| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 8 научных статьях (всего в 8 статьях) Стационарная система Навье–Стокса–Буссинеска с регуляризованной диссипативной функцией Е. С. Барановский Воронежский государственный университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624050031 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеПри изучении неизотермических течений несжимаемой вязкой жидкости широко используется система уравнений Навье–Стокса–Буссинеска (см. [1]–[7]). Эта система включает в себя уравнения движения жидкости, условие несжимаемости, а также уравнение баланса энергии, в котором, как правило, игнорируется нелинейное слагаемое, характеризующее переход кинетической энергии в тепловую энергию вследствие вязкого трения. Это слагаемое принято называть диссипативной функцией Рэлея или просто диссипативной функцией. Формальное обнуление диссипативной функции объясняется тем, что при определенных условиях значения данной функции малы по сравнению с другими слагаемыми в уравнении баланса энергии, и поэтому могут быть отброшены. Главная мотивация для использования такого упрощения заключается в том, что игнорирование эффекта вязкой диссипации сильно облегчает математический анализ и нахождение решений моделей тепломассопереноса, основанных на системе Навье–Стокса–Буссинеска. Однако с точки зрения физики и некоторых практических приложений представляет интерес рассмотреть “полные” уравнения, т.е. уравнения со всеми нелинейными членами [8]–[13]. В работе Консигльери [14] доказана слабая разрешимость начально-краевой задачи для модели тепломассопереноса с учетом вязкой диссипации энергии, но этот результат получен для дилатантной жидкости, которая в силу специфической реологии обладает лучшими математическими свойствами по сравнению с классической ньютоновской жидкостью. Основные трудности при построении решения связаны с выводом априорных оценок для распределения температуры и обоснованием сходимости галеркинских приближений. Во всех членах уравнения движения предельный переход успешно реализуется с помощью метода компактности на основе стандартных априорных оценок для поля скоростей. Но этих оценок оказывается недостаточно для предельного перехода в сильно нелинейном уравнении баланса энергии. Для преодоления данной трудности в настоящей работе предложен следующий прием: функция Рэлея заменена на ее регуляризованную (усредненную) версию. В результате удалось вывести подходящие априорные оценки и доказать существование слабого решения краевой задачи для соответствующей стационарной модели неизотермического течения ньютоновской жидкости при естественных допущениях относительно данных (теорема 1). Для доказательства применяется аппроксимационная схема Галеркина и обобщенная теорема Борсука (предложение 1). Полученное решение становится сильным, если предположить, что граница области течения принадлежит классу $C^2$ (замечание 3). Кроме того, с помощью теоремы о локальной однозначной разрешимости операторного уравнения, содержащего изоморфизм с непрерывно дифференцируемым по Фреше возмущением (предложение 3), получены дополнительные условия на данные, при которых слабое решение будет единственным (теорема 2). 2. Постановка задачиРассмотрим систему уравнений в частных производных, описывающих неизотермическое стационарное течение несжимаемой вязкой жидкости (с постоянной плотностью) внутри ограниченной области $\Omega\subset\mathbb{R}^d$, $d=2,3$, с локально-липшицевой границей $\Gamma\overset{\rm def}{=}\partial\Omega$ при условии прилипания и краевых условиях типа Робена для температуры:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} (\boldsymbol{u}\cdot\nabla)\boldsymbol{u}-\mu\Delta\boldsymbol{u}+ \nabla p={\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x},\theta)}&\text{в}\ \ \Omega, \\ \nabla\cdot\boldsymbol{u}=0&\text{в}\ \ \Omega, \\ (\boldsymbol{u}\cdot\nabla)\theta-k\Delta\theta= \Phi_\rho(\boldsymbol{u})+\omega&\text{в}\ \ \Omega, \\ \boldsymbol{u}=\boldsymbol{0}&\text{на}\ \ \Gamma, \\ k\dfrac{\partial\theta}{\partial{\mathbf n}}=-\beta\theta &\text{на}\ \ \Gamma, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где
