| Математические заметки |
|
|
|
|
|
О постановке краевой задачи для обобщенного уравнения Коши–Римана с неизолированными особенностями в младшем коэффициенте А. Б. Расулов, Ю. С. Федоров Национальный исследовательский университет «Московский энергетический институт»
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624070101 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеВ конечной области $0\in D\subseteq\mathbb{C}$ рассматривается эллиптическое уравнение вида
$$
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial\overline{z}}+au+b\overline{u}=f
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
c функциями $a(z)$, $b(z)$, $f(z)$, заданными в ограниченной области $D$, причем коэффициенты $a,b$ этого уравнения могут допускать в множестве $l\in D$ степенные особенности по $z$. Здесь и ниже используется стандартное обозначение $2\partial_{\overline{z}}=\partial_{x}+i\partial_{y}$. Обозначим $C_\lambda(\overline{D},0)$, $\lambda<0$, пространство всех непрерывных в $\overline{D}\setminus \{0\}$ функций $\varphi(z)$ с точечной особенностью $z=0$ и c поведением $O(|z|^\lambda)$ при $z\to 0$. Оно снабжается нормой $\|\varphi\|=\sup_{z\in D}|z|^{-\lambda}|\varphi(z)|$, относительно которой указанное пространство является банаховым. Классическая теория Векуа [1] обобщенных аналитических функций охватывает случай, когда коэффициенты и правая часть уравнения (1.1) принадлежат пространству $L^{p}(D)$ с показателем(и далее везде) $p>2$. Коэффициенты таких систем могут допускать слабые особенности с требованием их $p$-интегрируемости в области $D$. Уравнения с коэффициентами $a\in C_{-\alpha-1}$, $\alpha\geqslant0$, и $b\in C_{-1}$ не удовлетворяют этому условию. В монографии Михайлова [2] решение уравнения (1.1) с коэффициентами $a,b\in C_{-1}(\overline{D},0)$ находится из класса $C_{-\lambda}$, $0<\lambda<1$. Разрешимость интегрального уравнения, к которому сводится уравнение (1.1), доказывается при определенных условиях малости этих коэффициентов. Усмановым [3] построена теория уравнения (1.1) при $a=0$, $b(z)=\overline{z}^{-1}\beta e^{ik\varphi}$, $k\in Z$. Однако случай, когда $b(z)=\overline{z}^{-1}(\beta_{1} e^{ik\varphi}+\beta_{2} e^{im\varphi})$, где $\beta_{1}{\ne}\beta_{2}$, приводит к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, исследование которой представляет собой весьма нетривиальную проблему и ранее не проводилось. Также показано, что для случая $a=0$, $b=\lambda|z|^{-\alpha}$, $\alpha>0$, существует решение уравнения (1.1) в виде рядов Фурье, коэффициенты которых определяются через функции Бесселя и Макдональда. На необходимость изучения уравнений с коэффициентами, допускающими особенности не ниже первого порядка впервые было указано Векуа [1] и Бицадзе [4]. В последнее время исследованию уравнения (1.1), а также других аналогичных уравнений с сингулярными коэффициентами были посвящены работы Раджабова [5], Meziani [6], Тунгатарова [7], Коровиной [8], Климентова [9] и др. Достаточно большой интерес к уравнению (1.1) также вызван многочисленными приложениями такого класса уравнений. Например, к уравнению (1.1) с сингулярной точкой сводятся задачи из теории бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны с точками уплощения [1], [3]. В гл. 5 монографии Бицадзе [4; с. 418] показано, что уравнения Максвелла–Эйнштейна в варианте Эрнста сводятся к решению уравнения первого порядка с сингулярной линией вида
