| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Теоремы о представимости пространств в виде объединения не более чем счетного числа однородных слагаемых С. М. Комов Московский педагогический государственный университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624070228 
Реферативные базы данных:
 1. Введение и постановка задачиВ обозначениях и терминологии мы следуем книге [1]. Вещественную прямую с естественной топологией будем обозначать через $\mathbb{R}$. При каждом целом положительном $n$ евклидово $n$-мерное пространство с естественной топологией будем обозначать через $\mathbb{R}^{n}$. Пространство $\mathbb{R}^2$ будем называть плоскостью. Множество натуральных чисел будем обозначать как $\mathbb{N}$. Замыкание множества $A$ в пространстве $X$ будем обозначать как ${\overline{A}}{}^X$. Теория однородных топологических пространств – широко исследованная область общей топологии (см., например, [2] или [3]). В этих же работах приводится большое количество нерешенных задач об однородных пространствах. При изучении любого свойства топологических пространств естественно задаться вопросом: сохраняется ли это свойство операцией объединения? В случае однородности ответ отрицательный. Достаточно рассмотреть еденичный вещественный отрезок $I=[0, 1]$ с естественной топологией. Отрезок $I$ – пример неоднородного пространства, представимого в виде объединения двух своих однородных подпространств: дискретного пространства из нуля и единицы $\{0, 1\}$ и открытого вещественного интервала от нуля до единицы $(0, 1)$. Если же мы возьмем прямую сумму одноточечного пространства $\{\{0\}\}$, вещественной прямой $\mathbb{R}$ и плоскости $\mathbb{R}^2$, мы получим неоднородное пространство, которое нельзя представить в виде объединения двух однородных пространств, но можно представить в виде объединения трех однородных пространств: одноточечного пространства, веществнной прямой $\mathbb{R}$ и плоскости $\mathbb{R}^2$. Отталкиваясь от этих примеров, можно поставить вопрос: существует ли неоднородное пространство, которое можно представить в виде объединения заранее заданного натурального числа $n$ однородных пространств, но которое нельзя представить в виде объединения меньшего, чем $n$, числа однородных пространств? Главная цель этой работы – найти ответ на этот вопрос. Эта задача была поставлена А. В. Архангельским на семинаре по общей топологии в Московском педагогическом государственном университете. Кроме того, в статье приводится решение еще одной задачи, дополняющее основной результаты этой работы: строится пример пространства, которое представимо в виде объединения счетного бесконечного числа своих однородных подпостранств, но не представимо в виде объединения конечного числа своих однородных подпространств. Опишем кратко структуру и содержние этой работы. Цель этой работы достигается доказательством теорем 1 и 2, в которых ответ на приведенные выше задачи дается соответственно для конечного и для бесконечного числа однородных слагаемых. Пункт 2 состоит из некоторых общеизвестных фактов из классической теории размерности, которые будут применяться нами в собственных доказательствах. В п. 3 приводятся доказательства теорем 1 и 2, а также доказательство одной вспомогательной леммы. В п. 4 формулируются нерешенные вопросы, возникшие в ходе работы над этой статьей. 2. Общеизвестные факты из классической теории размерности Определение 1 [1; § 7.1]. Пусть $X$ – регулярное пространство и $n$ – неотрицательное целое число; положим тогда Предложение 1 [1; теорема 7.1.1]. Для каждого подпространства $M$ регулярного пространства $X$ выполняется неравенство $\operatorname{ind}(M) \leqslant \operatorname{ind}(X)$. Предложение 2 [1; теорема 7.3.19]. При каждом натуральном числе $n$ имеет место равенство Предложение 3 [1; теорема 7.4.1]. Пусть $X$ – наследственно нормальное пространство. Тогда для каждого конечного семейства $\mathcal{A}$, состоящего из подмножеств множества $X$, выполняется неравенство 3. Вспомогательная лемма и основные теоремыЛемма 1. Пусть $M$ – регулярное однородное пространство, $a$ – точка из $M$, $U_{a}$ – открытая в $M$ окрестность точки $a$, гомеоморфная некоторому подмножеству пространства $\mathbb{R}^{n}$. Тогда $\operatorname{ind}(M) \leqslant n$. Доказательство. Пусть $b$ – произвольно взятая точка пространства $M$. Покажем, что $b$ обладает окрестностью, гомеоморфной подпространству пространства $\mathbb{R}^{n}$. Пусть $f$ – гомеоморфизм пространства $M$ на себя такой, что $f(a)=b$ (такое отображение $f$ существует, поскольку пространство $M$ однородно). Так как гомеоморфизмы являются открытыми отображениями, $f(U_a)$ – открытое в $M$ множество. При этом сужение $f|U_{a}$ отображения $f$ на множество $U_a$ – гомеоморфизм между множеством $U_{a}$ и множеством $f(U_{a})$. Таким образом, $f(U_{a})$ – открытая в $M$ окрестность точки $b$, гомеоморфная некоторому подмножеству пространства $\mathbb{R}^{n}$. Обозначим $f(U_{a})$ как $U_b$.
