| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Теорема типа Джексона о приближении алгебраическими многочленами в равномерной метрике с весом Лагерра Р. М. Гаджимирзаев Дагестанский федеральный исследовательский центр Российской академии наук, г. Махачкала
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624070034 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеПусть $\alpha>-1$, $r\in\mathbb{N}$, $f$ – непрерывная функция, заданная на полуоси $[0,\infty)$ и такая, что в точке $x=0$ существуют производные $f^{(\nu)}(0)$, $\nu=0,\dots, r-1$. Для функции $f$ в работе [1] были введены специальные ряды по полиномам Лагерра
$$
\begin{equation}
f(x)\sim P_{r-1}(f,x)+x^r\sum_{k=0}^{\infty}\widehat{f}_k^{\alpha,r}L_k^\alpha(x),
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, P_{r-1}(f)=P_{r-1}(f,x)=\sum_{i=0}^{r-1}\frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i, \\ \widehat{f}_k^{\alpha,r}=\frac{1}{h_k^\alpha}\int_{0}^{\infty}f_r(t)\rho(t)L_k^\alpha(t)\,dt, \qquad \rho(t)=t^\alpha e^{-t}, \\ h_k^\alpha=\frac{\Gamma(k+\alpha+1)}{k!}, \qquad f_r(x)=\frac{f(x)-P_{r-1}(f)}{x^r}, \quad x>0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Через $S_{n}^\alpha(x)$ обозначим частичную сумму ряда (1.1):
$$
\begin{equation*}
S_{n}^\alpha(x)=S_{n}^\alpha(f,x)=P_{r-1}(f) +x^r\sum_{k=0}^{n-r}\widehat{f}_k^{\alpha,r}L_k^\alpha(x).
\end{equation*}
\notag
$$
В той же работе были исследованы аппроксимативные свойства сумм $S_{n}^\alpha(x)$. В частности, при $u_r(x)=e^{-{x}/{2}}x^{-{r}/{2}+1/4}$ было показано, что имеет место неравенство типа Лебега
$$
\begin{equation*}
u_r(x)|f(x)-S_{n}^\alpha(x)|\leqslant E_{n}(f)(1+\lambda_n^{\alpha,r}(x)),
\end{equation*}
\notag
$$
в котором
$$
\begin{equation*}
E_{n}(f,u_r)=\inf_{p_{n}}\sup_{x>0}|p_{n}(x)-f(x)|u_r(x),
\end{equation*}
\notag
$$
где нижняя грань берется по всем алгебраическим полиномам $p_{n}$ степени не выше $n$, для которых $f^{(i)}(0)=p_{n}^{(i)}(0)$, $i=0,\dots,r-1$, а для функции Лебега $\lambda_n^{\alpha,r}(x)$ при $r-1/2<\alpha<r+1/2$, $\theta_n=4n+2\alpha+2$ были получены оценки:
$$
\begin{equation*}
\lambda_n^{\alpha,r}(x)\leqslant c(\alpha,r) \begin{cases} \ln(n+1)+n^{\alpha-r}, & x\in\biggl[0,\dfrac{3}{\theta_n}\biggr]; \\ \ln(n+1)+\biggl(\dfrac{n}{x}\biggr)^{(\alpha-r)/2}, & x\in\biggl[\dfrac{3}{\theta_n},\dfrac{\theta_n}{2}\biggr]; \\ \ln(n+1)+\biggl(\dfrac{x}{\theta_n^{1/3}+|x-\theta_n|}\biggr)^{1/4}, & x\in\biggl[\dfrac{\theta_n}2,\dfrac{3\theta_n}2\biggr]; \\ n^{-r/2+5/4}x^{r/2+1/4}e^{-x/4}, & x\in\biggl[\dfrac{3\theta_n}2,\infty\biggr). \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
