| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Оценка скорости сходимости в принципе локализации Римана для тригонометрических рядов Фурье непрерывных функций Т. Ю. Семеноваab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624070265 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеОдним из известных свойств тригонометрического ряда Фурье является принцип локализации Римана, утверждающий, что сходимость ряда Фурье функции $f$ в точке $x_0$ зависит лишь от свойств функции в некоторой окрестности этой точки. Классический вариант формулировки принципа локализации: если $f\in L[-\pi,\pi]$ равна нулю на некотором интервале $I\subset(-\pi,\pi)$, то ее ряд Фурье сходится к нулю равномерно на любом компакте $K\subset I$. В прикладных задачах, использующих представление решения некоторого уравнения математической физики в виде ряда Фурье, важен не только факт сходимости ряда, но и исследование скорости его сходимости. Этому вопросу посвящены работы Хилле, Клейна [1] и Теляковского [2], где для произвольной $2\pi$-периодической функции $f\in L[-\pi,\pi]$, для любого $\delta\in(0,\pi)$ доказана оценка
$$
\begin{equation}
\biggl|S_n(f,x_0)-\frac{1}{\pi} \int_{-\delta}^\delta f(x_0+t)\frac{\sin(nt)}{t}\,dt\biggr| \leqslant\frac{K}{\delta} \biggl(\omega\biggl(f,\frac{1}{n}\biggr)_L+\frac{|a_0(f)|}{n}\biggr).
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Здесь $S_n(f,x)$ – $n$-я частичная сумма ряда Фурье функции $f$, $\omega(f,h)_L$ – интегральный модуль непрерывности, $a_0(f)=(1/\pi)\int_{-\pi}^\pi f(x)\,dx$, $K$ – абсолютная постоянная. Поскольку
$$
\begin{equation*}
S_n(f,x_0)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x_0+t)D_n(t)\,dt,\qquad \text{где}\quad D_n(t)=\frac{\sin((n+0.5)t)}{2\sin(t/2)}
\end{equation*}
\notag
$$
– ядро Дирихле [3; гл. I, § 31, формула (31.5)], неравенство (1.1) по сути доказывает равномерную сходимость к нулю на отрезке $[-\pi,\pi]$ при $n\to +\infty$ разницы между $n$-частичной суммой ряда Фурье и линейным оператором, аналогом $S_n(f,x_0)$, примененным к сужению функции $f$ на $\delta$-окрестность точки $x_0$. Если же известно, что $f(x)=0$ на $(x_0-\delta,x_0+\delta)$, то (1.1) оценивает скорость сходимости ряда Фурье к значению функции в точке $x_0$. В работе рассматриваются непрерывные $2\pi$-периодические функции. Доказано неравенство, аналогичное (1.1), но без “неопределенной” постоянной $K$. В случае, когда $f$ обращается в нуль на некотором отрезке, найдена оценка скорости сходимости внутри этого отрезка, близкая к неулучшаемой. 2. Формулировка основных результатовПусть $C_{2\pi}$ – пространство непрерывных на $\mathbb R$ действительнозначных $2\pi$-периодических функций с нормой
$$
\begin{equation*}
\|f\|=\sup\bigl\{|f(x)|\mid x\in\mathbb R\bigr\}=\max_{-\pi\leqslant x\leqslant \pi}|f(x)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Модулем непрерывности функции $f\in C_{2\pi}$ называется величина
$$
\begin{equation*}
\omega(f,h)=\max\bigl\{f(x_1)-f(x_2)|,\,x_1,x_2\in\mathbb R,\,|x_1-x_2|\leqslant h\bigr\},\qquad 0\leqslant h\leqslant\pi.
\end{equation*}
\notag
$$
Для краткости обозначим $N=n+0.5$, $\omega_n(f)=\omega(f,2\pi/(3N))$. Теорема 1. Пусть функция $f\in C_{2\pi}$, $\delta_1,\delta_2\in(0,\pi)$, $x_0\in\mathbb R$. Тогда для любого натурального $n\geqslant 3$ такого, что $N\geqslant 2\pi/(3\min\{\delta_1,\delta_2\})$, выполнено неравенство Следствие 1. Пусть функция $f\in C_{2\pi}$, $\delta\in(0,\pi)$, $x_0\in\mathbb R$. Тогда для любого натурального $n\geqslant 3$ такого, что $N\geqslant 2\pi/(3\delta)$, выполнено неравенство Сравним оценки (1.1) и (2.2). Оба результата показывают равномерную на отрезке $[-\pi,\pi]$ сходимость к нулю разности между частичной суммой ряда Фурье и оператором свертки с ядром Дирихле (или с функцией $\sin(nt)/t$ в (1.1)), примененным к $f|_{[x_0-\delta,x_0+\delta]}$. В последнем пункте этой работы показывается, что отличие в значениях операторов свертки несущественно. Неравенство (1.1) верно для абсолютно интегрируемых функций, а (2.2) – для более узкого класса, для непрерывных. Поскольку
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \omega(f,h)_L=\sup_{0\leqslant|t|\leqslant h}\int_{-\pi}^\pi|f(x+t)-f(x)|\,dx \leqslant 2\pi\cdot\omega(f,h), \\ |a_0(f)|\leqslant 2\sup|f|, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
то из (1.1) как следствие можно получить соотношение
$$
\begin{equation}
\biggl|S_n(f,x_0)-\frac{1}{\pi} \int_{-\delta}^\delta f(x_0+t)\frac{\sin(nt)}{t}\,dt\biggr| \leqslant\frac{K}{\delta} \biggl(2\pi\omega\biggl(f,\frac{1}{n}\biggr)+\frac{2\sup|f|}{n}\biggr),
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