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial u}{\partial\overline{z}}-\frac{u+\overline{u}}{2(z+\overline{z})}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Как показано в работе [10] задача исследования напряженного состояния упругого тела в виде сплошного и полого тора или пространства, имеющего тороидальную полость, сводится к исследованию уравнения
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial u}{\partial\overline{z}}-\frac{2m+1}{z-\overline{z}}(u-\overline{u})=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $m$ – целое число. Полученные результаты позволяют уточнить расчеты напряженно-деформированного состояния различных объектов типа кольцевых трещин или горных выработок вокруг целиков, находящихся на большой глубине, и повысить уровень надежности и экономичности таких расчетов. Как следует из работ, посвященных вырождающимся дифференциальным уравнениям на решения краевых задач может иметь влияние особенность коэффициентов на множестве, содержащемся в рассматриваемой области. В работе Begehr и Dao-Qing Dai [11], где рассмотрено обобщенное уравнение Коши–Римана
$$
\begin{equation*}
w_{\overline{z}}=\frac{Q(z)}{P(z)}w(z)+a(z)w+ b(z)\overline{w}, \qquad |z|<1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $Q(z),P(z)$ – полиномы, причем $P(z)$ внутри круга $|z|\leqslant 1$ имеет простые корни, $a(z),b(z)\in L^{p}(D)$, $p>2$, изучается разрешимость задачи Римана–Гильберта. Показано, что число непрерывных решений зависит не только от индекса, но и от места расположения и типа особенностей. В работе Солдатова, Расулова [12] для обобщенной системы Коши—Римана с сингулярной линией выявлено, что для корректной постановки краевой задачи необходимо рассматривать краевую задачу, объединяющую элементы задач Римана–Гильберта (на границе области) и линейного сопряжения (на сингулярном отрезке, содержащемся внутри области). В статье изучен эффект влияния попарно непересекающихся и не проходящих через начало координат неизолированных особенностей в младшем коэффициенте для обобщенной системы Коши—Римана на постановку краевых задач. Оказалось, что условия задачи Римана–Гильберта на границе области недостаточно для ее корректной постановки. Поэтому ставится задача, объединяющая элементы задач Римана–Гильберта на границе области и линейного сопряжения на окружностях-носителях сингулярностей младшего коэффициента, лежащих внутри области. 2. Интегральное представление решения в явной формеПусть область $D$ ограничена простым ляпуновским контуром $\Gamma$, охватывающим точку $z_0=0$. Пусть попарно непересекающиеся окружности $\gamma_j$ с центром $z_j$ радиуса $r_j$, $1\leqslant j\leqslant n$, лежат в области $D$ и не проходят через точку $z_0$. Пусть $\rho(z)$ есть расстояние от точки $z$ до множества $\gamma=\gamma_1\cup\dots\cup\gamma_n$. Очевидно, в достаточно малой окрестности $\gamma_j$ функция $\rho(z)$ совпадает с $|\rho_j(z)|$, где $\rho_j(z)=|z-z_j|-r_j$. Рассмотрим в области $D_0=D\setminus (\gamma\cup\{0\})$ уравнение
$$
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial\overline z}-\frac{a(z)}{\rho(z)}u+\frac{b(z)}{|z|^m} \overline u=f,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где положительное число $m<1$ и функции $a,b\in C(\overline{D})$. Предполагается, что на каждой окружности $\gamma_j$ функция $|a(z)|$ постоянна, более точно,
