| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О компактности интегральных операторов с однородными ядрами в локальных пространствах Морри О. Г. Авсянкин, С. С. Ашихмин Южный федеральный университет, г. Ростов-на-Дону
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624090013 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеВ настоящее время имеется немало работ, посвящeнных пространствам типа Морри и операторам, действующим в этих пространствах (см., например, обзорные статьи Буренкова [1], [2] и цитированные в них источники). Исследования этих пространств восходят к работе Морри [3] и активно продолжаются в последние три десятилетия. Пространства Морри оказались весьма полезны для исследования регулярности решений различных типов уравнений в частных производных [4]. Развитие теории пространств типа Морри дало импульс изучению интегральных операторов в этих пространствах. В основном рассматривались классические операторы анализа, такие как максимальный оператор, потенциал Рисса, сингулярный интегральный оператор (см., например, [2], [5]). Операторам свертки в пространствах типа Морри посвящены работы [6]–[8]. В данной работе в локальных пространствах Морри изучаются многомерные интегральные операторы, ядра которых однородны степени $(-n)$ и инвариантны относительно всех вращений пространства $\mathbb{R}^n$. Подчеркнем, что для таких операторов, рассматриваемых в $L_p$-пространствах, имеется весьма развитая теория (см., например, [9]–[12]). Однако, в пространствах Морри операторы с однородными ядрами практически не исследованы. Можно лишь указать работу [13], где были получены условия ограниченности многомерных интегральных операторов с однородными ядрами в обобщенных локальных пространствах Морри. В нашей работе рассматривается оператор вида $M_a K M_b$, где $K$ – интегральный оператор с однородным ядром, а $M_a$ и $M_b$ – операторы умножения на ограниченные функции $a(x)$ и $b(x)$ соответственно. Получены условия на функции $a(x)$ и $b(x)$, при которых оператор $M_a K M_b$ компактен в локальном пространстве Морри. В заключительной части работы рассматривается интегральный оператор с однородным ядром и характеристикой $c(x,y) \in L_{\infty}(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n)$. Указаны некоторые условия на характеристику, обеспечивающие компактность такого оператора. 2. Постановка задачи и предварительные сведенияНиже использованы следующие обозначения: $\mathbb{R}^n$ – $n$-мерное евклидово пространство; $x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n$; $|x|=\sqrt{x_1^2+\dots+x_n^2}$; $x'=x/|x|$; $e_1=(1,0,\dots,0)$; $B(x,r)$ – открытый шар в $\mathbb{R}^n$ радиуса $r$ с центром в точке $x$; $|B(x,r)|$ – мера шара $B(x,r)$; $CB(x,r)=\mathbb{R}^n \setminus B(x,r)$; $S(R_1,R_2)=\{x\in \mathbb{R}^n \colon R_1 \leqslant |x| \leqslant R_2\}$; $\chi_E$ – характеристическая функция измеримого множества $E\subset\mathbb{R}^n$; $P_E$ – оператор умножения на функцию $\chi_E$. Пусть $1\leqslant p\leqslant\infty$, $X \subseteq \mathbb{R}^n$ – измеримое множество. Тогда $L_p(X)$ – пространство (классов) измеримых комплекснозначных функций с нормой
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{L_p(X)}=\biggl(\int_{X}|f(x)|^p\,dx\biggr)^{1/p}, \quad 1\leqslant p<\infty, \qquad \|f\|_{L_{\infty}(X)}=\operatorname*{ess\,sup}_{x\in X} |f(x)|.