которое уже близко к (2.2), но из-за наличия неизвестной постоянной $K$ его практическое применение затруднено. Множитель $1/\delta$, стоящий в (2.3) перед модулем непрерывности функции, при $\delta\to 0+$ по порядку хуже $\ln(1/\delta)$ в (2.2), а использование в оценке (2.3) $\sup|f|$ вместо $|f(x_0)|$ в (2.2) является менее выгодным. С другой стороны, следует отметить, что оценки типа $\omega(f,h)\leqslant C_1\omega(f,h)_L$ и $\sup|f|\leqslant C_2|a_0(f)|$ с некоторыми постоянными $C_1$ и $C_2$ не имеют места; в частности, величина $\omega(f,h)_L$ может оказаться по порядку меньше величины $\omega(f,h)$. Теперь рассмотрим подкласс $C_{2\pi}$, состоящий из функций, равных нулю на некотором отрезке, содержащем точку $x_0$. Из теоремы 1 вытекает следующее утверждение. Теорема 2. Пусть функция $f\in C_{2\pi}$, $x_0\in\mathbb R$, и $f(x)=0$ при $x\in[x_0-\delta_1, x_0+\delta_2]$, $\delta_1,\delta_2\in(0,\pi)$. Тогда для любого натурального $n\geqslant 3$ такого, что $N\geqslant 2\pi/(3\min\{\delta_1,\delta_2\})$, выполнено неравенство Дадим небольшой комментарий к результату теоремы 2. Величина $\omega_n(f)$ впервые появилась в работе Стечкина и Гаврилюк [4], где была получена оценка сверху уклонения функции $f\in C_{2\pi}$ от частичной суммы ее ряда Фурье: Здесь $L_n=(1/\pi)\int_{-\pi}^\pi|D_n(t)|\,dt$ – константы Лебега тригонометрической системы. Оценка (2.4) является оптимальной в том смысле, что при любом $n\in\mathbb N$ верно равенство
$$
\begin{equation}
\sup\biggl\{\frac{|S_n(f,x_0)|}{\omega_n(f)}\biggm|f\in C_{2\pi},\,f\not\equiv 0,\,f(x_0)=0\biggr\} =\frac{L_n+1}{2}.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Более того, аргумент модуля непрерывности $2\pi/(3N)$ не допускает существенного уменьшения (теорема 2 в [4]). Из известной асимптотики констант Лебега $L_n$ ([3; гл. I, § 35]), а также их двусторонней оценки [5]
$$
\begin{equation}
\frac{4}{\pi^2}\ln N+1.27<L_n <\frac{4}{\pi^2}\ln N+1.272\qquad \forall n\in\mathbb N
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
следует, что последовательность $(L_n+1)/2$ в неравенстве (2.4) при $n\to+\infty$ эквивалентна $2\pi^{-2}\ln n$ и стремится к $+\infty$. Теорема 2 показывает, что величина, аналогичная (2.5), а именно,
$$
\begin{equation*}
\sup\biggl\{\frac{|S_n(f,x_0)|}{\omega_n(f)}\biggm|f\in C_{2\pi},\, f\not\equiv 0,\,f(x)=0\text{ на }[x_0-\delta_1,x_0+\delta_2]\biggr\} =K_n(\delta_1,\delta_2)
\end{equation*}
\notag
$$
при фиксированных $\delta_1$, $\delta_2$ является ограниченной на множестве
$$
\begin{equation*}
\biggl\{n\in\mathbb N,\,n\geqslant 3,\,N\geqslant\frac{2\pi}{3\min\{\delta_1,\delta_2\}}\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
причем из нижеследующей теоремы 3 видно, что границы для $K_n(\delta_1,\delta_2)$ найдены довольно точно – зазор между оценками сверху и снизу величины $K_n(\delta_1,\delta_2)$ меньше $1$. Теорема 3. Для любого натурального $n\geqslant 3$, для любых $\delta_1,\delta_2\in[2\pi/(3N),1)$ существует функция $f_n\in C_{2\pi}$ такая, что Из теоремы 2 легко получить оценку скорости сходимости ряда Фурье в точке $x_0$, если функция $f\in C_{2\pi}$ равна нулю на симметричном отрезке, а также оценку скорости равномерной сходимости на отрезке, содержащимся внутри промежутка, где функция равна нулю. Следствие 2. Пусть функция $f\in C_{2\pi}$, $x_0\in\mathbb R$, и $f(x)=0$ при $x\in[x_0-\delta, x_0+\delta]$, $\delta\in(0,\pi)$. Тогда для любого натурального $n\geqslant 3$ такого, что $N\geqslant 2\pi/(3\delta)$, выполнено неравенство Следствие 3. Пусть $f\in C_{2\pi}$ и $f(x)=0$ при $x\in[a,b]\subset[-\pi,\pi]$. Тогда для любого $\delta\in(0,(b-a)/2)$ и для любого натурального $n\geqslant 3$ такого, что $N\geqslant 2\pi/(3\delta)$, выполнено неравенство 3. Вспомогательные утвержденияДоказательства данной работы базируются на различных интегральных свойствах ядер Дирихле $D_n$, основные из которых были найдены в [4]. Положим В работе [4] доказано, что функция $\Phi_n(x)$ на интервале $(0,\pi)$ имеет $n$ простых нулей $0<x_1^{(n)}<\dotsb<x_n^{(n)}<\pi$, для которых выполнены неравенства
$$
\begin{equation}
\frac{\pi(k-0.5)}{N}<x_k^{(n)}<\frac{\pi(k-1/3)}{N}, \qquad k=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Обозначим $x_{n+1}^{(n)}=\pi$. Несложно проверить, что $x_1^{(n)}<2\pi/(3N)$, а также для всех натуральных $k\in[1,n]$ верны равенства
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \int_0^\pi D_n(t)\,dt=\int_0^{x_k^{(n)}}D_n(t)\,dt =\frac{\pi}{2}, \\ a_{k,n}=\frac{1}{2}\int_{x_k^{(n)}}^{x_{k+1}^{(n)}}|D_n(t)|\,dt =\int_{x_k^{(n)}}^{\pi k/N}|D_n(t)|\,dt =\int_{\pi k/N}^{x_{k+1}^{(n)}}|D_n(t)|\,dt. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Сформулируем две леммы из работ [4] и [6], которые понадобятся в дальнейшем. Лемма 1 [4]. При всех натуральных $k\in[1,n]$ справедливо соотношение Из леммы 1 немедленно вытекает неравенство
$$
\begin{equation}
\biggl|\int_{x_k^{(n)}}^{x_{k+1}^{(n)}}{g}(t)D_n(t)\,dt\biggr| \leqslant a_{k,n}\omega_n(g)\qquad \forall g\in C.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Лемма 2 [6]. Пусть $L_n(y)=(2/\pi)\int_0^y|D_n(t)|\,dt$. Тогда при всех натуральных $k\in[2,n+1]$ выполнено неравенство Теперь докажем несколько вспомогательных утверждений. Доказательство. Из равенств (3.2) и оценок (3.1) для $x_k^{(n)}$ находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a_{k,n} &=(-1)^{k+1}\int_{x_k^{(n)}}^{\pi k/N}D_n(t)\,dt =(-1)^{k+1}\biggl(\int_0^{\pi k/N}D_n(t)\,dt-\frac{\pi}{2}\biggr) \nonumber \\ &=(-1)^{k+1}\biggl(\int_0^{\pi k} \frac{\sin u}{2N\sin(u/(2N))}\,du-\frac{\pi}{2}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Зафиксируем номер $k$ и введем функцию
$$
\begin{equation*}
I(z)=\int_0^{\pi k}\frac{\sin u}{2z\sin(u/(2z))}\,du,\qquad z>1.