Для простоты предполагается, что плотность жидкости равна единице. Неизвестными в системе (2.1) являются $\boldsymbol{u}$, $\theta$ и $p$, а все другие величины считаются заданными. Основная цель настоящей статьи – изучить условия существования и единственности решения задачи (2.1) в слабой постановке. При дополнительных предположениях о гладкости границы области $\Omega$ все результаты работы распространяются на случай сильных решений. Замечание 1. Чем меньше диаметр носителя функции $\rho$, тем лучше $\mathbb{D}_\rho(\boldsymbol{u})$ аппроксимирует $\mathbb{D}(\boldsymbol{u})$ в $\boldsymbol{L}^q$-норме. Операция усреднения вида (2.2) обладает также рядом других полезных свойств [15] и широко используется в математической гидродинамике. Эта операция применяется, например, для установления дифференциальных свойств обобщенных решений уравнений Навье–Стокса [16], а также при исследовании разрешимости краевых и начально-краевых задач для регуляризованных и нелокальных моделей неньютоновой гидродинамики [17]–[20]. 3. Обозначения и пространства функцийПусть $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{F}$ – банаховы пространства. Через $\mathscr{L}(\boldsymbol{E},\boldsymbol{F})$ обозначим пространство всех непрерывных линейных операторов из $\boldsymbol{E}$ в $\boldsymbol{F}$. Напомним, что пространства $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{F}$ называются изоморфными, если существует биективное отображение ${\mathbf A}\colon\boldsymbol{E}\to\boldsymbol{F}$ такое, что ${\mathbf A}\in\mathscr{L}(\boldsymbol{E},\boldsymbol{F})$ и ${\mathbf A}^{-1}\in\mathscr{L}(\boldsymbol{F},\boldsymbol{E})$. При этом оператор ${\mathbf A}$ называется изоморфизмом. Через $\operatorname{Isom}(\boldsymbol{E},\boldsymbol{F})$ обозначим множество всех изоморфизмов, действующих из $\boldsymbol{E}$ в $\boldsymbol{F}$. Как обычно, символ $\to$ ($\rightharpoonup$) обозначает сильную (слабую) сходимость в банаховом пространстве, а для обозначения равномерной сходимости используется символ $\rightrightarrows$. Пусть ${\mathbb{X},\mathbb{Y}\in \mathbb{R}^{d\times d}}$. Введем скалярное произведение и норму в $\mathbb{R}^{d\times d}$ по формулам:
$$
\begin{equation*}
\mathbb{X}: \mathbb{Y}\overset{\rm def}{=} \sum_{i,j=1}^d{\rm X}_{ij}{\rm Y}_{ij},\qquad |\mathbb{X}|\overset{\rm def}{=}(\mathbb{X}:\mathbb{X})^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем использовать стандартные обозначения для пространств Лебега $L^q(\Omega)$, $L^q(\Gamma)$, $q\geqslant 1$, и пространства Соболева $H^m(\Omega)\overset{\rm def}{=}W^{m,2}(\Omega)$, ${m\in\mathbb{N}}$. Определения и свойства этих пространств подробно обсуждаются в монографиях [21]–[23]. Когда речь идет о соответствующих классах векторнозначных функций, мы будем использовать жирный шрифт, т.е. ${\boldsymbol{L}^q(\Omega)\overset{\rm def}{=}{L}^q(\Omega)^d}$ и ${\boldsymbol{H}^m(\Omega)\overset{\rm def}{=}H^m(\Omega)^d}$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak{D}(\Omega)&\overset{\rm def}{=}\{\boldsymbol{\phi} \colon\Omega\to\mathbb{R}^d\colon\boldsymbol{\phi}\in \boldsymbol{C}^\infty(\Omega),\, \operatorname{supp}\boldsymbol{\phi}\subset\Omega\}, \\ \boldsymbol{H}(\Omega) & \overset{\rm def}{=} \text{ замыкание множества } \mathfrak{D}(\Omega) \text{ в пространстве Лебега } \boldsymbol{L}^2(\Omega), \\ \boldsymbol{V}(\Omega) & \overset{\rm def}{=} \text{ замыкание множества } \mathfrak{D}(\Omega) \text{ в пространстве Соболева } \boldsymbol{H}^1(\Omega). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Введем скалярное произведение и норму в $\boldsymbol{V}(\Omega)$ по формулам:
$$
\begin{equation*}
(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w})_{\boldsymbol{V}(\Omega)} \overset{\rm def}{=}\int_\Omega \mathbb{D}(\boldsymbol{v}) : \mathbb{D}(\boldsymbol{w})\,d\boldsymbol{x},\qquad \|\boldsymbol{v}\|_{\boldsymbol{V}(\Omega)}\overset{\rm def}{=} (\boldsymbol{v},\boldsymbol{v})_{\boldsymbol{V}(\Omega)}^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из неравенства Корна (см. [24; теорема 6.3.4]) следует, что норма $\|\cdot\|_{\boldsymbol{V}(\Omega)}$ эквивалентна норме, индуцированной из $\boldsymbol{H}^1(\Omega)$. Пусть $\alpha_1>0$ и $\alpha_2>0$. Через $H^1_{\alpha_1,\alpha_2}(\Omega)$ обозначим пространство Соболева $H^1(\Omega)$, снабженное скалярным произведением
$$
\begin{equation*}
(\xi,\zeta)_{H^1_{\alpha_1,\alpha_2}(\Omega)}\overset{\rm def}{=} \alpha_1\int_\Omega \nabla \xi\cdot\nabla\zeta\,d\boldsymbol{x}+ \alpha_2\int_{\Gamma}\xi\zeta\,d\Gamma.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь и далее сужение функций из $H^1(\Omega)$ на $\Gamma$ понимается в смысле теории следов (см, например, [25]). Заметим, что евклидова норма
$$
\begin{equation*}
\|\cdot\|_{H^1_{\alpha_1,\alpha_2}(\Omega)}\overset{\rm def}{=} (\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)_{H^1_{\alpha_1,\alpha_2}(\Omega)}^{1/2}
\end{equation*}
\notag
$$