При этом поведение величины $E_{n}(f,u_r)$ не было исследовано. В настоящей работе для $E_{n}(f,u_r)$ при $r=1$ мы докажем теорему типа Джексона. Для формулировки этого результата нам понадобятся некоторые обозначения. Через $L_{\omega}^p$ обозначим пространство измеримых функций, для которых
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|f\|_{p,{\omega}}=\biggl(\int_{0}^{\infty}|f(x)\omega(x)|^pdx\Big)^{1/p}<\infty \qquad\text{при}\quad 1\leqslant p<\infty, \\ \|f\|_{\infty,{\omega}}=\operatorname*{ess\,sup}_{x\geqslant0}|f(x)\omega(x)|<\infty \qquad\text{при}\quad p=\infty, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
$W^r_{p,\omega}$ – пространство непрерывных функций, для которых $f, f', \dots, f^{(r-1)}$ абсолютно непрерывны на произвольном отрезке $[a,b]\subset[0,\infty)$ и $f^{(r)}\varphi^r\in L_{\omega}^p$, $\varphi(x)=\sqrt{x}$. Основным результатом настоящей работы является следующая Теорема 1. Пусть $u_1(x)=e^{-{x}/{2}}x^{-1/4}$, $\varphi(x)=\sqrt{x}$ и $f\in W^1_{\infty,u_1}$. Тогда справедливы неравенства где $c_1, c_2$ – константы, не зависящие от $f$ и $n$. При доказательстве этой теоремы мы в качестве полинома $p_{2n}(x)$ рассмотрим средние Валле Пуссена $V_{2n}(f,w,x)$, $w(x)=e^{-x}$ частичных сумм ряда Фурье функции $f$ по системе полиномов Лагерра–Соболева $\{l_{1,n}^0(x)\}$. Для $r\in\mathbb{N}$ полиномы $\{l_{r,n}^\alpha(x)\}$ были введены в работе [2] посредством равенств
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, l_{r,r+n}^{\alpha}(x)=\frac{1}{(r-1)!\,\sqrt{h_n^\alpha}}\int_{0}^x(x-t)^{r-1}L_{n}^{\alpha}(t)\,dt, \qquad n\geqslant0, \\ l_{r,n}^{\alpha}(x)=\frac{x^n}{n!}, \qquad n=0,\dots, r-1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
При $\alpha>-1$ система полиномов $\{l_{r,n}^\alpha(x)\}$ ортонормирована относительно скалярного произведения типа Соболева
$$
\begin{equation*}
\langle f,g\rangle_S=\sum_{\nu=0}^{r-1}f^{(\nu)}(0)g^{(\nu)}(0)+\int_{0}^{\infty} f^{(r)}(x)g^{(r)}(x)\rho(x) \,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Ряд Фурье по системе полиномов $\{l_{r,n}^{\alpha}(x)\}$ имеем следующий вид
$$
\begin{equation}
f(x)\sim P_{r-1}(f,x)+\sum_{k=r}^{\infty}c_{r,k}^\alpha(f)l_{r,k}^{\alpha}(x),
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где
$$
\begin{equation}
c_{r,k}^\alpha(f)=\frac{1}{\sqrt{h_{k-r}^\alpha}}\int_0^\infty f^{(r)}(t)L_{k-r}^\alpha(t)\rho(t)\,dt.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Рассмотрим случай, когда $\alpha=0$ и $r=1$. В этом случае имеет место равенство [2; (9.12)] С учетом этого равенства частичную сумму $S_{1,n}(f,x)=S^0_{1,n}(f,x)$ ряда Фурье (1.2) мы можем записать в следующем виде
$$
\begin{equation}
S_{1,n}(f,x)=f(0)+x\sum_{k=0}^{n-1} \frac{c_{1,k+1}^0(f)}{k+1}L_k^1(x).