\end{equation*}
\notag
$$
Вычислим ее производную:
$$
\begin{equation*}
I'(z)=-\int_0^{\pi k}\frac{\sin u(\sin(u/(2z))-(u/(2z))\cos(u/(2z)))} {2(z\sin(u/(2z)))^2}\,du.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как функция $(\sin x-x\cos x)/\sin^2 x$ на промежутке $(0,\pi/2]$ возрастает и положительна, то $\operatorname{sgn}I'(z)=(-1)^k$. Отсюда следует возрастание функции $(-1)^kI(z)$ и, в частности, неравенство $(-1)^k(I(z+1)-I(z))>0$ для любого $z>1$. А так как согласно (3.5) $a_{k,n+1}-a_{k,n}=(-1)^{k+1}(I(N+1)-I(N))$, то числовая последовательность $\alpha_k=\{a_{k,n}\}_{n=k}^\infty$ является убывающей. Это влечет за собой неравенство
$$
\begin{equation}
a_{k,n}\leqslant a_{k,k},\qquad 1\leqslant k\leqslant n,\quad n\in\mathbb R.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Из (3.6) видно, что для доказательства леммы осталось проверить справедливость неравенства (3.4) для значения $n=k$. Ввиду (3.2) следует доказать, что
Сделав замену переменной $t=\pi-2u$, получим равенство
$$
\begin{equation}
a_{k,k}=\int_{\pi k/(k+0.5)}^\pi\frac{|\sin(Nt)|}{2\sin(t/2)}\,dt =\int_0^{\pi/(4k+2)}\frac{\cos((2k+1)u)}{\cos u}\,du.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Из общеизвестной оценки $\cos u>1-u^2/2$ (при $u>0$) несложно выводится неравенство
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\cos u}<1+\frac{6u^2}{\pi^2}, \qquad 0<u\leqslant\frac{\pi}{6}.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Для этого достаточно показать, что $(1+6\pi^{-2}u^2)(1-u^2/2)>1$ при $0<u\leqslant\pi/6$; это можно сделать элементарными методами. Из (3.8), (3.9) (верхний предел интегрирования в (3.8) не больше $\pi/6$) и соотношений
$$
\begin{equation*}
\int_0^{\pi/2}\cos v\,dv=1,\qquad \int_0^{\pi/2}v^2\cos v\,dv=\frac{\pi^2}{4}-2<\frac{\pi^2}{12}
\end{equation*}
\notag
$$
находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a_{k,k} &<\int_0^{\pi/(4k+2)}\!\!\cos((2k+1)u)\biggl(1+\frac{6u^2}{\pi^2}\biggr)\,du =\frac{1}{2k+1}\int_0^{\pi/2}\!\!\cos v \biggl(1+\frac{6v^2}{(2k+1)^2\pi^2}\biggr)\,dv \\ &=\frac{1}{2k+1}\biggl(1+\frac{6}{(2k+1)^2\pi^2} \biggl(\frac{\pi^2}{4}-2\biggr)\biggr) <\frac{1}{2k+1}\biggl(1+\frac{1}{2(2k+1)^2}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось доказать, что
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{2k+1}\biggl(1+\frac{1}{2(2k+1)^2}\biggr) <\frac{1}{2k+1-(4k+2)^{-1}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее неравенство перепишем в виде ($z=2k+1\geqslant 3$)
$$
\begin{equation*}
1+\frac{1}{2z^2}<\frac{z}{z-(2z)^{-1}},\qquad \text{т.е.}\quad -(4z^3)^{-1}<0,
\end{equation*}
\notag
$$
что, очевидно, является верным. Неравенство (3.7) доказано, и этим завершено доказательство леммы. Из леммы 3 для всех натуральных $n$ и $k$, $1\leqslant k\leqslant n$, следует неравенство Заметим, что поставить в качестве оценки сверху для $a_{k,n}$ величину $(2k+1)^{-1}$ уже не удастся:
$$
\begin{equation}
a_{k,k}=\int_0^{\pi/(4k+2)}\frac{\cos((2k+1)u)}{\cos u}\,du >\int_0^{\pi/(4k+2)}\cos((2k+1)u)\,du =\frac{1}{2k+1}.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Для небольших значений $k$ докажем уточнение леммы 3. Доказательство. Так как величина $a_{k,n}$ при фиксированном $k$ принимает наибольшее значение при минимально возможном $n$, а мы рассматриваем случай $n\geqslant 3$, то
$$
\begin{equation}
a_{1,n}\leqslant a_{1,3},\qquad a_{2,n}\leqslant a_{2,3},\qquad a_{3,n}\leqslant a_{3,3}.