Так как $U_b$ гомеоморфно некоторому подмножеству евклидова пространства $\mathbb{R}^{n}$, согласно предложениям 1 и 2 $\operatorname{ind}(U_b) \leqslant \operatorname{ind}(\mathbb{R}^n)=n$. Пусть $V$ – произвольная открытая в $M$ окрестность точки $b$. Так как $U_b \cap V$ – подпространство $U_b$, то по предложению 1 $\operatorname{ind}(U_b \cap V) \leqslant \operatorname{ind}(U_b) \leqslant n$. Пользуясь регулярностью пространства $M$, зафиксируем открытую в $M$ (а также и в $U_b \cap V$) окрестность $V_b$ точки $b$ такую, что $b \in V_b \subset \overline{V_b}{}^{M} \subset U_b \cap V$. Пользуясь определением 1 и тем, что $\operatorname{ind}(U_b \cap V) \leqslant n$, зафиксируем открытую в $U_b \cap V$ (а значит, и в $M$) окрестность $U$ точки $b$ такую, что $U \subset V_b$ и $\operatorname{ind}(\operatorname{Fr}(U)) \leqslant n-1$, где $\operatorname{Fr}(U)$ – граница множества $U$ в пространстве $U_b \cap V$. Так как $\overline{V_b}{}^M \subset U_b \cap V$, выполняется равенство $\overline{V_b}{}^M=\overline{V_b}{}^{U_b \cap V}$. Тогда граница множества $U$ в пространстве $M$ совпадает с границей множества $U$ в $U_b \cap V$. Таким образом, у точки $b$ найдется открытая в $M$ окрестность $U$, лежащая в $V$, такая, что малая индуктивная размерность ее границы в $M$ не превосходит $n-1$. В силу общности выбора точки $b$ и ее открытой окрестности $V$ заключаем, что по определению 1 $\operatorname{ind}(M) \leqslant n$. Теорема 1. Определим последовательность $(a_i)_{i \in \mathbb{N}}$ следующим образом: положим $a_1=1$, $a_i=\sum_{j=1}^{i-1} a_j+i-1$ при натуральном $i>1$. Пусть $n \in \mathbb{N}$, $X_n$ – пространство, представимое в виде объединения $n+1$ своих открыто-замкнутых попарно непересекающихся подпространств $A_1,\dots, A_{n}, A_{n+1}$. При этом пространство $A_i$ гомеоморфно $a_{i}$-мерному евклидову пространству при $i \leqslant n+1$. Тогда $X_n$ нельзя представить в виде объединения $n$ или меньшего числа своих попарно различных однородных подпространств. Доказательство. Пусть $n$ – произвольно взятое натуральное число. Покажем, что пространство $X_n$ нельзя представить в виде объединения $n$ своих попарно различных однородных подпространств. Предположим противное. Тогда рассмотрим семейство $\mathcal{M}$, состоящее из $n$ попарно различных однородных подпространств пространства $X_n$, причем такое, что $\bigcup\mathcal{M}=X_n$.
Заметим, что пространство $X_n$ можно рассматривать как прямую сумму наследственно нормальных пространств. Тогда пространство $X_n$ наследственно нормально, а все элементы семейства $\mathcal{M}$ регулярны. Определим индуктивно семейство $\mathcal{M}^{*}$, состоящее из элементов семейства $\mathcal{M}$, оценив при этом размерность всех элементов семейства $\mathcal{M}^{*}$. Покажем затем, что $\mathcal{M}^{*}$ совпадает с $\mathcal{M}$. Таким образом мы оценим размерности всех элементов семейства $\mathcal{M}$. Пусть $a$ – некоторая точка из $A_1$. Пусть $M_1$ – пространство из $\mathcal{M}$, которому принадлежит точка $a$. У точки $a$ найдется открытая в $M_1$ окрестность, гомеоморфная некоторому (не обязательно открытому в $\mathbb{R}$) подмножеству прямой $\mathbb{R}$ (легко увидеть, что примером такой открытой окрестности является множество $M_1 \cap A_1$). По лемме 1 $\operatorname{ind}(M_1) \leqslant a_1=1$. Рассмотрим случай, когда $n>1$. Пусть $i \in \{2,\dots,n\}$. Предположим, что для каждого $j$ из $\{1,\dots,n-1\}$, меньшего чем $i$, определено множество $M_j \in \mathcal{M}$ такое, что $\operatorname{ind}(M_j) \leqslant a_j$. Пользуясь предложением 3, тем фактом, что $\operatorname{ind}(M_j) \leqslant a_j$ при каждом $j$ из $\{1,\dots,i-1\}$, и тем, что мощность семейства $\{M_1,\dots,M_{i-1}\}$ не превосходит $i-1$, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\operatorname{ind}(M_1\cup\dots\cup M_{i-1}) \leqslant \operatorname{ind}(M_1)+\dots+ \operatorname{ind}(M_{i-1})+ |\{M_1,\dots, M_{i-1}\}|-1 \\ &\qquad \leqslant (a_1+ \dots +a_{i-1}+ i- 1)-1=a_i-1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\operatorname{ind}(M_1 \cup\dots \cup M_{i-1}) \leqslant a_{i}-1$. Поскольку $\operatorname{ind}(A_i)=a_i$, по предложению 1 $A_i$ не может целиком содержаться в $M_1 \cup\dots \cup M_{i-1}$. Значит, найдется точка $b$ из $A_i$, не принадлежащая ни одному из множеств $M_1,\dots,M_{i-1}$. Пусть $M_i$ – пространство из $\mathcal{M}$, которому принадлежит $b$. У точки $b$ найдется открытая в $M_i$ окрестность, гомеоморфная некоторому (не обязательно открытому) подмножеству $a_i$-мерного евклидова пространства (легко увидеть, что такой открытой в $M_i$ окрестностью является, например, множество $M_i \cap A_i$). Воспользуемся леммой 1 и получим $\operatorname{ind}(M_i) \leqslant a_i$.
Таким образом мы определяем семейство множеств $\{M_1,\dots, M_{n}\}$. Положим $\mathcal{M}^{*}=\{M_1,\dots, M_{n}\}$. Все элементы семейства $\mathcal{M}^{*}$ попарно различны по их определению, поэтому мощность семейства $\mathcal{M}^{*}$ равна $n$. Значит, $\mathcal{M}^{*}=\mathcal{M}$. По предположению $A_{n+1} \subset M_1 \cup\dots \cup M_{n}$. Тогда по предложениям 1 и 3
$$
\begin{equation*}
\operatorname{ind}(A_{n+1}) \leqslant \operatorname{ind}(M_1 \cup\dots \cup M_{n}) \leqslant a_{n+1}-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Но по предложению 2 $\operatorname{ind}(A_{n+1})=a_{n+1}> a_{n+1}-1$. Получаем противоречие.
Для каждого натурального числа $t$, меньшего чем $n$, доказательство того утверждения, что пространство $X_n$ нельзя представить в виде объединения $t$ своих попарно различных однородных подпространств, аналогично приведенному выше рассуждению. Теорема доказана. Теорема 2. Положим Пространство $X$ не однородно и не представимо в виде объединения конечного числа своих однородных подпространств. Доказательство. Пусть $n \in \mathbb{N}$, $(a_i)_{i \in \mathbb{N}}$ – последовательность из теоремы 1. Покажем, что прострнcтво $X$ нельзя представить в виде объединения $n$ попарно различных однородных подпространств пространства $X$. Предположим противное.
Рассмотрим семейство $\mathcal{M}$, состоящее из $n$ попарно различных однородных подпространств пространства $X$, причем такое, что $\bigcup\mathcal{M}=X$. Повторив рассуждения из доказательства теоремы 1 (заменив в нем только $A_i$ на $\mathbb{R}^{a_{i}}$ и $A_{n+1}$ на $\mathbb{R}^{a_{n+1}}$), придем к противоречию, показав, что $\mathbb{R}^{a_{n+1}}$ не лежит в объединении семейства $\mathcal{M}$, поскольку $\operatorname{ind}(\mathbb{R}^{a_{n+1}})>\operatorname{ind}(\bigcup \mathcal{M})$. 4. ВопросыСледующие далее три вопроса были поставлены рецензентом после прочтения ранней версии этой статьи и приводятся здесь с его разрешения. Вопрос 1. Пусть $n$ – натуральное число. Положим Можно ли представить пространство $X_n$ в виде объединения меньшего чем $n$ числа однородных подпространств пространства $X_n$? Вопрос 2. Пусть $n$ – натуральное число, большее единицы. Положим Можно ли представить пространство $Y_n$ в виде объединения меньшего чем $n$ числа однородных подпространств пространства $Y_n$? Вопрос 3. Пусть $M$ – однородное пространство, у некоторой точки которого есть открытая в $M$ окрестность, гомеоморфная некоторому подмножеству пространства $\mathbb{R}^{n}$. Каким аксиомам отделимости удовлетворяет пространство $M$? Автор очень благодарен рецензенту за все замечания, приведшие к большому улучшению и упрощению текста статьи и за поставленные им интересные вопросы. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kom24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|