| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Средняя размерность пространств сдвигов и их подпространств О. Л. Виноградов Санкт-Петербургский государственный университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624110075 
Реферативные базы данных:
 1. Введение1.1. ОбозначенияДалее $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}_+$, $\mathbb{Z}$ и $\mathbb{R}$ – множества натуральных, неотрицательных целых, целых и вещественных чисел, $\lfloor x\rfloor$ – целая часть числа $x$. Пространства функций обозначаются: $L_p(E)$ при $p\in[1,+\infty)$ – пространство измеримых, суммируемых на множестве $E$ с $p$-й степенью функций $f$ с нормой $\|f\|_p=(\int_{E}|f|^p)^{\!1/p}$; $L_\infty(E)$ – пространство измеримых существенно ограниченных на $E$ функций с $\operatorname{ess\,sup}$-нормой; если множество $E$ не указано, то $L_p=L_p(\mathbb{R})$; $\ell_p$ при $p\in[1,+\infty)$ – пространство двусторонних последовательностей $\beta=\{\beta_k\}_{k\in\mathbb{Z}}$, для которых $\|\beta\|_p=(\sum_{k\in\mathbb{Z}}|\beta_k|^p)^{1/p}<+\infty$, а $\ell_{\infty}$ – пространство ограниченных последовательностей с $\sup$-нормой. Если из контекста не следует противное, пространства могут быть как вещественными, так и комплексными. Через $D_p$ обозначается замкнутый единичный шар пространства $L_p$. Во всей работе параметр $\sigma>0$ фиксирован, $x_j=j\pi/\sigma$. Пространство $\mathcal{L}_p$ состоит из всех измеримых на $\mathbb{R}$ функций $B$, таких что функция $B_0=\sum_{j\in\mathbb{Z}}|B(\cdot-x_j)|$ принадлежит $L_p[0,x_1]$; норма в $\mathcal{L}_p$ равна $\|B\|_{\mathcal{L}_p}=\|B_0\|_{L_p[0,x_1]}$. Буквой $C$ обозначаются положительные постоянные, которые могут зависеть от $p$ и других фиксированных параметров и не обязаны совпадать даже внутри одной формулы. 1.2. Средняя размерностьНапомним определение средней размерности (размерности “на единицу длины”). Понятие средней размерности введено Магарил-Ильяевым [1]. Этому понятию предшествовали определение средней $\varepsilon$-размерности, данное Тихомировым, и более ранние усредненные аппроксимативные характеристики, предложенные Шенноном и Колмогоровым. Историю вопроса, мотивировки и обобщения также можно найти в [1]. Для $A>0$ и заданной на $\mathbb{R}$ функции $f$ обозначим
$$
\begin{equation*}
P_Af(t)=\begin{cases} f(t),& |t|<A, \\ 0,& |t|>A. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $n\in\mathbb{Z}_+$, $D$ – центрально симметричное подмножество нормированного пространства $X$. Величина где нижняя грань берется по всем подпространствам $Y$ пространства $X$, размерность которых не выше $n$, называется $n$-поперечником по Колмогорову множества $D$ в $X$.Пусть $H$ – подпространство пространства $L_p(\mathbb{R})$, $p\in[1,+\infty]$. При $\varepsilon,A>0$ положим
$$
\begin{equation*}
K(\varepsilon,A,H)=K(\varepsilon,A,H,L_p) =\min\bigl\{n\in\mathbb{Z}_+\colon d_n(P_A(H\cap D_p),L_p)<\varepsilon\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Величина
$$
\begin{equation*}
\overline{\operatorname{dim}}\,H=\overline{\operatorname{dim}}\,(H,L_p) =\lim_{\varepsilon\to0+}\varliminf_{A\to+\infty}\frac{K(\varepsilon,A,H,L_p)}{2A}
\end{equation*}
\notag
$$
называется средней размерностью $H$ в $L_p(\mathbb{R})$. Средняя размерность следующих подпространств $L_p(\mathbb{R})$ известна и равна ${\sigma}/{\pi}$ при всех $p\in[1,+\infty]$. 1. Пространство $L_{p,\sigma}$ целых функций степени не выше $\sigma$, входящих в $L_p(\mathbb{R})$; см. [2; § 8] – $p=+\infty$, [3] – $p\in(1,+\infty)$, [4] – общий случай. В [3], кроме того, имеются обобщения этого результата на пространства функций со спектром в фиксированном множестве. 2. Пространство входящих в $L_p(\mathbb{R})$ сплайнов порядка $m\in\mathbb{Z}_+$ минимального дефекта по равноотстоящим узлам $x_j$ ($j\in\mathbb{Z}$); см. [1; лемма 2.1]. 3. Пространства сдвигов, рассмотренные автором в [5]. Эти пространства обобщают пространства сплайнов и обсуждаются далее. 1.3. Пространства сдвиговПусть $p\in[1,+\infty]$, $B\in L_p$, $\sigma>0$. Оператор синтеза порожденный функцией $B$, задается на пространстве $\ell_p^0$ всех финитных последовательностей с $\ell_p$-нормой равенством
$$
\begin{equation*}
T^p_{B,\sigma}\beta(x)=\sum_{j\in\mathbb{Z}}\beta_jB(x-x_j), \qquad \beta\in\ell_p^0.