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Сделав численные расчеты на основании равенств (3.5), будем иметь
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a_{1,3}&=\biggl(\int_0^\pi\frac{\sin u}{7\sin (u/7)}\,du -\frac{\pi}{2}\biggr)<0.292, \\ a_{2,3}&=-\biggl(\int_0^{2\pi}\frac{\sin u}{7\sin (u/7)}\,du -\frac{\pi}{2}\biggr)<0.176, \\ a_{3,3}&=\biggl(\int_0^{3\pi}\frac{\sin u}{7\sin (u/7)}\,du -\frac{\pi}{2}\biggr)<0.144. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Из (3.12) и (3.13) получаем утверждение леммы. Доказательство. На заданном в условии множестве изменения переменных выполнена оценка
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial\varphi}{\partial\delta} =\frac{1}{\pi^2}\biggl(\frac{1}{\delta}-\frac{1}{2\sin(\delta/2)}\biggr) -\frac{1}{8\pi N}\cdot\frac{\cos(\delta/2)}{\sin^2(\delta/2)}<0,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому $\varphi(N,\delta)\leqslant\varphi(N,2\pi/(3N))$. Имеем
$$
\begin{equation}
\varphi\biggl(N,\frac{2\pi}{3N}\biggr) =\frac{1}{\pi^2}\ln\biggl(\frac{2\pi}{3N}\cdot\operatorname{ctg}\frac{\pi}{6N}\biggr) +\frac{1}{4\pi N\sin(\pi/(3N))}+\frac{0.88}{\pi}.
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Выражение в правой части равенства (3.14) после замены переменной $z\in \pi/(3N)$, где $z\int(0,2\pi/21]$, преобразуется к виду и оценивается сверху числом Лемма доказана. Доказательство. Так как $\delta\geqslant 2\pi/(3N)$, то $\delta\in[x_m^{(n)},x_{m+1}^{(n)})$ для некоторого $m$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi}\int_0^\delta D_n(t)\,dt\biggr| =\biggl|\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi}\biggl(\frac{\pi}{2} +\int_{x_m^{(n)}}^\delta D_n(t)\,dt\biggr)\biggr| =\biggl|\frac{1}{\pi}\int_{x_m^{(n)}}^\delta D_n(t)\,dt\biggr|=A.
\end{equation*}
\notag
$$
Понятно, что
$$
\begin{equation*}
A\leqslant\frac{1}{\pi}\int_{x_m^{(n)}}^{\pi m/N}|D_n(t)|\,dt =\frac{1}{\pi}a_{m,n}\leqslant \frac{1}{2\pi(m+1/3)}
\end{equation*}
\notag
$$
(лемма 3). Значит, при $\delta\in[x_m^{(n)},\pi(m+1/3)/N)$ утверждение леммы выполнено.
Рассмотрим случай $\delta\in(\pi(m+1/3)/N,x_{m+1}^{(n)})$. Используя равенство нулю интеграла $\int_{x_m^{(n)}}^{x_{m+1}^{(n)}} D_n(t)\,dt$ и оценки (3.1), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A &=\biggl|\frac{1}{\pi}\int_{x_m^{(n)}}^\delta D_n(t)\,dt\biggr| =\biggl|\frac{1}{\pi}\int_\delta^{x_{m+1}^{(n)}}D_n(t)\,dt\biggr| \leqslant\frac{1}{2\pi\sin(\delta/2)}\int_\delta^{x_{m+1}^{(n)}}|\sin(Nt)|\,dt \\ &<\frac{1}{2\pi\sin(\delta/2)}\int_{\pi(m+1/3)/N}^{\pi(m+2/3)/N}|\sin(Nt)|\,dt =\frac{1}{2\pi N\sin(\delta/2)} \leqslant\frac{1}{2\pi N\cdot 2/\pi\cdot\delta/2}=\frac{1}{2\delta N}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. 4. Доказательство основных результатов Доказательство теоремы 1. Без ограничения общности можно считать, что $x_0=0$. Сначала рассмотрим случай $f(0)=0$. Возьмем произвольное натуральное число $n\geqslant 3$ такое, что $N=n+1/2\geqslant 2\pi/(3\min\{\delta_1,\delta_2\})$. Воспользуемся интегральным представлением частичной суммы ряда Фурье функции [3; гл. I, § 31, формула (31.5)]:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|S_n(f,0)-\frac{1}{\pi}\int_{-\delta_1}^{\delta_2}f(t)D_n(t)\,dt\biggr| =\biggl|\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(t)\,dt -\frac{1}{\pi}\int_{-\delta_1}^{\delta_2}f(t)D_n(t)\,dt\biggr| \\ &\qquad\leqslant\biggl|\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{-\delta_1}f(t)D_n(t)\,dt\biggr| +\biggl|\frac{1}{\pi}\int_{\delta_2}^\pi f(t)D_n(t)\,dt\biggr|=B_1+B_2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим $B_2$. Так как $\delta_2\in[2\pi/(3N),\pi)$, то существует такое натуральное $m\in[1,n]$, что $\delta_2\in[x_m^{(n)},x_{m+1}^{(n)})$. Имеем Если $m=n$, считаем $\sum_{k=m+1}^n=0$.