$$
\begin{equation}
a(z)=a_j^*u_j(z), \quad u_j(z)=\frac{z-z_j}{|z-z_j|}\frac{|z-z_j|-r_j}{||z-z_j|-r_j|}, \qquad z\in \gamma_j,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
с некоторыми $a_j^*\in \mathbb{C}$. Кроме того, разность
$$
\begin{equation}
A_0(z)=\frac{a(z)}{\rho(z)}-\sum_{j=1}^na_j^*\frac{u_j(z)}{\rho_j(z)}\in L^p(D),
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где показатель $p>2$ в дальнейшем фиксирован. Решение ищется в классе $W^{1,p}_{\mathrm{loc}}(D_0)$, т.е. в классе функций, принадлежащих $W^{1,p}(G)$ в любой области $G$, которая вместе со своим замыканием содержится в $D_0$. Что касается правой части $f$, то она выбирается в классе $L^p(D)$. В получении представления регулярного решения данного уравнения существенную роль играет интегральный оператор Помпейу–Векуа (см. монографию Векуа [1; с. 29])
$$
\begin{equation}
(Tf)(z)=-\frac{1}{\pi} \int_D \frac{f(\zeta)\,d_2\zeta} {\zeta - z}, \qquad z\neq 0,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
с плотностью $f \in L^p (D)$, где $p > 2$. Здесь и ниже $d_2 \zeta$ означает элемент площади. В частности, оператор $T$ компактен в пространствах $L^p (D)$ и $C (\overline{D})$. Если в уравнении (2.1) функции $A(z)=a(z)\rho^{-1} \in L^p(D)$, $b(z)=0$ и $ f \in L^p (D)$, то $\Omega=T A \in W_{\mathrm{loc}}^{1,p} (D)$ является решением уравнения $\Omega_{\overline z}-A= 0$. Следовательно, для функции $V=e^{-\Omega}u$ имеем соотношение
$$
\begin{equation*}
V_{\overline z}=e^{-\Omega}u_{\overline z}-Ae^{-\Omega}u=e^{-\Omega}f.
\end{equation*}
\notag
$$
В результате приходим к представлению с произвольной аналитической в $D$ функцией $\phi \in C(\overline{D})$ [1]. Переходим к рассмотрению уравнения с коэффициентом $A(z)=a(z)\rho^{-1}$, который согласно (2.3) записываем в виде
$$
\begin{equation*}
A(z)=\sum_{j=1}^na_j^*\frac{u_j(z)}{\rho_j(z)}+A_0(z), \qquad a_j^{*}\in \mathbb{C}, \quad A_0(z)\in L^p(D).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 1. Пусть функция $A_0(z)\in L^p(D)$ и $\omega_*=2\sum_{j=1}^{n}a_j^{*}\ln ||z-z_j|-r_j|$. Тогда функция удовлетворяет уравнению $\Omega_{\overline{z}}=A$.Теорема 1. Пусть функция $\Omega(z)$ определена формулой (2.6) и $e^{-\Omega}f\in L^p(D)$. Тогда общее решение уравнения (2.5) в классе $C(\overline{D}\setminus \gamma)$ дается формулой где $\phi\in C(\overline{D} \setminus \gamma)$ аналитична в открытом множестве $ D\setminus\{\gamma\}$.Доказательство леммы 1 и теоремы 1 непосредственно следует из вышеизложенных свойств оператора Помпейу–Векуа $T$. Из леммы 1 следует, что функция
$$
\begin{equation*}
e^{\Omega(z)}=C_0(z)\bigl||z-z_1|-r_1\bigr|^{2a_1^{*}}\dotsb\bigl||z-z_n|-r_n\bigr|^{2a_n^{*}},
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_0(z)$ непрерывна в замкнутой области $\overline{D}$ и всюду отлична от нуля. Поэтому согласно теореме 1 решение $u(z)$ уравнения (2.5) ведет себя как
$$
\begin{equation*}