\end{equation*}
\notag
$$
Система сдвигов $\{B(\cdot-x_j)\}_{j\in\mathbb{Z}}$ называется системой Бесселя с показателем $p$ или $p$-бесселевой, если оператор $T^p_{B,\sigma}$ ограничен. Если $B\in\mathcal{L}_p$, то система $\{B(\cdot-x_j)\}_{j\in\mathbb{Z}}$ $p$-бесселева, причем $\|T^p_{B,\sigma}\|\leqslant\|B\|_{\mathcal{L}_p}$. При $p=1,+\infty$ верно и обратное, а неравенство обращается в равенство. Это легко проверяется прямым вычислением; см. [6; теорема 2.1] и [7; предложение 5.3.1]. Если система $\{B(\cdot-x_j)\}_{j\in\mathbb{Z}}$ $p$-бесселева, то оператор $T^p_{B,\sigma}$ продолжается с сохранением нормы на все пространство $\ell_p$ формулой
$$
\begin{equation}
s(x)=T^p_{B,\sigma}\beta(x)=\sum_{j\in\mathbb{Z}}\beta_jB(x-x_j), \qquad \beta\in\ell_p.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Ряд в (1.1) сходится по норме в $L_p$, если $p\in[1,+\infty)$, и абсолютно сходится почти везде, если $p=+\infty$. При $p\in[1,+\infty)$ это очевидно из плотности $\ell_p^0$ в $\ell_p$, а при $p=+\infty$ – из включения $B\in\mathcal{L}_{\infty}$. Пусть система $\{B(\cdot-x_j)\}_{j\in\mathbb{Z}}$ $p$-бесселева. Обозначим через $\mathbf{S}_{B,\sigma}^p$ пространство функций $s$, представимых в виде (1.1). Пространства $\mathbf{S}_{B,\sigma}^p$ называются пространствами сдвигов, порожденными функцией $B$. Другими словами, $\mathbf{S}_{B,\sigma}^p=T^p_{B,\sigma}(\ell_p)$. Например, пространства сплайнов по равностоящим узлам порождаются сдвигами $B$-сплайнов; буква $B$ как раз напоминает об этом примере. В [8; теорема 2.14] установлено, что при $p=2$ пространства сдвигов допускают описание в терминах преобразования Фурье; см. также [7; теорема 5.2.10]. Преобразование Фурье определяется равенством Именно, соотношение (1.1) равносильно представимости $\widehat{s}$ в виде где функция $\zeta$ имеет период $2\sigma$ и принадлежит $L_2[-\sigma,\sigma]$. При этом
$$
\begin{equation}
\beta_j=\frac{1}{2\sigma}\int_{-\sigma}^{\sigma} \zeta(y)\exp\biggl(i\frac{j\pi}{\sigma}y\biggr)\,dy.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Улицкая [9] ввела в рассмотрение пространства $\mathbf{S}_{B,\sigma,\rho}^{2}$, $0<\rho<\sigma$. Они состоят из всех тех функций $s\in\mathbf{S}_{B,\sigma}^{2}$, у которых в представлении (1.2) будет $\zeta(y)=0$ при $\rho<|y|<\sigma$. Положим еще $\mathbf{S}_{B,\sigma,\sigma}^{2}=\mathbf{S}_{B,\sigma}^{2}$. Интерес к пространствам $\mathbf{S}_{B,\sigma,\rho}^{2}$ вызван следующим результатом. При некоторых специальных условиях, связывающих функцию $B$ и класс функций $W\subset L_2$ (в частности, для некоторых классов сверток и соболевских классов), Улицкая [10] нашла точные значения приближений, т.е. величи́ны
$$
\begin{equation*}
\gamma(W,\rho)=\sup_{f\in W}\inf_{s\in\mathbf{S}_{B,\sigma,\rho}^{2}}\|f-s\|_{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
В [11] и [10] показано, что найденные значения $\gamma(W,\rho)$ совпадают со средними поперечниками классов $W$, т.е. не могут быть уменьшены ни для какого приближающего подпространства средней размерности не выше $\rho/\pi$. При этом пространство $L_{2,\rho}$ экстремально. Отсюда $\overline{\operatorname{dim}}\,\mathbf{S}_{B,\sigma,\rho}^{2}\geqslant\rho/\pi$. Из результатов [5] (точную формулировку условий см. в § 2) следует, что $\overline{\operatorname{dim}}\,\mathbf{S}_{B,\rho}^{2}=\rho/\pi$, и потому при этих условиях пространства $\mathbf{S}_{B,\rho}^{2}$ тоже экстремальны [10; следствие 9]. При $\rho<\sigma$ точное значение размерности неизвестно. Если бы оказалось, что $\overline{\operatorname{dim}}\mathbf{S}_{B,\sigma,\rho}^{2}\leqslant\rho/\pi$, то можно было бы заключить, что и эти пространства экстремальны. В настоящей работе мы докажем эту гипотезу. По теореме Пэли–Винера определение пространств $\mathbf{S}_{B,\sigma,\rho}^{2}$ равносильно следующему: это множество функций $s$ вида (1.1), таких что $\beta_j=g(x_j)$, где $g\in L_{2,\rho}$. В самом деле, если верно равенство (1.3) и $\zeta(y)=0$ при $\rho<|y|<\sigma$, то
$$
\begin{equation*}
g(z)=\frac{1}{2\sigma}\int_{-\rho}^{\rho}\zeta(y)e^{izy}\,dy.
