| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Краткие сообщения О вычислении предела специальной последовательности тригонометрических функций Е. Д. Алфероваab, В. Б. Шерстюковab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624010255 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеВ недавней совместной работе [1], посвященной исследованию эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с аффинными преобразованиями аргумента, возникла интересная задача о точном вычислении спектрального радиуса для специального семейства функциональных операторов. В наиболее простом и естественном случае задача сводится к нахождению предела
$$
\begin{equation}
r(p)\equiv\lim_{n\to\infty}\biggl(\sup_{x\in\mathbb{R}} \prod_{k=0}^{n-1}|\sin (p^{k}x)|\biggr)^{1/n}, \qquad p\in\mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Точнее говоря, требуется обосновать существование предела в (1) и найти явное выражение для $r(p)$ в зависимости от $p\in\mathbb R$ (достаточно ограничиться значениями $p>0$). Отметим, что асимптотика норм “длинных” произведений тригонометрических полиномов, как в (1), востребована при исследовании плотности распределения случайных степенных рядов [2], [3]; в теории разностных уравнений со сжатием аргумента [4]; в вопросах сходимости итерационных алгоритмов аппроксимации поверхностей [5], [6]; при построении всплесков с компактным носителем (см. [7] и библиографию в [8]); в теории целых функций (см. [9] и цитированную там литературу). В 2020 году Журавлев и Россовский, привлекая результаты из теории динамических систем, показали, что $r(p)=1$, если $p$ – трансцендентное число. Кроме того, для алгебраических значений $p$ этими авторами теоретико-числовым методом был установлен следующий факт (см. [10], [11]). Теорема. Пусть минимальный многочлен числа $p>0$ имеет степень $s$ и записывается в виде $Q(\lambda)=N\lambda^s-M$, где $M$, $N$ – натуральные коэффициенты. Тогда $r(p)=1$, если $M+N$ – четное число, и $r(p)=\cos(\pi /(2M+2N))$, если $M+N$ – нечетное число. Как видим, для рациональных значений параметра $p$, а также для простейших радикалов вида $p=\sqrt[s]q$, где $q\in\mathbb Q$, $s\in\mathbb N$, $s\geqslant2$, задача вычисления предела (1) решена. Для произвольного алгебраического числа $p$ вопрос остается открытым. Например, точное значение $r(\sqrt2+1)$ неизвестно: минимальный многочлен алгебраического числа $p=\sqrt2+1$ имеет вид $Q(\lambda)=\lambda^2-2\lambda-1$ и не подпадает под действие приведенной выше теоремы. Отметим, что примененная в [11] техника довольно сложна, в связи с чем представляют интерес простые подходы к вычислению величины $r(p)$ хотя бы для натуральных четных значений $p$ (почти очевидно, что $r(p)=1$, если $p\in \mathbb{N}$ является нечетным). Недавно авторы нашли элементарный способ обоснования общей формулы
$$
\begin{equation*}
r(2^{\nu})=\cos\frac{\pi}{2(2^{\nu}+1)}, \qquad \nu\in\mathbb N,
\end{equation*}
\notag
$$
который не требует знаний, выходящих за рамки стандартного курса анализа. Подчеркнем, что в отличие от [10], [11] мы не только находим значение $r(2^{\nu})$, $\nu\in\mathbb N$, но и оцениваем скорость сходимости соответствующей последовательности к этому пределу. Опишем подробнее содержание данной заметки. Рассмотрим на множестве $p\in\mathbb R$ последовательность функций
$$
\begin{equation}
r_n (p)\equiv \biggl(\sup_{x\in\mathbb{R}}\prod_{k=0}^{n-1} |\sin(p^k x)|\biggr)^{1/n}=\Bigl(\sup_{x\in\mathbb{R}} \bigl|\sin x\cdot\sin (px)\cdots\sin(p^{n-1} x)\bigr|\Bigr)^{1/n},\qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{2}
$$
В свете сказанного надо ответить на три ключевых вопроса. Будет ли функциональная последовательность (2) сходиться на всей вещественной оси? Если да, то как выглядит явное выражение для предельной функции $r (p)=\lim_{n\to\infty}r_n(p)$? С какой скоростью последовательность $r_n(p)$ сходится к своему пределу? С учетом происхождения величины (2) (см. [1]) положительный ответ на первый вопрос сомнений не вызывает. Тем не менее, полезно располагать прямым независимым доказательством нужного факта (см. теорему 2 и ее обоснование в п. 2). Второй и третий вопросы мы разберем в наиболее наглядном случае $p=2$, применяя простейшие средства анализа и демонстрируя ключевые идеи (см. теорему 3 и ее доказательство в п. 3). Доказательство теоремы 1 по той же схеме, но в полном объеме, требует развернутого изложения в отдельной работе. Сформулируем основные результаты статьи. Теорема 2. Функциональная последовательность $r_n(p)$, заданная по правилу (2), сходится на $\mathbb{R}$, т.