\end{equation*}
\notag
$$
В случае $X=\mathbb{R}^n$ будем использовать обозначение $\| \cdot \|_p$ вместо $\| \cdot \|_{L_p(X)}$. Далее будем говорить, что $f\in L_p^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n)$, если $f\in L_p(\mathcal{K})$ для любого компакта $\mathcal{K} \subset \mathbb{R}^n$. Определение 1. Пусть $1\leqslant p<\infty$ и $\lambda \geqslant 0$. Локальное пространство Морри $L_{p,\lambda}^{0}(\mathbb{R}^n)$ – это совокупность всех функций $f\in L_p^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n)$ таких, что Нетрудно видеть, что при $\lambda=0$ локальное пространство Морри совпадает с $L_p$-пространством, т.е. $L_{p,0}^{0}(\mathbb{R}^n)=L_p(\mathbb{R}^n)$. Поскольку операторы с однородными ядрами в $L_p$-пространствах хорошо изучены, ниже считаем, что $\lambda>0$. Через $\mathcal{L}(L_{p,\lambda}^{0}(\mathbb{R}^n))$ обозначим пространство всех ограниченных линейных операторов, действующих в $L_{p,\lambda}^{0}(\mathbb{R}^n)$, с обычной операторной нормой. Пусть $1\leqslant p< \infty$ и $\lambda>0$. В пространстве $L_{p,\lambda}^{0}(\mathbb{R}^n)$ рассмотрим оператор
$$
\begin{equation}
(K\varphi)(x)=\int_{\mathbb{R}^n} k(x,y) \varphi(y)\,dy, \qquad x\in \mathbb{R}^n,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где функция $k(x,y)$ определена на $\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n$ (здесь и далее предполагается, что $n\geqslant2$), измерима и удовлетворяет следующим условиям:
В работе [13] показано, что оператор $K$ ограничен в пространстве $L_{p,\lambda}^{0}(\mathbb{R}^n)$, причем $\|K\|_{\mathcal{L}(L_{p,\lambda}^{0}(\mathbb{R}^n))} \leqslant \kappa$. Обозначим через $M_a$ оператор умножения на функцию $a\in L_{\infty}(\mathbb{R}^n)$. Нетрудно видеть, что этот оператор ограничен в пространстве $L_{p,\lambda}^{0}(\mathbb{R}^n)$, причем для любой функции $\varphi \in L_{p,\lambda}^{0}(\mathbb{R}^n)$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
\|M_a \varphi\|_{L_{p,\lambda}^{0}(\mathbb{R}^n)} \leqslant \|a\|_{\infty} \|\varphi\|_{L_{p,\lambda}^{0}(\mathbb{R}^n)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Основной целью данной работы является исследование компактности оператора $M_a K M_b$. Точнее говоря, требуется выяснить условия на функции $a(x)$ и $b(x)$, при которых оператор $M_a K M_b$ компактен в пространстве $L_{p,\lambda}^{0}(\mathbb{R}^n)$. Для решения поставленной задачи нам потребуются условия предкомпактности множества, лежащего в локальном пространстве Морри (см. [14]). Чтобы сформулировать эти условия определим локальные пространства типа Морри. Пусть $1\leqslant p<\infty$, $1\leqslant \theta \leqslant\infty$ и $\lambda >0$. Локальное пространство типа Морри $L_{p\theta,\lambda}^{0}(\mathbb{R}^n)$ – это совокупность всех функций $f\in L_p^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n)$ таких, что
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{L_{p\theta,\lambda}^{0}(\mathbb{R}^n)}= \bigl\| r^{-\lambda-1/\theta} \|f\|_{L_p(\mathbb{B}(0,r))} \bigr\|_{L_{\theta}(0,\infty)} <\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно видеть, что $L_{p\infty,\lambda}^{0}(\mathbb{R}^n)=L_{p,\lambda}^{0}(\mathbb{R}^n)$. Для любой функции $f\in L_1^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n)$ и любого $\delta>0$ положим
$$
\begin{equation*}
(A_\delta f)(x)=\frac{1}{|B(x,\delta)|} \int_{B(x,\delta)} f(y)\,dy = \frac{1}{|B(0,\delta)|} \int_{B(0,\delta)} f(x+t)\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 1 [14]. Пусть $1<p<\infty$, $1\leqslant\theta<\infty$, $0<\lambda<n/p$. Для того чтобы множество $\Psi \subset L_{p\theta,\lambda}^{0}(\mathbb{R}^n)$ было предкомпактным в пространстве $L_{p\theta,\lambda}^{0}(\mathbb{R}^n)$, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: Заметим, что
$$
\begin{equation}
(A_\delta f)(x)-f(x)=\frac{1}{|B(0,\delta)|} \int_{B(0,\delta)} (f(x+t)-f(x))\,dt.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
3. Вспомогательные утвержденияОбозначим через $C_{0,0}(\mathbb{R}^n)$ множество всех непрерывных на $\mathbb{R}^n$ финитных функций, носитель которых не содержит точку $x=0$. Лемма 1. Пусть $1<p<\infty$, $K$ – оператор вида (2.2) и $b \in C_{0,0}(\mathbb{R}^n)$. Тогда для любой функции $\varphi \in L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n)$ выполняется неравенство Доказательство. Так как $\varphi \in L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n)$ и операторы $K$ и $M_b$ ограничены в пространстве $L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n)$, то $KM_b\varphi \in L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n)$. Значит $KM_b\varphi \in L_p^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n)$, а потому левая часть неравенства (3.1) определена корректно. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|(KM_b \varphi)(x+t)-(KM_b\varphi)(x)|\leqslant \int_{\mathbb{R}^n}|k(x+t,y)-k(x,y)|\,|b(y)|\,|\varphi(y)|\,dy \\ &\qquad =\int_{\mathbb{R}^n}\bigl\{|k(x+t,y)-k(x,y)|^{1/p'}|y|^{\lambda/p' -n/(pp')} |b(y)|^{1/p'} \bigr\} \\ &\qquad\qquad \times\bigl\{|k(x+t,y)-k(x,y)|^{1/p}|y|^{n/(pp')-\lambda/p'}|b(y)|^{1/p}|\varphi(y)|\bigr\}\,dy. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя неравенство Гёльдера, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|(KM_b \varphi)(x+t)-(KM_b\varphi)(x)| \\ &\qquad \leqslant \mathcal{Q}(x,t) \biggl( \int_{\mathbb{R}^n} |k(x+t,y)-k(x,y)| |y|^{n/p' - \lambda p/p'}|b(y)|\,|\varphi(y)|^p \,dy \biggr)^{1/p}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mathcal{Q}(x,t)=\biggl( \int_{\mathbb{R}^n} |k(x+t,y)-k(x,y)|\,|y|^{\lambda-n/p}|b(y)|\,dy \biggr)^{1/p'}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\mathcal{Q}(x,t) \leqslant \|b\|^{1/p'}_\infty \biggl( \int_{\mathbb{R}^n} |k(x+t,y)|\,|y|^{\lambda-n/p}\,dy + \int_{\mathbb{R}^n} |k(x,y)|\,|y|^{\lambda-n/p}\,dy \biggr)^{1/p'}.
