий дизъюнктность. Тогда $T$ является регулярным оператором. Доказательство. Так как согласно предложению 2 существует модуль $|T|$ оператора $T$, регулярность следует из представления $T=|T|-(|T|-T)$, где $|T|$ и $(|T|-T)$ – положительные ортогонально биаддитивные операторы. Непосредственно из предложения 2 выводится следующее полезное следствие. Следствие 1. Пусть $E,F,W$ – векторные решетки, $T\colon E\times F\to W$ – ортогонально биаддитивный оператор, сохраняющий дизъюнктность. Тогда следующие условия эквивалентны: 4. Ортогонально биаддитивные операторы, коммутирующие с проекторамиВ этом пункте мы рассмотрим специальный класс сохраняющих дизъюнктность ортогонально биаддитивных операторов из $E\times F$ в $W$. Элементы данного класса называются операторами, коммутирующими с проекторами. Мы покажем, что операторы, коммутирующие с проекторами, образуют полосу в векторной решетке $\mathcal{OBA}_{r}(E,F;W)$, а также установим общий вид оператора порядкового проектирования на эту полосу. Пусть $E,F,W$ – векторные решетки, $\pi\in\mathfrak{B}(E)$, $\sigma\in\mathfrak{B}(F)$ и $T\colon E\times F\to W$. Через $T(\pi\otimes\sigma)$ обозначим отображение из $E\times F$ в $W$, заданное формулой
$$
\begin{equation*}
T(\pi\otimes\sigma)(x,y):=T(\pi x,\sigma y), \qquad (x,y)\in E\times F.
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 7. Пусть $W$ – векторная решетка с проекциями и $E,F$ – порядковые идеалы в $W$. Будем говорить, что ОБО $T\colon E\times F\to W$ коммутируют с проекторами, если равенства выполняются для любых $\rho,\sigma\in\mathfrak{B}(W)$ и любой пары $(x,y)\in E\times F$. Множество всех ортогонально биаддитивных операторов, коммутирующих с проекторами, из $E\times F$ в $W$ обозначается $\mathfrak{N}(E,F;W)$. Предложение 3. $T\in\mathfrak{N}(E,F;W)$ тогда и только тогда, когда для любых $\pi\in\mathfrak{B}(W)$. Доказательство. Необходимость очевидна, покажем достаточность. Возьмем произвольную пару проекторов $\rho,\sigma\in\mathfrak{B}(W)$ и $(x,y)\in E\times F$. Так как
$$
\begin{equation*}
\rho\sigma T(x,y)=T(\rho\sigma\otimes\rho\sigma)(x,y)= T(\rho\sigma\otimes \mathrm{Id})(x,y)=T(\mathrm{Id}\otimes\rho\sigma)(x,y),
\end{equation*}
\notag
$$
осталось установить, что
$$
\begin{equation*}
\rho\sigma T(x,y)=T(\rho\otimes\sigma)(x,y)=T(\sigma\otimes\rho)(x,y).
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\pi=\rho\sigma$. Ясно, что $\pi=\rho\pi=\sigma\pi$. Имеют место следующие формулы:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \rho\sigma T(x,y) &=\rho\sigma \bigl(T(\rho x+\rho^{\perp}x,\sigma y+\sigma^{\perp}y)\bigr) \\ &=\rho\sigma \bigl(T(\rho x,\sigma y)+T(\rho x,\sigma^{\perp}y)+ T(\rho x^{\perp}x,\sigma y)+T(\rho x^{\perp}x,\sigma^{\perp}y)\bigr)=T(\pi x,\pi y). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, Таким образом, $\rho\sigma T=T(\rho\otimes\sigma)$; аналогично доказывается равенство $\rho\sigma T=T(\sigma\otimes\rho)$. Предложение 4. Пусть $W$ – векторная решетка с проекциями на главные полосы, $E,F$ – порядковые идеалы в $W$ и $T\colon E\times F\to W$ – ОБО, коммутирующее с проекторами. Тогда $T$ – сохраняющий дизъюнктность ортогонально биаддитивный оператор. Доказательство. Возьмем $y\in F$ и пару дизъюнктных элементов $v,u\in E$. Заметим, что $\pi_{v\sqcup u}=\pi_{v}\sqcup\pi_{u}$ и $\pi_{w}w=w$ для любого $w\in W$. Тогда можем написать