u(z)=O(1)\bigl(|z-z_j|-r_j|^{2a_j^{*}}\bigr) \qquad \text{при} \quad |z-z_j|\to r_j.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что функция $e^{\Omega(z)}$ при $\operatorname{Re}a_j^{*}<0$, $j=1,\dots,n$ ($\operatorname{Re}a_j^{*}>0$, $j=1,\dots,n$) допускает в окружности $\gamma_j$ особенность (нуль) степенного порядка. При $\operatorname{Re}a_j^{*}>0$, $j=1,\dots,k$, эти функции очевидно ограничены. Если $\operatorname{Re}a_j^{*}=0$, $j=1,\dots,n$, то $a\in L^p(D)$, $p>2$ и при $e^{-\Omega}f\in L^p(D)$ и $\phi\in C(\overline{D})$ получим $u\in C(\overline{D})$. Уравнение (2.1) с ненулевыми $a(z)$ и $ b(z)$ с помощью леммы 1 по отношению к $\varphi=e^{-\Omega}u\in L^{p}(D)$ и обозначив $f_0=e^{-\Omega}f$ можно преобразовать в уравнение которое эквивалентным образом редуцируется к интегральному уравнению где $b_1=bc$, $c(z)=e^{-2i\operatorname{Im}\Omega(z)}$, функция $\phi\in H(\overline{D})$ аналитична в ${D}$. Для исследования уравнения (2.8) необходимо предварительно изучить действие в различных пространствах интегрального оператора вида
$$
\begin{equation*}
(K_0\varphi)(z)=\int_D\frac{\varphi(\zeta)\,d_2\zeta}{|\zeta|^{m}|\zeta-z|^{\alpha}}, \qquad z\in D,
\end{equation*}
\notag
$$
где положительные $m,\alpha$ удовлетворяют условиям так что $0<3-m-2\alpha<1$. Доказательство леммы 2 можно найти в работе [13]. Из леммы 2 следует, что при $m+\mu+2/p<1$ оператор $Tb_1\colon L^p(D)\to C^\mu(\overline{D})$ ограничен и компактен в каждом из пространств $L^p(D)$, $C^\mu(\overline{D})$, принадлежащих классу $C^\mu$ в каждой из компонент связности множества $D_0$. Согласно (2.8) в представлении общего решения уравнения (2.1) важную роль играет линейный интегральный оператор $K\varphi=Tb_1\overline{\varphi}$, а также связанное с ним уравнение Фредгольма $\varphi+K\varphi=f$. Теорема 2. (a) Однородное уравнение $\varphi+K\varphi=0$ в классе $C(\overline{D})$ имеет конечное число линейно независимых (над полем $\mathbb{R}$) решений $\varphi_1,\dots, \varphi_n\in H(\overline{D})$ и существуют линейно независимые суммируемые функции $h_1,\dots,h_n$ такие, что условия ортогональности являются необходимыми и достаточными для разрешимости неоднородного уравнения $\varphi+K\varphi=f$. (b) При выполнении условий (2.9) любое решение уравнения $\varphi+K\varphi=f$ дается формулой $\varphi=f+Pf$ с оператором где $1\leqslant\alpha<(3-m)/2$, который действует из пространства $C(\overline{D})$ в пространство $H(\overline{D})$.Теорема 3. В условиях теоремы 2 любое решение $u$ уравнения (2.1) с правой частью $f_0=e^{-\Omega}f\in L^p(D)$ представимо в виде с произвольными $\xi_j\in\mathbb{R}$, и функция $\phi(z)\in H(\overline{D})$ аналитическая в области $D$ удовлетворяет условиям Доказательства теорем 2, 3 приведены в работе [14]. 3. Краевая задача для уравнения (2.5)Напомним что область $D$ ограничена простым ляпуновским контуром $\Gamma$, охватывающим точку $z_0=0$, а также попарно непересекающиеся окружности $\gamma_j$ с центром $z_j$ радиуса $r_j$, $1\leqslant j\leqslant n$, лежат в области $D$ и не проходят через точку $z_0$. Полученное интегральное представление (2.7) позволяет для уравнения (2.5) исследовать краевую задачу, объединяющую элементы задач Римана–Гильберта на $\Gamma$ и линейного сопряжения на окружностях $\gamma_j$, $j=1,2,\dots,n$, при следующих требованиях на ее данные:
Задача R. Найти регулярное решение уравнения (2.5) в классе Как следует из условий задачи, одна из окружностей (точнее окружность $\gamma_j=\{z\colon |z-z_j|=r_j\}$), лежащих внутри $\Gamma$, является носителем условий задачи линейного сопряжения $(B)$, а остальные окружности, лежащие внутри $\Gamma$, являются носителями условий сопряжения $(B_0)$. Предварительно напомним хорошо известные результаты относительно классической задачи Римана–Гильберта в монографиях Мусхелишвили [15], Гахова [16]: найти аналитическую в области $D$ функцию $\phi(z)\in H(\overline{D})$, которая на границе $\Gamma=\partial D$ удовлетворяет условию где функция $G=G_1+iG_2\in H(\Gamma)$ всюду отлична от нуля, $H$-класс функций удовлетворяющих условию Гельдера с некоторым показателем [15; с. 18, 145].В дальнейшем, мы воспользуемся компактным изложением Солдатова [17], [18] относительно решения классической задачи Римана–Гильберта и вкратце приведем некоторые факты о разрешимости классической задачи Римана–Гильберта (3.2) в случае единичного круга $\mathbb{D}$ с границей $\mathbb{T}=\partial\mathbb{D}$. C этой целью функцию $\phi$ продолжим в область $ \mathbb{C}\setminus \mathbb{D}=\{|z|>1\}$, полагая что она удовлетворяет условию $\phi=\phi_{*}$, где $\phi_{*}$ определяется с помощью инверсии $\phi_{*}(z)=\overline{\phi(1/\overline{z})}$. Операция $\phi \to \phi_{*}$, являющаяся линейной, над полем $\mathbb{R}$ инволютивна, т.е. $(\phi_{*})_{*}=\phi$. Видно, что $\phi_{*}^{\pm}(t)=\overline{\phi^{\mp}}$, $t \in \mathbb{T}$. Очевидно, задачу (3.2) с коэффициентом $G$ можем представить в форме по отношению к коэффициенту $\widetilde{G}=-\overline{G}/G$ и правой части $\widetilde{g}=2g/G$.Исследование последней задачи с коэффициентом $\widetilde{G}=-\overline{G}/G$ осуществляется с помощью так называемой $\widetilde{G}$-канонической функции. По определению под ней понимается функция $X(z)$, которая аналитична в каждой связной компоненте $\mathbb{D}$, $\mathbb{C}\setminus \mathbb{D}$ и продолжается по непрерывности на ее замыкание $\overline{\mathbb{D}}$, $\overline{\mathbb{C}\setminus \mathbb{D}}$ и всюду отлична от нуля, включая ее граничные значения $X^\pm$, вместе с $X^{-1}(z)$ имеет конечный порядок на бесконечности и удовлетворяет соотношению Определим индекс Коши [15; с. 125]:
$$
\begin{equation*}
\varkappa=\operatorname*{Ind}_{\Gamma}G=\frac{1}{2\pi}\arg G(t)\big|_{\Gamma}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 3. Пусть $\varkappa=\operatorname*{Ind}_{\Gamma}G$, так что функция $\theta(t)=\arg G(t)-\varkappa\arg t\in H(\mathbb{T})$, и пусть Тогда функция является $\widetilde{G}$-канонической и обладает свойством Теорема 4. В условиях леммы 3 все решения задачи (3.2) в классе $H(\overline{\mathbb{D}})$ описываются формулой где функция $g$ удовлетворяет условиям ортогональности а $P_k^{0}$ – класс многочленов степени $k$. Обратимся к общему случаю односвязной области $D$. Пусть простой контур $\Gamma=\partial D$ принадлежит классу $C^{1,\mu}$; тогда по теореме Келлога конформное отображение $w=\omega(z)$ этой области на единичный круг $\mathbb{D}$ принадлежит классу $C^{1,\mu}(\overline{D})$ или, что равносильно, его производная $\omega'\in H(\overline{D})$. Зафиксируем точку $z_0\in D$ по условию $\omega(z_0)=0$. Теорема 5. Пусть $\varkappa=\operatorname*{Ind}_{\Gamma}G$, так что функция $\theta(t)=\arg G(t)-\varkappa\arg t\in H(\Gamma)$, и пусть $X(z)=e^{\Theta(z)-\Theta(0)/2}$, где функция $\Theta\in H(\overline{D})$ определяется как решение задачи Дирихле Доказательство почти очевидно. Переходим к исследованию задачи R. Из (2.7) видно, что аналитическая функция $\phi$ определяется по $u$ однозначно и восстанавливается по формуле: В рассматриваемом случае $p>2$ и $e^{- \Omega}f\in W^{1,p}(D)$ и пространство $ W^{1,p}(D)$ вложено в гельдерово пространство $H$ (причем $C^{\mu_0}(\overline{D})\subseteq H(\overline{D})$ с показателем $\mu_0=1-2/p$).