\end{equation*}
\notag
$$
В такой форме определение переносится на показатели $p\ne2$, для которых использовать преобразование Фурье затруднительно. Пусть $p\in[1,+\infty]$, $\sigma,\rho>0$, $B\in L_p$, система $\{B(\cdot-x_j)\}_{j\in\mathbb{Z}}$ $p$-бесселева. По определению пространство $\mathbf{S}_{B,\sigma,\rho}^{p}$ состоит из всех функций $s$ вида (1.1) таких, что $\beta_j=g(x_j)$, где $g\in L_{p,\rho}$. Если $p\in(1,+\infty)$ и $\beta\in \ell_p$, то существует единственная функция $g\in L_{p,\sigma}$ такая, что $\beta_j=g(x_j)$ при всех $j\in\mathbb{Z}$. Обратно, если $p\in[1,+\infty]$, $g\in L_{p,\gamma}$ при каком-нибудь $\gamma>0$, а $\beta_j=g(x_j)$, то $\beta\in \ell_p$. Поэтому при $p\in(1,+\infty)$ будет $\mathbf{S}_{B,\sigma,\sigma}^{p}=\mathbf{S}_{B,\sigma}^{p}$. При $p=1,+\infty$ интерполяционная задача не всегда имеет решение и потому включение $\mathbf{S}_{B,\sigma,\sigma}^{p}\subset \mathbf{S}_{B,\sigma}^{p}$ может быть строгим. При $\rho>\sigma$ определение не дает ничего нового: $\mathbf{S}_{B,\sigma,\rho}^{p}=\mathbf{S}_{B,\sigma}^{p}$. Упомянутые сведения об интерполяции целыми функциями можно найти, например, в [12; лекции 20 и 21]. 2. Основная теоремаСформулируем основной результат работы. Теорема 1. Пусть $p\in[1,+\infty]$, $B\in L_p$, $0<\rho\leqslant\sigma$, $x_j=j\pi/\sigma$ и выполнены следующие условия B1 и B2. B1. Ряд сходится по норме в $L_p[0,x_1]$.B2. Существует такое $C>0$, что если $\beta\in\ell_p$, а функция $s$ задается формулой (1.1), то ТогдаУсловие B2 означает ограниченную обратимость оператора $T^p_{B,\sigma}$. Если оператор $T^p_{B,\sigma}$ ограничен и ограниченно обратим, то говорят, что система $\{B(\cdot-x_j)\}_{j\in\mathbb{Z}}$ $p$-стабильна или является системой Рисса в $L_p$; см. [6], [7]. В [5] автор доказал равенство $\overline{\operatorname{dim}}\mathbf{S}_{B,\sigma}^p=\sigma/\pi$ при следующих условиях на функцию $B\in L_p$. B1$'$. Ряд (2.1) сходится равномерно на отрезке $[0,x_1]$. B2$'$. Существует такое $C>0$, что если $\beta\in\ell_{\infty}$, а функция $s$ задается формулой (1.1), то верно неравенство (2.2). Замечание 1. 1) При $p\in[1,+\infty)$ сходимость ряда (2.1) в $L_p[0,x_1]$ равносильна включению $B\in\mathcal{L}_p$ по теореме Леви о монотонной сходимости. При $p=+\infty$ условие сходимости ряда более ограничительно. 2) При $p\in[1,+\infty)$ условие B1$'$ сильнее, чем B1, а при $p=+\infty$ они совпадают. При всех $p$ условие B2$'$ не слабее, чем B2, а при $p=+\infty$ они совпадают. На самом деле, из результатов [6] (см. доказательство теоремы 3.5) следует, что если $B\in\mathcal{L}_p$ (и тем более, если выполняется B1 или B1$'$) то условия B2 и B2$'$ равносильны. Таким образом, по сравнению с [5] мы ослабляем предположения о функции $B$ в случае пространств $\mathbf{S}_{B,\sigma}^{p}$ при $p<+\infty$ и распространяем результат на пространства $\mathbf{S}_{B,\sigma,\rho}^{p}$. Оставшаяся часть работы посвящена доказательству теоремы 1. 3. Интерполяционная формула КартрайтВ этом разделе мы предполагаем, что выполнены условия определения пространств $\mathbf{S}_{B,\sigma,\rho}^{p}$, т.е. что $p\in[1,+\infty]$, $\sigma,\rho>0$, $B\in L_p$, система $\{B(\cdot-x_j)\}_{j\in\mathbb{Z}}$ $p$-бесселева. Зафиксируем $\tau,r>0$ и не будем указывать эти параметры в обозначениях. Положим
$$
\begin{equation*}
z_l=\frac{l\pi}{\sigma(\tau+r)}, \qquad \psi(z)=\frac{\sin{\sigma rz}}{\sigma rz}\frac{\sin{\sigma(\tau+r)z}}{\sigma(\tau+r)z}.
\end{equation*}
\notag
$$
При $N\in\mathbb{Z}_+$ обозначим через $Y_N$ множество функций $s_N$ вида где $\alpha_l$ – произвольные вещественные или комплексные числа. Поскольку $\psi\in L_{p,\sigma(\tau+2r)}$, имеем $g_N\in L_{p,\sigma(\tau+2r)}$ и $Y_N\subset\mathbf{S}_{B,\sigma,\sigma(\tau+2r)}^{p}$. Подставляя (3.2) в (3.1), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, s_N(x)=\sum_{|l|\leqslant N}\alpha_lS_l(x), \\ S_l(x)=\sum_{j\in\mathbb{Z}}\psi(x_j-z_l)B(x-x_j). \notag \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Другими словами, $Y_N$ есть линейная оболочка системы $\{S_l\}_{|l|\leqslant N}$. Ясно, что Получим еще одно представление функции $s\in\mathbf{S}_{B,\sigma,\rho}^{p}$. Пусть функция $s$ задается формулой (1.1), $\beta_j=g(x_j)$, где $g\in L_{p,\rho}$. Положим $\tau=\rho/\sigma$ и зафиксируем еще $r>0$. Тогда верна интерполяционная формула Картрайт (см., например, [12; лекция 21]) Если при этом $0<\rho<\sigma$, то выполняются двусторонние оценки
$$
\begin{equation}
\|\alpha\|_p\leqslant C\|g\|_p\leqslant C\|\beta\|_p\leqslant C\|\alpha\|_p,
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где $\alpha_l=g(z_l)$, причем левое неравенство верно при произвольных положительных значениях параметров. Подставив $z=x_j$ в равенство (3.4), получим
$$
\begin{equation*}
s(x)=\sum_{j\in\mathbb{Z}}g(x_j)B(x-x_j) =\sum_{j\in\mathbb{Z}}\sum_{l\in\mathbb{Z}}g(z_l)\psi(x_j-z_l)B(x-x_j).