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, T(v\sqcup u,y) &=T\bigl(\pi_{v\sqcup u}(v\sqcup u),y\bigr)=\pi_{v\sqcup u} T(v\sqcup u,y) \\ &=(\pi_{v}\sqcup\pi_{u})T(v\sqcup u,y)=\pi_{v}T(v\sqcup u,y)\sqcup\pi_{u}T(v\sqcup u,y) \\ &=T\bigl(\pi_{v}(v\sqcup u),y\bigr)\sqcup T\bigl(\pi_{u}(v\sqcup u),y\bigr) =T(v,y)\sqcup T(u,y). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что $T_y\colon E\to W$ – сохраняющий дизъюнктность ортогонально аддитивный оператор. Аналогичное доказательство применимо для $T_x\colon F\to W$ при произвольном $x\in E$. Интерес к ОБО, коммутирующими с проекторами, может быть обоснован следующей конструкцией. Пусть $(A,\Sigma,\mu)$ – пространство с конечной мерой. Будем говорить, что функция $N\colon A\times \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ является:
Заметим, что в вышеприведенном определении для разных $r_1,r_2\in\mathbb{R}$ множества меры нуль $\{s\in A\colon N(s,r_1,0)\neq 0\}$ и $\{s\in A\colon N(s,r_2,0)\neq 0\}$ являются разными. Тоже самое справедливо и для множеств $\{s\in A\colon N(s,0,q_1)\neq 0\}$ и $\{s\in A\colon N(s,0,q_2)\neq 0\}$ для разных $q_1,q_2\in\mathbb{R}$. Пусть теперь $E$ и $F$ – порядковые идеалы векторной решетки $L_{0}(\mu)$. Тогда с каждой $2$-суперизмеримой функцией $N$ связано отображение $T_{N}\colon E\times F\to L_{0}(\mu)$, заданное формулой
$$
\begin{equation*}
T_{N}(f,g)(\cdot)=N(\cdot,g(\cdot),f(\cdot)), \qquad f\in E, \quad g\in F.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 2. Пусть $(A,\Sigma,\mu)$ – пространство с конечной мерой, $N\colon A\times \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ – нормализованная функция Каратеодори, $E$ и $F$ – порядковые идеалы $L_{0}(\mu)$. Тогда отображение $T_{N}\colon E\times F\to L_{0}(\mu)$, заданное формулой является ортогонально биаддитивным оператором и справедливо включение $T_{N}\in\mathfrak{N}(E,F;L_{0}(\mu))$. Доказательство. В первую очередь, покажем, что отображение $T_{N}$ определено корректно. Возьмем произвольные $f\in E$ и $g\in F$. Тогда существует пара $(f_{n})_{n\in\mathbb{N}}, (g_{m})_{m\in\mathbb{N}}$ последовательностей простых $\mu$-измеримых функций, поточечно сходящихся к $f$ и $g$ соответственно. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f_n:=r_n1_{D_n} \qquad\text{и}\qquad g_{m}=q_m1_{B_{m}}, \\ D_{n},B_{m}\in\Sigma, \quad r_n,q_m\in\mathbb{R}, \qquad m,n\in\mathbb{N}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим измеримое множество
$$
\begin{equation*}
D_0:=\bigl\{s\in A\colon \text{функция } N(s,\cdot,\cdot)\text{ разрывна хотя бы в одной точке }(x,y)\in\mathbb{R}^2\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
По определению функции Каратеодори $\mu(D_0)=0$. Опять же согласно свойству функции Каратеодори имеем
$$
\begin{equation*}
N\bigl(\cdot,r_n1_{D_{n}}(\cdot),q_m1_{B_{m}}(\cdot)\bigr)\in L_{0}(\mu)
\end{equation*}
\notag
$$
для любых $m,n\in\mathbb{N}$. Теперь для любого $s\in A\setminus D_0$ можем написать
$$
\begin{equation*}
N(s,f(s),g(s))=\lim_{n\to\infty}N\bigl(s,r_n1_{D_{n}}(s),q_m1_{B_{m}}(s)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда выводим, что $N(\cdot,f(\cdot),g(\cdot))\in L_{0}(\mu)$. Пусть теперь $(r_n)_{n\in\mathbb{N}}$ и $(q_m)_{m\in\mathbb{N}}$ – две копии множества рациональных чисел $\mathbb{Q}$. Введем следующие семейства измеримых множеств меры нуль:
$$
\begin{equation*}
