| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Исключительные множества целых функций вполне регулярного роста А. С. Кривошеевa, О. А. Кривошееваb a Институт математики с вычислительным центром, Уфимский федеральный исследовательский центр Российской академии наук, г. Уфа b Уфимский университет науки и технологий
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624090244 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеПусть $\rho(r)>0$ – уточненный порядок [1; гл. I] и $f$ – целая функция конечного типа при порядке $\rho(r)$, т.е. $\ln|f(z)|\leqslant A+B|z|^{\rho(|z|)}$, $z\in\mathbb{C}$. Верхним индикатором $f$ называется функция
$$
\begin{equation*}
h_f (\varphi)=\varlimsup_{r\to+\infty} \frac{\ln|f(re^{i\varphi})|}{r^{\rho(r)}}, \qquad \varphi\in [0,2\pi].
\end{equation*}
\notag
$$
Классический результат Левина [1; гл. II, теорема 2 и гл. III, теорема 4] устанавливает тесную связь между поведением целых функций регулярного роста $f$ и их нулевыми множествами. В нем утверждается, что $f$ имеет регулярный рост тогда и только тогда, когда ее кратное нулевое множество $\Lambda_f=\{\lambda_k,n_k\}_{k=1}^{\infty}$ является правильно распределенным. При этом получены оценки снизу на функцию $|f|$ вне исключительного $C_0$-множества [1; гл. II, § 1]:
$$
\begin{equation}
\ln|f(re^{i\varphi})|=r^{\rho(r)} h_f (\varphi)+\alpha(r), \qquad re^{i\varphi}\in \mathbb{C}\setminus B_f, \quad \frac{\alpha(r)}{r^{\rho(r)}}\to 0, \quad r\to\infty,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $B_f$ – $C_0$-множество, т.е. может быть покрыто кругами $B(z_j,r_j)$ такими, что
$$
\begin{equation*}
\varlimsup_{r\to \infty}\frac{1}{r}\sum_{|z_j|\leqslant r} r_j =0.
\end{equation*}
\notag
$$
По мнению Левина [1; гл. II, §§ 1, 6] это исключительное множество “не строится эффективно” (не указывается, как его построить). Доказывается лишь, что оно существует. В одном частном случае в [1] было построено простое исключительное множество. С этой целью в [1] вводится понятие регулярного множества $\Lambda=\{\lambda_k,n_k\}$. Это простое (т.е. $n_k\equiv 1$) правильно распределенное множество, для которого круги специальных радиусов с центрами в точках $\lambda_k$ попарно не пересекаются. В случае, когда $\Lambda_f$ – регулярное множество, верно (1.1), где $B_f$ является объединением указанных кругов. Однако полученное таким образом исключительное множество уже не является $C_0$-множеством (но его линейная плотность может быть сделана сколь угодно малой). Регулярность множества означает, что его точки специальным образом отделены друг от друга. Поэтому функция $f$ с регулярным нулевым множеством $\Lambda=\{\lambda_k,1\}_{k=1}^\infty$ обладает хорошими оценками снизу вне исключительного множества $B_f$ попарно не пересекающихся кругов $B(\lambda_k,\gamma_k)$, радиусы которых относительно малы, т.е. бесконечно малы по сравнению с центрами при $k\to\infty$ [1; гл. II, § 1, теорема 5]. В [2] используется другой инструмент, характеризующий отделенность точек $\lambda_k$ друг от друга – индекс конденсации $S_\Lambda$ последовательности $\Lambda$, введенный в [3]. Этот индекс подходит для любых последовательностей, в том числе и кратных. В [2] и [4] вводится понятие правильно сбалансированного множества $\Lambda=\{\lambda_k,n_k\}$. Это правильно распределенное множество с нулевым индексом конденсации $S_\Lambda$. Доказывается, что