| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Заметка об Т. С. Замбарнаяa, Б. С. Байжановab a Институт математики и математического моделирования Министерства науки и высшего образования Республики Казахстан, г. Алматы b Университет им. С. Демиреля, г. Алматы, Казахстан
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624030386 
Реферативные базы данных:
  Полная теория первого порядка $T$ называется $n$-арной, если каждая ее формула эквивалентна булевой комбинации формул с максимум $n$ свободными переменными. Почти о-минимальные теории с менее чем $2^{\aleph_0}$ счетными моделями, так же, как и слабо о-минимальные теории конечного ранга выпуклости с менее чем $2^{\aleph_0}$ моделями, являются бинарными [1], [2]. В [3] была подтверждена гипотеза Воота для бинарных стационарно упорядоченных теорий. В [4] Кулпешов ввел понятие бинарного 1-типа для линейно упорядоченных теорий. Он доказал что $\aleph_0$-категоричная слабо о-минимальная теория бинарна тогда и только тогда, когда каждый неалгебраический тип из $S_1(T)$ бинарен. Мы рассматриваем немного отличное понятие $n$-арности $m$-типа и показываем, что теория $n$-арна тогда и только тогда, когда для каждого $m> n$ каждый полный $m$-тип над пустым множеством $n$-арен. Пусть $n<m<\omega$. Мы говорим что $m$-формула $n$-арна, если она эквивалентна булевой комбинации $n$-формул. Теория $T$ $n$-арна, если всякая ее формула $n$-арна. Тип $p\in S_m(T)$ $n$-арен, если $p$ является единственным расширением множества $\bigcup_{\substack{p'\in S_n(T) \\ p'\subset p}} p'$ до полного $m$-типа над пустым множеством. Здесь $S_m(T)$ – это множество всех полных $m$-типов теории $T$ над пустым множеством. Теорема 1. Пусть $T$ – полная теория счетного языка, и пусть $2\leqslant n<\omega$. Тогда теория $T$ $n$-арна тогда и только тогда, когда для каждого $m> n$ всякий тип $p\in S_m(T)$ является $n$-арным. Доказательство. ($\Longrightarrow$) Пусть $\varphi\in p$ – $m$-формула. Так как теория $T$ $n$-арна, формула $\varphi$ $n$-арна и может быть записана следующим образом: $\varphi=\bigvee_{i=1}^{k}\varphi_i$, где $k\in\mathbb N$, и каждая $\varphi_i$, $1\leqslant i\leqslant k$, – это конъюнкция формул с $n$ свободными переменными. Так как $\varphi\in p$, как минимум одна из формул $\varphi_i$ принадлежит типу $p$. Для каждого $i$, $1\leqslant i\leqslant k$, $\varphi_i=\bigwedge_{j=1}^{i_k}\varphi^j_i$, где $i_k\in\mathbb N$, и каждая $\varphi_i^j$ является $n$-формулой. Если $\varphi_i\in p$, то каждая $\varphi_i^j$ также принадлежит типу $p$. Поскольку $\varphi_i^j$ – это $n$-формула, $\varphi_i^j\in p''$ для некоторого полного $n$-типа $p''\subset p$. Тогда как минимум для одного $i$, $1\leqslant i\leqslant k$, и всех $j$, $1\leqslant j\leqslant i_k$, $\varphi^j_i\in \bigcup_{\substack{p'\in S_n(T)\\ p'\subset p}}p'$. Следовательно, $\varphi_i$, так же, как и $\varphi$, принадлежит каждому полному расширению $\bigcup_{\substack{p'\in S_n(T)\\ p'\subset p}}p'$. Так как тип $\varphi\in p$ произволен, все расширения $\bigcup_{\substack{p'\in S_n(T)\\ p'\subset p}}p'$ до полного $n$-типа совпадают.