D_{n}:=\bigl\{s\in A\colon N(s,r_n,0)\neq 0\bigr\}, \quad B_{m}:=\bigl\{s\in A\colon N(s,0,q_m)\neq 0\bigr\}, \qquad m,n\in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $B=\bigcup_{n=1}^{\infty}D_n\cup\bigcup_{m=1}^{\infty}B_m\cup D_0$. Ясно, что $\mu(B)=0$. Покажем теперь, что для любого $s\in A\setminus B$ выполняется
$$
\begin{equation*}
N(s,r,0)=N(s,0,q)=0 \qquad\text{для любых}\quad r,q\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Действительно, возьмем $r\in \mathbb{R}$. Тогда найдется последовательность рациональных чисел $(r_{n_{l}})_{l\in\mathbb{N}}$, сходящаяся к $r$. Так как $N(s,r_{n_{l}},0)=0$, то в силу непрерывности функции $N(s,\cdot,0)=0$ получаем, что $N(s,r,0)=0$. Аналогичными рассуждениями получаем, что $N(s,0,q)=0$. Для завершения доказательства леммы, согласно предложению 3, достаточно установить, что
$$
\begin{equation*}
\pi T_{N}(f,g)=T_{N}(\pi f,\pi g)=T_{N}(\pi f, g)=T_{N}(f,\pi g)
\end{equation*}
\notag
$$
для любых $f\in E$, $g\in F$ и произвольного порядкового проектора $\pi\in \mathfrak{B}(L_{0}(\mu))$. Известно, что порядковый проектор $\pi\colon L_{0}(\mu)\to L_{0}(\mu)$ является оператором умножения на характеристическую функцию $1_{D_\pi}$ некоторого измеримого множества $D_\pi\in \Sigma$ [28; § 1.6]. Необходимые равенства получаются ввиду нормализованности функции Каратеодори и приведенных выше рассуждений. Покажем, например, что для почти всех $s\in A$. Действительно, возьмем $s\in A\setminus B$ и предположим, что $s\in D_\pi$. Тогда $1_{D_\pi}(s)=1$ а правая и левая часть вышеуказанного равенства совпадают. Если же $s\notin D_\pi$, то ввиду рассуждений, приведенных в первой части леммы, левая и правая часть неравенства совпадают и равны нулю. Аналогичным образом устанавливаются оставшиеся равенства: Из леммы 2 видно, что для любых $f\in E$ и $g\in F$ носитель функции $T_{N}(f,g)$ является измеримым подмножеством носителей $f$ и $g$. Операторы, обладающие таким свойством, получили название нерасширяющих [19]. Будем говорить, что $T_{N}\colon E\times F\to L_{0}(\mu)$ – биоператор Немыцкого, ассоциированный с нормализованной функцией Каратеодори $N$. Оператор $T_N$ можно трактовать, как нелинейный оператор суперпозиции, зависящий от двух функциональных переменных. Классические операторы суперпозиции, известные также в литературе как операторы Немыцкого, встречается в самых разных областях современной математики. Они широко представлены в литературе [30]–[32]. Следующая теорема является первым основным результатом текущего раздела. Теорема 1. Пусть $W$ – векторная решетка с проекциями на главные полосы, $E,F$ – порядковые идеалы $W$. Тогда $\mathfrak{N}(E,F;W)$ является векторной решеткой и для любых $T,T_1,T_2\in\mathfrak{N}(E,F;W)$, $(x,y)\in E\times F$ справедливы следующие формулы: Если же векторная решетка $W$ кроме того, порядково полна, то $\mathfrak{N}(E,F;W)$ является полосой в векторной решетке $\mathcal{OBA}_{r}(E,F;W)$. Доказательство. Покажем сначала, что $\mathfrak{N}(E,F;W)$ – векторное пространство. Возьмем $T,S\in\mathfrak{N}(E,F;W)$, $\pi\in\mathfrak{B}(W)$ и $\lambda\in\mathbb{R}$. Тогда можем написать
$$
\begin{equation*}
(T+S)(\pi x,\pi y)=T(\pi x,\pi y)+S(\pi x,\pi y)=\pi T(x,y)+\pi S(x,y).
\end{equation*}
\notag
$$
Равенство
$$
\begin{equation*}
\lambda T(\pi x,\pi y)=\lambda\pi T(x,y)=\pi \lambda T(x,y)
\end{equation*}
\notag
$$
выполняется для любых пар $(x,y)\in E\times F$. Используя теперь предложения 2 и 4, имеем
$$
\begin{equation*}
|T|(\pi x,\pi y)=|T(\pi x,\pi y)|=|\pi T(x,y)|=\pi|T(x,y)|=\pi|T|(x,y).