регулярное множество – это частный случай правильно сбалансированного множества [4; теорема 4.2, [4], теорема 3.2], теорема 3.2]2. Отметим, что правильно сбалансированное множество (для простых точек) не обязано быть регулярным. Соответствующий пример имеется в [2]. Доказывается [2; теорема 4.5], [4; теорема 3.6], что правильная сбалансированность множества $\Lambda_f$ является необходимым и достаточным условием равенства (1.1), где исключительное множество $B_f$ состоит из попарно непересекающихся кругов относительно малых радиусов. В случае, когда $\Lambda_f$ – простое множество, исключительное множество $B_f$ попарно не пересекающихся кругов $B(\lambda_k,\gamma_k)$ можно выбрать так, что сумма радиусов $\sum \gamma_k$ будет сколь угодно малой. Отметим, что исключительное множество из теоремы 5 в [1; гл. II, § 1] существенно больше. Оно не является даже $C_0$-множеством, а имеет лишь конечную верхнюю линейную плотность. Таким образом, понятие правильно сбалансированного множества является естественным обобщением понятия регулярного множества на случай любых последовательностей (в том числе и кратных). Цель данной работы – конструктивное построение простого исключительного множества $B_f$, которое фигурирует в равенстве (1.1), в форме удобной для его применения. Отметим, что в частном случае, когда $\rho(r)\equiv 1$, эта задача решена в [5]. В п. 2 настоящей работы строятся специальные покрытия кратных множеств $\{\lambda_k,n_k\}$, состоящие из кругов с центрами в точках $\lambda_k$ специальных радиусов. В частности, строятся покрытия, связные компоненты которых имеют относительно малый диаметр, а также покрытия, которые являются $C_0$-множествами. Пункт 3 носит вспомогательный характер. В нем устанавливаются оценки снизу на модули специальных многочленов. Основной результат работы приведен в последнем пункте. Здесь получена оценка (1.1) для функции вполне регулярного роста вне исключительных множеств $B_f$, построенных в предыдущем пункте. 2. Специальное покрытиеПусть $\Lambda=\{\lambda_k,n_k\}_{k=1}^{\infty}$ – последовательность различных комплексных чисел и их кратностей $n_k$. Считаем, что $|\lambda_k|$ не убывает и $|\lambda_k|\to\infty$, $k\to\infty$. Символом $n(z,r,\Lambda)$ обозначим число точек $\lambda_k$ с учетом их кратностей $n_k$ в круге $B(z,r)$ с центром в точке $z\in\mathbb{C}$ и радиуса $r>0$. Положим $n(r,\Lambda)=n(0,r,\Lambda)$. Пусть $\rho(r)>0$ – уточненный порядок [1; гл. I, § 12]. Напомним основные свойства $\rho(r)$. Функция $\rho(r)$, $r>0$, удовлетворяющая условиям
$$
\begin{equation*}
\lim_{r\to\infty} \rho(r)=\rho>0, \qquad \lim_{r\to\infty} r\rho'(r) \ln r=0,
\end{equation*}
\notag
$$
называется уточненным порядком. Имеем
$$
\begin{equation*}
(r^{\rho(r)})'=r^{\rho(r)} \biggl(\rho'(r) \ln r+\frac{\rho(r)}{r}\biggr)=r^{\rho(r)-1} \bigl(r\rho'(r) \ln r+\rho(r)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, функция $r^{\rho(r)}$ возрастает для больших значений $r$. Положим $L(r)=r^{\rho(r)-\rho}$. Функция $L(r)$ удовлетворяет следующему условию [1; гл. I, § 12, лемма 5]: равномерно на любом отрезке $0<a\leqslant c\leqslant b<\infty$. Отсюда следует, что для каждого $\varepsilon >0$ и всех $c\in [a,b]$ выполнены неравенства
$$
\begin{equation}
(1-\varepsilon) c^\rho r^{\rho(r)}\leqslant (cr)^{\rho(cr)}\leqslant (1+\varepsilon) c^\rho r^{\rho(r)}, \qquad r\geqslant R(\varepsilon).