($\Longleftarrow$) Предположим, что для всякого $m> n$ и всякого $p\in S_m(T)$, тип $p$ является единственным расширением множества $\bigcup_{\substack{p'\in S_n(T) \\ p'\subset p}} p'$ до полного $m$-типа над пустым множеством. На пути к противоречию, пусть $\varphi(x_1,x_2,\dots,x_m)$ будет $m$-формулой ($m> n$), не эквивалентной никакой булевой комбинации $n$-формул. Тогда $\neg\varphi$ также не эквивалентна булевой комбинации $n$-формул. Обозначим через $\Psi:=\{\psi_i(x_1,x_2,\dots,x_m)\}_{i<\omega}$ перечисление всех пусто-определимых $n$-арных $m$-формул. Пусть $M$ будет счетно насыщенной моделью теории $T$. Зададим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, p_1(x_1,x_2,\dots,x_m):=\bigl\{\psi_i(x_1,x_2,\dots,x_m)\mid i<\omega \text{ такой, что } \varphi(M)\subset\psi_i(M)\bigr\}; \\ p_2(x_1,x_2,\dots,x_m):=\bigl\{\neg\psi_i(x_1,x_2,\dots,x_m)\mid i<\omega \text{ такой, что } \psi_i(M)\subset\varphi(M)\bigr\}; \\ p_1':=p_1(x_1,x_2,\dots,x_m)\cup\{\neg\varphi(x_1,x_2,\dots,x_m)\}; \\ p_2':=p_2(x_1,x_2,\dots,x_m)\cup\{\varphi(x_1,x_2,\dots,x_m)\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\varphi(M)\subset p_1(M)$ и $(M-p_2(M))\subset \varphi(M)$. Множество $p_1'$ совместно. Иначе должна существовать конечная конъюнкция $n$-арных $m$-формул из $p_1$, несовместная с $\varphi$. Тогда множество определяемое этой конъюнкцией должно совпадать с $\varphi(M)$, что невозможно, поскольку $\varphi$ не $n$-арная формула. Совместность $p_2'$ доказывается аналогично.
Также обозначим
$$
\begin{equation*}
p(x_1,x_2,\dots,x_m):=p_1(x_1,x_2,\dots,x_m)\cup p_2(x_1,x_2,\dots,x_m).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, рассматривая множества реализаций этих типов, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, p(M)&=p_1(M)\cap p_2(M)=\bigl(p'_1(M)\cup\varphi(M)\bigr)\cap \bigl(p'_2(M)\cup\neg\varphi(M)\bigr) \\ &=\bigl(p'_1(M)\cap p'_2(M)\bigr)\cup\bigl(p'_1(M)\cap\neg\varphi(M)\bigr)\cup \bigl(\varphi(M)\cap p'_2(M)\bigr)\cup\bigl(\varphi(M)\cap\neg\varphi(M)\bigr) \\ &=\varnothing\cup p_1'(M)\cup p'_2(M)\cup\varnothing= p_1'(M)\cup p_2'(M). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что заданные типы не обязательно полны. Для $\overline a\in M^m$ обозначим Предложение 1. Существуют $\overline a\in p_1'(M)$, $\overline b\in p_2'(M)$ такие, что $\operatorname{tp}^n(\overline a)=\operatorname{tp}^n(\overline b)$. Доказательство. Пусть $i$ – наименьший индекс для которого $\psi_i,\neg\psi_i\in(\Psi- p)$. Тогда оба множества $\psi_i(M)\cap\varphi(M)$ и $\psi_i(M)\cap\neg\varphi(M)$ непустые. Без потери общности $\psi_i(M)\cap p(M)\ne\varnothing$. В противном случае формула $\neg\psi_i$ обладает данным свойством, и мы используем ее индекс в $\Psi$ вместо $i$. Обозначим $I_1:=\{i\}$. Выполняется как минимум один из следующих случаев:
1) Случай $\psi_i(M)\cap p_1'(M)\ne\varnothing$. Тогда мы показываем, что $\psi_i(M)\cap p_2'(M)\ne\varnothing$. Если это не так, должна существовать формула $\neg\psi\in p_2$ такая, что $\psi_i(M)\cap\neg\psi(M)\cap\varphi(M)= \varnothing$. Тогда $\psi_i(M)\subset\psi(M)\subset\varphi(M)$. Следовательно, $n$-арная формула $\neg(\psi_i\land \neg\psi)$ должна принадлежать $p_1$, в то время как множество задаваемое формулой $\psi_i\land \neg\psi$ имеет непустое пересечение с $p_1(M)$, что невозможно. 2) Случай $\psi_i(M)\cap p_2'(M)\ne\varnothing$. Аналогично предыдущему случаю мы можем показать, что $\psi_i(M)\cap p_1'(M)\ne\varnothing$. Иначе получаем формулу $\psi\in p_1$ такую, что $\psi_i(M)\cap\psi(M)\cap\neg\varphi(M)=\varnothing$ и $\neg(\psi_i\land\psi)\in p_2$, что невозможно. Пусть $j\ne i$ – наименьший индекс, для которого $\psi_j,\neg\psi_j\in(\Psi-p)$. Если $\psi_j(M)\cap\psi_i(M)\cap p(M)=\varnothing$, обозначим $I_2:=I_1=\{i\}$ и перейдем к следующему шагу. Предположим, Если, к примеру, $\psi_j(M)\cap\psi_i(M)\cap p_2'(M)\ne\varnothing$, то множество $\psi_j(M)\cap\psi_i(M)\cap\neg\varphi(M)$ должно быть непустым. В противном случае множество, определяемое $n$-формулой $\psi_j\land \psi_i$, строго лежит в $\varphi(M)$, что невозможно, так как $\psi_j(M)\cap\psi_i(M)\cap p_2(M)\ne\varnothing$.