Сначала рассмотрим $B'_2$ – первое слагаемое (4.1). Так как $x_{m+1}^{(n)}<\pi(m+2/3)/N$, то отношение длины отрезка $[0,x_{m+1}^{(n)}]$ к $2\pi/(3N)$ не больше $1.5 m+1$, поэтому $\omega(f,[0,x_{m+1}^{(n)}])$ (колебание функции на отрезке) не превосходит $\omega_n(f)(1.5m+1)$ при четных $m$ и величины $\omega_n(f)(1.5m+1.5)$ при нечетных $m$. Тем самым, верны неравенства
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \omega(f,[0,x_2^{(n)}])\leqslant 3\omega_n(f),\qquad \omega(f,[0,x_3^{(n)}])\leqslant 4\omega_n(f),\qquad \omega(f,[0,x_4^{(n)}])\leqslant 6\omega_n(f), \\ \omega(f,[0,x_{m+1}^{(n)}])\leqslant(1.5m+1.5)\omega_n(f),\qquad m\geqslant 4. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Зафиксируем $\varepsilon>0$, и пусть
$$
\begin{equation*}
\tau\in\biggl(0,\frac{\varepsilon}{2\max|f|\cdot N}\biggr)\qquad \text{и}\qquad \tau<x_{m+1}^{(n)}-\delta_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим функцию $\widetilde f$ так, что $\widetilde f(t)=0$ на $[0,\delta_2]$, $\widetilde f(t)=f(t)$ на $[\delta_2+\tau,x_{m+1}^{(n)}]$ и $\widetilde f$ линейная на $[\delta_2,\delta_2+\tau]$. На области своего определения это непрерывная функция, при этом $\omega(\widetilde f,[0,x_{m+1}^{(n)}])\leqslant\omega(f,[0,x_{m+1}^{(n)}])$ и с учетом неравенства $|D_n(t)|\leqslant N$ имеем соотношение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|\int_{\delta_2}^{x_{m+1}^{(n)}}f(t)D_n(t)\,dt -\int_{x_m^{(n)}}^{x_{m+1}^{(n)}}\widetilde f(t)D_n(t)\,dt\biggr| \\ &\qquad=\biggl|\int_{\delta_2}^{\delta_2+\tau}(f(t)-\widetilde f(t))D_n(t)\,dt\biggr| \leqslant 2\max|f|\cdot N\cdot\tau<\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно лемме 1
$$
\begin{equation*}
\biggl|\int_{x_m^{(n)}}^{x_{m+1}^{(n)}}\widetilde f(t)D_n(t)\,dt\biggr| \leqslant a_{m,n}\omega_n(\widetilde f) \leqslant a_{m,n}\omega(\widetilde f,[0,x_{m+1}^{(n)}]) \leqslant a_{m,n}\omega(f,[0,x_{m+1}^{(n)}]).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу произвольности $\varepsilon$ из этого следует, что
$$
\begin{equation*}
B'_2=\frac{1}{\pi}\biggl|\int_{\delta_2}^{x_{m+1}^{(n)}}f(t)D_n(t)\,dt\biggr| \leqslant\frac{1}{\pi}a_{m,n}\omega(f,[0,x_{m+1}^{(n)}]).
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим величину $a_{m,n}\omega(f,[0,x_{m+1}^{(n)}])$ при помощи неравенств (4.2), леммы 4 и неравенства (3.10). Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a_{1,n}\omega(f,[0,x_2^{(n)}]) &\leqslant 0.292\cdot 3\omega_n(f)=0.876\cdot\omega_n(f), \\ a_{2,n}\omega(f,[0,x_3^{(n)}]) &\leqslant 0.176\cdot 4\omega_n(f)=0.704\cdot\omega_n(f), \\ a_{3,n}\omega(f,[0,x_4^{(n)}]) &\leqslant 0.144\cdot 6\omega_n(f)=0.864\cdot\omega_n(f), \\ a_{m,n}\omega(f,[0,x_{m+1}^{(n)}]) &\leqslant\frac{1.5m+1.5}{2m+5/6}\cdot\omega_n(f) \leqslant 0.85\cdot\omega_n(f)\qquad \text{при}\quad m\geqslant 4. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $a_{m,n}\omega(f,[0,x_{m+1}^{(n)}])$ не превосходит $0.88\cdot\omega_n(f)$. Получаем
При помощи соотношений (3.2) и (3.3) оценим $B''_2$ – второе слагаемое в (4.1) – следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, B''_2 &=\frac{1}{\pi}\sum_{k=m+1}^n \biggl|\int_{x_k^{(n)}}^{x_{k+1}^{(n)}}f(t)D_n(t)\,dt\biggr| \leqslant\frac{\omega_n(f)}{2\pi}\sum_{k=m+1}^n \int_{x_k^{(n)}}^{x_{k+1}^{(n)}}|D_n(t)|\,dt \nonumber \\ &=\frac{\omega_n(f)}{2\pi} \biggl(\int_{x_{m+1}^{(n)}}^{\pi(m+1)/N}|D_n(t)|\,dt +\int_{\pi(m+1)/N}^\pi|D_n(t)|\,dt\biggr) \nonumber \\ &\leqslant\frac{\omega_n(f)}{2\pi}\biggl(\int_{\pi(m+0.5)/N}^{\pi(m+1)/N} \frac{|\sin(Nt)|}{2\sin(\delta_2/2)}\,dt +\sum_{k=2m+2}^{2n}\int_{\pi k/(2N)}^{\pi(k+1)/(2N)}|D_n(t)|\,dt\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Обозначим $v(t)=1/(2\sin(t/2))$ и применим к каждому слагаемому суммы в (4.3) теорему о среднем:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, B''_2 &\leqslant\frac{\omega_n(f)}{2\pi} \biggl(\frac{1}{2N\sin(\delta_2/2)}+\frac{1}{N} \sum_{k=2m+2}^{2n}v\biggl(\frac{\pi k}{2N}\biggr)\biggr) \nonumber \\ &\leqslant\frac{\omega_n(f)}{2\pi} \biggl(\frac{1}{2N\sin(\delta_2/2)}+\frac{2}{\pi} \int_{\pi(m+3/4)/N}^\pi v(u)\,du\biggr) \nonumber \\ &=\frac{\omega_n({f})}{2\pi} \biggl(\frac{1}{2N\sin(\delta_2/2)}+\frac{2}{\pi} \ln\biggl(\operatorname{ctg}\frac{\pi(m+3/4)}{4N}\biggr)\biggr) \nonumber \\ &\leqslant\frac{\omega_n(f)}{2\pi}\biggl(\frac{1}{2N\sin(\delta_2/2)} +\frac{2}{\pi}\ln\biggl(\operatorname{ctg}\frac{\delta_2}{4}\biggr)\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Объединив (4.4) с оценкой $B'_2$, получим