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Поэтому найдется $r_0\geqslant 1$ такое, что
$$
\begin{equation}
(2r)^{\rho(2r)}\leqslant 2^{\rho+1} r^{\rho(r)}, \qquad r\geqslant r_0.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Поскольку $r^{\rho(r)}$ возрастает для больших значений $r$, то можно считать, что
$$
\begin{equation}
r^{\rho(r)}\geqslant t^{\rho(t)}, \qquad r\geqslant t\geqslant r_0.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Пусть $\Lambda=\{\lambda_k,n_k\}$ и $h>0$. Положим $h_1=h$, если $\lambda_1=0$, и
$$
\begin{equation*}
h_k=|\lambda_k|^{1-\rho(|\lambda_k|)}, \qquad k\geqslant 1, \quad \lambda_k\neq 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $k\geqslant 1$ и $\beta_k (h,\Lambda)$ – максимальное число среди всех $p\in\mathbb{N}$, для которых
$$
\begin{equation*}
n(\lambda_k,h_k p,\Lambda)=p, \qquad p\leqslant \theta_k (h)=\max \biggl\{\frac{|\lambda_k|}{h_k},1\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если такого числа не существует (т.е. равенство не выполняется ни для каких указанных $p$), то полагаем $\beta_k(h,\Lambda)=[\theta_k(h)]$ – целая часть числа $\theta_k(h)$. Положим
$$
\begin{equation*}
\beta_k(h)=\beta_k(h,\Lambda) h_k, \qquad k\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 1. Пусть $\rho(r)$ – уточненный порядок, $\Lambda=\{\lambda_k,n_k\}$ и $h>0$. Тогда Доказательство. Равенство (2.4) следует из определения числа $\beta_k (h,\Lambda)$. Пусть $p$ – максимальное число среди всех $m\in\mathbb{N}$, для которых верны неравенства
$$
\begin{equation*}
m\leqslant [\theta_k(h)], \qquad n(\lambda_k,mh_k,\Lambda)\geqslant m.
\end{equation*}
\notag
$$
Такое число существует, так как $n(\lambda_k,h_k,\Lambda)\geqslant n_k\geqslant 1$. Пусть $p=[\theta_k(h)]$. Тогда
$$
\begin{equation*}
n(\lambda_k,mh_k,\Lambda)\geqslant m, \qquad 1\leqslant m\leqslant [\theta_k(h)].
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, верно (2.5). Пусть теперь $p<[\theta_k(h)]$. Тогда в силу выбора $p$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, n(\lambda_k,mh_k,\Lambda)<m, \qquad p<m\leqslant [\theta_k(h)]. \\ \notag p\leqslant n(\lambda_k,h_k p,\Lambda)\leqslant n\bigl(\lambda_k,h_k(p+1),\Lambda\bigr)<p+1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Отсюда следует, что $n(\lambda_k,h_k p,\Lambda)=p$. Тогда с учетом определения $\beta_k (h,\Lambda)$ и (2.7) получаем $\beta_k (h,\Lambda)=p$. В силу определения $p$ неравенство (2.5) верно и в этом случае. Кроме того, соотношения (2.7) дают нам (2.6). Лемма доказана. Положим
$$
\begin{equation*}
\Omega(h,\Lambda)=\bigcup_{k=1}^\infty B(\lambda_k,\beta_k(h)) .
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 2. Пусть $\rho(r)$ – уточненный порядок, $\Lambda=\{\lambda_k,n_k\}$ и $h>0$. Тогда где $h(z)=h|z|^{1-\rho(|z|)}$. Доказательство. Пусть $z\in\mathbb{C}\setminus \Omega(2^{\rho+2}h,\Lambda)$, $|z|\geqslant 2r_0$ и верны неравенства $ph(z)\leqslant |z|/2^{\rho+2}$ и $n(z,ph(z),\Lambda)\geqslant p$. Выберем произвольную точку $\lambda_k\in B(z,ph(z))$. Тогда $2|\lambda_k|>|z|\geqslant 2r_0$ и $|\lambda_k|\leqslant 2|z|$. Если $|\lambda_k|\leqslant |z|$, то согласно (2.3) имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{2|\lambda_k|}{|\lambda_k|^{\rho(|\lambda_k|)}} \geqslant \frac{|z|}{|\lambda_k|^{\rho(|\lambda_k|)}}\geqslant \frac{|z|}{|z|^{\rho(|z|)}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $|\lambda_k|\geqslant |z|$, то и с учетом (2.2) и (2.3) получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{2^{\rho+1}|\lambda_k|}{|\lambda_k|^{\rho(|\lambda_k|)}}\geqslant \frac{2^{\rho+1}|z|}{|\lambda_k|^{\rho(|\lambda_k|)}}= \frac{2^{\rho+1}|z|\,|z|^{\rho(|z|)}}{|\lambda_k|^{\rho(|\lambda_k|)}|z|^{\rho(|z|)}}\geqslant \frac{|z|\,|2z|^{\rho(|2z|)}}{|\lambda_k|^{\rho(|\lambda_k|)}|z|^{\rho(|z|)}}\geqslant \frac{|z|}{|z|^{\rho(|z|)}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation}
\frac{|z|}{|z|^{\rho(|z|)}}\leqslant \frac{2^{\rho+1} |\lambda_k|}{|\lambda_k|^{\rho(|\lambda_k|)}}.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Поэтому верно вложение Следовательно, согласно предположению имеем Аналогично (2.9) получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{|\lambda_k|}{|\lambda_k|^{\rho(|\lambda_k|)}}\leqslant \frac{2^{\rho+2} |z|}{|z|^{\rho(|z|)}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда с учетом выбора $p$ имеем
$$
\begin{equation*}
2^{\rho+2} h_k p\leqslant \frac{2^{2\rho+3}|z|}{|z|^{\rho(|z|)}}hp=2^{2\rho+3} ph(z)\leqslant \frac{|z|}{2}<|\lambda_k|.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\beta_k (2^{\rho+2} h,\Lambda)=[\theta_k (2^{\rho+2} h)]$, то из последнего неравенства следует, что $p\leqslant\beta_k (2^{\rho+2} h,\Lambda)$. Если же $\beta_k (2^{\rho+2} h,\Lambda)<[\theta_k (2^{\rho+2} h)]$, то неравенство $p\leqslant\beta_k (2^{\rho+2} h,\Lambda)$ следует из (2.6) и (2.11). Таким образом, в силу (2.10) имеем
$$
\begin{equation*}
z\in B(\lambda_k,2^{\rho+2} ph_k)\subset B\bigl(\lambda_k,\beta_k (2^{\rho+2}h,\Lambda)2^{\rho+2}h_k\bigr)\subset\Omega(2^{\rho+2}h,\Lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Получили противоречие с выбором $z$. Поэтому (2.8) верно. Лемма доказана. Пусть $\Omega_s (h,\Lambda)$, $s\geqslant 1$, – все связные компоненты множества $\Omega(h,\Lambda)$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mu_{1,s}(h)=\inf_{z\in\Omega_s(h,\Lambda)}|z|, \quad \mu_{2,s} (h)=\sup_{z\in\Omega_s (h,\Lambda)}|z|, \qquad s\geqslant 1. \\ d_s (h)=\sup_{z,w\in\Omega_s (h,\Lambda)}|z-w|, \qquad s\geqslant 1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Символом $N_s (h)$ обозначим число точек $\lambda_k$, попавших в $\Omega_s (h,\Lambda)$, с учетом их кратности $n_k$. Можно считать, что
$$
\begin{equation}
\mu_{2,1} (h)\leqslant \cdots\leqslant\mu_{2,s}(h)\leqslant\cdots.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Верхней плотностью последовательности $\Lambda$ (при порядке $\rho(r)$) называется величина
$$
\begin{equation*}
\overline{n} (\Lambda)=\varlimsup_{r\to\infty} \frac{n(r,\Lambda)}{r^{\rho(r)}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\overline{n} (\Lambda)=\tau<+\infty$ и номер $k_0$ удовлетворяет условиям $|\lambda_{k_0}|\geqslant r_0$ и
$$
\begin{equation}
\frac{n(r,\Lambda)}{r^{\rho(r)}}<\tau+1, \qquad r\geqslant |\lambda_{k_0}|.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Лемма 3. Пусть $\rho(r)$ – уточненный порядок, $\Lambda=\{\lambda_k,n_k\}$, $\overline{n} (\Lambda)=\tau$ и $h\in(0,\upsilon 2^{-\rho-1} (\tau+1)^{-1})$, $\upsilon\in (0,1)$. Тогда Доказательство. Пусть $h\in (0,\upsilon 2^{-2\rho-21} (\tau+1)^{-1})$ и $k\geqslant k_0$. Тогда с учетом (2.13), (2.2) и (2.5) получаем