Следовательно, при $\mu<\mu_0$ соответствие между решением $u$ по формуле (2.7) уравнения (2.1) из класса (3.1) и аналитической в $D$ функций $\phi \in H(\overline{D})$ будет взаимно однозначным. Решение задачи R в отношении областей рассмотрим в двух случаях: когда область $D\equiv\mathbb{D}$ – единичный круг (случай (a)) и когда область $D$ – произвольная конечная область, ограниченная гладким замкнутым контуром $\Gamma$ (случай (б)). Сперва рассмотрим задачу R в случае единичного круга, т.е. относительно области $\mathbb{D}=\{z\colon |z|\leqslant 1\}$. Тогда окружности $\gamma_k=\{z\colon |z-z_k|=r_k<1\}$, $k=1,2,\dots,j-1,j+1,\dots,n $, являются носителями граничных данных согласно условиям $(B_0)$. Случай (a). Рассмотрим задачу $(B_0)$. Согласно второму условию задачи $(B_0)$:
$$
\begin{equation*}
(e^{-\Omega})^+(t)=(e^{-\Omega})^-(t), \qquad t\in \gamma_j, \quad j=1,2,\dots,j-1,j+1,\dots,n,
\end{equation*}
\notag
$$
по формуле обращения для функции $\phi$ приходим к эквивалентной задаче:
$$
\begin{equation}
\phi^{+}(t)=\phi^{-}(t), \qquad t\in \gamma_j, \quad j=1,2,\dots,j-1,j+1,\dots,n,
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
где через $\phi^{+}(t)$ и $\phi^{-}(t) $ соответственно обозначены предельные значения функций $\phi^{+}(z)$ и $\phi^{-}(z)$ соответственно из внутренних частей областей $\mathbb{D}_k$, $k=1,\dots,n$, в их внешней части и наоборот. Заметим, что при этом мы воспользовались свойствами функций $f_0=e^{- \Omega}f\in L^{p}$, $p>2$, $(Tf_0)^\pm(t)\in H(\overline{\mathbb{D}})$, $(Tf_0)^+(t)=(Tf_0)^-(t)$, $t\in \gamma_j$, $j=1,2,\dots,j-1,j+1,\dots,n$. Следовательно, части (B) и $(B_0)$ задачи R сводятся к эквивалентной задаче:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} (\phi^{+}-G_j\phi^{-})\big|_{\gamma_j}=g_j^{\ast}, \\ \phi^{+}(t)=\phi^{-}(t), \qquad t\in\gamma_k, \quad k=1,2,\dots,j-1,j+1,\dots n, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
где $g_j^{\ast}=g_j-(T(f_0)^{+}+G_jT(f_0)^{-}$. Решение задачи (3.10) позволяет нам переходить к изучению краевой задачи $(A)$ и перевести ее к краевой задаче Гильберта: с коэффициентом $G_0=G (e^\Omega)\big|_{\Gamma}$ и правой частью
$$
\begin{equation*}
g_0=f- \operatorname{Re}\bigl[G(e^\Omega Tf_0)\big|_{\mathbb{T}}\bigr]
\end{equation*}
\notag
$$
и сформулировать ее решение в виде теоремы 5 в рассмотренном случае (a). Теорема 6. При выполнении условий теоремы 1 задача R фредгольмова в классе и ее индекс Доказательство. По теореме 1 общее решение $u$ уравнения (2.5) в классе (3.12) представимо в виде (2.7), где аналитические функции в $D_j^{\pm}$ функция $\phi$ принадлежит $H(\overline{D_j^{\pm}})$. Кроме того, в силу леммы 1 функция $\Omega\in H(\Gamma)$. Поэтому на основе (3.11) и (3.12) для $\phi$ получим краевую задачу
$$
\begin{equation}
\operatorname{Re}G_0 \phi\big|_{\mathbb{T}}=g_0, \qquad (\phi^{+}-G_j\phi^{-})\big|_{\gamma_j}=g_j^{\ast},
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