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Из (1.4) следует, что при $n\geqslant1$ и $x=0$ имеет место равенство $S_{1,n}(f,0)=f(0)$. Кроме того, если $f=q_n$, где $q_n$ алгебраический полином степени не выше $n$, то $S_{1,n}(q_n,x)=q_n$. Рассмотрим теперь средние Валле Пуссена $V_{2n}(f,w,x)$ частичных сумм $S_{1,n}(f,x)$:
$$
\begin{equation}
V_{2n}(f,w,x)=\frac{1}{n+1}\sum_{k=n}^{2n}S_{1,k}(f,x) =f(0)+\frac{x}{n+1}\sum_{k=n}^{2n}\sum_{j=0}^{k-1} \frac{c_{1,j+1}^0(f)}{j+1}L_j^1(x).
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Отсюда следует, что $V_{2n}(f,w,0)=f(0)$ и $V_{2n}(q_{2n},w,x)=q_{2n}$. Эти свойства позволяют нам использовать $V_{2n}(f,w,x)$ при оценке величины $E_{2n}(f,u_1)$. Отметим, что в работах [3]–[8] были исследованы аналогичные задачи о поведении величины наилучшего приближения для функции $f\in W^r_{p,\omega}$, $1\leqslant p\leqslant\infty$, в случае весов Лагерра, Якоби и Эрмита. В частности, в [3] при $\omega(x)=\rho(x)=e^{-x}x^\alpha$, $\alpha\geqslant0$ для величины была получена оценка
$$
\begin{equation}
E_n(f,\rho)\leqslant \frac{c}{n^{r/2}}\|f^{(r)}\varphi^r\rho\|_{p}, \qquad \varphi(x)=\sqrt{x}.
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
В работе [4] были продолжены исследования, начатые в [3]. А именно, была рассмотрена величина где $\omega(x)=\rho(x)W_n(x)$, $W_n(x)=\prod_{k=1}^s\upsilon_k\bigl(|x-t_k|+{1}/{\sqrt{n}}\bigr)$, $\upsilon_k(x)$ непрерывная функция, которая является четной на $\mathbb{R}=(-\infty,\infty)$, $\upsilon_k(0)=0$, $\upsilon'_k(x)>0$ на $\mathbb{R}^+=(0,\infty)$ и
$$
\begin{equation*}
\lim_{x\to 0}\frac{x\upsilon'_k(x)}{\upsilon_k(x)}<\infty, \qquad \sup_{x\in\mathbb{R}^+}\frac{x\upsilon'_k(x)}{\upsilon_k(x)}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
При $\alpha>-{1}/{p}$ и $1\leqslant p\leqslant\infty$ для $E_n(f,\omega)$ была получена оценка
$$
\begin{equation}
E_n(f,\omega)\leqslant\frac{c}{n^{r/2}}\|f^{(r)}\varphi^r\omega\|_{p}.