\end{equation*}
\notag
$$
Из факта существования модуля $|T|$ оператора $T$ и того, что $|T|\in \mathfrak{N}(E,F;W)$ для любого $T\in\mathfrak{N}(E,F;W)$, выводим, что $\mathfrak{N}(E,F;W)$ является векторной решеткой. Используя теперь формулы
$$
\begin{equation*}
a\vee b=\frac{1}{2}(a+b+|a-b|) \qquad\text{и}\qquad a\wedge b=\frac{1}{2}(a+b-|a-b|)
\end{equation*}
\notag
$$
имеющие место в произвольной векторной решетке, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (T_1\vee T_2)(x,y) &=\frac{1}{2}(T_1+T_2+|(T_1-T_2)|)(x,y) \\ &=\frac{1}{2}\bigl(T_1(x,y)+T_2(x,y)+|(T_1-T_2)|(x,y)\bigr) \\ &=\frac{1}{2}\bigl(T_1(x,y)+T_2(x,y)+|T_1(x,y)-T_2(x,y)|\bigr)=T_1(x,y)\vee T_2(x,y). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично доказывается формула Отсюда выводим формулы для положительной и отрицательной частей произвольного элемента $T\in \mathfrak{N}(E,F;W)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, T^{+}(x,y)=(T\vee 0)(x,y)=T(x,y)\vee 0=T(x,y)^{+}, \\ T^{-}(x,y)=(-T\vee 0)(x,y)=-T(x,y)\vee 0=T(x,y)^{-}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть теперь векторная решетка $W$ порядково полна. Тогда согласно лемме 1 векторное пространство $\mathcal{OBA}_{r}(E,F;W)$ является порядково полной векторной решеткой. Покажем сначала, что $\mathfrak{N}(E,F;W)$ является порядковым идеалом решетки $\mathcal{OBA}_{r}(E,F;W)$. Возьмем $\pi\in\mathfrak{B}(W)$, $G\in\mathcal{OBA}_{+}(E,F;W)$ и $T\in\mathfrak{N}(E,F;W)$ такие, что $0\leqslant G\leqslant T$. Тогда для любых $(x,y)\in E\times F$ можем написать
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \pi G(x,y) &=\pi G(\pi x+\pi^{\perp}x,\pi y+\pi^{\perp}y) \\ &=\pi\bigl(G(\pi x,\pi y)+G(\pi x,\pi^{\perp}y)+G(\pi^{\perp}x,\pi y) +G(\pi^{\perp}x,\pi^{\perp}y)\bigr) \\ &=\pi G(\pi x,\pi y)+\pi G(\pi x,\pi^{\perp}y)+\pi G(\pi^{\perp}x,\pi y) +\pi G(\pi^{\perp}x,\pi^{\perp}y). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $T\in\mathfrak{N}(E,F;W)$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\pi T(\pi x,\pi^{\perp}y)=\pi T(\pi^{\perp}x,\pi y)=\pi T(\pi^{\perp}x,\pi^{\perp}y)=0 \\ &\quad\Longrightarrow\quad\pi G(\pi x,\pi^{\perp}y)=\pi G(\pi^{\perp}x,\pi y)=\pi G(\pi^{\perp}x,\pi^{\perp}y)=0 \\ &\quad\Longrightarrow\quad \pi G(x,y)=\pi G(\pi x,\pi y). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны,
$$
\begin{equation*}
G(\pi x,\pi y)=(\pi +\pi^{\perp})G(\pi x,\pi y)= \pi G(\pi x,\pi y)+\pi^{\perp} G(\pi x,\pi y).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\pi^{\perp} T(\pi x,\pi y)=0$, то
$$
\begin{equation*}
\pi^{\perp} G(\pi x,\pi y)=0, \qquad \pi G(x,y)=G(\pi x,\pi y).