с коэффициентом $G_0=G (e^\Omega)\big|_{\mathbb{T}}$ и правыми частями Заметим, что
Согласно хорошо известным свойствам интеграла типа Коши [15] функция
$$
\begin{equation}
X_j(z)=\exp\biggl(\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_j}\frac{\ln G_j(t)(t)\,dt}{t-z}\biggr), \qquad z\in D_j^{+}\cup D_j^{-},
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
принадлежит классу $H(\overline{D}_j^{\pm})$, $j=1,2$, причем $\ln X_j^\pm\in H(\gamma_j)$ и ее граничное значение на окружности $\gamma_j$ удовлетворяет краевому условию $X_j^{+}=G_j X_j^{-}$. Поэтому второе краевое условие в (3.15) можно записать в виде
$$
\begin{equation*}
\frac{\phi^+}{X_j^+}-\frac{\phi^-}{X_j^-}=\frac{g_j^{\ast}}{X_j^+}.
\end{equation*}
\notag
$$
Функция
$$
\begin{equation*}
\psi(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_j}\frac{g_{j}^{\ast}(t)}{X_j^{+}(t)(t-z)}\,dt
\end{equation*}
\notag
$$
принадлежит классу $H(\overline{D_j^\pm})$ и удовлетворяет краевому условию
$$
\begin{equation*}
\psi^{+}(t)-\psi^{-}(t)=\frac{g_{j}^{\ast}(t)}{X_j^{+}(t)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, разность аналитична в области $D$ и принадлежит классу $H(\overline{D})$. Подстановка формул (3.17) и (3.18), а также функцию $\psi(z)$ в первое условие задачи (3.15) приводит к эквивалентной задаче Римана–Гильберта: где положено $\alpha_{0}=G X_j\big|_\mathbb{T}$ и $g_0=g-\operatorname{Re}[G e^{\Omega} X_j Tf_0\psi+G X_j\psi]\big|_\mathbb{T}$. Случай (б). Резюмируя результаты исследований, сформулированных для единичного круга в теоремах 5 и 6, обратимся к общему случаю односвязной области $D$. При этом мы сохраняем обозначения формул в выше приведенных теоремах. Пусть простой контур $\Gamma\in C^{1,\mu}$, тогда по теореме Келлога конформное отображение $w=\omega(z)$ этой области на единичный круг $\mathbb{D}$ принадлежит классу $C^{1,\mu}(\overline{D})$. Зафиксируем точку $z_0\in D$ по условию $\omega(z_0)=0$. Следовательно, имеет место Теорема 7. При выполнении условий теоремы 1 задача R фредгольмова в классе и ее индекс 4. Краевая задача для уравнения (2.1)Теперь рассмотрим аналог выше рассмотренной задачи R для общего уравнения (2.1). Задача R$_1$. Найти регулярное решение $u$ уравнения (2.1) в классе Эту задачу рассматриваем при следующих требованиях на ее данные: 1) $e^{-\Omega}f\in L^p(D);$ 2) коэффициент $G(t)\in H(\Gamma)$ всюду отличен от нуля; 3) правая часть краевого условия $g(t)\in H(\Gamma)$. Для решения этой задачи используем теорему 3 об интегральном представлении решений уравнения (2.1). Теорема 8. Пусть выполнены условия теоремы 3 и $f_0=e^{-\Omega}f\in L^p(D)$, $p>2$. Тогда задача R$_1$ является фредгольмовой в классе $\{u, e^{-\Omega}u\in H(\overline{D})\}$ и ее индекс равен $1-2\kappa$. Другими словами, однородная задача имеет конечное число $m$ линейно независимых решений, неоднородная задача разрешима при выполнении некоторого числа $m'$ условий ортогональности на правую часть $f$ уравнения (2.1) и правой части $g$ задачи R$_1$, причем разность $m-m'=1-2\kappa$. Доказательство. Подставляя представление (2.11) в задачу R$_1$, в обозначении $f^{0}=Tf_{0}$ для аналитической функции $\phi$ вместе с дополнительными условиями
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re}\int_D (\phi+f^{0})(\zeta)h_j(\zeta)\,d_2\zeta=0, \qquad 1\leqslant j\leqslant n.