е. для каждого значения $p\in\mathbb{R}$ существует предел Согласно теореме 2 функция $r(p)$ из формулы (1) корректно определена при всех $p\in \mathbb R$. Очевидно, что $r(p)$ является четной функцией со значениями $0\leqslant r(p)\leqslant 1$, $p\in\mathbb R$. Кроме того, $r(0)=0$, а для любого $p\ne 0$ действует связь $r(p)=r(1/p)$. Перечисленные свойства легко извлекаются из (1) и отражают специфику конструкции (2). Введем краткое обозначение
$$
\begin{equation}
u_n\equiv r_n (2)=\biggl(\sup_{x\in\mathbb{R}}\prod_{k=0}^{n-1} |\sin (2^k x)|\biggr)^{1/n}=\Bigl(\max_{x\in[0,\pi/2]} \bigl|\sin x \cdot \sin (2x) \cdots \sin(2^{n-1} x)\bigr|\Bigr)^{1/n}
\end{equation}
\tag{3}
$$
при $n\in\mathbb{N}$. Запись (3) учитывает непрерывность, четность и $\pi$-периодичность максимизируемого выражения. Первые три члена последовательности (3) удается вычислить “вручную”. Несложные, но громоздкие выкладки показывают, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, u_1= \max_{x\in[0,\pi/2]}|\sin x|=1, \qquad u_2=\Bigl(\max_{x\in[0,\pi/2]}|\sin x\cdot\sin(2x)|\Bigr)^{1/2} =\frac{2\sqrt[4]{3}}{3}=0.8773\dots, \\ u_3=\Bigl(\max_{x\in[0,\pi/2]}\bigl|\sin x\cdot\sin (2x) \cdot\sin (4x)\bigr|\Bigr)^{1/3}= \sqrt[6]{\frac{253044+18012\sqrt{57}}{823543}}=0.8825\dots, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и выявляют немонотонное поведение $u_n$ на первых номерах. Дальнейший, уже всецело компьютерный расчет дает
$$
\begin{equation*}
u_4=0.8743\dots, \qquad u_5=0.8741\dots, \qquad u_6=0.8721\dots, \qquad u_7=0.8715\dots
\end{equation*}
\notag
$$
и делает правдоподобной (пока не доказанную) гипотезу о строгом убывании, начиная с $n=3$, последовательности $u_n=r_n(2)$ к пределу $r(2)=\sqrt{3}/2=0.86602\dots$ при $n\to\infty$. Теорема 3. Для величины (3) справедлива двусторонняя оценка По теореме 3 последовательность $u_n$ сходится сверху к своему пределу $\sqrt{3}/2$, подчиняясь асимптотическому закону $u_n=\sqrt{3}/2+O(1/n)$ при $n\to\infty$. Перейдем к обоснованию сформулированных результатов. 2. Вспомогательные утверждения и теорема 2Вначале напомним один весьма полезный факт из теории числовых последовательностей (см. [12]; а также [13; отдел I, гл. 3, § 1, № 98]). Лемма Фекете. Пусть последовательность $(b_n)_{n\in \mathbb{N}}$ является субаддитивной, т.е. удовлетворяет условию Тогда существует конечный или равный $-\infty$ предел Исходный результат Фекете столетней давности неоднократно дополнялся и обобщался. Нам понадобится следующий мультипликативный вариант. Лемма 1. Пусть последовательность $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ положительных чисел такова, что Тогда существует предел Для проверки такого утверждения достаточно перейти к субаддитивной последовательности $b_n\equiv\ln a_n$, $n\in\mathbb{N}$, и применить к ней лемму Фекете. Доказательство теоремы 2. Зафиксируем $p\in\mathbb{R}$, $p\ne 0$, и положим
$$
\begin{equation}
a_n\equiv\sup_{x\in\mathbb{R}}\prod_{k=0}^{n-1} |\sin(p^k x)| > 0, \qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Для произвольных $m,n\in\mathbb{N}$ запишем
$$
\begin{equation*}
a_{m+n}\equiv\sup_{x\in\mathbb{R}}\prod_{k=0}^{m+n-1} |\sin(p^k x)|=\sup_{x\in\mathbb{R}}\biggl\{\prod_{k=0}^{m-1} |\sin (p^k x)| \cdot \prod_{k=m}^{m+n-1}|\sin(p^k x)|\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку
$$
\begin{equation*}
\sup_{x\in\mathbb{R}}\prod_{k=m}^{m+n-1}|\sin(p^k x)|= \sup_{x\in\mathbb{R}}\prod_{j=0}^{n-1}|\sin(p^{j+m} x)|= \sup_{t\in\mathbb{R}}\prod_{j=0}^{n-1}|\sin(p^j t)|=a_n,
\end{equation*}
\notag
$$
то последовательность (7) обладает свойством (5). По лемме 1 для такой последовательности существует предел (6). Теорема 2 доказана. 3. Схема доказательства теоремы 3Введем вспомогательную последовательность
$$
\begin{equation}
v_n\equiv\frac{1}{n}\inf_{x\in\mathbb{R}}\sum_{k=1}^n\cos(2^k x)= \min_{x\in[0,\pi/2]} \frac{\cos(2x)+\cos(4x)+\cdots+\cos(2^n x)}{n}, \qquad n\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Ввиду того, что для произвольно заданных $m,n\in\mathbb{N}$ величина