эквивалентна стандартной $H^1$-норме. Введем также обозначение
$$
\begin{equation*}
\nabla H^1(\Omega)\overset{\rm def}{=}\{\nabla\xi\colon\xi\in H^1(\Omega)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
4. Слабые и сильные решения Определение 1 (слабое решение). Пара $(\boldsymbol{u},\theta)$ называется слабым решением задачи (2.1), если $(\boldsymbol{u},\theta)\in \boldsymbol{V}(\Omega)\times H^1(\Omega)$ и выполнены следующие два равенства: Замечание 2. Отсутствие давления $p$ в определении 1 обусловлено ортогональностью (в пространстве Лебега $\boldsymbol{L}^2(\Omega)$) вектор-функций $\nabla p$ и ${\boldsymbol{v}\in\boldsymbol{V}(\Omega)}$. После нахождения слабого решения $(\boldsymbol{u},\theta)$ можно “восстановить” давление. В самом деле, с помощью теоремы де Рама (см., например, [26; гл. I, § 1]) нетрудно установить существование функции ${p\in{L}^2(\Omega)}$, такой, что тройка $(\boldsymbol{u},\theta, p)$ удовлетворяет первому уравнению системы (2.1) в смысле раcпределений. Определение 2 (сильное решение). Тройка $(\boldsymbol{u},\theta,p)$ называется сильным решением задачи (2.1), если $(\boldsymbol{u}, \theta,p)\in\boldsymbol{H}^2(\Omega)\times H^2(\Omega)\times H^1(\Omega)$ и функции $\boldsymbol{u}$, $\theta$, $p$ почти всюду удовлетворяют системе (2.1). 5. Основные результаты Теорема 1 (существование). Предположим, что: Теорема 2 (единственность). Пусть выполнено условие (i) из теоремы 1. Кроме того, предположим, что: Доказательства этих двух теорем даны в разделах 7 и 8 соответственно. Замечание 3. Из результатов о регулярности решений стационарной системы Навье–Стокса [16], [26] и уравнения Лапласа [27] следует, что свойства гладкости слабых решений задачи (2.1) улучшаются по мере увеличения гладкости данных задачи. Так, например, если в дополнение к условиям теоремы 1 предположить, что $\Gamma\in C^2$, то $\boldsymbol{u}\in\boldsymbol{H}^2(\Omega)$, $\theta\in H^2(\Omega)$ и существует функция $p\in H^1(\Omega)$ такая, что тройка $(\boldsymbol{u},\theta,p)$ удовлетворяет (2.1), т.е. тройка $(\boldsymbol{u},\theta,p)$ – сильное решение этой краевой задачи. Замечание 4. В работе [28] рассмотрен случай сжимаемой жидкости и доказано существование слабых решений краевых задач для уравнений тепломассопереноса с диссипативной функцией Рэлея (без регуляризации) в предположении, что 6. Вспомогательные результатыВ этом разделе приводятся утверждения, необходимые для доказательства теорем 1 и 2. Предложение 1 (обобщенная теорема Борсука [29], [30]). Зафиксируем $r> 0$ и обозначим $\mathcal{B}_r(\boldsymbol{0}) \overset{\rm def}{=}\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^M\colon |\boldsymbol{x}| < r\}$. Предположим, что: Предложение 2 (теорема Красносельского [31]). Пусть $\mathcal{G}$ – измеримое множество положительной меры в $\mathbb{R}^d$ и функция ${\sigma \colon \mathcal{G}\times \mathbb{R}\to\mathbb{R}}$ удовлетворяет следующим условиям: Лемма 1. Для любой вектор-функции $\boldsymbol{v}\in\boldsymbol{V}(\Omega)$ выполнено неравенство в котором Доказательство. Пусть $\boldsymbol{v}\in\boldsymbol{V}(\Omega)$. Используя интегрирование по частям, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \mathbb{D}_{\rho}(\boldsymbol{v})_{ij}(\boldsymbol{x})&=\frac{1}{2} \int_{\Omega}\rho(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}') \biggl(\frac{\partial v_i(\boldsymbol{x}')}{\partial x'_j}+ \frac{\partial v_j(\boldsymbol{x}')}{\partial x'_i}\biggr)\, d\boldsymbol{x}' \\ &=-\frac{1}{2}\int_{\Omega}\biggl(\frac{\partial[\rho(\boldsymbol{x} -\boldsymbol{x}')]}{\partial x_j'}v_i(\boldsymbol{x}')+ \frac{\partial[\rho(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}')]} {\partial x_i'}v_j(\boldsymbol{x}')\biggr)\,d\boldsymbol{x}' \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
для любых $\boldsymbol{x}\in\overline{\Omega}$ и $\boldsymbol{v}\in\boldsymbol{V}(\Omega)$.
Применяя неравенство Коши–Буняковского–Шварца, мы выводим из (6.2) следующую оценку:
$$
\begin{equation*}
\|\mathbb{D}_{\rho} (\boldsymbol{v})\|_{\boldsymbol{C}(\overline{\Omega})}\leqslant \max\biggl\{\biggl|\frac{\partial\rho}{\partial x_s}\biggr|\colon \boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^d,\ s=1,\dots,d\biggr\} \operatorname{meas}(\Omega)^{{1}/{2}} \|\boldsymbol{v}\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)};
\end{equation*}
\notag
$$