\end{equation*}
\notag
$$
В первом интеграле сделаем замену $y=|x+t|u$, а во втором – замену $y=|x|u$. Пользуясь однородностью функции $k(x,y)$, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathcal{Q}(x,t) \leqslant \|b\|^{1/p'}_\infty \biggl( |x+t|^{\lambda-n/p} \int_{\mathbb{R}^n} |k((x+t)',u)|\,|u|^{\lambda-n/p}\,du \\ &\qquad\qquad +|x|^{\lambda-n/p}\int_{\mathbb{R}^n} |k(x',u)|\,|u|^{\lambda-n/p}\,du \biggr)^{1/p'}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\omega_{x+t}$ и $\omega_{x}$ – произвольные элементы группы вращений $\operatorname{SO}(n)$ такие, что $\omega_{x+t}(e_1)=(x+t)'$ и $\omega_{x}(e_1)=x'$. Сделаем замену $u=\omega_{x+t}(z)$ в первом интеграле и замену $u=\omega_{x}(z)$ во втором. Тогда, используя условие $2^\circ$), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{Q}(x,t) &\leqslant\|b\|^{1/p'}_\infty \biggl( \bigl( |x+t|^{\lambda-n/p} + |x|^{\lambda-n/p} \bigr) \int_{\mathbb{R}^n} |k(e_1,z)|\,|z|^{\lambda-n/p}\,dz \biggr)^{1/p'} \\ &=\|b\|^{1/p'}_\infty \kappa^{1/p'} \bigl( |x+t|^{\lambda-n/p} + |x|^{\lambda-n/p} \bigr)^{1/p'}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|(KM_b\varphi)(\cdot+t)-(KM_b\varphi)(\cdot)\|^p_{L_p(S(R_1,R_2))} \\ &\qquad \leqslant \|b\|^{p/p'}_\infty \kappa^{p/p'} \int_{S(R_1,R_2)} \bigl( |x+t|^{\lambda-n/p} + |x|^{\lambda-n/p} \bigr)^{p/p'}\,dx \\ &\qquad\qquad\times \int_{\mathbb{R}^n} |k(x+t,y)-k(x,y)|\,|y|^{n/p'-\lambda p/p'}|b(y)|\,|\varphi(y)|^p\,dy. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что $(a+b)^s \leqslant 2^{s} (a^s+b^s)$ для любых $a,b,s>0$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|(KM_b\varphi)(\cdot+t)-(KM_b\varphi)(\cdot)\|^p_{L_p(S(R_1,R_2))} \\ &\qquad\leqslant 2^{p/p'} \|b\|^{p/p'}_\infty\kappa^{p/p'} \int_{S(R_1,R_2)} \bigl( |x|^{(\lambda p -n)/p'} + |x+t|^{(\lambda p -n)/p'} \bigr)\,dx \\ &\qquad\qquad\times \int_{\mathbb{R}^n} |k(x+t,y)-k(x,y)|\,|y|^{n/p'-\lambda p/p'}|b(y)|\,|\varphi(y)|^p \,dy \\ &\qquad =2^{p/p'} \|b\|^{p/p'}_\infty\kappa^{p/p'} (\mathcal{B}_1(\varphi,t)+\mathcal{B}_2(\varphi,t)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|(KM_b\varphi)(\cdot+t)-(KM_b\varphi)(\cdot)\|_{L_p(S(R_1,R_2))} \\ &\qquad \leqslant 2^{1/p'} \|b\|^{1/p'}_\infty\kappa^{1/p'} \bigl( \mathcal{B}_1(\varphi,t)+\mathcal{B}_2(\varphi,t) \bigr)^{1/p} \leqslant 2 \|b\|^{1/p'}_\infty\kappa^{1/p'} \bigl( \mathcal{B}_1^{1/p}(\varphi,t)+\mathcal{B}_2^{1/p}(\varphi,t) \bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Лемма 2. Пусть $1<p<\infty$, $0<\lambda<n/p$, $K$ – оператор вида (2.2) и функции $a(x)$ и $b(x)$ принадлежат классу $C_{0,0}(\mathbb{R}^n)$. Тогда оператор $M_a K M_b$ компактен в пространстве $L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n)$. Доказательство. Пусть $\Phi =\{\varphi\}$ – произвольное ограниченное множество, лежащее в $L_{p,\lambda}^{0}(\mathbb{R}^n)$, т.е. $\|\varphi\|_{L_{p,\lambda}^{0}(\mathbb{R}^n)} \leqslant C$ для любой $\varphi \in \Phi$. Используя предложение 1, покажем, что множество $\{M_a K M_b \varphi\}$, где $\varphi \in \Phi$, предкомпактно в пространстве $L_{p,\lambda}^{0}(\mathbb{R}^n)$. Проверим выполнение условий (2.3)–(2.6).