\end{equation*}
\notag
$$
Для обоснования перемены порядка суммирования запишем частичные суммы
$$
\begin{equation}
\sum_{j\in\mathbb{Z}}\sum_{|l|\leqslant N}g(z_l)\psi(x_j-z_l)B(x-x_j) =\sum_{|l|\leqslant N}\sum_{j\in\mathbb{Z}}g(z_l)\psi(x_j-z_l)B(x-x_j).
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Обозначим $\beta^N_j=\sum_{|l|\leqslant N}g(z_l)\psi(x_j-z_l)$. Если $p<+\infty$, то $\beta^N\to\beta$ в $\ell_p$ по неравенству (3.5), а если $p=+\infty$, то последовательность $\{\beta^N\}$ равномерно ограничена и $\beta^N\to\beta$ покоординатно. В обоих случаях в левой части равенства (3.6) можно перейти к пределу ввиду бесселевости системы сдвигов функции $B$ (соответственно в $L_p(\mathbb{R})$ или в $L_\infty$ на любом отрезке), а значит, тот же предел имеет и правая часть. Отсюда
$$
\begin{equation}
s(x)=\sum_{l\in\mathbb{Z}}g(z_l)\sum_{j\in\mathbb{Z}}\psi(x_j-z_l)B(x-x_j) =\sum_{l\in\mathbb{Z}}g(z_l)S_l(x).
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Это и есть искомое представление. Замечание 2. По формуле Картрайт $L_{p,\rho}=\mathbf{S}_{\psi,\sigma(\tau+r),\rho}^{p}$ при $\tau=\rho/\sigma$. Поэтому теорема 1 включает и этот случай. Интерполяционная формула Картрайт применялась для вычисления средней размерности с самых первых работ на эту тему; см. [1]–[4]. 4. Оценка сверхуВ этом и следующем разделах мы предполагаем, что выполняются условия теоремы 1. Сначала докажем оценку сверху в более трудном случае $\rho<\sigma$. Для оценки $K(\varepsilon,A,\mathbf{S}_{B,\sigma,\rho}^{p})$ достаточно рассмотреть значения $A=x_M$, где $M\in\mathbb{N}$. Пусть $s\in\mathbf{S}_{B,\sigma,\rho}^{p}$, функция $s$ задается формулой (1.1), $\|s\|_p\leqslant1$, $\beta_j=g(x_j)$, где $g\in L_{p,\rho}$. Положим $\tau=\rho/\sigma$, тогда $\tau\in(0,1)$. Зафиксируем еще $r>0$ и запишем $s$ по формуле (3.7). Положим $\alpha_l=g(z_l)$, возьмем натуральное число $N>(\tau+r)M$ и определим функции $g_N$ и $s_N$ формулами (3.2) и (3.1). По формулам (3.3) и (3.7) Докажем неравенство
$$
\begin{equation}
\|P_As-P_As_N\|_p\leqslant\|\alpha\|_{p}\eta(z_N-x_M),
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где $\eta(y)\to0$ при $y\to+\infty$. Напомним, что
$$
\begin{equation*}
x_M=\frac{M\pi}{\sigma}, \qquad z_N=\frac{N\pi}{\sigma(\tau+r)},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда Пусть сначала $p\in[1,+\infty)$. По неравенству Гёльдера (как обычно, ${1}/{p}+{1}/{q}=1$)
$$
\begin{equation*}
\biggl|\sum_{|l|>N}\alpha_lS_l(x)\biggr|^p\leqslant \biggl(\sum_{|l|>N}|\alpha_l|^p|S_l(x)|\biggr) \biggl(\sum_{|\lambda|>N}|S_\lambda(x)|\biggr)^{p/q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Снова по неравенству Гёльдера
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|P_As-P_As_N\|_p &=\biggl(\int_{-x_M}^{x_M}|(s-s_N)(x)|^p\,dx\biggr)^{1/p} =\biggl(\int_{-x_M}^{x_M}\biggl|\sum_{|l|>N}\alpha_lS_l(x)\biggr|^p\,dx\biggr)^{1/p} \\ &\leqslant\biggl(\int_{-x_M}^{x_M}\biggl(\sum_{|l|>N}|\alpha_l|^p|S_l(x)|\biggr) \biggl(\sum_{|\lambda|>N}|S_\lambda(x)|\biggr)^{p/q}\,dx\biggr)^{1/p} \\ &\leqslant\|\alpha\|_p\sup_{|l|>N}\biggl(\int_{-x_M}^{x_M}|S_l(x)| \biggl(\sum_{|\lambda|>N}|S_\lambda(x)|\biggr)^{p/q}\,dx\biggr)^{1/p} =\|\alpha\|_pQ_1(M,N). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Разбивая промежуток интегрирования, находим
$$
\begin{equation*}
Q_1(M,N)=\sup_{|l|>N}\biggl(\int_{0}^{x_1}\sum_{k=-M}^{M-1}|S_l(\theta+x_k)| \biggl(\sum_{|\lambda|>N}|S_\lambda(\theta+x_k)|\biggr)^{p/q}\,d\theta\biggr)^{1/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
В выражении $S_l(\theta+x_k)$ сделаем замену индекса $k-j=\nu$:
$$
\begin{equation}
S_l(\theta+x_k)= \sum_{j\in\mathbb{Z}}\psi(x_j-z_l)B(\theta+x_{k-j})= \sum_{\nu\in\mathbb{Z}}\psi(x_{k-\nu}-z_l)B(\theta+x_\nu).