тем самым лемма 1 доказана. Лемма 2. Пусть $\{\boldsymbol{v}_{\ell}\}_{{\ell}=1}^\infty\subset \boldsymbol{V}(\Omega)$ и $\boldsymbol{v}_0\in\boldsymbol{V}(\Omega)$. Предположим, что последовательность $\{\boldsymbol{v}_{\ell}\}_{\ell=1}^\infty$ слабо сходится к $\boldsymbol{v}_0$ при $\ell\to\infty$. Тогда Доказательство. Во-первых, заметим, что поскольку пространство $\boldsymbol{V}(\Omega)$ компактно вложено в $\boldsymbol{L}^2(\Omega)$. Следовательно, имеет место равенство
Подставляя $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_{\ell}-\boldsymbol{v}_0$ в (6.1), получаем
$$
\begin{equation*}
\|\mathbb{D}_{\rho}(\boldsymbol{v}_{\ell}- \boldsymbol{v}_0)\|_{\boldsymbol{C}(\overline{\Omega})}\leqslant M(\rho,\Omega)\|\boldsymbol{v}_{\ell}- \boldsymbol{v}_0\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта оценка вместе с (6.4) дает
$$
\begin{equation*}
\lim_{\ell\to\infty}\|\mathbb{D}_{\rho}(\boldsymbol{v}_{\ell}- \boldsymbol{v}_0)\|_{\boldsymbol{C}(\overline{\Omega})}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда и следует равномерная сходимость (6.3). Лемма 2 доказана. Предложение 3 [32]. Пусть $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{F}$ – изоморфные банаховы пространства. Предположим, что 7. Доказательство теоремы 1Доказательство состоит из пяти шагов. Шаг $1$. Галеркинская аппроксимация. Для построения слабого решения задачи (2.1) воспользуемся методом Галеркина. Пусть
Приближенные решения будем искать в виде
$$
\begin{equation}
(\boldsymbol{u}_m,\theta_m)= \biggl(\,\sum_{j=1}^ma_{mj}\boldsymbol{v}_j,\, \sum_{j=1}^mb_{mj}\eta_j\biggr),
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
где $a_{m1},\dots,a_{mm}$, $b_{m1},\dots,b_{mm}$ – неизвестные вещественные числа и $m\in\mathbb{N}$. Рассмотрим следующую двухпараметрическую конечномерную задачу. Задача (P). Требуется найти коэффициенты $a_{m1},\dots,a_{mm}$, $b_{m1},\dots,b_{mm}$, при которых для функций $\boldsymbol{u}_m$ и $\theta_m$ выполняются равенства: Шаг $2$. Вывод априорных оценок. Пусть числа $a_{m1},\dots,a_{mm}$, $b_{m1},\dots,b_{mm}$ удовлетворяют (7.2) и (7.3), где функции $\boldsymbol{u}_m$ и $\theta_m$ определены согласно (7.1). Умножим $j$-е равенство (7.2) на $a_{mj}$, $j=1,\dots,m$. Затем просуммируем полученные равенства по $j$ от $1$ до $m$. Принимая во внимание соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{i=1}^d\int_\Omega u_{mi}\boldsymbol{u}_m\cdot \frac{\partial \boldsymbol{u}_m}{\partial x_i}\,\boldsymbol{dx}&= \frac{1}{2}\sum_{i=1}^d\int_\Omega u_{mi} \frac{\partial|\boldsymbol{u}_m|^2}{\partial x_i}\,\boldsymbol{dx} \\ &=\frac{1}{2}\int_{\Gamma} \underbrace{(\boldsymbol{u}_m\cdot {\mathbf n})}_{=0} |\boldsymbol{u}_m|^2\,d\Gamma-\frac{1}{2}\int_\Omega \underbrace{(\nabla\cdot\boldsymbol{u}_m)}_{=0} |\boldsymbol{u}_m|^2\,\boldsymbol{dx}=0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
приходим к равенству
$$
\begin{equation}
2\mu\int_\Omega|\mathbb{D}(\boldsymbol{u}_m)|^2\,d\boldsymbol{x} =\lambda\int_\Omega\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x},\theta_m)\cdot \boldsymbol{u}_m\,d\boldsymbol{x}.
\end{equation}
\tag{7.4}
$$
Далее, используя условие (iv), неравенство Коши–Буняковского–Шварца и включение $\lambda\in[0,1]$, выводим из (7.4) оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber 2\mu\|\boldsymbol{u}_m\|^2_{\boldsymbol{V}(\Omega)}&= 2\mu\int_\Omega|\mathbb{D}(\boldsymbol{u}_m)|^2\,d\boldsymbol{x} =\lambda\int_\Omega\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x},\theta_m) \cdot\boldsymbol{u}_m\,d\boldsymbol{x} \\ &\leqslant\biggl(\int_\Omega|f_{\max}|^2\,d\boldsymbol{x}\biggr)^{1/2} \biggl(\int_\Omega|\boldsymbol{u}_m|^2\,d\boldsymbol{x}\biggr)^{1/2} =\|f_{\max}\|_{L^2(\Omega)} \|\boldsymbol{u}_m\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.5}
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation}
\|\boldsymbol{u}_m\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}\leqslant \|{\mathbf{Id}}\|_{\mathscr{L}(\boldsymbol{V}(\Omega), \boldsymbol{L}^2(\Omega))} \|\boldsymbol{u}_m\|_{\boldsymbol{V}(\Omega)},
\end{equation}
\tag{7.6}
$$
где ${\mathbf{Id}}$ – тождественный оператор. Комбинируя (7.5) и (7.6), получаем
$$
\begin{equation*}
2\mu\|\boldsymbol{u}_m\|^2_{\boldsymbol{V}(\Omega)}\leqslant \|f_{\max}\|_{L^2(\Omega)}\| {\mathbf{Id}}\|_{\mathscr{L}(\boldsymbol{V}(\Omega), \boldsymbol{L}^2(\Omega))} \|\boldsymbol{u}_m\|_{\boldsymbol{V}(\Omega)},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда непосредственно следует оценка для $\boldsymbol{u}_m$:
$$
\begin{equation}
\|\boldsymbol{u}_m\|_{\boldsymbol{V}(\Omega)}\leqslant \frac{1}{2\mu}\|f_{\max}\|_{L^2(\Omega)} \|{\mathbf{Id}}\|_{\mathscr{L}(\boldsymbol{V}(\Omega), \boldsymbol{L}^2(\Omega))}.