1) Так как операторы $K$ и $M_a$ ограничены в пространстве $L_{p,\lambda}^{0}(\mathbb{R}^n)$, то для любой функции $\varphi \in \Phi$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\|M_a K M_b\varphi\|_{L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n)} \leqslant \|a\|_\infty \kappa \|b\|_\infty \|\varphi\|_{L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n)} \leqslant C \kappa \|a\|_\infty \|b\|_\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
2) Проверим условие (2.4). Для любой функции $\varphi \in \Phi$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \|\chi_{B(0,R_1)} M_a K M_b \varphi\|_{L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n)} \leqslant \|\chi_{B(0,R_1)} a\|_\infty \|K M_b \varphi\|_{L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n)} \\ &\qquad \leqslant \sup_{x\in B(0,R_1)}|a(x)| \,\, \kappa \|b\|_{\infty} \|\varphi\|_{L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n)} \leqslant C \kappa \|b\|_{\infty} \sup_{x\in B(0,R_1)}|a(x)|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как функция $a \in C_{0,0}(\mathbb{R}^n)$, при достаточно малых значениях $R_1$ выполняется тождество $|a(x)|\equiv 0$, $x\in B(0,R_1)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\lim_{R_1\to 0}\sup_{\varphi \in \Phi} \|\chi_{B(0,R_1)} M_a K M_b \varphi\|_{L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n)}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
3) Проверим условие (2.5), т.е. докажем, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{\delta\to 0}\sup_{\varphi \in \Phi} \bigl \| A_\delta(M_a K M_b \varphi) - M_a K M_b \varphi \bigr\|_{L_p(S(R_1,R_2))}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая формулу (2.7), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \bigl \|A_\delta(M_a K M_b \varphi) - M_a K M_b \varphi \bigr\|_{L_p(S(R_1,R_2))} \\ &\qquad =\frac{1}{|B(0,\delta)|} \biggl\| \int_{B(0,\delta)} \bigl[(M_a K M_b \varphi)(\cdot+t) - (M_a K M_b \varphi)(\cdot)\bigr]\,dt \biggr\|_{L_p(S(R_1,R_2))}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя обобщенное неравенство Минковского, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \bigl \|A_\delta(M_a K M_b \varphi) - M_a K M_b \varphi \bigr\|_{L_p(S(R_1,R_2))} \\ &\qquad \leqslant \frac{1}{|B(0,\delta)|} \int_{B(0,\delta)} \bigl\| (M_a K M_b \varphi)(\cdot+t) - (M_a K M_b \varphi)(\cdot) \bigr\|_{L_p(S(R_1,R_2))}\,dt \\ &\qquad =\frac{1}{|B(0,\delta)|} \int_{B(0,\delta)} \bigl \|a(\cdot+t)(K M_b \varphi)(\cdot+t) - a(\cdot)(K M_b \varphi)(\cdot) \bigr\|_{L_p(S(R_1,R_2))}\,dt \\ &\qquad \leqslant I_1(\varphi,\delta) + I_2(\varphi,\delta), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
I_1(\varphi,\delta)=\frac{1}{|B(0,\delta)|} \int_{B(0,\delta)} \bigl\| [a(\cdot+t)-a(\cdot)](K M_b \varphi)(\cdot+t) \bigr\|_{L_p(S(R_1,R_2))}\,dt,
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
$$
\begin{equation}
I_2(\varphi,\delta)=\frac{1}{|B(0,\delta)|} \int_{B(0,\delta)} \bigl\| a(\cdot) [(K M_b \varphi)(\cdot+t) - (K M_b \varphi)(\cdot)] \bigr\|_{L_p(S(R_1,R_2))}\,dt.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Покажем, что функции $I_1(\varphi,\delta)$ и $I_2(\varphi,\delta)$ стремятся к нулю при $\delta\to 0$ равномерно относительно $\varphi \in \Phi$.