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично доказываются равенства Таким образом, $G\in\mathfrak{N}(E,F;W)$ и установлено, что $\mathfrak{N}(E,F;W)$ является порядковым идеалом $\mathcal{OBA}_r (E,F;W)$. Покажем наконец, что $\mathfrak{N}(E,F;W)$ является полосой в $\mathcal{OBA}_{r}(E,F;W)$. Пусть $\pi,\sigma\in\mathfrak{B}(W)$ и $T_\lambda \stackrel{\rm (o)}{\longrightarrow} T$, где $(T_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\subseteq\mathfrak{N}(E,F;W)$ и $T\in\mathcal{OBA}_{r}(E,F;W)$. Тогда для любой пары $(x,y)\in E\times F$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |T(\pi x,\pi y)-\pi T(x,y)| & = |T(\pi x,\pi y)-T_\lambda(\pi x,\pi y)+T_\lambda(\pi x,\pi y)-\pi T(x,y)| \\ & \leqslant |T(\pi x,\pi y)-T_\lambda(\pi x,\pi y)|+|T_\lambda(\pi x,\pi y)-\pi T(x,y)| \\ & = |T(\pi x,\pi y)-T_\lambda(\pi x,\pi y)|+|\pi T(x,y)-\pi T_\lambda(x,y)|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как сеть порядково сходится к $0$ в $W$, получаем, что $T(\pi x,\pi y)=\pi T(x,y)$ для любого $\pi\in\mathfrak{B}(W)$. Пусть $W$ – порядково полная векторная решетка и $E,F$ – порядковые идеалы $W$. В силу порядковой полноты векторной решетки $\mathcal{OBA}_r(E,F)$ каждая полоса допускает порядковый проектор. Тогда согласно теореме 1 каждый положительный ортогонально биаддитивный оператор $S\colon E\times E\to W$ допускает однозначное представление в виде суммы $S=\mathfrak{p}_{\mathfrak{N}}S\sqcup (S-\mathfrak{p}_{\mathfrak{N}}S)$ двух дизъюнктных слагаемых, где $\mathfrak{p}_{\mathfrak{N}}$ – порядковый проектор на полосу $\mathfrak{N}(E,F;W)$ в $\mathcal{OBA}_r(E,F;W)$. Определение 8. Пусть $W$ – векторная решетка. Через $\mathfrak{D}_{0}(W)$ ( $\mathfrak{D}_{0}$ для краткости) обозначим множество всех конечных разбиений единичного оператора $\mathrm{Id}_{W}$, а именно Теперь мы готовы указать общий вид оператора порядкового проектирования в пространстве $\mathcal{OBA}_r(E,F;W)$ на полосу $\mathfrak{N}(E,F;W)$. Теорема 2. Пусть $W$ – порядково полная векторная решетка и $E,F$ – порядковые идеалы $W$ и $S\in\mathcal{OBA}_{+}(E,F;W)$. Тогда проекция $\mathfrak{p}_{\mathfrak{N}}S\in\mathfrak{N}(E,F;W)$ может быть вычислена по следующей формуле: Доказательство. Пусть $S\in\mathcal{OBA}_{+}(E,F;W)$. Рассмотрим следующее множество:
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{K}(S) := \biggl\{\sum_{i=1}^{n}\pi_{i}S(\pi_i\otimes\pi_i)\colon (\pi_{i})\in\mathfrak{D}_{0}(W)\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\mathfrak{K}(S)$ является направленной вниз сетью положительных ортогонально биаддитивных операторов. Действительно, возьмем $(\pi_{i}),(\sigma_{k})\in\mathfrak{D}_{0}(W)$ и рассмотрим соответствующие им суммы $R_1=\sum_{i=1}^{n}\pi_{i}S(\pi_i\otimes\pi_i)$ и $R_2=\sum_{k=1}^{m}\sigma_{k}S(\sigma_k\otimes\sigma_k)$. Тогда с элементом $(\rho_{ik})\in\mathfrak{D}_{0}(W)$, где $\rho_{ik}=\pi_{i}\circ \sigma_k$, ассоциирована сумма $R_3=\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{m}\rho_{ik}S(\rho_{i,k}\otimes\rho_{i.k})$. Ясно, что $R_3\leqslant R_2$ и $R_3\leqslant R_1$. В силу порядковой полноты векторной решетки $\mathcal{OBA}_{r}(E,F)$ существует оператор $K(S):=\inf\mathfrak{K}(S)$. Для того, чтобы установить, что отображение $K$ является проекцией на полосу $\mathfrak{N}(E,F;W)$, требуется проверить, что для произвольного $S\in\mathcal{OBA}_{+}(E,F;W)$ выполняются следующие условия:
$$
\begin{equation*}
\sum_{i}\pi_{i}S_{1}(\pi_{i}\otimes\pi_i)+ \sum_{j}\sigma_{j}S_{2}(\sigma_{j}\otimes\sigma_j) \geqslant \sum_{k}\rho_{k}(S_{1}+S_{2})(\rho_{k}\otimes\rho_k)\geqslant K(S_{1}+S_{2}).
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя к инфимуму по всем элементам $\mathfrak{D}_{0}(W)$ в левой части вышеприведенного неравенства, получаем С другой стороны, для любого $(\pi_{i})\in\mathfrak{D}_{0}(W)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{i}\pi_{i}(S_{1}+S_{2})(\pi_{i}\otimes\pi_i)=\sum_{i}\pi_{i}S_{1}(\pi_{i}\otimes\pi_k)+ \sum_{i}\pi_{i}S_{2}(\pi_{i}\otimes\pi_i)\geqslant K(S_{1})+K(S_{2}).