$$
\begin{equation*}
B_2\leqslant\omega_n(f)\biggl(\frac{1}{\pi^2} \ln\biggl(\operatorname{ctg}\frac{\delta_2}{4}\biggr)+\frac{1}{4\pi N} \frac{1}{\sin(\delta_2/2)}+\frac{0.88}{\pi}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 5 функция
$$
\begin{equation*}
\varphi(N,\delta)=\frac{1}{\pi^2} \ln\biggl(\operatorname{ctg}\frac{\delta}{4}\biggr)+\frac{1}{4\pi N} \frac{1}{\sin(\delta/2)}+\frac{0.88}{\pi} -\frac{1}{\pi^2}\ln\frac{1}{\delta}
\end{equation*}
\notag
$$
при рассматриваемых значениях $N$ и $\delta$ ограничена сверху постоянной $1/2$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
B_2\leqslant\omega_n(f)\biggl(\frac{1}{\pi^2}\ln\frac{1}{\delta_2} +\frac{1}{2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Сделав аналогичную оценку для $B_1$, получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl|S_n(f,0)-\frac{1}{\pi}\int_{-\delta_1}^{\delta_2}f(t)D_n(t)\,dt\biggr| \leqslant\omega_n(f)\biggl(\frac{1}{\pi^2}\ln\frac{1}{\delta_1\delta_2}+1\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось посмотреть, что будет в случае, когда $f(0)\ne 0$. Пусть $g(t)=f(t)-f(0)$. Тогда $\omega_n(g)=\omega_n(f)$ и верно соотношение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|S_n(f,0)-\frac{1}{\pi}\int_{-\delta_1}^{\delta_2}f(t)D_n(t)\,dt\biggr| \\ &\qquad\leqslant\biggl|S_n(g,0)-\frac{1}{\pi}\int_{-\delta_1}^{\delta_2}g(t)D_n(t)\,dt\biggr| +|f(0)|\cdot\biggl|1-\frac{1}{\pi}\int_{-\delta_1}^{\delta_2}D_n(t)\,dt\biggr|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Первое слагаемое не превосходит величины
$$
\begin{equation*}
\omega_n(f)\biggl(\frac{1}{\pi^2}\ln\frac{1}{\delta_1\delta_2}+1\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Для оценки второго слагаемого используем лемму 6 и четность ядра Дирихле:
$$
\begin{equation*}
\biggl|1-\frac{1}{\pi}\int_{-\delta_1}^{\delta_2}D_n(t)\,dt\biggr| \leqslant\biggl|\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi}\int_{-\delta_1}^0D_n(t)\,dt\biggr| +\biggl|\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi}\int_0^{\delta_2}D_n(t)\,dt\biggr| <\frac{1}{2N}\biggl(\frac{1}{\delta_1}+\frac{1}{\delta_2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема доказана. Перейдем к доказательству теоремы 3. Доказательство теоремы 3. Зафиксируем $n\in\mathbb N$, $n\geqslant 3$, и возьмем произвольные $\delta_1,\delta_2\in[2\pi/(3N),1)$. Существует натуральное $m\in[2,n]$ такое, что $x_{m-1}^{(n)}\leqslant\delta_2<x_m^{(n)}$. Положим
$$
\begin{equation*}
\varphi_n(t)=\begin{cases} 0, &t\in[0,x_m^{(n)}), \\ \dfrac{1}{2}\operatorname{sgn}D_n(t), &t\in[x_m^{(n)},\pi]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем, что $\varphi_n(t)=0$ на $[0,\delta_2]$ и
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\pi}\int_0^\pi\varphi_n(t)D_n(t)\,dt =\frac{1}{2\pi}\int_{x_m^{(n)}}^\pi|D_n(t)|\,dt =\frac{1}{4}(L_n-L_n(x_m^{(n)})).
\end{equation*}
\notag
$$
Для $L_n$ используем оценку снизу (2.6), а для $L_n(x_m^{(n)})$ – оценку леммы 2. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\varphi_n(t)D_n(t)\,dt &>\frac{1}{4}\biggl(\frac{4}{\pi^2}\ln N+1.27 -\frac{4}{\pi^2}\ln(m-0.5)-1.28\biggr) \\ &=\frac{1}{\pi^2}\ln\biggl(\frac{N}{m-0.5}\biggr)-\frac{1}{400}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\delta_2\geqslant x_{m-1}^{(n)}>\pi(m-1.5)/N$, то Получаем, что
Определим функцию $\varphi_n$ на $[-\pi,0]$ аналогичным образом, только для значения $\delta_1$. Получим
$$
\begin{equation*}
S_n(\varphi_n,0)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^0\varphi_n(t)D_n(t)\,dt +\frac{1}{\pi}\int_0^\pi\varphi_n(t)D_n(t)\,dt >\frac{1}{\pi^2}\ln\frac{1}{\delta_1} +\frac{1}{\pi^2}\ln\frac{1}{\delta_2}+0.004.