(i) Оценим $I_1(\varphi,\delta)$. Для подынтегрального выражения имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl\|[a(\cdot+t)-a(\cdot)](KM_b \varphi)(\cdot+t) \bigr\|_{L_p(S(R_1,R_2))} \\ &\qquad\leqslant \mathcal{A}(t) \|(KM_b \varphi)(\cdot+t)\|_{L_p(S(R_1,R_2))} \leqslant \mathcal{A}(t) \|(KM_b \varphi)(\cdot+t)\|_{L_p(B(0,R_2))}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}(t)=\sup_{x \in S(R_1,R_2)} |a(x+t)-a(x)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что $B(t,R_2)\subset B(0,|t|+R_2)$, получаем
$$
\begin{equation*}
\|(KM_b \varphi)(\cdot+t)\|_{L_p(B(0,R_2))}= \|K M_b \varphi\|_{L_p(B(t,R_2))} \leqslant \|K M_b \varphi\|_{L_p(B(0,|t|+R_2))}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $K M_b \varphi \in L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n)$, то из формулы (2.1) следует, что
$$
\begin{equation*}
\|K M_b \varphi\|_{L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n)} \geqslant \frac{\|K M_b \varphi\|_{L_p(B(0,r))}}{r^\lambda}
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $r>0$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \|(KM_b \varphi)(\cdot+t)\|_{L_p(B(0,|t|+R_2))} \leqslant (|t|+R_2)^\lambda \|K M_b \varphi\|_{L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n)} \\ &\qquad \leqslant (|t|+R_2)^\lambda \kappa \|b\|_\infty\| \varphi\|_{L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n)} \leqslant \kappa C \|b\|_\infty (|t|+R_2)^\lambda. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак,
$$
\begin{equation}
\bigl \|[a(\cdot+t)-a(\cdot)](KM_b \varphi)(\cdot+t) \bigr\|_{L_p(S(R_1,R_2))} \leqslant \kappa C \|b\|_\infty \, \mathcal{A}(t) \, (|t|+R_2)^\lambda .
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Подставляя (3.6) в формулу (3.4), получим
$$
\begin{equation*}
I_1(\delta,\varphi) \leqslant \frac{\kappa C \|b\|_\infty }{|B(0,\delta)|} \int_{B(0,\delta)} \mathcal{A}(t) (|t|+R_2)^\lambda \,dt,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что
$$
\begin{equation}
I_1(\varphi,\delta) \leqslant \kappa C \|b\|_\infty (\delta+R_2)^\lambda \sup_{t\in B(0,\delta)} \mathcal{A}(t).
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Так как $a\in C_{0,0}(\mathbb{R}^n)$, то $\mathcal{A}(t) \to 0$ при $t\to 0$. Тогда из (3.7) следует, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{\delta\to 0} \sup_{\varphi \in \Phi} I_1(\varphi,\delta)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
(ii) Рассмотрим интеграл $I_2(\varphi,\delta)$. Из формулы (3.5) следует, что
$$
\begin{equation*}
I_2(\varphi,\delta) \leqslant \frac{\|a\|_\infty}{|B(0,\delta)|} \int_{B(0,\delta)} \|(KM_b\varphi)(\cdot+t)-(KM_b\varphi)(\cdot)\|_{L_p(S(R_1,R_2))}\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, применяя неравенство (3.1), получаем
$$
\begin{equation*}
I_2(\varphi,\delta) \leqslant \frac{\nu \|a\|_\infty}{|B(0,\delta)|} \int_{B(0,\delta)} \bigl( \mathcal{B}_1^{1/p}(\varphi,t)+\mathcal{B}_2^{1/p}(\varphi,t) \bigr) \,dt,
\end{equation*}
\notag
$$
где функции $\mathcal{B}_1(\varphi,t)$ и $\mathcal{B}_2(\varphi,t)$ определяются формулами (3.2) и (3.3) соответственно. Отсюда вытекает неравенство
$$
\begin{equation}
I_2(\varphi,\delta) \leqslant \nu \|a\|_\infty \Bigl( \sup_{|t|<\delta} \mathcal{B}_1^{1/p}(\varphi,t)+ \sup_{|t|<\delta} \mathcal{B}_2^{1/p}(\varphi,t) \Bigr).
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Покажем, что функции $\mathcal{B}_1(\varphi,t)$ и $\mathcal{B}_2(\varphi,t)$ стремятся к нулю при $t\to 0$ равномерно относительно $\varphi \in \Phi$.
