Г. С. Папаянов, “Суперсвязности и теорема Грауэрта о прямом образе”, Матем. заметки, 115:5 (2024), 797–799; Math. Notes, 115:5 (2024), 842

Пусть $X$ – это гладкое комплексное многообразие. Обозначим его дг-алгебру Дольбо $(\Omega^{0,*}(X),\overline\partial)$ через $\mathscr A(X)$. Обозначим через $\mathscr P_{\mathscr A(X)}$ подкатегорию дг-категории правых $\mathscr A(X)$-дг-модулей, состоящую из модулей таких, что после забывания дифференциала они становятся изоморфными прямым слагаемым свободных градуированных $\mathscr A$-модулей, иными словами, модулям $(0,*)$-форм со значениями в некотором конечномерном градуированном векторном расслоении. Объекты $\mathscr P_{\mathscr A(X)}$ – это ограниченные комплексы комплексных векторных гладких расслоений $(E^*,d_0)$ вместе с набором операторов $d_i\colon E^n\to E^{n-i+1}\bigotimes_{C^\infty(X)}\mathscr A(X)$, которые после их распространения посредством правила Лейбница на все $E^*\bigotimes_{C^\infty(X)}\mathscr A(X)$ целиком удовлетворяют $(\sum d_i)^2=0$. Из условия дг-модуля следует, что $d_i$ для $i \ne 1$ – это $C^\infty(X)$-линейные операторы, и операторы $d_1$ – это $(0,1)$-связности (не обязательно плоские) на $E^*$. В [1] (см. также [2]) и в [3] доказано, что для компактного $X$ гомотопическая категория $\mathrm{Ho}\mathscr P_{\mathscr A(X)}$ эквивалентна $D^b_{\mathrm{coh}}(X)$, производной категории ограниченных комплексов пучков $\mathscr O_X$-модулей с когерентными когомологиями.

В [1] объекты категории $\mathscr P_{\mathscr A(X)}$ называются $\overline\partial$- суперсвязностями, а в [3] – когезивными модулями. Для некомпактного $X$ комплексы, квазиизоморфные объектам $\mathscr P_{\mathscr A(X)}$, образуют некоторую полную подкатегорию в $D^b_{\mathrm{coh}}(X)$. Цель настоящей заметки – показать, как существование этого оснащения позволяет получить доказательство теоремы Грауэрта о когерентности высших прямых образов когерентных пучков при собственных морфизмах, в котором весь функциональный анализ спрятан под ковер теории эллиптических операторов. К сожалению, полученное доказательство работает только в ситуации морфизма между двумя гладкими компактными многообразиями.

Первым делом заметим, что любой морфизм $f\colon X\to Y$ раскладывается в композицию замкнутого вложения $i\colon X\to X\times Y$ и проекции $\pi\colon X\times Y\to Y$. Утверждение, что для $\mathscr F\in D^b_{\mathrm{coh}}(X)$ объект $Ri_*\mathscr F$ категории $D^b(Y)$ имеет когерентные когомологии, следует из теоремы Оки и из штейновости морфизма $i$. Судя по всему, построение суперсвязности, разрешающей $Ri_*\mathscr F$, является глубоко нетривиальной задачей; интерес представляет работа [4], где нужная суперсвязность была построена на формальной окрестности подмногообразия.

Таким образом, нам достаточно рассмотреть случай проекции $\pi$. Поскольку когерентность является локальным свойством, теорема Грауэрта для случая гладких компактных многообразий следует из следующего утверждения.

Заметим, что это в самом деле доказывает теорему Грауэрта, так как комплекс $\pi_*\mathscr E$ квазиизоморфен комплексу $R\pi_*\mathscr E$ в силу того, что $\mathscr E$ – это ограниченный комплекс тонких пучков.