\end{equation*}
\notag
$$
Построим теперь, взяв произвольное достаточно малое число $\varepsilon>0$, функцию $f_n=f_{n,\varepsilon}\in C_{2\pi}$, обладающую следующими свойствами:
$$
\begin{equation*}
f_n=0\qquad \text{при}\quad x\in[-\delta_1,\delta_2],\qquad \omega_n(f_n)=1,\qquad |S_n(\varphi_n,0)-S_n(f_n,0)|<\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
При фиксированном значении $\varepsilon$ положим $\tau\in(0,\varepsilon/(4N^2))$. Пусть $f_n(t)=\varphi_n(t)$ на $[0,x_m^{(n)}]$, на $[x_m^{(n)}+\tau,\pi m/N-\tau]$, на $[\pi k/N+\tau,\pi(k+1)/N-\tau]$, $k=m,\dots,n-1$, на $[\pi n/N+\tau,\pi]$, и линейна на оставшихся промежутках. Аналогичное построение произведем на отрезке $[-\pi,0]$. На области своего определения функция $f_n$ непрерывная, отлична от $\varphi_n$ на промежутках, суммарная длина которых равна $2(2n-2m+3)\tau<4N\tau$; при этом $|\varphi_n-f_n|\leqslant 1$. Как следствие, выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |S_n(\varphi_n,0)-S_n(f_n,0)| &=\frac{1}{\pi}\biggl|\int_{-\pi}^\pi(\varphi_n(t)-f_n(t))D_n(t)\,dt\biggr| \\ &\leqslant\frac{1}{\pi}\cdot 4N\tau\cdot\max_{-\pi\leqslant t\leqslant\pi}|D_n(t)| =\frac{4N^2\tau}{\pi}<\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема доказана. Замечание 1. Если рассматривать всевозможные оценки вида Приведем примеры применения теорем 1 и 2. Следствие 4. Пусть $f\in C_{2\pi}$ и $f(x)=0$ при $x\in[-c,c]$, $0<c<\pi$. Тогда при любом натуральном $n$ таком, что $n\geqslant 4\pi/(3c)-1/2$, выполнено неравенство Неравенство (4.6) легко получить, если в соотношении (2.8) положить $a=-c$, $b=c$, $\delta=c/2$. И тогда
$$
\begin{equation*}
\sup_{x\in[-c/2,c/2]}|S_n(f,x)| \leqslant\omega_n(f)\biggl(\frac{1}{\pi^2}\ln\frac{4}{3c^2}+1\biggr) =\omega_n(f)\biggl(\frac{2}{\pi^2}\ln\frac{1}{c} +1+\frac{1}{\pi^2}\ln\frac{4}{3}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Следствие 5. Пусть $f\in C_{2\pi}$. Тогда для любого $n\geqslant 34$ выполнено неравенство Если при этом $f(x)=0$ при $x\in[x_0-1/16,x_0+1/16]$, то выполнено неравенство Отметим, что ввиду медленного роста множителя при $\omega_n(f)$ в оценке (5.1) (при уменьшении $\delta$) даже в случае малой длины отрезка, на котором функция $f$ равна нулю, в центральной точке этого отрезка получается оценка $S_n(f,x_0)=O(\omega_n(f))$ с небольшой константой в символе $O$. Например, если в следствии 5 функция $f(x)$ равна нулю при $x\in[x_0-1/128,x_0+1/128]$, то выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
|f(x_0)-S_n(f,x_0)|\leqslant 2\cdot\omega_n(f)\qquad \forall\,n\geqslant 269.
\end{equation*}
\notag
$$
5. Оценка разности двух линейных операторовДля полноты картины оценим разность линейных операторов
$$
\begin{equation*}
f(x)\mapsto\frac{1}{\pi}\int_{-\delta}^\delta f(x+t)D_n(t)\,dt\qquad \text{и}\qquad f(x)\mapsto\frac{1}{\pi}\int_{-\delta}^\delta f(x+t)\frac{\sin(Nt)}{t}\,dt,
\end{equation*}
\notag
$$
связанных с нашей задачей следующим образом. В силу известного представления частичной суммы ряда Фурье [3; гл. I, § 32, формула (32.5)]
$$
\begin{equation*}
S_n(f,x)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x+t)\frac{\sin(nt)}{t}\,dt+o(1),
\end{equation*}
\notag
$$
в котором величина $o(1)$ стремится к нулю при $n\to+\infty$ равномерно по $x$, для упрощения выражения для $S_n(f)$ зачастую вместо ядра Дирихле используют функцию $\sin(nt)/t$ или, как вариант, $\sin(Nt)/t$. Это мы видим и в результате Теляковского (1.1). Итак, найдем оценку разности
$$
\begin{equation*}
\Delta_n(f,x_0) =\frac{1}{\pi}\int_{-\delta}^\delta f(x_0+t)D_n(t)\,dt -\frac{1}{\pi}\int_{-\delta}^\delta f(x_0+t)\frac{\sin(Nt)}{t}\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 1. Пусть $f\in C_{2\pi}$. Тогда для любого натурального $n$ и для любого $\delta\in(0,\pi)$ выполнено неравенство Доказательство. Зафиксируем $n\in\mathbb N$ и положительное число $\delta<\pi$. Без ограничения общности считаем $x_0=0$. Положим Легко проверить, что на промежутке $(0,\pi)$ это монотонно возрастающая выпуклая вниз функция, для которой верны неравенства Имеем где $\widetilde f(t)=(f(t)+f(-t))/2$. Отметим, что $\widetilde f(0)=f(0)$ и $\omega(\widetilde f,h)\leqslant\omega(f,h)$.
Пусть $\delta<\pi/(2N)$. Тогда верна следующая оценка:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\Delta_n(f,0)| &\leqslant\frac{2}{\pi}\max_{[0,\delta]}|\widetilde f| \cdot\biggl(\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi}\biggr) \frac{\delta}{\pi}\cdot\int_0^\delta\sin(Nt)\,dt \\ &\leqslant\biggl(|\widetilde f(0)|+\omega\biggl(\widetilde f,\frac{\pi}{2N}\biggr)\biggr) \cdot\biggl(\frac{1}{\pi}-\frac{2}{\pi^2}\biggr)\cdot\frac{\delta}{\pi N} \leqslant 0.12\cdot(|f(0)|+\omega_n(f))\frac{\delta}{\pi N}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и неравенство (5.1) выполняется.