Рассмотрим функцию $\mathcal{B}_1(\varphi,t)$, заданную формулой (3.2). Меняя порядок интегрирования, получим
$$
\begin{equation*}
\mathcal{B}_1(\varphi,t)=\int_{\mathbb{R}^n}|b(y)|\,|\varphi(y)|^p|y|^{n/p'-\lambda p/p'}\,dy \int_{S(R_1,R_2)} |k(x+t,y)-k(x,y)|\,|x|^{\lambda p/p' - n/p'}\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Во внутреннем интеграле сделаем замену $x=|y|z$. Тогда с учетом однородности функции $k(x,y)$ приходим к равенству
$$
\begin{equation*}
\mathcal{B}_1(\varphi,t)=\int_{\mathbb{R}^n}|b(y)|\,|\varphi(y)|^p \,dy \int_{S(R_1/|y|,R_2/|y|)} \biggl| k\biggl( z+\frac{t}{|y|},y' \biggr)-k(z,y') \biggr|\,|z|^{\lambda p/p' -n/p'}\,dz.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь во внутреннем интеграле сделаем замену $z=\omega_y(x)$, где $\omega_y$ – любой элемент группы $\operatorname{SO}(n)$ такой, что $\omega_y(e_1)=y'$. Принимая во внимание условие $2^\circ$), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{B}_1(\varphi, t) &=\int_{\mathbb{R}^n}|b(y)|\,|\varphi(y)|^p \,dy \\ &\qquad\times \int_{S(R_1/|y|,R_2/|y|)} \biggl| k\biggl( x+\frac{\omega^{-1}_y(t)}{|y|},e_1 \biggr)-k(x,e_1) \biggr| |x|^{\lambda p-\lambda-n/p'} \,dx \\ & \leqslant\int_{\mathbb{R}^n}|b(y)|\,|\varphi(y)|^p \biggl(\frac{R_2}{|y|} \biggr)^{\lambda p} dy \\ &\qquad\times \int_{S(R_1/|y|,R_2/|y|)} \biggl| k\biggl( x+\frac{\omega^{-1}_y(t)}{|y|},e_1 \biggr)-k(x,e_1) \biggr|\,|x|^{-\lambda-n/p'}\,dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $b\in C_{0,0}(\mathbb{R}^n)$, найдутся такие значения $\rho_1>0$ и $\rho_2>0$, что $b(y)\equiv 0$ при $y \not\in S(\rho_1,\rho_2)$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{B}_1(\varphi,t) &\leqslant R_2^{\lambda p} \int_{S(\rho_1,\rho_2)}|b(y)|\frac{|\varphi(y)|^p}{|y|^{\lambda p}}\,dy \\ &\qquad\times\int_{S(R_1/|y|,R_2/|y|)} \biggl| k\biggl( x+\frac{\omega^{-1}_y(t)}{|y|},e_1 \biggr)-k(x,e_1) \biggr|\,|x|^{-\lambda-n/p'}\,dx \\ & \leqslant \|b\|_\infty \frac{R_2^{\lambda p}}{\rho_1^{\lambda p}} \int_{S(\rho_1,\rho_2)} |\varphi(y)|^p\,dy \int_{\mathbb{R}^n} \biggl| k\biggl( x+\frac{\omega^{-1}_y(t)}{|y|},e_1 \biggr)-k(x,e_1) \biggr|\,|x|^{-\lambda-n/p'}\,dx \\ & \leqslant \|b\|_\infty \frac{R_2^{\lambda p}}{\rho_1^{\lambda p}} \|\varphi\|_{L_p(S(\rho_1,\rho_2))}^{p} \\ &\qquad\times\sup_{y \in S(\rho_1,\rho_2)} \int_{\mathbb{R}^n} \biggl| k\biggl( x+\frac{\omega^{-1}_y(t)}{|y|},e_1 \biggr)-k(x,e_1) \biggr|\,|x|^{-\lambda -n/p'}\,dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\varphi \in L^0_{p,\lambda}(\mathbb{R}^n)$, то используя определение 1, получаем
$$
\begin{equation*}
\|\varphi\|_{L_p(S(\rho_1,\rho_2))} \leqslant \|\varphi\|_{L_p(B(0,\rho_2))} \leqslant \|\varphi\|_{L^0_{p,\lambda}(\mathbb{R}^n)} \, \rho_2^{\lambda} \leqslant C \rho_2^{\lambda}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для любой функции $\varphi \in \Phi$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
\mathcal{B}_1(\varphi, t) \leqslant \|b\|_\infty C^p \biggl( R_2 \frac{\rho_2}{\rho_1} \biggr)^{\lambda p} \sup_{y\in S(\rho_1,\rho_2)} \int_{\mathbb{R}^n} \biggl| k\biggl( x+\frac{\omega^{-1}_y(t)}{|y|},e_1 \biggr)-k(x,e_1) \biggr|\,|x|^{-\lambda-n/p'}\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\bigl| \omega^{-1}_y(t)/|y| \bigr|=|t|/|y| \leqslant |t|/\rho_1$ для всех $y \in S(\rho_1,\rho_2)$, то $\omega^{-1}_y(t)/|y| \to 0$ при $t\to 0$ равномерно относительно $y\in S(\rho_1,\rho_2)$. Тогда из условия $3^\circ$) и свойства непрерывности по $L_1$-норме следует, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{t\to 0} \sup_{y\in S(\rho_1,\rho_2)} \int_{\mathbb{R}^n} \biggl| k\biggl( x+\frac{\omega^{-1}_y(t)}{|y|},e_1 \biggr)-k(x,e_1) \biggr|\,|x|^{-\lambda-n/p'}\,dx=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\lim_{t\to 0} \sup_{\varphi \in \Phi} \mathcal{B}_1(\varphi,t)=0.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Аналогичным образом доказывается, что для функции $\mathcal{B}_2(\varphi,t)$, заданной формулой (3.3), выполняется равенство