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя к инфимуму по всем элементам $\mathfrak{D}_{0}(W)$ в левой части вышеприведенного неравенства, получаем
$$
\begin{equation*}
K(S_{1}+S_{2})\geqslant K(S_{1})+K(S_{2})\quad\Longrightarrow\quad K(S_{1}+S_{2})= K(S_{1})+K(S_{2}).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, используя теорему Канторовича [18; теорема 1.10], получаем, что отображение $K$ продолжается до положительного линейного оператора на $\mathcal{OBA}_{r}(E,F;W)$. Докажем теперь свойство (3). Пусть $0\leqslant S\in\mathfrak{N}(E,F;W)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\sum_{i}\pi_{i}S(\pi_{i}\otimes\pi_i) = \sum_{i}\pi_{i}^2S = \sum_{i}\pi_{i}S = S.
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя к инфимуму в левой части вышеприведенного равенства по всем элементам $\mathfrak{D}_{0}(W)$, получаем, что $K(S)=S$. Обратно, пусть $K(S)=S$. Покажем, что $S\in\mathfrak{N}(E,F;W)$. Действительно, возьмем $\pi\in\mathfrak{B}(W)$. Тогда $S\leqslant \pi S(\pi\otimes\pi)+\pi^{\perp}S(\pi^{\perp}\otimes\pi^{\perp})$. Отсюда выводим, что $\pi S=\pi S(\pi\otimes\pi)$, вследствие чего $\pi S=S(\pi\otimes\pi)$. Осталось доказать $(4)$. Пусть $R=K(S)$, где $S\in\mathcal{OBA}_{+}(E,F;W)$. Тогда можем написать
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K(R) & =\inf\biggl\{\sum_{i}\pi_{i}R(\pi_{i}\otimes\pi_i)\colon(\pi_{i})\in\mathfrak{D}_{0}(W) \biggr\} \\ &=\inf\biggl\{\sum_{j}\rho_j \biggl(\sum_{i}\pi_{i}S(\pi_{i}\otimes\pi_{i})\biggr)(\rho_j\otimes\rho_j)\colon (\pi_{i})\in\mathfrak{D}_{0}(W);\,(\rho_{j})\in\mathfrak{D}_{0}(W)\biggr\} \\ &=\inf\biggl\{\sum_{i}\pi'_{i}S(\pi'_{i}\otimes\pi'_{i})\colon (\pi'_{i})\in\mathfrak{D}_{0}(W)\biggr\}=R . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом равенство $K(K(S))=K(S)$ установлено, что завершает доказательство теоремы. В [19] был найден общий вид порядково непрерывного ортогонально аддитивного оператора, коммутирующего с проекторами, действующего в пространстве измеримых функций. В связи с эти возникает следующая задача. Проблема 1. Установить общий вид порядково непрерывного ортогонально биаддитивного оператора $T\colon E\times F\to L_{0}(\mu)$, коммутирующего с проекторами, действующего из декартова произведения порядковых идеалов $E$ и $F$ векторной решетки $L_{0}(\mu)$ в $L_{0}(\mu)$. 5. Теорема Радона-НикодимаВ этом пункте мы установим операторную версию теоремы Радона-Никодима для положительных ортогонально биаддитивных операторов, сохраняющих дизъюнктность. Теорема Радона-Никодима (ТРН) является основополагающим положением классической теории меры, позволяющим дать полное описание семейства мер, абсолютно непрерывных относительно фиксированной $\sigma$-аддитивной конечной меры $\mu$, заданной на пространстве с мерой $(A,\Sigma,\mu)$ [27; теорема 3.2.2]. Имеется глубокая связь теории меры с теорией векторных решеток [33; гл. 14]. Известно, что на пространстве $\mathcal{M}(A)$ – знакопеременных $\sigma$-аддитивных мер на $(A,\Sigma)$, существует естественный частичный порядок, относительно которого $\mathcal{M}(A)$ является векторной решеткой и мера $\nu$ абсолютно непрерывна относительно меры $\mu$ тогда и только тогда, когда $\nu\in\{\mu\}^{\perp\perp}$ [33; теорема 27.4]. Заметим, что теорема Радона-Никодима является следствием данного условия и спектральной теоремы Фрейденталя [33; теорема 33.2], в силу чего открывается возможность формулировки ТРН на языке теории векторных решеток. Операторные (решеточные) версии теоремы Радона-Никодима для линейных, билинейных и ортогонально аддитивных операторов, сохраняющих дизъюнктность, представлены в работах [2], [34], [22]–[25]. Следующая теорема является основным результатом настоящего пункта. Теорема 3. Пусть $E,F,W$ – векторные решетки, причем решетка $W$ порядково полна, $T\in \mathcal{OBA}_{+}(E,F;W)$ – оператор, сохраняющий дизъюнктность, и $S\in\mathcal{OBA}_{+}(E,F;W)$. Тогда следующие условия эквивалентны: Мы адаптируем для ортогонально биаддитивных операторов стратегию доказательства, использованную в [25]. Докажем, предварительно, некоторые вспомогательные предложения. Предложение 5. Пусть $E,F,W$ – векторные решетки, $S,T\in\mathcal{OBA}_{+}(E,F;W)$ – операторы, сохраняющие дизъюнктность. Тогда следующие условия эквивалентны: Доказательство. (1) $\Longrightarrow$ (2). Покажем сначала, что выполняется условие (a). Возьмем $x\in E$ и пару дизъюнктных элементов $w,h\in F$. Принимая во внимание положительность операторов $S$ и $T$, можем написать Отсюда выводим, что $S_x(w)\perp T_x(h)$. Условие $(b)$ доказывается аналогично.
