| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Об однозначной разрешимости нелокальных задач для абстрактных сингулярных уравнений А. В. Глушак Белгородский государственный национальный исследовательский университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624050067 
Реферативные базы данных:
  1. Введение и постановка задачиПусть $E$ – комплексное банахово пространство и $A,B$ – линейные замкнутые операторы в $E$, области определения $D(A)$, $D(B)$ которых не обязательно плотны в $E$. Еще ряд ограничений на эти операторы будет указан в процессе изложения доказываемых утверждений. Мы будем изучать нелокальные задачи на конечном интервале $0<t<1$, поскольку общий случай изменения $0<t<T$ сводится к рассматриваемому заменой переменной $t$ на $t/T$. Рассмотрим уравнение вида
$$
\begin{equation}
B\biggl( u''(t)+\frac{k}{t}u'(t)\biggr)=Au(t), \qquad 0<t<1,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
которое, в случае $B\neq I$, обобщает абстрактное уравнение Эйлера–Пуассона–Дарбу. Постановка граничных и нелокальных условий, в силу сингулярности (при $k\neq 0$) рассматриваемого уравнения в точке $t=0$, зависит от параметра $k\in \mathbb{R}$ и эти условия будут приведены далее. Налагаемые в дальнейшем нелокальные интегральные условия допустимо трактовать в духе теории управления: требуется найти решение дифференциального уравнения (1.1) с заданным начальным состоянием при $t=0$ и обладающее неким предписанным средним значением. Как указано в [1], условия такого вида возникают, например, при исследовании диффузии частиц в турбулентной плазме, процессов влагопереноса в капиллярно-пористых средах и др. Уравнение вида (1.1) называют уравнением соболевского типа или дескрипторным. Задача Коши для сингулярного уравнения (1.1) с фредгольмовым оператором $B$ изучалась ранее в [2], [3]. Подробный обзор о разрешимости несингулярных уравнений соболевского типа можно найти, например, в [4]. Нелокальные задачи для уравнения (1.1), вообще говоря, не являются корректными, но необходимость решать некорректные задачи в настоящее время является общепризнанной (см. введение в книге [5] и имеющуюся в ней обширную библиографию). Ряд результатов посвященных нелокальным задачам для абстрактных уравнений первого порядка получен ранее в [6]–[8], а для сингулярных уравнений второго порядка, но при более жестких чем в настоящей работе условиях на оператор $A$ – в [9]–[11]. Нелокальные задачи для уравнений в частных производных, содержащих дифференциальный оператор Бесселя по пространственной переменной, изучались в [12]–[15]. Мы приведем достаточные условия однозначной разрешимости различных нелокальных задач для сингулярного уравнения (1.1) на конечном интервале $[0,1]$. Отличительной особенностью настоящей работы является установление связи между решениями нелокальных задач и соответствующими решениями граничных задач. 2. Случай $k\geqslant0$, условие Неймана при $t=0$Пусть $k\geqslant 0$. Рассмотрим задачу определения функции принадлежащей вместе со своими производными области $D=D(A)\cap D(B)$ при $t \in (0,1)$, удовлетворяющей уравнению (1.1) и граничному условию Неймана при $t=0$ а также нелокальному условию вида где $\displaystyle \eta=(k-1)/2$, $\alpha >0$, $\Gamma(\cdot)$ – гамма-функция Эйлера и $I_{0+;2,\eta}^{\alpha}$ – оператор Эрдейи–Кобера, определяемый равенством (см. [16; с. 246])
$$
\begin{equation*}
I_{0+;2,\eta}^{\alpha}u(t)=\frac{2}{\Gamma(\alpha)t^{2(\alpha+\eta)}} \int_{0}^{t}s^{2\eta+1}(t^2-s^2)^{\alpha-1}u(s)\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Это нелокальное условие в развернутой записи имеет вид
$$
\begin{equation}
\frac{2}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{1}t^k (1-t^2)^{\alpha-1}u(t)\,dt=u_0.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Отметим, что частный случай нелокального условия (2.2) при $\alpha=1$ и по пространственной переменной встречался ранее в работах [1], [12]. В дальнейшем неоднократно мы будем использовать функцию
$$
\begin{equation}