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Оценим сумму по $\lambda$ при фиксированном $k$, $|k|\leqslant M$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{|\lambda|>N}|S_\lambda(\theta+x_k)| &\leqslant\sum_{|\lambda|>N}\sum_{\nu\in\mathbb{Z}}|\psi(x_{k-\nu}-z_\lambda)||B(\theta+x_\nu)| \\ &=\sum_{\nu\in\mathbb{Z}}|B(\theta+x_\nu)|\sum_{|\lambda|>N}|\psi(x_{k-\nu}-z_\lambda)| =R_1+R_2, \\ R_1&=\sum_{|x_\nu|>(z_N-|x_k|)/2}, \qquad R_2=\sum_{|x_\nu|\leqslant(z_N-|x_k|)/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее мы неоднократно воспользуемся очевидным неравенством
$$
\begin{equation}
|\psi(z)|\leqslant\frac{C}{1+z^2}=\psi^*(z), \qquad z\in\mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_1 &\leqslant\sum_{|x_\nu|>(z_N-|x_k|)/2}|B(\theta+x_\nu)| \sum_{\lambda\in\mathbb{Z}}|\psi(x_{k-\nu}-z_\lambda)| \\ &\leqslant C\sum_{|x_\nu|>(z_N-|x_k|)/2}|B(\theta+x_\nu)|\leqslant C\sum_{|x_\nu|>(z_N-x_M)/2}|B(\theta+x_\nu)|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $|k|\leqslant M$, $|x_\nu|\leqslant(z_N-|x_k|)/2$ и $|\lambda|>N$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |x_{k-\nu}-z_\lambda| &\geqslant |z_\lambda-x_k|-|x_\nu|\geqslant|z_\lambda|-|x_k|-\frac{z_N-|x_k|}{2} \\ &\geqslant |z_\lambda|-|x_k|-\frac{|z_\lambda|-|x_k|}{2} = \frac{|z_\lambda|-|x_k|}{2}\geqslant\frac{z_N-|x_k|}{2}\geqslant\frac{z_N-x_M}{2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
R_2 \leqslant B_0(\theta) \sum_{|\lambda|>N} \psi^*\biggl(\frac{|z_\lambda|-|x_k|}{2}\biggr) \leqslant \frac{CB_0(\theta)}{1+z_N-|x_k|}\leqslant\frac{CB_0(\theta)}{1+z_N-x_M}.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что $B_0(\theta)=\sum_{\nu\in\mathbb{Z}}|B(\theta+x_\nu)|$. Аналогично оценивается сумма по $k$ при фиксированном $l$, $|l|>N$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{|k|\leqslant M}|S_l(\theta+x_k)| &\leqslant\sum_{|k|\leqslant M}\sum_{\nu\in\mathbb{Z}}|\psi(x_{k-\nu}-z_l)||B(\theta+x_\nu)| \\ &=\sum_{\nu\in\mathbb{Z}}|B(\theta+x_\nu)|\sum_{|k|\leqslant M}|\psi(x_{k-\nu}-z_l)|=T_1+T_2, \\ T_1 &=\sum_{|x_\nu|>(|z_l|-x_M)/2}, \qquad T_2=\sum_{|x_\nu|\leqslant(|z_l|-x_M)/2}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим $T_1$ и $T_2$ аналогично $R_1$ и $R_2$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, T_1 &\leqslant\sum_{|x_\nu|>(|z_l|-x_M)/2}|B(\theta+x_\nu)|\sum_{k\in\mathbb{Z}}|\psi(x_{k-\nu}-z_l)| \\ &\leqslant C\sum_{|x_\nu|>(|z_l|-x_M)/2}|B(\theta+x_\nu)| \leqslant C\sum_{|x_\nu|>(z_N-x_M)/2}|B(\theta+x_\nu)|, \\ T_2 &\leqslant B_0(\theta)\sum_{|k|\leqslant M} \psi^*\biggl(\frac{|z_l|-|x_k|}{2}\biggr) \leqslant \frac{CB_0(\theta)}{1+|z_l|-x_M}\leqslant \frac{CB_0(\theta)}{1+z_N-x_M}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сопоставляя оценки, получаем
$$
\begin{equation}
Q_1(M,N)\leqslant C\biggl(\int_{0}^{x_1}\biggl( \sum_{|x_\nu|>(z_N-x_M)/2}|B(\theta+x_\nu)| +\frac{B_0(\theta)}{1+z_N-x_M}\biggr)^{p}\,d\theta\biggr)^{1/p} =\eta(z_N-x_M).