(2) $\Longrightarrow$ (1). Возьмем дизъюнктные элементы $u,v\in E$ и $y\in F$. Покажем, что Действительно, справедлива следующая цепочка формул:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0&\leqslant (S+T)(u,y)\wedge(S+T)(v,y) =\bigl(S(u,y)+T(u,y)\bigr)\wedge\bigl(S(v,y)+T(v,y)\bigr) \\ &\leqslant S(u,y)\wedge S(v,y)+ T(u,y)\wedge S(v,y)+S(u,y)\wedge T(v,y)+ T(u,y)\wedge T(v,y) \\ &= S_y(u)\wedge S_y(v)+ T_y(u)\wedge S_y(v)+S_y(u)\wedge T_y(v)+ T_y(u)\wedge T_y(v)= 0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя аналогичные рассуждения, доказывается, что для любого $x\in E$ и произвольной пары дизъюнктных элементов $w,h\in F$ справедливо равенство Предложение 6. Пусть $E,F,W$ – векторные решетки, решетка $W$ порядково полна, $R_1,R_2\in \mathcal{OBA}_+(E,F;W)$, причем операторы $R_1,R_2, R_1+R_2$ сохраняют дизъюнктность и $R_1\perp R_2$. Тогда для любой пары $(x,y)\in E\times F$. Доказательство. Согласно лемме 1 линейное пространство $\mathcal{OBA}_r(E,F;W)$ является векторной решеткой в силу чего элемент $R_1\wedge R_2$ корректно определен. Зафиксируем пару $(x,y)\in E\times F$. В соответствии с [8; теорема 1] имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (R_1\wedge R_2)(x,y) &:=\inf\biggl\{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}R_{k(i,j)}(x_i,y_j)\colon x=\bigsqcup_{i=1}^{n}x_i; y=\bigsqcup_{j=1}^{m}y_j; n,m\in\mathbb{N}; \\ &\qquad k\in\{1,2\}^{\{1,\dots,n\}\times\{1,\dots,m\}}\biggr\}\leqslant R_1(x,y)\wedge R_2(x,y). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем обратную оценку. Возьмем пару дизъюнктных разбиений $x=\bigsqcup_{i=1}^{n}x_i$ и $y=\bigsqcup_{j=1}^{m}y_j$ элементов $x$ и $y$, а также произвольную функцию $k\colon \{1,\dots,n\}\times\{1,\dots,m\}\to \{1,2\}$. Воспользовавшись предложением 5, можем написать
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}R_{k(i,j)}(x_i,y_j)\geqslant \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\bigl(R_{1}(x_i,y_j)\wedge R_{1}(x_i,y_j)\bigr) \\ &\qquad =\biggl(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}R_{1}(x_i,y_j)\biggr)\wedge \biggl(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}R_{2}(x_i,y_j)\biggr)\geqslant R_1(x,y)\wedge R_2(x,y). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя в левой части данного неравенства к инфимуму по всем парам дизъюнктных разбиений элементов $x$ и $y$ и всевозможным функциям $k\colon \{1,\dots,n\}\times\{1,\dots,m\}\to \{1,2\}$, $n,m\in\mathbb{N}$, получаем необходимую оценку: Заметим, что в случае $i\neq k$ и $j\neq r$ справедливо равенство $R_{1}(x_i,y_j)\wedge R_{2}(x_k,y_r)=0$, которое следует из оценки Равенства $R_{1}(x_i,y_j)\wedge R_{2}(x_i,y_r)=0$ и $R_{1}(x_i,y_j)\wedge R_{2}(x_k,y_j)=0$ очевидны. Теперь мы готовы доказать теорему 3. Доказательство теоремы 3. (1) $\Longrightarrow$ (2). Так как $0\leqslant S\in\{T\}^{\perp\perp}$, в силу [26; теорема 4.3.4] возрастающая последовательность $S_n:=S\wedge nT$, $n\in\mathbb{N}$ порядково сходится в пространстве $\mathcal{OBA}_r(E,F;W)$ к оператору $S$. Тогда $(S\wedge nT)(x,y)\uparrow S(x,y)$ для любой пары $(x,y)\in E\times F$. Теперь можем написать и переходя к пределу, окончательно выводим, что