Y_{k}(t;\lambda)=\Gamma\biggl(\frac k2+\frac12\biggr) \biggl(\frac{t\sqrt{\lambda}}2\biggr)^{1/2-k/2}I_{k/2-1/2}\bigl(t\sqrt{\lambda}\bigr),
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где $I_{\nu}(\cdot)$ – модифицированная функция Бесселя. Функция $Y_k(t;\lambda)$ является решением скалярного уравнения Эйлера–Пуассона–Дарбу (случай $B=I$, $A=\lambda I$ в уравнении (1.1)) и, кроме того, $Y_k(0;\lambda)=1$, $Y'_k(0;\lambda)=0$. Для задачи (1.1), (2.1), (2.2) в [17] доказан следующий критерий единственности решения нелокальной задачи. Теорема 1. Пусть $k\geqslant0$, $\alpha>0$ и $A,B$ – линейные замкнутые операторы в $E$. Предположим, что нелокальная задача (1.1), (2.1), (2.2) имеет решение $u(t)$. Для того, чтобы это решение было единственным, необходимо и достаточно, чтобы ни при каком $\lambda_{m}=\lambda_m(k,\alpha)$, $m\in \mathbb{N}$, являющимся нулем задаваемой равенством (2.3) функции $\Upsilon_{k,\alpha}(\lambda)=Y_{k+2\alpha}(1;\lambda)$, операторное уравнение не имело бы ненулевого решения $h$. При установлении разрешимости нелокальной задачи (1.1), (2.1), (2.2) мы будем использовать установленное в [18] и приводимое далее утверждение об однозначной разрешимости некоторой граничной задачи. Обозначим через $\rho(B,A)$ множество $\mu\in\mathbb{C}$ таких, что существует ограниченный обратный $(\mu B-A)^{-1}$ и это множество будем называть резольвентным множеством оператора $A$ относительно $B$. Теорема 2. Предположим, что $k\geqslant 0$, $u_1\in D(A^2)\cap D(B)$, $A,B$ – линейные замкнутые коммутирующие на элементах из $D(A^2)\cap D(B)$ операторы. Пусть также для всех $n\in \mathbb{N}$ нули $\xi_{n}$, определяемой равенством (2.3) функции $Y_{k}(1;\lambda)$, принадлежат резольвентному множеству $\rho(B,A)$ оператора $A$ относительно $B$ и выполнена оценка Пусть для задачи (1.1), (2.1), (2.2) выполнены условия теоремы 1 о единственности решения нелокальной задачи и, кроме того, для значения параметра $k+2\alpha$ сингулярного уравнения (1.1) справедливы условия установленной в [18] теоремы 2, в которой требуется выполнение условия коммутативности операторов $A$ и $B$, а также соответствующая оценка обратного оператора $(\mu B-A)^{-1}$. При выполнении указанных условий существует единственное решение $u_{k+2\alpha}(t)$ граничной задачи
$$
\begin{equation}
B(u''(t)+\frac{k+2\alpha}{t}u'(t))=Au(t), \qquad \lim_{t\to 0+}t^{k+2\alpha} u'(t)=0, \qquad u(1)=u_1,
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
определяемое равенством (2.5) после замены в этом представлении параметра $k$ на $k+2\alpha$. Используя (см., например, [19], [20]) операторы движения решения по параметру
$$
\begin{equation*}
\Phi_k u(t)=t^{k-1}u(t), \qquad I^\alpha_{t^2}u(t)=\biggl(\frac{1}{t}\, \frac{d}{dt}\biggr)^{\alpha}u(t),
\end{equation*}
\notag
$$
где для дробного $\alpha>0$ (см. [16; с. 248])
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\biggl(\frac{1}{t}\, \frac{d}{dt}\biggr)^{\alpha}u(t)=\biggl(\frac{1}{t} \, \frac{d}{dt}\biggr)^{[\alpha]+1} \biggl(\frac{1}{t}\, \frac{d}{dt}\biggr)^{\{\alpha\}-1} \\ &\qquad =\frac{2^{\{\alpha\}}}{\Gamma(1-\{\alpha\})} \biggl(\frac{1}{t} \,\frac{d}{dt}\biggr)^{[\alpha]+1} \int_{0}^{t} \tau (t^2-\tau^2)^{-\{\alpha\}}u(\tau)\,d\tau, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
по решению $u_{k+2\alpha}(t)$ граничной задачи (2.6) построим следующее решение уравнения (1.1):
$$
\begin{equation}
u_k(t)=t^{1-k}\biggl(\frac{1}{t} \,\frac{d}{dt}\biggr)^{\alpha}(t^{k+2\alpha-1}u_{k+2\alpha}(t)),
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
и покажем, что это решение $u_{k}(t)$ удовлетворяет нужным нам условиям (2.1), (2.2). Вначале будем предполагать, что $ \alpha \in \mathbb{N}$. Отметим, что возможность дифференцирования функции $u_{k+2\alpha}(t)$ можно обеспечить дополнительным требованием принадлежности определяющего это решение элемента $u_1$ множеству $D(A^{2+\alpha})\cap D(B)$. Решение уравнения (1.1) $u_{k}(t)$ удовлетворяет условию (2.1), поскольку это решение можно записать в виде
$$
\begin{equation*}