\end{equation*}
\notag
$$
получим краевую задачу с коэффициентом $G_0=G e^\Omega\big|_{\Gamma}$ и правыми частями Неизвестными в этой задаче вместе с $\phi$ являются и вещественные числа $\xi_j$, $j=1,\dots,n$.
Из теоремы 3 следует, что для достаточно малого $\varepsilon>0$ оператор $P$ ограничен $C(\overline{D})\to C^\varepsilon(\overline{D})$, функция $f^{0}\in H(\overline{D})$, а функция $\phi(z)\in H(\overline{D})$ аналитична в области $D$. Отсюда следует, что второе условие задачи (4.1) эквивалентно $\phi^{+}(t)=\phi^{-}(t)$, $t\in l$. Это позволяет нам записать соотношения (4.1) в следующем операторном виде:
$$
\begin{equation}
R^0\phi+P^0\phi+\sum_1^n\xi_j\varphi_j^0=g^0, \qquad \operatorname{Re}\int_D\phi(\zeta) h_j(\zeta)\,d_2\zeta=\eta_j, \quad 1\leqslant j\leqslant n,
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
где положено
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, R^0\phi=\operatorname{Re}G_0\phi\big|_{\Gamma}, \qquad P^0\phi=\operatorname{Re}G_0(P\phi)\big|_{\Gamma}, \\ \varphi_j^0=\operatorname{Re}G_0 \varphi_j|_{\Gamma}, \qquad g^0=g_0, \qquad \eta_j=-\operatorname{Re}\int_D f^{0}(\zeta) h_j(\zeta)\,d_2\zeta. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим за $X$ банахово пространство функций $\phi$, которые аналитичны в $D$ и принадлежат $H(\overline{D})$. Пусть $Y^0=H(\Gamma)$ означает пространство вещественных функций. Тогда, при достаточно малом показателе Гёльдера $\mu$ оператор $R^0\colon X\to Y^0$ ограничен, а с учетом теоремы 3 оператор $P^0\colon X\to Y^0$ компактен . Как видно из теоремы 3, оператор $R^0\colon X\to Y^0$ фредгольмов и его индекс равен $1-2\varkappa$, поэтому на основании известных свойств [18], [19; с. 122] фредгольмовых операторов это же верно и для оператора $N=(R^0+P^0)$. С другой стороны, оператор системы (4.2) можно рассматривать как ограниченный оператор $\widetilde{N}\colon X\times \mathbb{R}^n\to Y^0\times \mathbb{R}^n$, главная часть которого совпадает с $N$. Поэтому [18], [19; с. 122] оператор $\widetilde{N}$ также фредгольмов и его индекс $\operatorname{ind}\widetilde{N}=\operatorname{ind}N=1-2\varkappa$. Остается заметить [15], что система (4.2) эквивалентна исходной задаче R$_1$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{RasFed24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|