Доказательство. Алгебра Дольбо произведения расщепляется как тензорное произведение (над функциями) пуллбеков алгебр Дольбо сомножителей. Запишем

$$ \begin{equation*} \mathscr E=E^*\otimes\mathscr A(X \times Y) =E^*\bigotimes_{C^\infty(X\times Y)}\pi_1^*\Omega_X^{0,*} \bigotimes_{C^\infty(X\times Y)}\pi_2^*\Omega_Y^{0,*}. \end{equation*} \notag $$

Определим $C^\infty(X\times Y)$-модуль $F^n$ как $\bigoplus_{i+j=n}E^i\bigotimes_{C^\infty(X\times Y)}\pi_1^*\Omega_X^{0,*}$, и определим операторы

$$ \begin{equation*} f_i\colon F^n\bigotimes_{C^\infty(X\times Y)}\pi_2^*\Omega_Y^{0,m} \to F^{n-i+1} \bigotimes_{C^\infty(X\times Y)}\pi_2^*\Omega_Y^{0,m+n} \end{equation*} \notag $$

требованием $\sum f_i=\sum d_i$. Несомненно, что $\mathscr A(X\times Y)$-модуль $(F^*\bigotimes_{C^\infty(X\times Y)}\pi_2^*\Omega_Y^{0,*},\sum f_i)$ изоморфен модулю $\mathscr E$, поскольку они различаются только градуировкой. Обозначим этот модуль через $\mathscr F$. Прямой образ $\pi_*\mathscr F$ как $\mathscr A(Y)$-модуль после забытия дифференциала становится изоморфен модулю $(0,*)$-форм на $Y$ со значениями в некотором бесконечномерном (но все еще конечной амплитуды) градуированном векторном расслоении $\pi_{2*}F^*$. Модули такого типа названы в [5] квази-когезивными; их точное определение требует наличия топологии с определенными свойствами, для наших целей это не нужно. Мы хотим показать что локально этот модуль квазиизоморфен объекту $\mathscr P_{\mathscr A(Y)}$.

Мы докажем это при помощи спектральных проекторов и теории гомотопической пертурбации. Слой расслоения $\pi_{2*}F^*$ над $y$ изоморфен комплексу глобальных сечений $\overline\partial_X$-суперсвязности $(F^*_y :=\oplus\pi_{1*}E^*\bigotimes_{C^\infty(X)}\mathscr A(X), f_y=f_0|_{X\times\{y\}})$. Это комплекс глобальных сечений комплекса векторных расслоений над $X$. Оператор $f_y$, будучи $\overline\partial_X$-суперсвязностью, это дифференциальный оператор, символ которого совпадает с символом $\overline\partial_X$. Следовательно, рассматриваемый комплекс эллиптичен. Выберем произвольным образом эрмитову метрику на многообразии $X$ и на расслоении $E$. Эти выборы задают скалярное произведение на пространстве сечений; обозначим формально сопряженный к $f_y$ оператор через $f_y^\vee$ и Лапласиан $f_yf_y^\vee+f_y^\vee f_y$ через $\Delta_y$. Лапласианы эллиптичны, самосопряжены и зависят от $y$ непрерывно. Их спектры $\operatorname{Spec}\Delta_y$ дискретны. Выберем положительное число $\lambda\notin\operatorname{Spec}\Delta_y$ и обозначим через $\Pi^{\leqslant\lambda}_y$ ортогональный проектор на подпространство $\pi_{1*}F^*_y$, порожденное собственными векторами с собственными значениями, меньшими $\lambda$. Образ отображения $\Pi^{\leqslant\lambda}_y$ конечномерен. Обозначим оператор вложения образа через $I^{\leqslant\lambda}_y$. Обозначим через $G^{\leqslant\lambda}_y$ $\lambda$-оператор Грина, равный нулю на образе $\Pi^{\leqslant\lambda}_y$ и обратный к $\Delta_y$ на ортогональном дополнении. Оператор $H^{\leqslant\lambda}_y:=-f_y^\vee G^{\leqslant\lambda}_y$ является гомотопией между тождественным отображением и $I^{\leqslant\lambda}_y\Pi^{\leqslant\lambda}_y$, т.е. $\operatorname{Id}-I^{\leqslant\lambda}_y\Pi^{\leqslant\lambda}_y =f_yH^{\leqslant\lambda}_y+H^{\leqslant\lambda}_yf_y$. Теперь, поскольку $\Delta_y$ зависят от $y \in Y$ непрерывно, существует открытая окрестность $U\ni y$ в $Y$ такая, что для любого $z\in U$ число $\lambda$ не принадлежит $\operatorname{Spec}\Delta_z$. Более того, из интегральной формулы для спектрального проектора [6] можно заключить, что проекторы $\Pi^{\leqslant\lambda}_z$, а также операторы $I^{\leqslant\lambda}_z$ и $H^{\leqslant\lambda}_z$ зависят от $z$ непрерывно и, следовательно, определяют проектор $\Pi^{\leqslant\lambda}_U$, вложение $I^{\leqslant\lambda}_U$ и гомотопию $H^{\leqslant\lambda}_U$ на комплексе расслоений $\pi_{2*}F^*|_U$, причем образ $\Pi^{\leqslant\lambda}_U$ является конечномерным векторным расслоением.