\end{equation}
\tag{7.7}
$$
Умножим теперь (7.3) на $b_{mj}$ и сложим полученные равенства для $j=1,\dots,m$ это дает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &-\lambda\sum_{i=1}^d\int_\Omega u_{mi}\theta_m \frac{\partial\theta_m}{\partial x_i}\,d\boldsymbol{x}+ k\int_\Omega|\nabla \theta_m|^2\,d\boldsymbol{x}+ \beta\int_{\Gamma}|\theta_m|^2\,d\Gamma \\ &\qquad=\dfrac{2\lambda\mu}{c_p}\int_\Omega|\mathbb{D}_\rho (\boldsymbol{u}_m)|^2\theta_m\,d\boldsymbol{x}+ \lambda\int_\Omega\omega\theta_m\,d\boldsymbol{x}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.8}
$$
С помощью интегрирования по частям нетрудно показать, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \sum_{i=1}^d\int_\Omega u_{mi}\theta_m \frac{\partial\theta_m}{\partial x_i}\,\boldsymbol{dx}&= \frac{1}{2}\sum_{i=1}^d\int_\Omega u_{mi} \frac{\partial |\theta_m|^2}{\partial x_i}\,\boldsymbol{dx} \\ &=\frac{1}{2}\int_{\Gamma} \underbrace{(\boldsymbol{u}_m\cdot {\mathbf n})}_{=0}|\theta_m|^2\,d\Gamma-\frac{1}{2}\int_\Omega \underbrace{(\nabla\cdot\boldsymbol{u}_m)}_{=0}|\theta_m|^2\, \boldsymbol{dx}=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.9}
$$
Подставляя (7.9) в (7.8), приходим к равенству
$$
\begin{equation*}
k\int_\Omega |\nabla \theta_m|^2\,d\boldsymbol{x} +\beta\int_{\Gamma}|\theta_m|^2\,d\Gamma= \dfrac{2\lambda\mu}{c_p}\int_\Omega |\mathbb{D}_\rho(\boldsymbol{u}_m)|^2\theta_m\,d\boldsymbol{x}+ \lambda\int_\Omega\omega\theta_m\,d\boldsymbol{x}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из этого равенства с помощью неравенства Коши–Буняковского–Шварца, леммы 1 и включения $\lambda\in[0,1]$ выводим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|\theta_m\|^2_{H_{k,\beta}^1(\Omega)} = k\int_\Omega |\nabla \theta_m|^2\,d\boldsymbol{x} +\beta\int_{\Gamma}|\theta_m|^2\,d\Gamma =\frac{2\lambda\mu}{c_p}\int_\Omega |\mathbb{D}_\rho(\boldsymbol{u}_m)|^2\theta_m\,d\boldsymbol{x} +\lambda\int_\Omega\omega\theta_m\,d\boldsymbol{x} \\ &\qquad\leqslant\frac{2\mu}{c_p}\biggl(\int_\Omega|\mathbb{D}_\rho (\boldsymbol{u}_m)|^4\,d\boldsymbol{x}\biggr)^{1/2} \biggl(\int_\Omega|\theta_m|^2\,d\boldsymbol{x}\biggr)^{1/2} +\biggl(\int_\Omega|\omega|^2\,d\boldsymbol{x}\biggr)^{1/2} \biggl(\int_\Omega|\theta_m|^2\,d\boldsymbol{x}\biggr)^{1/2} \\ &\qquad\leqslant\biggl(\frac{2\mu}{c_p}\|\mathbb{D}_\rho (\boldsymbol{u}_m)\|_{\boldsymbol{C}(\overline{\Omega})}^2 \operatorname{meas}(\Omega)^{1/2}+\|\omega\|_{L^2(\Omega)}\biggr) \|\theta_m\|_{L^2(\Omega)} \\ &\qquad\leqslant \biggl(\frac{2\mu}{c_p} \max\biggl\{\biggl|\frac{\partial\rho}{\partial x_s}\biggr|^2\colon \boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^d,\,s=1,\dots,d\biggr\} \|\boldsymbol{u}_m\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}^2\operatorname{meas} (\Omega)^{3/2}+\|\omega\|_{L^2(\Omega)}\biggr) \\ &\qquad\qquad\times\|\operatorname{Id}\|_{\mathscr{L}(H_{k,\beta}^1(\Omega), L^2(\Omega))}\|\theta_m\|_{H_{k,\beta}^1(\Omega)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \|\theta_m\|_{H_{k,\beta}^1(\Omega)}&\leqslant \biggl(\frac{2\mu}{c_p} \max\biggl\{\biggl|\frac{\partial\rho}{\partial x_s}\biggr|^2\colon \boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^d,\, s=1,\dots,d\biggr\} \\ &\qquad\times\|\boldsymbol{u}_m\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)}^2 \operatorname{meas}(\Omega)^{3/2}+\|\omega\|_{L^2(\Omega)}\biggr) \|\operatorname{Id}\|_{\mathscr{L}(H_{k,\beta}^1 (\Omega),L^2(\Omega))}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.10}
$$
Кроме того, используя (7.7), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|\boldsymbol{u}_m\|_{\boldsymbol{L}^2(\Omega)} \leqslant \|{\mathbf{Id}}\|_{\mathscr{L}(\boldsymbol{V}(\Omega), \boldsymbol{L}^2(\Omega))}\|\, \|\boldsymbol{u}_m\|_{\boldsymbol{V}(\Omega)} \leqslant\frac{1}{2\mu}\|{\mathbf{Id}}\|_{\mathscr{L}(\boldsymbol{V} (\Omega),\boldsymbol{L}^2(\Omega))}^2\|f_{\max}\|_{L^2(\Omega)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.11}
$$