u_{k}(t)=c_1 u_{k+2\alpha}(t)+c_2 t^2 u'_{k+2\alpha}(t)+\dotsb
\end{equation*}
\notag
$$
с некоторыми постоянными $c_1,c_2,\dots$ и при этом, как следует из представления (2.5), $u'_{k+2\alpha}(0)=0$. Проверим далее справедливость условия (2.2) для этого же решения. Подставим $u_{k}(t)$ в левую часть условия (2.2) и после интегрирования по частям будем иметь
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \frac{2}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{1}t^k (1-t^2)^{\alpha-1}u_k(t)\,dt= \frac{2}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{1}t (1-t^2)^{\alpha-1}\biggl(\frac{1}{t}\, \frac{d}{dt}\biggr)^{\alpha}t^{k+2\alpha-1}u_{k+2\alpha}(t)\, dt \\ \notag &\qquad =\frac{2^2}{\Gamma(\alpha-1)}\int_{0}^{1}t (1-t^2)^{\alpha-2}\biggl(\frac{1}{t}\, \frac{d}{dt}\biggr)^{\alpha-1}t^{k+2\alpha-1}u_{k+2\alpha}(t)\, dt=\dotsb \\ &\qquad =\frac{2^{\alpha}}{\Gamma(1)}\int_{0}^{1}t \biggl(\frac{1}{t}\, \frac{d}{dt}\biggr)t^{k+2\alpha-1}u_{k+2\alpha}(t)\, dt=2^{\alpha}u_{k+2\alpha}(1)=2^{\alpha}u_{1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Если в граничной задаче (2.6) выбрать $u_1$ так, чтобы $2^{\alpha}u_{1}=u_0$, то в силу равенства (2.9) решение уравнения (1.1) $u_{k}(t)$ будет удовлетворять и условию (2.2). Пусть теперь $\alpha>0$, $\{\alpha\}>0$ и в задаче (2.6) $u_1\in D(A^{3+[\alpha]})\cap D(B)$. Используя определяемое равенством (2.7) понятие дробной степени операции весового дифференцирования, функцию $u_{k}(t)$ запишем в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u_{k}(t) &=t^{1-k}\biggl(\frac{1}{t}\,\frac{d}{dt}\biggr)^{\alpha}t^{k+2\alpha-1}u_{k+2\alpha}(t) \\ &=t^{1-k}\biggl(\frac{1}{t}\,\frac{d}{dt}\biggr)^{[\alpha]+1}\frac{2^{1-\alpha}}{\Gamma(1-\{\alpha\})} \int_{0}^{t}(t^2-\tau^2)^{-\{\alpha\}}\tau^{k+2\alpha}u_{k+2\alpha}(\tau)\, d\tau \\ &=\frac{2^{1-\alpha}t^{1-k}}{\Gamma(1-\{\alpha\})} \biggl(\frac{1}{t}\,\frac{d}{dt}\biggr)^{[\alpha]+1} \biggl( t^{2[\alpha]+k+1}\int_{0}^{1}(1-s^2)^{-\{\alpha\}}s^{k+2\alpha}u_{k+2\alpha}(ts)\, ds\biggr) \\ &=d_1 \int_{0}^{1}(1-s^2)^{-\{\alpha\}}s^{k+2\alpha}u_{k+2\alpha}(ts)\, ds \\ &\qquad+ d_2 t^2 \int_{0}^{1}(1-s^2)^{-\{\alpha\}}s^{k+2\alpha}u'_{k+2\alpha}(ts)\, ds+\dotsb \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
с некоторыми постоянными $d_1,d_2,\dots$, и при этом $u'_{k+2\alpha}(0)=0$. Следовательно, и в этом случае решение уравнения (1.1) $u_{k}(t)$ удовлетворяет условию (2.1). Проверим теперь справедливость условия (2.2) для этого же решения. Подставим $u_{k}(t)$ в левую часть условия (2.2) и, используя дробные интеграл $I^\alpha_{0+}$ и производную $D^\alpha_{0+}$ в форме Римана–Лиувилля [16; с. 41], а также формулу (2.60) из [16; теорема 2.4] о действии операции дробного интегрирования на операцию дифференцирования, будем иметь
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \frac{2}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{1}\tau^k (1-\tau^2)^{\alpha-1}u_k(\tau)\, dt =\frac{2}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{1}\tau (1-\tau^2)^{\alpha-1}\biggl(\frac{1}{\tau}\, \frac{d}{d\tau}\biggr)^{\alpha}\tau^{k+2\alpha-1}u_{k+2\alpha}(\tau)\, d\tau \\ \notag &\qquad =\frac{2^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{1} (1-s)^{\alpha-1}\biggl(\frac{d}{ds}\biggr)^{\alpha} s^{k/2-1/2+\alpha}u_{k+2\alpha}(\sqrt{s})\, ds \\ &\qquad = 2^{\alpha}I^\alpha_{0+}D^\alpha_{0+}\bigl(s^{k/2-1/2+\alpha}u_{k+2\alpha}(\sqrt{s}) \bigr) \big|_{s=1}=2^\alpha u_{k+2\alpha}(1)=2^\alpha u_1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
При этом мы учли, что все входящие в формулу (2.60) из [16] слагаемые, которые вычисляются в точке $t=0$, обращаются в нуль. Если в граничной задаче (2.6) выбрать $u_1$ так, чтобы $2^{\alpha}u_{1}=u_0$, то в силу равенства (2.10) решение уравнения (1.1) $u_{k}(t)$ будет удовлетворять и условию (2.2). Таким образом, при любых $\alpha > 0$ решение задачи (1.1), (2.1), (2.2) единственно и имеет вид
$$
\begin{equation}