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
По условию B1 функция $\eta$ бесконечно мала. При $p=+\infty$ выкладки упрощаются. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|P_As-P_As_N\|_{\infty} &=\operatorname*{ess\,sup}_{|x|\leqslant x_M}\biggl|\sum_{|\lambda|>N}\alpha_{\lambda}S_\lambda(x)\biggr| \\ &\leqslant \|\alpha\|_{\infty} \operatorname*{ess\,sup}_{|x|\leqslant x_M}\sum_{|\lambda|>N}|S_\lambda(x)| \leqslant \|\alpha\|_{\infty} \operatorname*{ess\,sup}_{\theta\in[0,x_1]}\sup_{|k|\leqslant M} \sum_{|\lambda|>N}|S_\lambda(\theta+x_k)|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Последняя сумма уже оценена. Получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|P_As-P_As_N\|_{\infty} &\leqslant \|\alpha\|_{\infty} C\operatorname*{ess\,sup}_{\theta\in[0,x_1]} \biggl(\sum_{|x_\nu|>(z_N-x_M)/2}|B(\theta+x_\nu)|+\frac{B_0(\theta)}{1+z_N-x_M}\biggr) \\ &=\|\alpha\|_{\infty}\eta(z_N-x_M). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По условию B1 функция $\eta$ бесконечно мала. Из неравенств (4.1), (3.5) и (2.2) получаем Учитывая формулу (4.2), по $\varepsilon>0$ подберем номер $N_1(\varepsilon)$ так, что $C\eta(z_N-x_M)<\varepsilon$ при всех $N\geqslant(\tau+r)M+N_1(\varepsilon)$. Возьмем $N=\lfloor(\tau+r)M+N_1(\varepsilon)\rfloor+1$. По доказанному любую функцию из $P_A(\mathbf{S}_{B,\sigma,\rho}^{p}\cap D_p)$ можно приблизить подпространством $P_A(Y_N)$ пространства $L_p$ с точностью $\varepsilon$. Размерность пространства $Y_N$ и тем более $P_A(Y_N)$ не выше $2N+1$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
K(\varepsilon,x_M,\mathbf{S}_{B,\sigma,\rho}^{p})\leqslant 2N+1 \leqslant 2(\tau+r)M+2N_1(\varepsilon)+2.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда
$$
\begin{equation*}
\varliminf_{M\to\infty} \frac{K(\varepsilon,x_M,\mathbf{S}_{B,\sigma,\rho}^{p})}{2x_M}\leqslant \lim_{M\to\infty} \frac{2(\tau+r)M+2N_1(\varepsilon)+2}{2x_M}= \frac{(\tau+r)\sigma}{\pi}
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\overline{\operatorname{dim}}\,\mathbf{S}_{B,\sigma,\rho}^{p}\leqslant \frac{(\tau+r)\sigma}{\pi}=\frac{\rho+r\sigma}{\pi}.
\end{equation*}
\notag
$$
Устремляя $r$ к нулю, получаем требуемое. Наконец, докажем оценку для пространств $\mathbf{S}_{B,\sigma}^{p}$. В этом случае можно в качестве приближающего подпространства использовать линейную оболочку системы $\{B(\cdot-x_j)\}_{|j|\leqslant N}$. Этот способ использовался в [5]. Пусть $A=x_M$, $s\in\mathbf{S}_{B,\sigma}^{p}$, функция $s$ задается формулой (1.1), $\|s\|_p\leqslant1$. При $N>M$ положим $s_N(x)=\sum_{|j|\leqslant N}\beta_jB(x-x_j)$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|P_As-P_As_{N}\|_p=\biggl(\int_{-x_M}^{x_M}\biggl|\sum_{|j|>N}\beta_jB(x-x_j)\biggr|^p dx\biggr)^{1/p} \\ &\qquad = \biggl(\int_{0}^{x_1}\sum_{k=-M}^{M-1}\biggl| \sum_{|j|>N}\beta_jB(\theta+x_{k-j}) \biggr|^p d\theta\biggr)^{1/p} \\ &\qquad\leqslant \biggl(\int_{0}^{x_1}\sum_{k\in\mathbb{Z}}\biggl| \sum_{|\nu|>N-M}|\beta_{k-\nu}||B(\theta+x_\nu)| \biggr|^p d\theta\biggr)^{1/p} \\ &\qquad\leqslant\|\beta\|_{p}\biggl(\int_{0}^{x_1} \biggl(\sum_{|\nu|>N-M}|B(\theta+x_\nu)|\biggr)^p d\theta\biggr)^{1/p}= \eta(N-M)\|\beta\|_{p}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы оценили дискретную свертку по формуле $\|a*\beta\|_p\leqslant\|a\|_1\|\beta\|_p$, где $a_\nu=B(\theta+x_\nu)$ при $|\nu|>N-M$, $a_{\nu}=0$ иначе. Ввиду условия B1 будет $\eta(y)\to0$ при $y\to+\infty$. Завершается доказательство, как и для пространств $\mathbf{S}_{B,\sigma,\rho}^{p}$.