Из (7.10) и (7.11) выводим оценку для $\theta_m$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \|\theta_m\|_{H_{k,\beta}^1(\Omega)} &\leqslant \biggl(\frac{2\mu}{c_p}\max \biggl\{\biggl|\frac{\partial\rho}{\partial x_s}\biggr|^2\colon \boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^d,\ s=1,\dots,d\biggr\}\frac{1}{4\mu^2}\|{\mathbf{Id}}\|_{\mathscr{L} (\boldsymbol{V}(\Omega),\boldsymbol{L}^2(\Omega))}^4 \\ &\quad\times \|f_{\max}\|_{L^2(\Omega)}^2 \operatorname{meas}(\Omega)^{3/2}+ \|\omega\|_{L^2(\Omega)}\biggr) \,\|\operatorname{Id}\|_{\mathscr{L} (H_{k,\beta}^1(\Omega),L^2(\Omega))}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.12}
$$
Поскольку $\{\boldsymbol{v}_j\}_{j=1}^\infty$ – ортогональный нормированный базис в пространстве $\boldsymbol{V}(\Omega)$, а $\{\eta_j\}_{j=1}^\infty$ – ортогональный нормированный базис в $H_{k,\beta}^1(\Omega),$ то из (7.1) вытекают следующие равенства:
$$
\begin{equation*}
\|\boldsymbol{u}_m\|^2_{\boldsymbol{V}(\Omega)}= \sum_{i=1}^ma_{mi}^2,\qquad \|\theta_m\|^2_{H_{k,\beta}^1(\Omega)}=\sum_{i=1}^mb_{mi}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Принимая во внимание (7.7) и (7.12), получаем, что
$$
\begin{equation}
\sum_{i=1}^ma_{mi}^2 \leqslant\frac{1}{4\mu^2} \|f_{\max}\|_{L^2(\Omega)}^2\|{\mathbf{Id}}\|_{\mathscr{L} (\boldsymbol{V}(\Omega),\boldsymbol{L}^2(\Omega))}^2,
\end{equation}
\tag{7.13}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \sum_{i=1}^mb_{mi}^2 \leqslant \biggl(\frac{2\mu}{c_p} \max\biggl\{\biggl|\frac{\partial\rho}{\partial x_s}\biggr|^2\colon \boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^d,\,s=1,\dots,d\biggr\} \frac{1}{4\mu^2}\|{\mathbf{Id}}\|_{\mathscr{L} (\boldsymbol{V}(\Omega),\boldsymbol{L}^2(\Omega))}^4
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\times \|f_{\max}\|_{L^2(\Omega)}^2 \operatorname{meas}(\Omega)^{3/2}+ \|\omega\|_{L^2(\Omega)}\biggr)^2 \|\operatorname{Id}\|_{\mathscr{L}(H_{k,\beta}^1 (\Omega),L^2(\Omega))}^2.
\end{equation}
\tag{7.14}
$$
Шаг $3$. Разрешимость галеркинских аппроксимаций. Заметим, что правые части априорных оценок (7.13) и (7.14) не зависят от параметров $m$ и $\lambda$, поэтому мы можем применить предложение 1 для обоснования разрешимости задачи P. При этом непрерывность соответствующих отображений устанавливается с помощью предложения 2. Шаг $4$. Предельный переход. Из предыдущего шага вытекает, что задача P имеет решение при любом $\lambda\in[0,1]$, в частности, при $\lambda=1$. Соответствующие коэффициенты галеркинского разложения обозначим через $\widehat{a}_{m1},\dots,\widehat{a}_{mm}$, $\widehat{b}_{m1},\dots,\widehat{b}_{mm}$. Тогда функции $\widehat{\boldsymbol{u}}_m$ и $\widehat{\theta}_m$, заданные по формуле
$$
\begin{equation*}
(\widehat{\boldsymbol{u}}_m,\widehat{\theta}_m)\overset{\rm def}{=} \biggl(\,\sum_{j=1}^m\widehat{a}_{mj}\boldsymbol{v}_j,\, \sum_{j=1}^m\widehat{b}_{mj}\eta_j\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяют следующим равенствам:
$$
\begin{equation}
\nonumber -\sum_{i=1}^d\int_\Omega\widehat{u}_{mi}\widehat{\boldsymbol{u}}_m \cdot\frac{\partial\boldsymbol{v}_j}{\partial x_i}\,d\boldsymbol{x}+ 2\mu\int_\Omega\mathbb{D}(\widehat{\boldsymbol{u}}_m): \mathbb{D}(\boldsymbol{v}_j)\,d\boldsymbol{x}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad=\int_\Omega\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x},\widehat{\theta}_m) \cdot\boldsymbol{v}_j\,d\boldsymbol{x},\quad j=1,\dots,m,
\end{equation}
\tag{7.15}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber -\sum_{i=1}^d\int_\Omega \widehat{u}_{mi}\widehat{\theta}_m \frac{\partial \eta_j}{\partial x_i}\,d\boldsymbol{x}+ k\int_\Omega \nabla \widehat{\theta}_m\cdot \nabla\eta_j\,d\boldsymbol{x}+ \beta\int_{\Gamma}\widehat{\theta}_m\eta_j\,d\Gamma
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad=\frac{2\mu}{c_p}\int_\Omega|\mathbb{D}_\rho (\widehat{\boldsymbol{u}}_m)|^2\eta_j\,d\boldsymbol{x}+ \int_\Omega\omega\eta_j\,d\boldsymbol{x},\quad j=1,\dots,m.