u_k(t)=-\frac{t^{1-k}}{2^{\alpha-1}} \biggl(\frac{1}{t}\,\frac{d}{dt}\biggr)^{\alpha}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^{k+2\alpha-1} Y_{k+2\alpha}(t;\lambda_{n})}{Y'_{k+2\alpha}(1;\lambda_{n})}\lambda_{n}B(\lambda_{n}B-A)^{-1}u_0,
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
где $\lambda_n=\lambda_n(k,\alpha)$, $n\in \mathbb{N}$ – нули задаваемой равенством (2.3) функции $\Upsilon_{k,\alpha}(\lambda)=Y_{k+2\alpha}(1;\lambda)$, $u_0\in D_{\alpha}$, $D_{\alpha}=D(A^{2+\alpha})\cap D(B)$ при $\alpha \in \mathbb{N}$ и $D_{\alpha}=D(A^{3+[\alpha]})\cap D(B)$ при остальных $\alpha>0$. Полученный результат сформулируем в виде теоремы. Теорема 3. Предположим $k\geqslant 0$, $\alpha > 0$, $u_0\in D_{\alpha}$, $A,B$ – линейные замкнутые коммутирующие на элементах из $D_{\alpha}$ операторы. Пусть также для всех $n\in \mathbb{N}$ нули $\lambda_{n}=\lambda_n(k,\alpha)$, определяемой равенством (2.3) функции $\Upsilon_{k,\alpha}(\lambda)=Y_{k+2\alpha}(1;\lambda)$, принадлежат резольвентному множеству $\rho(B,A)$ оператора $A$ относительно $B$ и выполнена оценка Отметим, что ранее в статье [9] соответствующая теорема об однозначной разрешимости задачи (1.1), (2.1), (2.2) была установлена другим методом при $B=I$ и более жестких чем в настоящей работе условиях на оператор $A$. Пример 1. Пусть в уравнении (1.1) $B=I$, а оператор $-A$ является генератором операторной косинус-функции $C(t;-A)$ экспоненциального роста $\omega$, для резольвенты которого, как известно, справедлива оценка (2.12). Тогда в случае, если в задаче (1.1), (2.1), (2.2) параметры удовлетворяют условиям $0\leqslant k<2$, $\alpha=1-k/2$, $k+2\alpha=2$, то решение граничной задачи (2.6) имеет вид (см. пример 2 [18]) Далее для $u_0\in D(A^{3})$ по формуле (2.8) запишем решение нелокальной задачи (1.1), (2.1), (2.2)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u_k(t) &=t^{1-k}\biggl(\frac{1}{t}\,\frac{d}{dt}\biggr)^{1-k/2}(tu_{2}(t)) \\ &=2^{k/2-1}t^{1-k}\biggl(\frac{1}{t}\,\frac{d}{dt}\biggr)^{1-k/2} \biggl(\sin \pi t \int_{0}^{\infty} \frac{C(s;-A)u_0\, ds}{\operatorname{ch} \pi s+\cos \pi t} \biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, при $k=0$ получим
$$
\begin{equation*}
u_0(t)=\frac{1}{2}\,\frac{d}{dt}\biggl(\sin \pi t \int_{0}^{\infty} \frac{C(s;-A)u_0\, ds}{\operatorname{ch} \pi s+\cos \pi t}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Если в задаче (1.1), (2.1), (2.2) $0<k<2$, $\alpha=1-k/2<1$, то, в силу (2.7) решение нелокальной задачи (1.1), (2.1), (2.2) будет иметь вид Пример 2. Предположим, что в задаче (1.1) оператор $A$ является умножением на скаляр $A<0$ и $B=1$. Тогда в случае, если в задаче (1.1), (2.1), (2.2) параметры удовлетворяют условиям $k\geqslant 0$, $\alpha>0$, то, опять таки, в силу примера 2 [18] решение граничной задачи (2.6) имеет вид Если $\{\alpha\}>0$, то, учитывая (2.7), по формуле (2.8) решение нелокальной задачи (1.1), (2.1), (2.2) представимо в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u_k(t) &=t^{1-k} \biggl(\frac{1}{t}\,\frac{d}{dt}\biggr)^\alpha (t^{k-1+2\alpha} u_{k+2\alpha}(t)) \\ &=\frac{t^{1-k}}{2^\alpha J_{k/1-1/2+\alpha}(\sqrt{-A})u_0} \biggl(\frac{1}{t}\,\frac{d}{dt}\biggr)^\alpha \bigl(t^{k/2-1/2+\alpha}J_{k/2-1/2+\alpha}(t\sqrt{-A}) \bigr) \\ &=\frac{2^{-\alpha}t^{1-k}u_0}{\Gamma(1-\{\alpha\})J_{k/2-1/2+\alpha}(\sqrt{-A})} \\ &\qquad\times \biggl(\frac{1}{t}\,\frac{d}{dt}\biggr)^{[\alpha]+1} \int_{0}^{t} \tau^{k/2+1/2+\alpha} (t^2-\tau^2)^{-\{\alpha\}} J_{k/2-1/2+\alpha}\bigl(t\sqrt{-A}\bigr)\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Последний интеграл вычисляется (см. 2.12.4.6 [21]), поэтому
$$
\begin{equation*}
u_k(t)=\frac{t^{1/2-k/2}(\sqrt{-A})^\alpha J_{k/2-1/2}(t\sqrt{-A}) u_0} {2^{\alpha} J_{k/2-1/2+\alpha}(\sqrt{-A})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно проверить, что в случае $\{\alpha\}=0$ для решения $u_k(t)$ имеет место это же представление. Заметим, что в справедливости нелокального условия (2.2) для функции $u_k(t)$ легко убедиться, используя интеграл 2.12.4.6 [21]. В частности, если $k=1$, $\alpha=1/2$, то решение нелокальной задачи (1.1), (2.1), (2.2) имеет вид 3. Случай $k<1$, условие Дирихле при $t=0$Пусть $k<1$. Рассмотрим задачу определения функции принадлежащей вместе со своими производными области $D=D(A)\cap D(B)$ при $t \in (0,1)$, удовлетворяющей уравнению (1.1), граничному условию Дирихле при $t=0$ а также нелокальному условию вида