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
Далее, в работе [5] для функции $f\in W^r_{p,\mu}$, $1\leqslant p\leqslant\infty$ была получена оценка
$$
\begin{equation}
\|(f-\widetilde{V}_n(f_n,\rho))\mu\|_p\leqslant\frac{c}{n^{r/2}}\|f^{(r)}\varphi^r\mu\|_{p},
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
где $\mu(x)=x^\gamma e^{-x/2}$, $\gamma>-1/{p}$, $2(\gamma+1/p)-7/3<\alpha<2(\gamma+1/p)+1/2$ и $\alpha>\gamma+1/p-1$. Здесь $\widetilde{V}_n(f_n,\rho,x)$ – средние Валле Пуссена частичных сумм ряда Фурье–Лагерра функции
$$
\begin{equation*}
f_n(x)= \begin{cases} f(n^{-1}), & x\in[0,n^{-1}], \\ f(x), & x\in[n^{-1},2n], \\ f(2n), & x\geqslant 2n. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Случай веса типа Якоби $w(x)=u(x)=(1-x)^\gamma(1+x)^\delta$ был рассмотрен в работе [6], в которой для обобщенных средних Валле Пуссена была получена оценка
$$
\begin{equation*}
\|f-V_n^\mu(u,f)u\|_p\leqslant\frac{c}{n^r}\|f^{(r)}\psi^ru\|_p, \qquad \psi(x)=\sqrt{1-x^2},
\end{equation*}
\notag
$$
при $\mu>\max\{\gamma,\delta\}$ и $\gamma,\delta>-{1}/{p}$ если $1\leqslant p<\infty$, и $\gamma=\delta=0$ если $p=\infty$. Далее, в работе [7] был отдельно исследован случай $\gamma,\delta>0$. На основе классических средних Валле Пуссена относительно веса $u^2$ была получена оценка
$$
\begin{equation*}
\|f-V_n(u^2,f)u_n\|_p\leqslant\frac{c}{n^r}\|f^{(r)}\psi^r_nu_n\|_p, \qquad 1\leqslant p\leqslant \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\psi_n(x)=\sqrt{1-x^2}+1/n$, $u_n(x)=(\sqrt{1-x}+1/n)^{2\gamma}(\sqrt{1+x}+1/n)^{2\delta}$. Этот результат был обобщен в работе [5] в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
\|f-V_n(\widetilde{u},f_n)u\|_p\leqslant\frac{c}{n^r}\|f^{(r)}\psi^ru\|_p, \qquad 1\leqslant p\leqslant \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma,\delta>-1/p$, $\widetilde{u}(x)=(1-x)^\alpha(1+x)^\beta$, $f_n(x)$ совпадает с $f(x)$ при $x\in[-1+n^{-2}, 1-n^{-2}]$ и константа в окрестностях точек $\pm1$. В работе [8] был рассмотрен случай веса Эрмита $w(x)=e^{-{x^2}/{2}}$, и для величины $E_n(f,w)$ получена оценка вида
$$
\begin{equation*}
E_n(f,w)\leqslant \frac{c}{n^{r/2}}\Omega_p\biggl(f^{(r)},\frac{1}{\sqrt{n}}\biggr), \qquad 1\leqslant p\leqslant \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Omega_p(f,\delta)$ обобщенный модуль непрерывности. Замечание 1. В вышеприведенных работах у весовых функций $\rho(x)=e^{-x}x^\alpha$ и $\mu(x)=e^{-x/2}x^\gamma$ параметры $\alpha, \gamma$ неотрицательны при $p=\infty$. В нашем случае у весовой функции $u_1(x)=e^{-x/2}x^{-1/4}$ переменная $x$ имеет отрицательный показатель. В этом состоит отличие рассматриваемой нами величины наилучшего приближения. 2. Некоторые свойства полиномов ЛагерраПусть $\alpha$ – произвольное действительное число. Тогда для полиномов Лагерра имеют место [9]:
Приведем еще одно свойство полиномов Лагерра, которое представляет самостоятельный интерес. Доказательство. Из (2.1) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &2L_n^{\alpha}(x)-\binom{n+\alpha}{n}=\binom{n+\alpha}{n} +2\sum_{k=1}^{n}\binom{n+\alpha}{n-k}\frac{(-x)^k}{k!} \\ &\qquad= \binom{n+\alpha}{n}+2\sum_{k=1}^{n} \frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{\Gamma(n-k+1)\Gamma(k+\alpha+1)}\frac{(-x)^k}{k!} \\ &\qquad\geqslant \binom{n+\alpha}{n}-2\binom{n+\alpha}{n} \sum_{k=1}^{n}\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-k+1)}\frac{1}{k!}\frac{1}{(3n)^k} \\ &\qquad\geqslant \binom{n+\alpha}{n}-2\binom{n+\alpha}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{n^k}{k!}\frac{1}{(3n)^k} =\binom{n+\alpha}{n}-2\binom{n+\alpha}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{3^k}\geqslant0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
3. Вспомогательные утвержденияЧерез $\mathbb{P}_n$ обозначим множество алгебраических полиномов степени не выше $n$. В работе [3] была доказана следующая Лемма 2. Пусть $\alpha>-1$ и Тогда для любого $g\in\mathcal{P}_n^\bot(\rho)$ имеет место неравенство Далее, в работе автора [10] при исследовании аппроксимативных свойств средних Валле Пуссена частичных сумм ряда Фурье по полиномам Лагерра–Соболева была доказана следующая Лемма 3 [10; теорема 4.1]. Пусть $\alpha\geqslant0$, $0<a\leqslant b$, $an\leqslant m\leqslant bn$, $x\in[0,\infty)$, Тогда равномерно относительно $x$ имеет место оценка Лемма 4. Пусть $w(x)=e^{-x}$, $\varphi(x)=\sqrt{x}$ и функция $g$ из $L^\infty_{{u_1}\varphi}$ такая, что $g\in\mathcal{P}_n^\bot(w)$. Тогда для $x>0$ имеет место неравенство Доказательство. Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
\psi_x(t)=\begin{cases} \dfrac{1}{w(t)}, & 0<t<x, \\ 0, & t\geqslant x. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $g\in\mathcal{P}_n^\bot(w)$, то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \biggl|\int_{0}^{x}g(t)\,dt\biggr| &=\biggl|\int_{0}^{\infty}g(t)(\psi_x(t)-p_n(t))w(t)dt\biggr| \\ &\leqslant \|g\|_{\infty,{u_1}\varphi}\int_{0}^{\infty}|\psi_x(t)-p_n(t)|\frac{w(t)}{{u_1}(t)\varphi(t)}\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Если к последнему интегралу применить принцип двойственности Никольского [11; следствие 2], то
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{\infty}|\psi_x(t)-p_n(t)|\frac{w(t)}{{u_1}(t)\varphi(t)}\,dt =\sup_{f\in A_n}\biggl|\int_{0}^{\infty}\psi_x(t)f(t)\frac{w(t)}{{u_1}(t)\varphi(t)}\,dt\biggr|,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
A_n=\biggl\{f\in L^\infty\colon \|f\|_\infty\leqslant 1\ \text{и}\ f\in\mathcal{P}_n^\bot\biggl(\frac{w}{u_1\varphi}\biggr)\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, интегрируя по частям и учитывая лемму 2, мы получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &{u_1}(x)\biggl|\int_{0}^{\infty}\psi_x(t)f(t)\frac{w(t)}{{u_1}(t)\varphi(t)}\,dt\biggr|= {u_1}(x)\biggl|\int_{0}^{x}\frac{1}{w(t)}\,\frac{d}{dt} \biggl[\int_{0}^{t}f(y)\frac{w(y)}{{u_1}(y)\varphi(y)}\,dy\biggr] \,dt\biggr| \\ &\qquad =\frac{c}{\sqrt{n}}\|f\|_\infty+{u_1}(x)\int_{0}^{x} \biggl|\int_{0}^{t}f(y)\frac{w(y)}{{u_1}(y)\varphi(y)}\,dy\biggr|e^t\,dt \\ &\qquad\leqslant \frac{c}{\sqrt{n}}+\frac{c}{\sqrt{n}}e^{-x/2}x^{-1/4}\int_{0}^{x}e^{t/2}t^{1/4}\,dt\leqslant \frac{c}{\sqrt{n}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (3.2) следует (3.1). Замечание 2. При доказательстве леммы 4 мы использовали метод доказательства леммы 3.2. из работы [5] с той лишь разницей, что в настоящей работе мы оцениваем интеграл $|\int_{0}^{x}g(t)\,dt|$ вместо $|\int_{1}^{x}g(t)\,dt|$. Лемма 5. Пусть $f\in W^1_{\infty,u_1}$ и Тогда имеет место неравенство Доказательство. В самом деле, при $x\in[0,n^{-1}]$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &{u_1}(x)|f(x)-f_n(x)|={u_1}(x)\biggl|\int_{0}^{x}f'(y)\,dy\biggr| ={u_1}(x)\biggl|\int_{0}^{x}f'(y){u_1}(y)\varphi(y)\frac{1}{{u_1}(y)\varphi(y)}\,dy\biggr| \\ &\qquad\leqslant{u_1}(x)\|f'\varphi\|_{\infty,{u_1}}\int_{0}^{x}e^{y/2}y^{-1/4}\,dy\leqslant c\|f'\varphi\|_{\infty,{u_1}}x^{-1/4}x^{3/4}\leqslant \frac{c}{\sqrt{n}}\|f'\varphi\|_{\infty,{u_1}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть теперь $x\in[2n,\infty)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &{u_1}(x)|f(x)-f_n(x)|\leqslant {u_1}(x)\|f'\varphi\|_{\infty,{u_1}}\int_{2n}^{x}e^{y/2}y^{-1/4}\,dy \\ &\qquad\leqslant \|f'\varphi\|_{\infty,{u_1}}(2n)^{-1/2+1/4}(2n)^{-1/4}e^{-x/2} \int_{2n}^{x}e^{y/2}\,dy \leqslant\frac{c}{\sqrt{n}}\|f'\varphi\|_{\infty,{u_1}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 6. Пусть $w(x)=e^{-x}$, функция $f\in L^\infty_{u_1}$ такая, что существуют коэффициенты (1.3) и $f(0)=0$. Тогда Доказательство. Прежде всего отметим, что при условиях леммы для $V_{2n}(f,w,x)$ имеет место представление
$$
\begin{equation}
V_{2n}(f,w,x)=x\int_{0}^{\infty}f(t)w(t)\mathcal{V}_{2n}^1(x,t)\,dt.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
В самом деле, из (1.5), (1.3) и (2.2) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, V_{2n}(f,w,x) &=\frac{x}{n+1}\sum_{k=n}^{2n} \sum_{j=0}^{k-1}\frac{L_j^1(x)}{j+1}\int_{0}^{\infty}f'(t)L_j^0(t)e^{-t}\,dt \\ &= \frac{x}{n+1}\sum_{k=n}^{2n}\sum_{j=0}^{k-1}\frac{L_j^1(x)}{j+1}\frac{1}{j!} \int_{0}^{\infty}f'(t)(e^{-t}t^j)^{(j)}\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, интегрируя по частям и учитывая равенства (2.2) и (2.3), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, V_{2n}(f,w,x) &=-\frac{x}{n+1} \sum_{k=n}^{2n}\sum_{j=0}^{k-1}\frac{L_j^1(x)}{j+1}\frac{1}{j!} \int_{0}^{\infty}f(t)(e^{-y}t^j)^{(j+1)}\,dt \\ &= -\frac{x}{n+1}\sum_{k=n}^{2n}\sum_{j=0}^{k-1}L_j^1(x) \int_{0}^{\infty}f(t)t^{-1}e^{-t}L_{j+1}^{-1}(t)\,dt \\ &= \frac{x}{n+1}\sum_{k=n}^{2n}\sum_{j=0}^{k-1}\frac{L_j^1(x)}{j+1} \int_{0}^{\infty}f(t)e^{-t}L_{j}^{1}(t)\,dt =x\int_{0}^{\infty}f(t)w(t)\mathcal{V}_{2n}^1(x,t)\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из леммы 3 при $\alpha=1$ выводим Лемма 7. Пусть $w(x)=e^{-x}$ и $f_n(x)$ – функция, определенная в лемме 5. Тогда для любого полинома $p(x)\in\mathbb{P}_{2n-1}$ справедливо равенство Доказательство. Из (1.5) и (2.4) при $\alpha=1$ имеем
$$
\begin{equation}
\bigl(V_{2n}(f_n,w,x)\bigr)'=\frac{1}{n+1}\sum_{k=n}^{2n}\sum_{j=0}^{k-1}c_{1,j+1}(f_n)L_j^0(x).