$$
\begin{equation}
\lim_{t\to 0} \sup_{\varphi \in \Phi} \mathcal{B}_2(\varphi,t)=0.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Из неравенства (3.8), с учетом формул (3.9) и (3.10) следует, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{\delta\to 0} \sup_{\varphi \in \Phi} I_2(\varphi,\delta)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
4) Проверим условие (2.6). Для любой функции $\varphi \in \Phi$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|\chi_{CB(0,R_2)} M_a K M_b\varphi\|_{L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n)} \leqslant \|\chi_{CB(0,R_2)} a\|_\infty \|K M_b \varphi\|_{L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n)} \\ &\qquad \leqslant \sup_{x\in CB(0,R_2)} |a(x)| \, \kappa \|b\|_\infty \|\varphi\|_{L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n)} \leqslant C \kappa \|b\|_\infty \sup_{x\in CB(0,R_2)}|a(x)|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как функция $a(x)$ финитна, при достаточно больших значениях $R_2$ выполняется тождество $|a(x)|\equiv 0$, $x\in CB(0,R_2)$. Тогда Лемма полностью доказана. 4. Основные результатыВ этом разделе мы расширим класс рассматриваемых коэффициентов. Определение 2. Будем говорить, что функция $a\in L_{\infty}(\mathbb{R}^n)$ принадлежит классу $B_{0,0}^{\sup}(\mathbb{R}^n)$, если Теорема 1. Пусть $1 < p < \infty$, $0<\lambda<n/p$, $K$ – оператор вида (2.2) и функции $a(x)$ и $b(x)$ принадлежат классу $B_{0,0}^{\sup}(\mathbb{R}^n)$. Тогда оператор $M_a K M_b$ компактен в пространстве $L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n)$. Доказательство. Введем обозначение $S_N=S(1/N,N)$ и положим
$$
\begin{equation*}
a_N(x)=a(x) \chi_{S_N}(x), \qquad b_N(x)=b(x) \chi_{S_N}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Убедимся, что оператор $M_{a_N} K M_{b_N}$ компактен в $L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n)$. Действительно, пусть функция $v\in C_{0,0}(\mathbb{R}^n)$ такова, что $v(x)\equiv1$ при $x \in S_N$. Тогда По лемме 2 оператор $M_v K M_v$ компактен в $L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n)$; значит оператор $M_{a_N} K M_{b_N}$ также является компактным. Приблизим оператор $M_a K M_b$ компактными операторами $M_{a_N} K M_{b_N}$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \|M_a K M_b - M_{a_N} K M_{b_N}\|_{\mathcal{L}(L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n))} \\ &\qquad \leqslant \|M_a K M_b - M_{a_N} K M_b \|_{\mathcal{L}(L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n))} + \|M_{a_N} K M_b - M_{a_N} K M_{b_N}\|_{\mathcal{L}(L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n))} \\ &\qquad \leqslant \|a-a_N\|_\infty \, \kappa \|b\|_{\infty} + \|a_N\|_{\infty} \, \kappa \|b-b_N\|_\infty \\ &\qquad \leqslant \kappa \biggl( \operatorname*{ess\,sup}_{|x|<1/N \cup |x|> N}|a(x)|\,\|b\|_{\infty} +\operatorname*{ess\,sup}_{|x|<1/N \cup |x|> N} |b(x)| \, \|a\|_{\infty} \biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $a,b \in B_{0,0}^{\sup}(\mathbb{R}^n)$, выражение в скобках стремится к нулю при $N\to\infty$. Следовательно, при $N\to\infty$. Значит оператор $M_a K M_b$ компактен в пространстве $L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n)$. Из этой теоремы непосредственно вытекает Следствие 1. Пусть $1<p<\infty$, $0<\lambda<n/p$, $K$ – оператор вида (2.2), $D_1$ и $D_2$ – ограниченные измеримые области в $\mathbb{R}^n$, причем $0\notin\overline{D_1}$ и $0\notin\overline{D_2}$. Тогда оператор $P_{D_1} K P_{D_2}$ компактен в пространстве $L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n)$. В заключение рассмотрим интегральный оператор, обобщающий оператор вида (2.2). Именно, в пространстве $L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n)$ рассмотрим оператор
$$
\begin{equation}
(K_c \varphi)(x)=\int_{\mathbb{R}^n} c(x,y) k(x,y) \varphi(y)\,dy, \qquad x\in \mathbb{R}^n,