$$
\begin{equation}
\frac{2}{\Gamma(\beta)}\int_{0}^{1}t (1-t^2)^{\beta-1} u(t)\, dt=u_0, \qquad \beta>0
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
или, используя оператор Эрдейи–Кобера, Для задачи (1.1), (3.1), (3.2) в [17] доказан приводимый далее критерий единственности решения нелокальной задачи. Теорема 4. Пусть $k<1$, $\beta>0$ и $A,B$ – линейные замкнутые операторы в $E$. Предположим, что нелокальная задача (1.1), (3.1), (3.2) имеет решение $u(t)$. Для того, чтобы это решение было единственным, необходимо и достаточно, чтобы ни при каком $\lambda_{m}=\lambda_{m}(k,\beta)$, $m\in \mathbb{N}$, являющимся нулем функции $\Psi_{k,\beta}(\lambda)=Y_{2\beta+2-k}(1;\lambda)$, где функция $Y_{2\beta+2-k}(t;\lambda)$ задается равенством (2.3), операторное уравнение (2.4) не имело бы ненулевого решения $h$. При установлении разрешимости нелокальной задачи (1.1), (3.1), (3.2) мы также будем использовать установленное в [18] утверждение об однозначной разрешимости некоторой граничной задачи. Теорема 5. Предположим $k<1$, $u_1\in D(A^2)\cap D(B)$, $A,B$ – линейные замкнутые коммутирующие на элементах из $D(A^2)\cap D(B)$ операторы. Пусть также для всех $n\in \mathbb{N}$ нули $\eta_{n}$, определяемой равенством (2.3) функции $Y_{2-k}(1;\lambda)$, принадлежат резольвентному множеству $\rho(B,A)$ оператора $A$ относительно $B$ и выполнена оценка Пусть для задачи (1.1), (3.1), (3.2) выполнены условия теоремы 4 о единственности решения нелокальной задачи и, кроме того, для значения параметра $k-2\beta$ сингулярного уравнения (1.1) выполнены условия теоремы 5, тогда существует единственное решение $u_{k-2\beta}(t)$ граничной задачи
$$
\begin{equation}
B\biggl(u''(t)+\frac{k-2\beta}{t}u'(t)\biggr)=Au(t), \qquad u(0)=0, \quad u(1)=u_1,
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
определяемое равенством (3.3) после замены в этом представлении параметра $k$ на $k-2\beta$. Будем предполагать, что $\beta \in \mathbb{N}$. Подобно тому, как это было сделано в п. 2, используя оператор движения решения по параметру, по решению $u_{k-2\beta}(t)$ граничной задачи (3.4) построим решение уравнения (1.1) в виде
$$
\begin{equation}
u_k(t)=\biggl(\frac{1}{t}\,\frac{d}{dt}\biggr)^{\beta}u_{k-2\beta}(t),
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
и покажем, что это решение $u_{k}(t)$ удовлетворяет нужным нам условиям (3.1), (3.2). Решение уравнения (1.1) $u_{k}(t)$ удовлетворяет условию (3.1) поскольку это решение можно записать в виде
$$
\begin{equation*}
u_{k}(t)=c_1 t^{1-k}u_{k-2\beta}(t)+c_2 t^{3-k}u'_{k-2\beta}(t)+\dotsb
\end{equation*}
\notag
$$
с некоторыми постоянными $c_1,c_2,\dots$ . Проверим далее справедливость условия (3.2) для этого же решения. Подставим $u_{k}(t)$ в левую часть условия (3.2) и аналогично (2.9) после интегрирования по частям будем иметь
$$
\begin{equation}
\frac{2}{\Gamma(\beta)}\int_{0}^{1}t (1-t^2)^{\beta-1}u_k(t)\, dt= \frac{2}{\Gamma(\beta)}\int_{0}^{1}t (1-t^2)^{\beta-1}\biggl(\frac{1}{t}\, \frac{d}{dt}\biggr)^{\beta}u_{k-2\beta}(t)\, dt=2^\beta u_1.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Выбирая в граничной задаче (3.4) $u_1$ так, чтобы $2^{\beta}u_{1}=u_0$, в силу равенства (3.6) установим справедливость условия (3.2). Пусть теперь $\beta>0$, $\{\beta\}>0$ и в задаче (3.4) $u_1\in D(A^{3+[\beta]})\cap D(B)$. Тогда определяемую равенством (3.5) функцию $u_{k}(t)$ запишем в виде
$$
\begin{equation*}
u_{k}(t)=\biggl(\frac{1}{t}\,\frac{d}{dt}\biggr)^{\beta}( t^{1-k+2\beta}v_{k-2\beta}(t)),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
v_k(t)=-2 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{Y_{2\beta+2-k}(t;\lambda_n)}{Y'_{2\beta+2-k}(1;\lambda_n)} \lambda_{n}B(\lambda_{n}B-A)^{-1}u_1,