(2) $\Longrightarrow$ (1). Сначала мы установим, что ортогонально биаддитивный оператор $S$ сохраняет дизъюнктность. Покажем, что частичный оператор $S_y\colon E\to W$ сохраняет дизъюнктность при произвольном $y\in F$. Возьмем $(x_1,y), (x_2,y)\in E\times F$, $x_1\perp x_2$. Тогда для любых $m,n\in \mathbb{N}$ можем написать
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 &\leqslant \bigl(S(x_1,y)\wedge nT(x_1,y)\bigr)\wedge\bigl(S(x_2,y)\wedge m(Tx_2,y)\bigr) \leqslant(n+m)\bigl(T(x_1,y)\wedge T(x_2,y)\bigr)=0 \\ &\quad\Longrightarrow\quad 0\leqslant (S(x_1,y)\wedge nT(x_1,y))\wedge(S(x_2,y)\wedge mT(x_2,y))=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Принимая во внимание включения $S(x_1,y)\in \{T(x_1,y)\}^{\perp\perp}$ и $S(x_2,y)\in \{T(x_2,y)\}^{\perp\perp}$ получаем, что
$$
\begin{equation*}
S(x_1,y)\wedge nT(x_1,y)\uparrow S(x_1,y) \qquad\text{и}\qquad S(x_2,y)\wedge mT(x_2,y)\uparrow S(x_2,y).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом дизъюнктность элементов $S(x_1,y)$ и $S(x_2,y)$ установлена. Аналогично устанавливается дизъюнктность элементов $S(x,y_1)$ и $S(x,y_2)$ для произвольного $x\in E$ и произвольных дизъюнктных $y_1,y_2\in F$. Покажем, теперь что $S+T$ также является сохраняющим дизъюнктность оператором. Для этого воспользуемся предложением 5. Возьмем произвольные дизъюнктные $u,v\in E$ и $y\in F$. Требуется установить, что $S_y(u)\perp T_y(v)$. Так как $S(u,y)\in \{T(u,y)\}^{\perp\perp}$ и $T(u,y)\perp T(v,y)$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\{T(u,y)\}^{\perp\perp}\cap\{T(v,y)\}^{\perp\perp}=\{0\} \\ &\quad\Longrightarrow\quad \{S(u,y)\}^{\perp\perp}\cap\{T(v,y)\}^{\perp\perp}=\{0\} \quad\Longrightarrow\quad S_y(u)\perp T_y(v). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичными рассуждениями можно показать, что $S_x(w)\perp T_x(h)$ для произвольных дизъюнктных $w,h\in F$ и $x\in E$. Важно отметить, что имеет место разбиение
$$
\begin{equation*}
\mathcal{OBA}_r(E,F;W)=\{T\}^{\perp\perp}\oplus\{T\}^{\perp}
\end{equation*}
\notag
$$
векторной решетки $\mathcal{OBA}_r(E,F;W)$ на прямую сумму дизъюнктных полос – $\{T\}^{\perp\perp}$ и $\{T\}^{\perp}$. Тогда оператор $S$ можно представить в виде суммы дизъюнктных осколков $S=S_{1}+S_{2}$, где $0\leqslant S_{1}\in\{T\}^{\perp\perp}$ и $0\leqslant S_{2}\in\{T\}^{\perp}$. Покажем, что $S_2=0$. Действительно, предположив противное, найдем пару $(x_0,y_0)\in E\times F$ такую, что $S_2(x_0,y_0)>0$. Так как $0\leqslant S_{2}+T\leqslant S+T$, то $S_{2}+T$ также является оператором, сохраняющим дизъюнктность, причем операторы $S_2$ и $T$ дизъюнктны. Применяя теперь предложение 6, приняв $S_2$ за $R_1$ и $T$ за $R_2$, можем написать В то же время справедлива оценка $0\leqslant S_{2}(x_0,y_0)\leqslant S(x_0,y_0)$. Так как $S(x_0,y_0)\in\{T(x_0,y_0)\}^{\perp\perp}$, справедливо включение $S_2(x_0,y_0)\in \{T(x_0,y_0)\}^{\perp\perp}$, откуда следует, что $S_{2}(x_0,y_0)=0$. Таким образом, $S_{2}=0$ и $S=S_{1}\in\{T\}^{\perp\perp}$. Автор выражает благодарность рецензенту за внимательное чтение статьи и членам редколлегии журнала за доброжелательное отношение. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Dzh24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|