5. Оценка снизуДля оценки средней размерности снизу нам понадобится теорема Тихомирова о поперечнике шара; см., например, [13; предложение 8.1.2]. Эта теорема гласит, что если подмножество $D$ нормированного пространства $X$ содержит шар радиуса $\gamma$ некоторого $(n+1)$-мерного подпространства $X$, то $d_n(D,X)\geqslant\gamma$. Верно включение $\mathbf{S}_{B,\sigma,\rho}^{p}\subset\mathbf{S}_{B,\sigma,\sigma}^{p}\subset\mathbf{S}_{B,\sigma}^{p}$. Поэтому оценку снизу достаточно установить при $\rho<\sigma$, после чего результат для пространств $\mathbf{S}_{B,\sigma}^{p}$ и $\mathbf{S}_{B,\sigma,\sigma}^{p}$ получится предельным переходом. Чтобы оценить величину $K(\varepsilon,A,\mathbf{S}_{B,\sigma,\rho}^{p})$ снизу, применим теорему о поперечнике шара к множеству $D=P_A(\mathbf{S}_{B,\sigma,\rho}^{p}\cap D_p)$. Для этого мы докажем, что множество $D$ содержит шар некоторого пространства $P_A(Y_N)$, и оценим размерность $P_A(Y_N)$ снизу. Выберем $\tau,r>0$ так, что $\sigma(\tau+2r)=\rho$. Пусть $M,N\in\mathbb{N}$, $A=x_M$, $N<(\tau+r)M$, функция $s_N\in Y_N$ имеет вид (3.3). Докажем неравенство
$$
\begin{equation}
\|s_N-P_As_N\|_p\leqslant\|\alpha\|_{p}\eta(x_M-z_N),
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
где $\eta(y)\to0$ при $y\to+\infty$. Напомним, что $z_N<x_M$ по формуле (4.2). Пусть сначала $p\in[1,+\infty)$. По неравенству Гёльдера
$$
\begin{equation*}
\biggl|\sum_{|l|\leqslant N}\alpha_lS_l(x)\biggr|^p\leqslant \biggl(\sum_{|l|\leqslant N}|\alpha_l|^p|S_l(x)|\biggr) \biggl(\sum_{|\lambda|\leqslant N}|S_\lambda(x)|\biggr)^{p/q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Снова по неравенству Гёльдера
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|s_N-P_As_N\|_p=\biggl(\int_{\mathbb{R}\setminus[-A,A]}|s_N(x)|^p\,dx\biggr)^{1/p} =\biggl(\int_{\mathbb{R}\setminus[-A,A]}\biggl|\sum_{|l|\leqslant N}\alpha_lS_l(x) \biggr|^p\,dx\biggr)^{1/p} \\ &\qquad \leqslant \biggl(\int_{\mathbb{R}\setminus[-A,A]} \biggl(\sum_{|l|\leqslant N}|\alpha_l|^p|S_l(x)|\biggr) \biggl(\sum_{|\lambda|\leqslant N}|S_\lambda(x)|\biggr)^{p/q} \,dx\biggr)^{1/p} \\ &\qquad\leqslant\|\alpha\|_p\sup_{|l|\leqslant N} \biggl(\int_{\mathbb{R}\setminus[-A,A]} |S_l(x)|\biggl(\sum_{|\lambda|\leqslant N}|S_\lambda(x)|\biggr)^{p/q} \,dx\biggr)^{1/p} =\|\alpha\|_pQ_2(M,N). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Разбивая множество интегрирования, находим
$$
\begin{equation*}
Q_2(M,N)=\sup_{|l|\leqslant N} \biggl(\int_{0}^{x_1}\biggl(\sum_{k=-\infty}^{-M-1}+ \sum_{k=M}^{\infty}\biggr) |S_l(\theta+x_k)|\biggl(\sum_{|\lambda|\leqslant N}|S_\lambda(\theta+x_k)|\biggr)^{p/q}\,d\theta\biggr)^{1/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Записав $S_\lambda(\theta+x_k)$ по формуле (4.3), оценим сумму по $\lambda$ при фиксированном $k$, $|k|\leqslant M$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{|\lambda|\leqslant N}|S_\lambda(\theta+x_k)|\leqslant \sum_{|\lambda|\leqslant N}\sum_{\nu\in\mathbb{Z}} |\psi(x_{k-\nu}-z_\lambda)||B(\theta+x_\nu)| \\ &\qquad =\sum_{\nu\in\mathbb{Z}}|B(\theta+x_\nu)| \sum_{|\lambda|\leqslant N}|\psi(x_{k-\nu}-z_\lambda)|=R_3+R_4, \\ R_3&=\sum_{|x_\nu|>(|x_k|-z_N)/2},\qquad R_4=\sum_{|x_\nu|\leqslant(|x_k|-z_N)/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В дальнейших оценках используем формулу (4.4). Получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_3 &\leqslant\sum_{|x_\nu|>(|x_k|-z_N)/2}|B(\theta+x_\nu)| \sum_{\lambda\in\mathbb{Z}}|\psi(x_{k-\nu}-z_\lambda)| \\ &\leqslant C\sum_{|x_\nu|>(|x_k|-z_N)/2}|B(\theta+x_\nu)|\leqslant C\sum_{|x_\nu|>(x_M-z_N)/2}|B(\theta+x_\nu)|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $|k|\geqslant M$, $|x_\nu|\leqslant(|x_k|-z_N)/{2}$ и $|\lambda|\leqslant N$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|x_{k-\nu}-z_\lambda|\geqslant |k-z_\lambda|-|x_\nu|\geqslant |x_k|-|z_\lambda|-\frac{|x_k|-z_N}{2} \\ &\qquad\geqslant |x_k|-|z_\lambda|-\frac{|x_k|-|z_\lambda|}{2}= \frac{|x_k|-|z_\lambda|}{2}\geqslant \frac{|x_k|-z_N}{2}\geqslant \frac{x_M-z_N}{2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