\end{equation*}
\notag
$$
$\lambda_{n}=\lambda_{n}(k,\beta)$ – нули, определяемой равенством (2.3) функции $\Psi_{k,\beta}(\lambda)=Y_{k-2\beta}(1;\lambda)$. После чего дальнейшая проверка справедливости условий (3.1), (3.2) проводится подобно тому, как это было сделано в п. 2 для случая дробного $\alpha$. Таким образом, можно утверждать, что в случае $\beta> 0$ решение задачи (1.1), (3.1), (3.2) единственно и имеет вид
$$
\begin{equation}
u_k(t)=-\frac{1}{2^{\beta-1}} \biggl(\frac{1}{t}\,\frac{d}{dt}\biggr)^{\beta} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^{1-k+2\beta} Y_{2\beta+2-k}(t;\lambda_{n})}{Y'_{2\beta+2-k}(1;\lambda_{n})} \lambda_{n}B(\lambda_{n}B-A)^{-1}u_0,
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
где $u_0\in D_{\beta}$, $D_{\beta}=D(A^{2+\beta})\cap D(B)$ при $\beta \in \mathbb{N}$ и $D_{\beta}=D(A^{3+[\beta]})\cap D(B)$ при остальных $\beta>0$. Полученный результат сформулируем в виде теоремы. Теорема 6. Пусть $k<1$, $\beta >0$, $u_0\in D_{\beta}$, $A,B$ – линейные замкнутые коммутирующие на элементах из $D_{\beta}$ операторы в $E$. Пусть также для всех $n\in \mathbb{N}$ нули $\lambda_{n}=\lambda_{n}(k,\beta)$, определяемой равенством (2.3) функции $\Psi_{k,\beta}(\lambda)=Y_{2\beta+2-k}(1;\lambda)$, принадлежат резольвентному множеству $\rho(B,A)$ оператора $A$ относительно $B$ и выполнена оценка Пример 3. Пусть в уравнении (1.1) $B=I$, а оператор $-A$ является генератором операторной косинус-функции $C(t;-A)$ экспоненциального роста $\omega$, для резольвенты которого, как известно, справедлива оценка (3.8). Тогда в случае, если в задаче (1.1), (3.1), (3.2) параметры удовлетворяют условиям $0< k<1$, $\beta=k/2$, $k-2\beta=0$, то решение граничной задачи (3.4) имеет вид (см. пример 1 [18]) Далее для $u_0\in D(A^{3})$, учитывая (2.7), по формуле (3.5) получим решение нелокальной задачи (1.1), (3.1), (3.2) в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u_k(t) &=\biggl(\frac{1}{t}\,\frac{d}{dt}\biggr)^{k/2}u_{0}(t)= \biggl(\frac{1}{t}\,\frac{d}{dt}\biggr)^{k/2} \frac{\sin \pi t}{2^{k/2}} \int_{0}^{\infty} \frac{C(s;-A)u_0\, ds}{\operatorname{ch} \pi s+\cos \pi t} \\ &=\frac{1}{\Gamma(k/2)t} \frac{d}{dt}\biggl( \int_{0}^{t} \tau (t^2-\tau^2)^{k/2-1} \sin \pi \tau \int_{0}^{\infty} \frac{C(s;-A)u_0 ds}{\operatorname{ch} \pi s+\cos \pi \tau}\, d\tau\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пример 4. Пусть в уравнении (1.1) оператор $A$ является умножением на скаляр $A<0$ и $B=1$. Тогда в случае, если в задаче (1.1), (3.1), (3.2) параметры удовлетворяют условиям $k<1$, $\beta >0$, то в силу примера 1 [18] запишем решение граничной задачи (3.4) Пусть $\{\beta\}>0$, учитывая (2.7), по формуле (3.5) получим решение нелокальной задачи (1.1), (3.1), (3.2) в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u_k(t) &=\biggl(\frac{1}{t}\,\frac{d}{dt}\biggr)^\beta u_{k-2\beta}(t)= \biggl(\frac{1}{t}\,\frac{d}{dt}\biggr)^\beta \frac{t^{1/2-k/2+\beta}J_{1/2-k/2+\beta}(t \sqrt{-A})}{2^\beta J_{1/2-k/2+\beta}( \sqrt{-A})}u_0 \\ &=\frac{2^{-[\beta]}u_0}{\Gamma(1-\{\beta\})J_{1/2-k/2+\beta}(\sqrt{-A})} \\ &\qquad\times \biggl(\frac{1}{t}\,\frac{d}{dt}\biggr)^{[\beta]+1} \int_{0}^{t} \tau^{3/2-k/2+\beta} (t^2-\tau^2)^{-\{\beta\}} J_{1/2-k/2+\beta}(t\sqrt{-A})\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Последний интеграл вычисляется (см. 2.12.4.6 [21]), поэтому
$$
\begin{equation*}
u_k(t)=\frac{t^{1/2-k/2}(\sqrt{-A})^\beta J_{1/2-k/2}(t\sqrt{-A}) u_0} {2^{\beta} J_{1/2-k/2+\beta}(\sqrt{-A})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно проверить, что в случае $\{\beta\}=0$ для решения $u_k(t)$ имеет место это же представление. Отметим, что в справедливости нелокального условия (3.2) для функции $u_k(t)$ можно убедиться, используя интеграл 2.12.4.6 [21]. В частности, при $k=0$ решение нелокальной задачи (1.1), (3.1), (3.2) имеет вид 4. Нелокальное условие второго рода. Случай $k\geqslant 0$, условие Неймана при $t=0$Вместо нелокального условия (2.2) для уравнения (1.1) зададим условие вида