Теперь, зная, что определимое множество формулы $\psi_i\land\psi_j$ имеет непустые пересечения как с $\varphi(M)$, так и с $\neg\varphi(M)$, и как минимум одно из ее пересечений с $p_1'(M)$ или $p_2'(M)$ также непусто, можем применить доказательства случаев 1) и 2) к $\psi_i\land\psi_j$ вместо $\psi_i$. Сделав это, получим, что оба $\psi_j(M)\cap\psi_i(M)\cap p_2'(M)$ и $\psi_j(M)\cap\psi_i(M)\cap p_1'(M)$ не пустые. Обозначим $I_2:=I_1\cup\{j\}$. Продолжим данный процесс. На шаге $l+1$ найдем следующий наименьший неиспользованный индекс $k$. Либо $\psi_k(M)\cap p(M)$ не пересекается с пересечением всех определимых множеств выбранных ранее формул, либо мы показываем, что $\psi_k\land\bigwedge_{i\in I_l}\psi_i$ задает множество с непустым пересечением как с $p_1(M)$, так и с $p_2(M)$. В последнем случае пусть $I_{l+1}:=I_{l}\cup\{k\}$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
I:=\bigcup_{i<\omega}I_i,\qquad q:=p(x_1,x_2,\dots,x_m)\cup \{\psi_i(x_1,x_2,\dots,x_m)\mid i\in I\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из определения множества $I$ следует совместность $q$. Более того, оно в некотором роде “полное”: по построению всякая $n$-арная $m$-формула либо сама, либо ее отрицание, принадлежит типу $q$.
Если зададим
$$
\begin{equation*}
q_1':=q\cup\{\psi(x_1,\dots,x_m)\},\qquad q_2':=q\cup\{\neg\psi(x_1,\dots,x_m)\},
\end{equation*}
\notag
$$
то реализации $\overline a\in q_1'(M)$, $\overline b\in q_2'(M)$ удовлетворяют требованиям предложения 1. Пусть кортежи $\overline a=(a_1,a_2,\dots,a_m)$ и $\overline b=(b_1,b_2,\dots,b_m)$ будут заданы как в предложении 1. Для любых $i_1,i_2,\dots,i_n$ таких, что $1\leqslant i_1<i_2<\cdots<i_n\leqslant m$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{tp}(a_{i_1},a_{i_2},\dots,a_{i_n})&\subseteq \operatorname{tp}^n(a_1,a_2,\dots,a_m)\subseteq \operatorname{tp}(a_1,a_2,\dots,a_m), \\ \operatorname{tp}(b_{i_1},b_{i_2},\dots,b_{i_n})&\subseteq \operatorname{tp}^n(b_1,b_2,\dots,b_m)\subseteq \operatorname{tp}(b_1,b_2,\dots,b_m). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\operatorname{tp}^n(a_1,a_2,\dots,a_m)= \operatorname{tp}^n(b_1,b_2,\dots,b_m)$, имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{tp}(a_{i_1},a_{i_2},\dots,a_{i_n})= \operatorname{tp}(b_{i_1},b_{i_2},\dots,b_{i_n}).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\varphi(x_1,x_2,\dots,x_m)\in \operatorname{tp}(a_1,a_2,\dots,a_m)$ и $\varphi(x_1,x_2,\dots,x_m) \not\in \operatorname{tp}(b_1,b_2,\dots,b_m)$, эти типы различны. Более того, $\operatorname{tp}(a_1,a_2,\dots,a_m)$ и $\operatorname{tp}(b_1,b_2,\dots,b_m)$ оба являются расширениями типа
$$
\begin{equation*}
\bigcup_{1\leqslant i_1<i_2<\dots<i_n\leqslant m} \operatorname{tp}(a_{i_1},a_{i_2},\dots,a_{i_n}) =\bigcup_{1\leqslant i_1<i_2<\dots<i_n\leqslant m} \operatorname{tp}(b_{i_1},b_{i_2},\dots,b_{i_n}).
\end{equation*}
\notag
$$
Но это невозможно поскольку предполагается, что такое расширение единственно.
Тем самым было доказано, что в $n$-арной теории всякий полный $m$-тип ($m> n$) над пустым множеством единственным образом определяется объединением полных $n$-типов над пустым множеством. И, в обратную сторону, теория, все типы которой соответствуют описанию, является $n$-арной. Дальнейшее следствие легко вытекает из определений и теоремы 1. Следствие 1. Пусть $T$ – $n$-арная теория в счетном языке. Тогда $T$ мала тогда и только тогда, когда множество $S_n(T)$ конечно либо счетно. Если $S_n(T)$ конечно, то для каждого $m>n$ $S_m(T)$ также конечно. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ZamBai24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|