Подходящая версия теоремы о гомотопическом трансфере была описана в [7]. Рассмотрим оператор $f:=\sum_{i\geqslant 1}f_i$, т.е. $f+f_0$ – это дифференциал на $\mathscr A(\mathscr Y)$-модуле $\pi_*\mathscr F$. Обозначим оператор $f(\sum_{i\geqslant 0}(H^{\leqslant\lambda}_U f)^i)$ через $M$. Бесконечная сумма на самом деле сводится к конечной, поскольку $H^{\leqslant\lambda}_U$ сохраняет степень формы в $\mathscr A(Y)$ и $f$ строго ее повышает. Прямолинейное вычисление показывает, что оператор $\delta:=\Pi^{\leqslant\lambda}_UM I^{\leqslant\lambda}_U$ задает $\overline\partial_Y$-суперсвязность на $\operatorname{Im}\Pi^{\leqslant\lambda}_U$. Более того, оператор $H^{\leqslant\lambda}_UMI^{\leqslant\lambda}_U$ задает квазиизоморфизм $\mathscr A(Y)$-дг-модулей между $(\operatorname{Im}\Pi^{\leqslant\lambda}_U,\delta)$ и $\pi_*\mathscr F$ с гомотопически обратным квазиизоморфизмом, равным $\Pi^{\leqslant\lambda}_UMH^{\leqslant\lambda}_U$. Теорема 1 доказана.

Было бы желательно усовершенствовать рассматриваемую конструкцию, построив настоящий функтор $Rf_*\colon\mathscr P_{\mathscr A(X)}\to\mathscr P_{\mathscr A(\mathscr Y)}$, по крайней мере для отображения проекции, или, более общо, для локально тривиального расслоения. Для этого необходимо, во-первых, видоизменить категорию $\mathscr P_{\mathscr A(X)}$, разрешив склеивать объекты из $\mathscr P_{\mathscr A(U)}$ при наличии подходящих данных склейки. Подходящее описание гомотопических пределов дг-категорий в терминах категорных коцепей Чеха было дано в [8], хотя само понятие дг-категорных коцепей Чеха было введено в [9] под именем скрученных комплексов. Во-вторых, выбор спектрального параметра нужно сделать функториальным. Довольно прямолинейный метод такого выбора был введен в [10] под именем обогащенных операторов, которые представляют из себя просто-напросто оператор вместе с числом вне своего спектра. Порядок на вещественных числах и композиция операторов задают категорную структуру на пространстве обогащенных операторов. Несмотря на то, что обогащение, в принципе, может привести к неэквивалентной категории, результаты [10] убеждают, что нерв получившейся категории будет гомотопически эквивалентен нерву оригинальной, и, следовательно, все интересные инварианты останутся неизменными. Автор планирует заняться функториальным усовершенствованием в ближайшем будущем.

Планируется приложить рассмотренные конструкции к теории индекса. Кажется правдоподобным, что повтор категорного доказательства из [11] с использованием вместо производных категорий их оснащений аналитического характера может привести к доказательству теоремы Гротендика–Римана–Роха на уровне коцепей, что, в свою очередь, может несколько разъяснить связь с $\eta$-инвариантами. Еще одно рассуждение в пользу изучения в этой связи суперсвязностей состоит в том, что обстоятельство, препятствующее прямому образу $\pi_*\mathscr E$ быть заданным глобальной суперсвязностью, представляет из себя что-то похожее на спектральный поток. Связь спектральных потоков и К-теории известна, см. [12].

Благодарности

Я благодарен Дж. Блоку, А. Бондалу, А. Рослому и Б. Цыгану за их интерес к настоящей работе и за полезные обсуждения.

Благодарности

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