\end{equation}
\tag{7.16}
$$
Рассмотрим последовательность галеркинских решений $\{(\widehat{\boldsymbol{u}}_m,\widehat{\theta}_m)\}_{m=1}^\infty$. Ясно, что полученная нами ранее оценка (7.7) останется верной, если заменить в ней $\boldsymbol{u}_m$ на $\widehat{\boldsymbol{u}}_m$. Таким образом, последовательность $\{\widehat{\boldsymbol{u}}_m\}_{m=1}^\infty$ ограничена в $\boldsymbol{V}(\Omega).$ Аналогично, принимая во внимание оценку (7.12), делаем вывод о том, что последовательность $\{\widehat{\theta}_m\}_{m=1}^\infty$ ограничена в $H_{k,\beta}^1(\Omega)$, а значит эта последовательность ограничена также в $H^1(\Omega)$. Поэтому существует пара $(\boldsymbol{u}_0,\theta_0)\in\boldsymbol{V}(\Omega) \times H^1(\Omega)$ такая, что $\widehat{\boldsymbol{u}}_{m_j}\rightharpoonup \boldsymbol{u}_0$ слабо в $\boldsymbol{V}(\Omega)$ и $\widehat{\theta}_{m_j}\rightharpoonup \theta_0$ слабо в $H^1(\Omega)$ для некоторой подпоследовательности $\{m_j\}_{j=1}^\infty$. Не ограничивая общности, можно считать, что
$$
\begin{equation}
\widehat{\boldsymbol{u}}_m \rightharpoonup \boldsymbol{u}_0 \quad \text{слабо в}\ \ \boldsymbol{V}(\Omega) \quad \text{при}\ \ m\to\infty,
\end{equation}
\tag{7.17}
$$
$$
\begin{equation}
\widehat{\theta}_m \rightharpoonup \theta_0 \quad\text{слабо в}\ \ H^1(\Omega) \quad\text{при}\ \ m\to\infty.
\end{equation}
\tag{7.18}
$$
Из этих сходимостей и компактности вложения $H^1(\Omega)\subset L^4(\Omega)$ следует, что
$$
\begin{equation}
\widehat{\boldsymbol{u}}_m \to \boldsymbol{u}_0 \quad\text{сильно в}\ \ \boldsymbol{L}^4(\Omega) \quad\text{при}\ \ m\to\infty,
\end{equation}
\tag{7.19}
$$
$$
\begin{equation}
\widehat{\theta}_m \to \theta_0 \quad\text{сильно в}\ \ L^4(\Omega) \quad\text{при}\ \ m\to\infty.
\end{equation}
\tag{7.20}
$$
Из (7.17) и леммы 2 вытекает, что
$$
\begin{equation}
\mathbb{D}_{\rho}(\widehat{\boldsymbol{u}}_m)\rightrightarrows \mathbb{D}_{\rho}(\boldsymbol{u}_0)\quad \text{на}\ \ \overline{\Omega}\quad \text{при}\ \ m\to\infty.
\end{equation}
\tag{7.21}
$$
Кроме того, применяя предложение 2, получаем следующую сходимость:
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{f}(\,\cdot\,,\widehat{\theta}_m)\to \boldsymbol{f}(\,\cdot\,,\theta_0)\quad \text{в}\ \ \boldsymbol{L}^2(\Omega) \quad\text{при}\ \ m\to\infty.
\end{equation}
\tag{7.22}
$$
Используя сходимости (7.17)–(7.22), осуществим предельный переход при ${m\to\infty}$ в равенствах (7.15) и (7.16):
$$
\begin{equation}
\nonumber -\sum_{i=1}^d\int_\Omega u_{0i}\boldsymbol{u}_0\cdot \frac{\partial\boldsymbol{v}_j}{\partial x_i}\,d\boldsymbol{x}+ 2\mu\int_\Omega\mathbb{D}(\boldsymbol{u}_0): \mathbb{D}(\boldsymbol{v}_j)\,d\boldsymbol{x}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad=\int_\Omega\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x},\theta_0)\cdot \boldsymbol{v}_j\,d\boldsymbol{x},\quad j=1,\dots,m,
\end{equation}
\tag{7.23}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber -\sum_{i=1}^d\int_\Omega u_{0i}\theta_0 \frac{\partial \eta_j}{\partial x_i}\,d\boldsymbol{x}+ k\int_\Omega \nabla \theta_0\cdot\nabla\eta_j\,d\boldsymbol{x}+ \beta\int_{\Gamma}\theta_0\eta_j\,d\Gamma
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad=\frac{2\mu}{c_p}\int_\Omega |\mathbb{D}_\rho(\boldsymbol{u}_0)|^2\eta_j\,d\boldsymbol{x}+ \int_\Omega\omega\eta_j\,d\boldsymbol{x},\quad j=1,\dots,m.