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Тогда с учетом (1.3) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{0}^{\infty}\bigl(V_{2n}(f_n,w,x)\bigr)'p(x)w(x)\,dx \\ &\qquad =\frac{1}{n+1}\sum_{k=n}^{2n}\sum_{j=0}^{k-1} \int_{0}^{\infty}f_n'(t)L_j^0(t)w(t)\int_{0}^{\infty}L_j^0(x)p(x)w(x)\,dx\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что внутренний интеграл представляет собой $j$-й коэффициент Фурье для $p(x)$ по полиномам Лагерра $L_j^0(x)$. Обозначим его через $\widehat{c}_j(p)$. Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_{0}^{\infty}\bigl(V_{2n}(f_n,w,x)\bigr)'p(x)w(x)\,dx= \int_{0}^{\infty}f_n'(t)w(t)\frac{1}{n+1}\sum_{k=n}^{2n}\sum_{j=0}^{k-1}\widehat{c}_j(p)L_j^0(t)\,dt \\ &\qquad =\int_{0}^{\infty}f_n'(t)\widehat{V}_{2n-1}(p,w,t)w(t)\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Здесь $\widehat{V}_{2n-1}(p,w,t)$ – средние Валле Пуссена частичных сумм ряда Фурье функции $p(x)$ по полиномам Лагерра $L_j^0(t)$. Хорошо известно, что для средних Валле Пуссена $\widehat{V}_{2n-1}(p,w,t)$ имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\widehat{V}_{2n-1}(p,w,t)=p(t) \quad \forall\, p\in\mathbb{P}_{2n-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (3.6) следует (3.4). Доказательство. Действительно, из леммы 7 и леммы 4 при $g(x)=(f_n(x)-V_{2n}(f_n,w,x))'$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &u_1(x)|f_n(x)-V_{2n}(f_n,w,x)| =u_1(x)\biggl|\int_{0}^{x}\bigl[f'_n(y)-(V_{2n}(f_n,w,y))'\bigr]\,dy\biggr| \\ &\qquad\leqslant \frac{c}{\sqrt{n}}\|f'_n-(V_{2n}(f_n,w))'\|_{\infty,{u_1}\varphi}\leqslant \frac{c}{\sqrt{n}}\|f'_n\|_{\infty,{u_1}\varphi}+\frac{c}{\sqrt{n}} \|(V_{2n}(f_n,w))'\|_{\infty,{u_1}\varphi}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Далее, из (3.5), (1.3) и леммы 3 при $\alpha=0$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &u_1(x)\varphi(x)|(V_{2n}(f_n,w,x))'| \leqslant u_1(x)\varphi(x)\biggl|\int_{0}^{\infty}f_n'(t)w(t)\frac{1}{n+1} \sum_{k=n}^{2n}\sum_{j=0}^{k-1}L_j^0(t)L_j^0(x)\,dt\biggr| \\ &\qquad\leqslant u_1(x)\varphi(x)\biggl|\int_{0}^{\infty}f_n'(t)w(t)\mathcal{V}_{2n-1}^0(x,t)\biggr|\,dt \\ &\qquad\leqslant \|f_n'\|_{\infty,{u_1\varphi}}e^{-x/2}x^{1/4}\int_{0}^{\infty} e^{-t/2}t^{-1/4}|\mathcal{V}_{2n-1}^0(x,t)|\,dt \leqslant c\|f'_n\|_{\infty,{u_1\varphi}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (3.8) следует (3.7). 4. Доказательство теоремы 1Пусть $r=1$. Тогда величина $E_{2n}(f,u_1)$ примет вид
$$
\begin{equation*}
E_{2n}(f,u_1)=\inf_{p_{2n}}\sup_{x>0}|p_{2n}(x)-f(x)|u_1(x),
\end{equation*}
\notag
$$