Теперь пусть
$$
\begin{equation*}
\delta\in\biggl[\frac{(2m-1)\pi}{2N},\frac{(2m+1)\pi}{2N}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторого натурального $m$, $1\leqslant m\leqslant n$. Разобьем интеграл в правой части (5.2) на сумму интегралов по отрезкам
$$
\begin{equation*}
\biggl[0,\frac{\pi}{2N}\biggr],\qquad I_p=\biggl[\frac{(2p-1)\pi}{2N},\frac{(2p+1)\pi}{2N}\biggr],\quad 1\leqslant p\leqslant m-1,\qquad \biggl[\frac{(2m-1)\pi}{2N},\delta\biggr]
\end{equation*}
\notag
$$
и оценим каждое слагаемое этой суммы. Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \bigg|\int_0^{\pi/(2N)}\widetilde f(t)\psi(t)\sin(Nt)\,dt\biggr| &\leqslant\biggl(|\widetilde f(0)|+\omega\biggl(\widetilde f,\frac{\pi}{2N}\biggr)\biggr) \int_0^{\pi/(2N)}\biggl(\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi}\biggr)\frac{t}{\pi}\sin(Nt)\,dt \nonumber \\ &\leqslant(|f(0)|+\omega_n(f)) \biggl(\frac{1}{2\pi}-\frac{1}{\pi^2}\biggr)\cdot\frac{1}{N^2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
По лемме 1 из [4], примененной к функции $\sin(Nt)$ и отрезку $I_p$, получаем
$$
\begin{equation*}
\biggl|\int_{I_p}\widetilde f(t)\psi(t)\sin(Nt)\,dt\biggr| \leqslant\frac{1}{N}\omega_n(\widetilde f\psi|_p),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widetilde f\psi|_p$ – сужение функции $\widetilde f\psi$ на отрезок $I_p$. Имеем
$$
\begin{equation}
\omega_n(\widetilde f\psi|_p) \leqslant\omega_n(\widetilde f)\cdot\max_{I_p}\psi(t) +\omega_n(\psi)\cdot\max_{I_p}|\widetilde f(t)|.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Поскольку отношение длины отрезка $[0,(2p+1)\pi/(2N)]$ к $2\pi/(3N)$ не превосходит целого числа $3p/2+1$ в случае четного $p$ и целого числа $3p/2+3/2$ в случае нечетного $p$, то
$$
\begin{equation*}
\max_{I_p}|\widetilde f(t)| \leqslant|f(0)|+\frac{3}{2}(p+1)\cdot\omega_n(f).
\end{equation*}
\notag
$$
Используя этот факт и свойства функции $\psi$, получаем, что правая часть неравенства (5.4) не превосходит величины
$$
\begin{equation*}
\omega_n(f)\cdot\biggl(\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi}\biggr) \cdot\frac{p+0.5}{N}+\frac{2}{3\pi N} \cdot\biggl(|f(0)|+\frac{3}{2}(p+1)\omega_n(f)\biggr) \leqslant\omega_n(f)\cdot\frac{p+5/6}{2N}+\frac{2|f(0)|}{3\pi N}.
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге
$$
\begin{equation}
\biggl|\int_{I_p}\widetilde f(t)\psi(t)\sin(Nt)\,dt\biggr| \leqslant\frac{1}{N^2}\biggl(\omega_n(f)\cdot\frac{p+5/6}{2} +\frac{2|f(0)|}{3\pi}\biggr).
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Наконец, оценим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \biggl|\int_{\pi(2m-1)/(2N)}^\delta\widetilde f(t)\psi(t)\sin(Nt)\,dt\biggr| &\leqslant\max_{[0,\delta]}|\widetilde f(t)|\cdot\psi(\delta)\cdot\frac{2}{N} \nonumber \\ &\leqslant\biggl(|f(0)|+\frac{3}{2}(m+1)\omega_n(f)\biggr) \cdot\biggl(\frac{1}{2\pi}-\frac{1}{\pi^2}\biggr)\delta\cdot\frac{2}{N}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Объединим оценки (5.3), (5.5), (5.6):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\Delta_n(f,0)| &\leqslant\frac{2}{\pi}\biggl[(|f(0)|+\omega_n(f)) \biggl(\frac{1}{2\pi}-\frac{1}{\pi^2}\biggr)\cdot\frac{1}{N^2} \\ &\qquad{}+\sum_{p=1}^{m-1}\frac{1}{N^2} \biggl(\omega_n(f)\cdot\frac{p+5/6}{2}+\frac{2|f(0)|}{3\pi}\biggr) \\ &\qquad{}+\biggl(|f(0)|+\frac{3}{2}(m+1)\omega_n(f)\biggr) \cdot\biggl(\frac{1}{\pi}-\frac{2}{\pi^2}\biggr)\cdot\frac{\delta}{N}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
После преобразований и использования неравенства $m\leqslant N\delta/\pi+0.5$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |\Delta_n(f,0)| &\leqslant\omega_n(f)\biggl[\frac{\delta^2}{\pi^2}\cdot\frac{7\pi-12}{2\pi^2} +\frac{\delta}{\pi N}\cdot\frac{16\pi-27}{3\pi^2} +\frac{1}{N^2}\biggl(\frac{1}{\pi^2} -\frac{2}{\pi^3}-\frac{13}{24\pi}\biggr)\biggr] \nonumber \\ &\qquad{}+\frac{|f(0)|}{N} \biggl[\frac{1}{N}\biggl(\frac{1}{3\pi^2}-\frac{2}{\pi^3}\biggr) +\frac{\delta}{\pi}\biggl(\frac{2}{\pi}-\frac{8}{3\pi^2}\biggr)\biggr] =\omega_n(f) E_1+\frac{|f(0)|}{N}E_2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Если $n=1$, т.е. $N=3/2$, то при $\delta<\pi$ выполнено соотношение
$$
\begin{equation*}
E_1=\frac{\delta^2}{\pi^2}\cdot\frac{7\pi-12}{2\pi^2} +\frac{2\delta}{3\pi}\cdot\frac{16\pi-27}{3\pi^2} +\frac{4}{9}\biggl(\frac{1}{\pi^2}-\frac{2}{\pi^3}-\frac{13}{24\pi}\biggr) <\frac{\delta}{\pi}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $n\geqslant 2$, т.е. $N\geqslant 5/2$, то при $\delta<\pi$ верно неравенство Также при любом натуральном $n$ имеем оценку $E_2<{2\delta}/({5\pi})$. Окончательно получаем Предложение доказано. Автор выражает глубокую благодарность А. Ю. Попову за внимание к работе и полезные замечания. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sem24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|