\end{equation}
\tag{7.24}
$$
Так как $\{\boldsymbol{v}_j\}_{j=1}^\infty$ – базис в $\boldsymbol{V}(\Omega)$, а $\{\eta_j\}_{j=1}^\infty$ – базис в $H_{k,\beta}^1(\Omega),$ то равенства (7.23) и (7.24) останутся верными, если заменить функции $\boldsymbol{v}_j$ и $\eta_j$ на произвольные функции $\boldsymbol{v}\in\boldsymbol{V}(\Omega)$ и $\eta\in H^1(\Omega)$ соответственно:
$$
\begin{equation}
-\sum_{i=1}^d\int_\Omega u_{0i}\boldsymbol{u}_0\cdot \frac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial x_i}\,d\boldsymbol{x}+ 2\mu\int_\Omega\mathbb{D}(\boldsymbol{u}_0): \mathbb{D}(\boldsymbol{v})\,d\boldsymbol{x}= \int_\Omega\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x},\theta_0)\cdot \boldsymbol{v}\,d\boldsymbol{x},
\end{equation}
\tag{7.25}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{split} &-\sum_{i=1}^d\int_\Omega u_{0i}\theta_0 \frac{\partial\eta}{\partial x_i}\,d\boldsymbol{x}+ k\int_\Omega \nabla \theta_0\cdot\nabla\eta\,d\boldsymbol{x}+ \beta\int_{\Gamma}\theta_0\eta\,d\Gamma \\ &\qquad=\frac{2\mu}{c_p} \int_\Omega|\mathbb{D}_\rho(\boldsymbol{u}_0)|^2\eta\, d\boldsymbol{x}+\int_\Omega\omega\eta\,d\boldsymbol{x}, \end{split}
\end{equation}
\tag{7.26}
$$
откуда следует, что пара $(\boldsymbol{u}_0,\theta_0)$ – слабое решение задачи (2.1). Шаг $5$. Вывод энергетических равенств. Подставим $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{u}_0$ в (7.25) и $\eta=\theta_0$ в (7.26). С помощью интегрирования по частям приходим к энергетическим равенствам (5.1) и (5.2) c $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_0$ и $\theta=\theta_0$, завершив тем самым доказательство теоремы 1. 8. Доказательство теоремы 2Введем операторы:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \boldsymbol{A}\colon\boldsymbol{V}(\Omega)\times H^1(\Omega)&\to [\boldsymbol{V}(\Omega)]^*\times [H^1(\Omega)]^*,&\quad \boldsymbol{A}(\boldsymbol{u},\theta)&\overset{\rm def}{=} (\boldsymbol{A}_1\boldsymbol{u},\boldsymbol{A}_2\theta), \\ \boldsymbol{B}\colon\boldsymbol{V}(\Omega)\times H^1(\Omega)&\to [\boldsymbol{V}(\Omega)]^*\times [H^1(\Omega)]^*,&\quad \boldsymbol{B}(\boldsymbol{u},\theta)&\overset{\rm def}{=} (\boldsymbol{B}_1(\boldsymbol{u},\theta), \boldsymbol{B}_2(\boldsymbol{u},\theta)), \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
предполагая, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \langle\boldsymbol{A}_1\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}\rangle_{[\boldsymbol{V}(\Omega)]^*\times \boldsymbol{V}(\Omega)}&\overset{\rm def}{=}2\mu \int_\Omega\mathbb{D}(\boldsymbol{u}) : \mathbb{D}(\boldsymbol{v})\,d\boldsymbol{x}, \\ \langle\boldsymbol{A}_2\theta,\eta\rangle_{[H^1(\Omega)]^*\times H^1(\Omega)}&\overset{\rm def}{=}k\int_\Omega \nabla \theta\cdot \nabla\eta\,d\boldsymbol{x}+\beta\int_{\Gamma}\theta\eta\,d\Gamma, \\ \langle\boldsymbol{B}_1(\boldsymbol{u},\theta), \boldsymbol{v}\rangle_{[\boldsymbol{V}(\Omega)]^*\times \boldsymbol{V}(\Omega)}&\overset{\rm def}{=} -\sum_{i=1}^d\int_\Omega {u}_i\boldsymbol{u}\cdot \frac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial x_i}\,d\boldsymbol{x} -\int_\Omega \boldsymbol{P}_L\boldsymbol {f}(\boldsymbol{x},\theta) \cdot\boldsymbol{v}\,d\boldsymbol{x}, \\ \langle\boldsymbol{B}_2(\boldsymbol{u},\theta), \eta\rangle_{[H^1(\Omega)]^*\times H^1(\Omega)}&\overset{\rm def}{=} -\sum_{i=1}^d\int_\Omega {u}_i\theta \frac{\partial\eta}{\partial x_i}\,d\boldsymbol{x}-\frac{2\mu}{c_p} \int_\Omega|\mathbb{D}_\rho(\boldsymbol{u})|^2\eta\,d\boldsymbol{x}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, введем функционал $\omega^\star\in [H^1(\Omega)]^*$:
$$
\begin{equation*}
\langle\omega^\star,\eta\rangle_{[H^1(\Omega)]^*\times H^1(\Omega)} \overset{\rm def}{=} \int_\Omega \omega\eta\,d\boldsymbol{x}.
\end{equation*}
\notag
$$
Принимая во внимание легко проверяемое равенство
$$
\begin{equation*}
\int_\Omega \boldsymbol{P}_L\boldsymbol {f}(\boldsymbol{x},\theta) \cdot\boldsymbol{v}\,d\boldsymbol{x}= \int_\Omega \boldsymbol {f}(\boldsymbol{x},\theta)\cdot \boldsymbol{v}\,d\boldsymbol{x},
\end{equation*}
\notag
$$
справедливое для любых $\theta\in H^1(\Omega)$ и $\boldsymbol{v}\in\boldsymbol{V}(\Omega)$, нетрудно понять, что задача (2.1) в слабой формулировке (см. определение 1) эквивалентна следующему уравнению:
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{A}(\boldsymbol{u},\theta)+ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{u},\theta)=(0,\omega^\star).
\end{equation}
\tag{8.1}
$$
Применяя предложение 3 к операторному уравнению (8.1), c учетом условий (i), (v) и (vi) получаем, что существует положительная константа $\varepsilon$ такая, что для любой функции $\omega\in L^2(\Omega)$, удовлетворяющей неравенству $\|\omega\|_{L^2(\Omega)}\leqslant \varepsilon$, задача (2.1) имеет единственное слабое решение в некоторой окрестности пары $(\boldsymbol{0},0)$ в пространстве $\boldsymbol{V}(\Omega)\times H^1(\Omega)$. Таким образом, теорема 2 доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bar24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|