R_4\leqslant B_0(\theta) \sum_{|\lambda|\leqslant N} \psi^*\biggl(\frac{|x_k|-|z_\lambda|}{2}\biggr)\leqslant \frac{CB_0(\theta)}{1+|x_k|-z_N}\leqslant \frac{CB_0(\theta)}{1+x_M-z_N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично оценивается сумма по $k$ при фиксированном $l$, $|l|\leqslant N$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{|k|\geqslant M}|S_\lambda(\theta+x_k)|\leqslant \sum_{|k|\geqslant M}\sum_{\nu\in\mathbb{Z}} |\psi(x_{k-\nu}-z_l)||B(\theta+x_\nu)| \\ &\qquad = \sum_{\nu\in\mathbb{Z}}|B(\theta+x_\nu)| \sum_{|k|\geqslant M}|\psi(x_{k-\nu}-z_l)|=T_3+T_4, \\ &T_3=\sum_{|x_\nu|>(x_M-|z_l|)/2}, \qquad T_4=\sum_{|x_\nu|\leqslant(x_M-|z_l|)/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим $T_3$ и $T_4$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, T_3 &\leqslant\sum_{|x_\nu|>(x_M-|z_l|)/2}|B(\theta+x_\nu)| \sum_{k\in\mathbb{Z}}|\psi(x_{k-\nu}-z_l)| \\ &\leqslant C\sum_{|x_\nu|>(x_M-|z_l|)/2}|B(\theta+x_\nu)|\leqslant C\sum_{|x_\nu|>(x_M-z_N)/2}|B(\theta+x_\nu)|, \\ T_4 &\leqslant B_0(\theta) \sum_{|k|\geqslant M} \psi^*\biggl(\frac{|x_k|-|z_l|}{2}\biggr)\leqslant \frac{CB_0(\theta)}{1+x_M-|z_l|}\leqslant \frac{CB_0(\theta)}{1+x_M-z_N}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сопоставляя оценки, получаем
$$
\begin{equation}
Q_2(M,N)\leqslant C\biggl(\int_{0}^{x_1}\biggl( \sum_{|x_\nu|>(x_M-z_N)/2}|B(\theta+x_\nu)|+ \frac{B_0(\theta)}{1+x_M-z_N} \biggr)^{p} \,d\theta\biggr)^{1/p} =\eta(x_M-z_N).
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
По условию B1 функция $\eta$ бесконечно мала. При $p=+\infty$, действуя аналогично, но проще (см. оценку сверху), мы тоже приходим к неравенству (5.1), в котором
$$
\begin{equation*}
\eta(x_M-z_N)= C\operatorname*{ess\,sup}_{\theta\in[0,x_1]} \biggl(\sum_{|x_\nu|>(x_M-z_N)/2}|B(\theta+x_\nu)|+ \frac{B_0(\theta)}{1+x_M-z_N}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Из неравенств (5.1), (3.5) и (2.2) получаем Учитывая формулу (4.2), по любому $\delta>0$ можно подобрать номер $N_2(\delta)$ так, что $C\eta(x_M-z_N)<\delta$ при всех $N\leqslant(\tau+r)M-N_2(\delta)$.Пусть теперь $f\in P_A(Y_N)$, $\|f\|_p\leqslant\gamma$. Тогда $f=P_As_N$, где $s_N$ имеет вид (3.3). Ясно, что $s_N\in \mathbf{S}_{B,\sigma,(\tau+2r)\sigma}^{p}$. Оценим $\|s_N\|_p$:
$$
\begin{equation*}
\|s_N\|_p\leqslant \|P_As_N\|_p+\|s_N-P_As_N\|_p\leqslant \gamma+\delta\|s_N\|_p.
\end{equation*}
\notag
$$
Выбрав $\gamma=\delta=1/2$, $N=\lfloor(\tau+r)M-N_2(1/2)\rfloor$, получим $\|s_N\|_p\leqslant1$. Из доказанного вытекает равенство $\operatorname{dim} P_A(Y_N)=2N+1$, т.е. линейная независимость системы $\{S_l\}_{|l|\leqslant N}$ на $[-x_M,x_M]$. Иначе некоторая нетривиальная линейная комбинация $s_N$ вида (3.3) тождественно равна нулю на $[-x_M,x_M]$, т.е. $P_A(s_N)=0$. Тогда что невозможно.Таким образом, множество $D=P_A(\mathbf{S}_{B,\sigma,(\tau+2r)\sigma}^{p}\cap D_p)$ содержит шар радиуса $1/2$ подпространства $P_A(Y_N)$ пространства $L_p$. Размерность этого подпространства равна $2N+1$. По теореме о поперечнике шара
$$
\begin{equation*}
d_{2N}\bigl(P_A(\mathbf{S}_{B,\sigma,\rho}^{p}\cap D_p)\bigr)\geqslant\frac12.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому при $\varepsilon<1/2$ будет
$$
\begin{equation*}
K\bigl(\varepsilon,A,P_A(\mathbf{S}_{B,\sigma,\rho}^{p}\cap D_p)\bigr)>2N,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда
$$
\begin{equation*}
\varliminf_{M\to\infty}\frac{K(\varepsilon,x_M,\mathbf{S}_{B,\sigma,\rho}^{p})} {2x_M} \geqslant \lim_{M\to\infty}\frac{2(\tau+r)M-2N_2(\frac12)-2}{2x_M}= \frac{(\tau+r)\sigma}{\pi}.
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\overline{\operatorname{dim}}\,\mathbf{S}_{B,\sigma,\rho}^{p}\geqslant \frac{(\tau+r)\sigma}{\pi}=\frac{\rho-r\sigma}{\pi}.
\end{equation*}
\notag
$$
(напомним, что $(\tau+2r)\sigma=\rho$). Устремляя $r$ к нулю, получаем требуемое.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Vin24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|