$$
\begin{equation}
a \int_{0}^{1} t^k u(t)\, dt+b u'(1)=u_0, \qquad a \neq 0, \quad b\neq 0.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Такого вида нелокальное условие для уравнений в частных производных встречалось ранее в [13], [14]. В этом пункте мы установим соответствующие теоремы о разрешимости задачи (1.1), (2.1), (4.1). Для этой задачи в [17] доказан следующий критерий единственности решения. Теорема 7. Пусть $k\geqslant 0$ и $A,B$ – линейные замкнутые операторы в $E$. Предположим, что нелокальная задача (1.1), (2.1), (4.1) имеет решение $u(t)$. Для того, чтобы это решение было единственным, необходимо, а случае $u(t)\in C^3((0,1],D)$, и достаточно, чтобы ни при каком $\lambda_{m}$, $m\in \mathbb{N}_0$, являющимся нулем функции $\Phi_{k,a,b}(\lambda)=(a+b\lambda)Y_{k+2}(1;\lambda)$, где функция $Y_{k+2}(t;\lambda)$ задается равенством (2.3), операторное уравнение (2.4) не имело бы ненулевого решения. Пусть для задачи (1.1), (2.1), (4.1) выполнены условия теоремы 7 о единственности решения нелокальной задачи и, кроме того, для значения параметра $k+2$ сингулярного уравнения (1.1) выполнены условия теоремы 2. Тогда существует единственное решение $u_{k+2}(t)$ граничной задачи (2.6) при $\alpha=1$, определяемое равенством (2.5) после замены в этом представлении параметра $k$ на $k+2$. Отметим, что факт отсутствия ненулевого решения уравнения (2.4) при $\lambda=-a/b$ пока не используется. Он будет учтен в дальнейшем. Также как и при доказательстве теоремы 3 по решению $u_{k+2}(t)$ граничной задачи (2.6) построим следующее решение уравнения (1.1) Как и прежде, это решение удовлетворяет условию (2.1). Покажем, что решение $u_{k}(t)$ удовлетворяет и условию (4.1). Подставив $u_{k}(t)$ в левую часть условия (4.1), получим
$$
\begin{equation*}
a \int_{0}^{1}t^k u_k(t)\, dt+b u'_k(1)= a\int_{0}^{1} \frac{d}{dt} (t^{k+1}u_{k+2}(t))\, dt+b u'_k(1)=a u_1+b u'_k(1),
\end{equation*}
\notag
$$
и нелокальное условие (4.1) будет выполнено, если граничное значение $u_1$ в задаче (2.6) удовлетворяет равенству Поскольку в силу формулы (4.2)
$$
\begin{equation*}
Bu'_k(t)=B\bigl((k+2)u'_{k+2}(t)+tu''_{k+2}(t)\bigr) =tB\biggl(u''_{k+2}(t)+\frac{k+2}{t}u'_{k+2}(t)\biggr)= tAu_{k+2}(t),
\end{equation*}
\notag
$$
то в граничной задаче (2.6) значение $u_1$ следует выбрать так, чтобы Возможность такого выбора можно обеспечить обратимостью оператора $aB+bA$, потребовав принадлежность числа $\lambda=-a/b$ резольвентному множеству $\rho(B,A)$, и тогда $u_1=(aB+bA)^{-1}Bu_0$. Таким образом, решение задачи (1.1), (2.1), (4.1) единственно и имеет вид
$$
\begin{equation}
u_k(t)=t^{-k} \frac{d}{dt} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^{k+1} Y_{k+2}(t;\lambda_{n})}{Y'_{k+2}(1;\lambda_{n})} \lambda_{n}B^2(\lambda_{n}B-A)^{-1}(aB+bA)^{-1}u_0,
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
где $u_0\in D(A^{3})\cap D(B^2)$, $\lambda_n$, $n\in \mathbb{N}$, – нули задаваемой равенством (2.3) функции $\Phi_{k,a,b}(\lambda)=(a+b\lambda)Y_{k+2}(1;\lambda)$. Полученный результат сформулируем в виде теоремы. Теорема 8. Предположим $k\geqslant 0$, $u_0\in D(A^{3})\cap D(B^2)$, $A,B$ – линейные замкнутые коммутирующие на элементах из $D(A^{3})\cap D(B^2)$ операторы. Пусть также для всех $n\in \mathbb{N}$ нули $\lambda_{n}$, определяемой равенством (2.3) функции $\Phi_{k,a,b}(\lambda)= (a+b\lambda)Y_{k+2}(1;\lambda)$, принадлежат резольвентному множеству $\rho(B,A)$ оператора $A$ относительно $B$ и выполнена оценка Пример 5. Пусть в задаче (1.1), (2.1), (4.1) $k=0$, $-a/b \in \rho(A)$, $B=I$, и оператор $-A$ является генератором операторной косинус-функции $C(t;-A)$ экспоненциального роста $\omega$, для резольвенты которого, как известно, справедлива оценка (4.4). Тогда по формуле (4.2) решение нелокальной задачи (1.1), (2.1), (4.1) имеет вид где $u_2(t)$ определено в примере 1, и, следовательно, Пример 6. Пусть в уравнении (1.1) оператор $A$ является умножением на скаляр $A<0$ и $B=1$. Тогда в случае, если в задаче (1.1), (2.1), (4.1) параметры удовлетворяют условиям $k\geqslant 0$, $a+bA\neq 0$, то в силу примера 2 решение граничной задачи (2.6) имеет вид В частности, при $k=0$ имеем представление 5. Нелокальное условие второго рода. Случай $k<1$, условие Дирихле при $t=0$Пусть $k<1$. В этом случае для уравнения (1.1) вместо нелокального условия второго рода (4.1) следует задавать условие вида