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где $k(x,y)$ удовлетворяет условиям $1^\circ$)–$3^\circ$), а $c(x,y) \in L_{\infty}(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n)$. Функцию $c(x,y)$ будем называть характеристикой. Лемма 3. Пусть $1<p<\infty$, $0<\lambda<n/p$, $K_c$ – оператор вида (4.1), $D_1$ и $D_2$ – ограниченные измеримые области в $\mathbb{R}^n$, причем $0\notin\overline{D_1}$ и $0\notin\overline{D_2}$. Тогда оператор $P_{D_1} K_c P_{D_2}$ компактен в пространстве $L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n)$. Доказательство. Пусть вначале $c(x,y)=c_1(x)c_2(y)$. Тогда $K_c=M_{c_1} K M_{c_2}$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
P_{D_1} K_c P_{D_2}=P_{D_1} M_{c_1} K M_{c_2} P_{D_2}=M_{c_1} P_{D_1} K P_{D_2} M_{c_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
По следствию 1 оператор $P_{D_1} K P_{D_2}$ компактен; значит оператор $P_{D_1} K_c P_{D_2}$ также компактен. Ясно, что оператор $P_{D_1} K_c P_{D_2}$ будет компактным и в случае, если
Пусть $c(x,y)$ – произвольная функция из $L_{\infty}(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n)$. Так как множество $\mathcal{S}$ функций вида (4.2) всюду плотно в пространстве $L_{\infty}(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n)$, найдется такая последовательность $\{c_j(x,y)\}\subset\mathcal{S}$, что $\|c-c_j\|_\infty \to 0$ при $j\to\infty$. Тогда, учитывая неравенство $\|K_c\varphi\|_{\mathcal{L}(L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n))} \leqslant \kappa\|c\|_\infty$, получим при $j\to\infty$, откуда следует, что оператор $P_{D_1} K_c P_{D_2}$ компактен в $L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n)$.Теорема 2. Пусть $1<p<\infty$, $0<\lambda<n/p$, $K_c$ – оператор вида (4.1) и характеристика $c(x,y)$ удовлетворяет следующим условиям: Тогда оператор $K_c$ компактен в пространстве $L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n)$. Доказательство. Представим оператор $K_c$ в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K_c &=P_{B(0,1/N)} K_c + P_{CB(0,N)} K_c \\ &\qquad +P_{S_N} K_c P_{B(0,1/N)} + P_{S_N} K_c P_{S_N} + P_{S_N} K_c P_{CB(0,N)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $S_N=S(1/N,N)$. Оператор $T_N =P_{S_N} K_c P_{S_N}$ компактен по лемме 3. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|K_c - T_N\|_{\mathcal{L}(L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n))} \leqslant \|P_{B(0,1/N)} K_c\|_{\mathcal{L}(L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n))} + \|P_{CB(0,N)} K_c\|_{\mathcal{L}(L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n))} \\ &\qquad\qquad + \|P_{S_N} K_c P_{B(0,1/N)}\|_{\mathcal{L}(L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n))} + \|P_{S_N} K_c P_{CB(0,N)}\|_{\mathcal{L}(L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n))}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку для любых измеримых множеств $X$ и $Y$ из $\mathbb{R}^n$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
\|P_X K_c P_Y \|_{\mathcal{L}(L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n))} \leqslant \kappa \, \operatorname*{ess\,sup}_{x\in X,\, y\in Y} |c(x,y)|,
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|K_c - T_N\|_{\mathcal{L}(L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n))} &\leqslant \kappa \Bigl( \operatorname*{ess\,sup}_{|x|<1/N,\, y\in\mathbb{R}^n} |c(x,y)| + \operatorname*{ess\,sup}_{|x|>N,\, y\in\mathbb{R}^n} |c(x,y)| \\ &\qquad + \operatorname*{ess\,sup}_{x\in\mathbb{R}^n,\, |y|<1/N} |c(x,y)| + \operatorname*{ess\,sup}_{x\in\mathbb{R}^n,\, |y|>N} |c(x,y)| \Bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (4.3) и (4.4) $\|K_c - T_N\|_{\mathcal{L}(L_{p,\lambda}^0(\mathbb{R}^n))} \to 0$ при $N\to\infty$. Так как $T_N$ является компактным оператором, то $K_c$ – компактный оператор. Замечание 1. Нетрудно проверить, что если $c(x,y)=a(x)b(y)$, где $a(x)$ и $b(x)$ – функции из $B_{0,0}^{\sup}(\mathbb{R}^n)$, то условия (4.3) и (4.4) выполнены. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AvsAsh24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|