$$
\begin{equation*}
\inf_{x\in\mathbb{R}}\sum_{k=1}^{n+m}\cos (2^k x)= \inf_{x\in\mathbb{R}} \biggl(\sum_{k=1}^m\cos(2^kx)+\sum_{j=1}^n\cos(2^{j+m} x)\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
минорируется суммой
$$
\begin{equation*}
\inf_{x\in\mathbb{R}}\sum_{k=1}^m\cos (2^k x)+ \underset{t\in\mathbb{R}}{\inf}\sum_{j=1}^n\cos (2^j t),
\end{equation*}
\notag
$$
последовательность чисел $-n v_n$ является субаддитивной. Согласно лемме Фекете существует $\lim_{n\to\infty}v_n$. Выясняется (см. ниже лемму 2), что этот предел равен $-1/2$. Вычисления по формуле (8) дают
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, v_1=\min_{x\in[0,\pi/2]}\cos(2x)=-1, \qquad v_2=\min_{x\in[0,\pi/2]}\frac{\cos(2x)+\cos(4x)}{2}= -\frac{9}{16}=-0.5625, \\ v_3=\min_{x\in[0,\pi/2]}\frac{\cos(2x)+\cos(4x)+\cos(8x)}{3} =-0.58565\dots, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $v_1<v_2>v_3$ (ср. с поведением первых членов последовательности (3)). Затем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, v_4=-0.54532\dots,\qquad v_5=-0.54324\dots,\qquad v_6=-0.53301\dots, \\ v_7=-0.52957\dots \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и так далее. По-видимому, последовательность $v_n$ строго возрастает при $n\geqslant3$. Центральный результат заметки (теорема 3) получается сочетанием двух лемм. Лемма 2. Последовательность (8) удовлетворяет двойному неравенству Неравенство (9) показывает, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}v_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} \inf_{x\in\mathbb{R}}\sum_{k=1}^n\cos (2^k x)=-\frac{1}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Точнее,
$$
\begin{equation*}
v_n=-\frac{1}{2}+O\biggl(\frac{1}{n}\biggr),\qquad n\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
причем $v_n$ сходится снизу к $-1/2$ так, что $-2/3<n(v_n+1/2)\leqslant 0$ при всех $n\in\mathbb{N}$. Дадим краткие указания по обоснованию лемм 2 и 3. Оценка сверху в (9) и оценка снизу в (10) ясны сразу, поскольку при всех $n\in\mathbb{N}$ выполнены соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, v_n&=\frac{1}{n}\inf_{x\in\mathbb{R}}\sum_{k=1}^n\cos (2^k x) \leqslant\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\cos\biggl(2^k\frac{\pi}{3}\biggr)= -\frac{1}{2}, \\ u_n&=\biggl(\sup_{x\in\mathbb{R}}\prod_{k=0}^{n-1} |\sin(2^k x)|\biggr)^{1/n}\geqslant\biggl(\prod_{k=0}^{n-1} \biggl|\sin\biggl(2^k\frac{\pi}{3}\biggr)\biggr|\biggr)^{1/n}= \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценку снизу в (9) выводим с помощью неравенства Коши–Буняковского по схеме
$$
\begin{equation*}
v_n(x)\equiv\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\cos (2^k x)\geqslant -\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\cos^2(2^k x)}= -\sqrt{\frac{1}{2n}\biggl(n+\sum_{k=2}^{n+1}\cos(2^k x)\biggr)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, при всех $x\in\mathbb{R}$ и $n\in\mathbb{N}$ имеем с “поправочным членом”
$$
\begin{equation*}
\gamma_n(x)\equiv\frac{\cos(2^{n+1}x)-\cos(2x)}n\leqslant \frac 2n.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда для величины (8) возникает квадратное неравенство решив которое получим нижнюю оценку в (9). Обратимся, наконец, к правой части (10). Применяя последовательно неравенство о среднем и неравенство Коши–Буняковского, при всех $x\in\mathbb{R}$ и $n\in\mathbb{N}$ запишем
$$
\begin{equation*}
u_n(x)\equiv\biggl(\prod_{k=0}^{n-1}|\sin (2^k x)|\biggr)^{1/n} \leqslant\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}|\sin (2^k x)| \leqslant \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\sin^2(2^k x)}= \sqrt{\frac{1}{2}(1-v_n(x))}.
\end{equation*}
\notag
$$
Переход в неравенстве $u_n(x)\leqslant\sqrt{(1-v_n(x))/2}$ к максимуму по $x\in[0,\pi/2]$ дает нужное. Леммы 2 и 3 обоснованы. Теперь все утверждения теоремы 3 выводятся просто. В самом деле, оценка снизу в (4) та же, что и в (10). Сопоставление левой части (9) с правой частью (10) завершает доказательство теоремы 3. Авторы признательны В. Ю. Протасову за ценные указания на литературные источники, связанные с тематикой работы, и А. П. Солодову за полезные обсуждения. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AlfShe24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|