$$
\begin{equation}
a \int_{0}^{1} t u(t)\, dt+b\lim_{t\to 1} (t^{k-1}u(t) )'=0, \qquad a \neq 0, \quad b\neq 0.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Для задачи (1.1), (3.1), (5.1) в [17] доказан следующий критерий единственности решения. Теорема 9. Пусть $k<1$ и $A,B$ – линейные замкнутые операторы в $E$. Предположим, что нелокальная задача (1.1), (3.1), (5.1) имеет решение $u(t)$. Для того, чтобы это решение было единственным, необходимо, а случае $u(t)\in C^3((0,1],D)$, и достаточно, чтобы ни при каком $\lambda_{m}$, $m\in \mathbb{N}_0$, являющимся нулем функции $\Theta_{k,a,b}(\lambda)=(a+b\lambda)Y_{4-k}(1;\lambda)$, где функция $Y_{4-k}(t;\lambda)$ задается равенством (2.3), операторное уравнение (2.4) не имело бы ненулевого решения. Пусть для задачи (1.1), (3.1), (5.1) выполнены условия теоремы 9 о единственности решения нелокальной задачи и, кроме того, для значения параметра $k-2$ сингулярного уравнения (1.1) выполнены условия теоремы 5. Тогда существует единственное решение $u_{k-2}(t)$ граничной задачи (3.4) при $\beta=1$, определяемое равенством (3.3) после замены в этом представлении параметра $k$ на $k-2$. Факт отсутствия ненулевого решения уравнения (2.4) при $\lambda=-a/b$ пока не используется. Он будет учтен в дальнейшем. Также как и при доказательстве теоремы 6 по решению $u_{k-2}(t)$ граничной задачи (3.4) построим следующее решение уравнения (1.1): Определяемое равенством (5.2) решение удовлетворяет условию (3.1). Покажем, что это решение $u_{k}(t)$ удовлетворяет и условию (5.1). Подставив $u_{k}(t)$ в левую часть условия (5.1), будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &a \int_{0}^{1}t u_k(t)\, dt+b\lim_{t\to 1} (t^{k-1}u(t) )'= a\int_{0}^{1} u'_{k-2}(t)\,dt+b \lim_{t\to 1} (t^{k-2} u'_{k-2}(t) )' \\ &\qquad =a u_1+b \lim_{t\to 1} \biggl( u''_{k-2}(t)+\frac{k-2}{t} u'_{k-2}(t)\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и, аналогично п. 4, нелокальное условие (5.1) будет выполнено, если граничное значение $u_1$ в задаче (3.4) удовлетворяет равенству Возможность такого выбора можно обеспечить обратимостью оператора $aB+bA$, потребовав принадлежность числа $\lambda=-a/b$ резольвентному множеству $\rho(B,A)$, и тогда $u_1=(aB+bA)^{-1}Bu_0$. Таким образом, решение задачи (1.1), (3.1), (5.1) единственно и имеет вид
$$
\begin{equation}
u_k(t)=\frac{1}{t}\frac{d}{dt} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^{3-k} Y_{4-k}(t;\lambda_{n})}{Y'_{4-k}(1;\lambda_{n})} \lambda_{n}B^2(\lambda_{n}B-A)^{-1}(aB+bA)^{-1}u_0,
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
где $u_0\in D(A^{4})\cap D(B^2)$, $\lambda_n$, $n\in \mathbb{N}$, – нули задаваемой равенством (2.3) функции $\Theta_{k,a,b}(\lambda)=(a+b\lambda)Y_{4-k}(1;\lambda)$. Полученный результат сформулируем в виде теоремы. Теорема 10. Предположим $k< 1$, $u_0\in D(A^{4})\cap D(B^2)$, $A,B$ – линейные замкнутые коммутирующие на элементах из $D(A^{4})\cap D(B^2)$ операторы. Пусть также для всех $n\in \mathbb{N}$ нули $\lambda_{n}$, определяемой равенством (2.3) функции $\Theta_{k,a,b}(\lambda)= (a+b\lambda)Y_{4-k}(1;\lambda)$, принадлежат резольвентному множеству $\rho(B,A)$ оператора $A$ относительно $B$ и выполнена оценка Пример 7. Пусть в уравнении (1.1) оператор $A$ является умножением на скаляр $A<0$ и $B=1$. Тогда в случае, если в задаче (1.1), (3.1), (5.1) параметры удовлетворяют условиям $k<1$, $a+bA\neq 0$, то в силу примера 4 имеем решение граничной задачи (3.4) В частности, при $k=0$ имеем представление 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Glu24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|