где нижняя грань берется по всем алгебраическим полиномам $p_{2n}$ степени не выше $2n$, для которых $f(0)=p_{2n}(0)$. Так как для средних Валле Пуссена $V_{2n}(f,w,x)$ частичных сумм ряда Фурье функции $f$ по полиномам Лагерра–Соболева имеет место равенство $V_{2n}(f,w,0)=f(0)$, то в качестве полинома $p_{2n}(x)$ мы можем рассмотреть $V_{2n}(f,w,x)$. Тогда из лемм 5, 6 и 8 получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u_1(x)|f(x)-V_{2n}(f,w,x)| &\leqslant u_1(x)|f(x)-f_n(x)|+u_1(x)|f_n(x)-V_{2n}(f_n,w,x)| \\ &\qquad +u_1(x)|V_{2n}(f-f_n,w,x)|\leqslant\frac{c}{\sqrt{n}}\|f'\|_{\infty,{u_1\varphi}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценку снизу докажем с помощью неравенства [10; теорема 4.2] Рассмотрим функцию $f(x)=x^{3/4}$. Коэффициенты (1.3) для этой функции имеют вид (в этом нетрудно убедиться, если воспользоваться равенством (2.2) и интегрированием по частям)
$$
\begin{equation*}
c_{1,j+1}^0(f)=\frac{3}{4}\frac{\Gamma(3/4)}{\Gamma(1/4)}\frac{\Gamma(j+1/4)}{\Gamma(j+1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из оценки (2.5) получаем
$$
\begin{equation*}
u_1(x)|f(x)-V_{4n}(f,w,x)|\geqslant e^{-x/2}x^{1/2}-\frac{3}{4}\frac{\Gamma(3/4)}{\Gamma(1/4)}\frac{x^{3/4}}{2n+1} \sum_{k=2n}^{4n}\sum_{j=0}^{k-1}\frac{\Gamma(j+1/4)}{\Gamma(j+1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим сверху внутреннюю сумму. Непосредственно индукцией можно показать, что для отношения гамма функций справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\frac{\Gamma(j+1/4)}{\Gamma(j+1)}\leqslant \Gamma(5/4)e^{3/4}(j+1)^{-3/4}, \qquad j\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{j=0}^{k-1}\frac{\Gamma(j+1/4)}{\Gamma(j+1)}\leqslant \Gamma\biggl(\frac14\biggr)+\Gamma\biggl(\frac54\biggr) e^{3/4}\sum_{j=1}^{k-1}(j+1)^{-3/4} \\ &\qquad \leqslant\Gamma\biggl(\frac14\biggr) +\Gamma\biggl(\frac54\biggr)e^{3/4}\biggl(1+\int_{0}^{k-1}(t+1)^{-3/4}\,dt\biggr) \\ &\qquad\leqslant 4\Gamma\biggl(\frac54\biggr)e^{3/4}k^{1/4} =\Gamma\biggl(\frac14\biggr)e^{3/4}k^{1/4}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом этого неравенства мы можем записать
$$
\begin{equation*}
u_1(x)|f(x)-V_{4n}(f,w,x)|\geqslant e^{-x/2}x^{1/2} -\frac{3}{4}\Gamma\biggl(\frac34\biggr)e^{3/4}x^{3/4}(4n)^{1/4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $x=x_0=c/n$. Тогда
$$
\begin{equation*}
u_1(x_0)|f(x_0)-V_{4n}(f,w,x_0)|\geqslant \frac{1}{\sqrt{n}}\biggl(\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{e}}-\frac{3}{4^{3/4}} \Gamma\biggl(\frac34\biggr)e^{3/4}c^{3/4}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Выражение в скобках больше нуля, если Тем самым теорема 1 доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Gad24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|