$$
\begin{equation*}
\tau+1>\frac{n(2|\lambda_k|,\Lambda)}{(2|\lambda_k|)^{\rho 2|\lambda_k|)}}\geqslant \frac{n(\lambda_k,\beta_k(h),\Lambda)}{(2|\lambda_k|)^{\rho(2|\lambda_k|)}} \geqslant \frac{\beta_k (h,\Lambda)}{2^{\rho+1} |\lambda_k|^{\rho(|\lambda_k |)}}, \qquad k\geqslant k_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\beta_k (h)\leqslant h(\tau+1) 2^{\rho+1} |\lambda_k|<\upsilon\frac{(\tau+1) 2^{\rho+1}|\lambda_k|}{(\tau+1) 2^{\rho+1}}<\upsilon|\lambda_k|, \qquad k\geqslant k_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Получили (2.14). Фиксируем $s\geqslant 1$ и положим $\mu_s=\max \{\mu_{1,s}(h),2|\lambda_{k_0}|\}$. Так как $\upsilon\in (0,1)$, то из (2.14) следует, что имеется лишь конечное число кругов $B(\lambda_k,\beta_k (h))$, которые пересекают круг $B(0,(7\mu_s)/4)$. Выберем номер $k(s,p)$ такой, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \beta_{k(s,p)}(h)=\max\biggl\{\beta_k(h)\colon \lambda_k\in \Omega_{s,p},B(\lambda_k,\beta_k(h))\cap B\biggl(0,\frac{7\mu_s}4\biggr)\neq\varnothing\biggr\}. \\ \notag \Omega_{s,1}=\Omega_s (h,\Lambda), \qquad \Omega_{s,p}=\Omega_s (h,\Lambda)\setminus \bigcup_{m=1}^{p-1} B\bigl(\lambda_{k(s,m)},2\beta_{k(s,m)}(h)\bigr), \qquad p>1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Возможно, таких номеров будет несколько. Тогда произвольным образом выберем один из них. Таким образом, мы определили номера $k(s,p),p=1,\dots,p_s$, $s\geqslant 1$. По построению каждая точка $\lambda_k\in \Omega_s (h,\Lambda)$ такая, что $B(\lambda_k,\beta_k (h))\cap B(0,(7\mu_s)/4)\neq\varnothing$, принадлежит объединению кругов $B(\lambda_{k(s,p)},2\beta_{k(s,p)}(h))$, $p=1,\dots,p_s$. Пусть $\lambda_k$ – одна из таких точек и
$$
\begin{equation*}
\lambda_k\in B\bigl(\lambda_{k(s,l+1)},2\beta_{k(s,l+1)}(h)\bigr)\setminus \bigcup_{p=1}^l B\bigl(\lambda_{k(s,p)},2\beta_{k(s,p)}(h)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда в силу (2.18) имеет место вложение $B(\lambda_k,\beta_k(h))\subset B(\lambda_{k(s,l+1)},3\beta_{k(s,l+1)}(h))$. Отсюда следует, что
Отметим, что по построению
$$
\begin{equation*}
\lambda_{k(s,l+1)}\notin\bigcup_{p=1}^l B\bigl(\lambda_{k(s,p)},2\beta_{k(s,p)}(h,\Lambda)h\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, в силу (2.18) верны неравенства
$$
\begin{equation*}
\beta_{k(s,1)}(h)\geqslant \beta_{k(s,2)}(h)\geqslant \cdots\geqslant \beta_{k(s,p_s)}(h).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому круг $B(\lambda_{k(s,l+1)},\beta_{k(s,l+1)}(h))$ не имеет общих точек с кругами $B(\lambda_{k(s,p)},\beta_{k(s,p)}(h))$ для всех $p=1,\dots,l$. Учитывая, что $\Omega_s (h,\Lambda)$, $s\geqslant 1$, попарно не пересекаются, получаем (2.15).
Если $\mu_{2,s}(h)\leqslant 7\mu_s/4$, то $\Omega_s (h,\Lambda)\cap B(0,7\mu_s/4)=\Omega_s (h,\Lambda)$. Тогда из (2.19) получаем (2.16). Пусть $\upsilon\in (0,1/16)$. Если $|\lambda_{k(s,p)}|\leqslant |\lambda_{k_0}|$, то из определений чисел $\beta_{k(s,p)} (h,\Lambda)$ и $\mu_s$ следует, что
$$
\begin{equation}
B\bigl(\lambda_{k(s,p)},\beta_{k(s,p)}(h)\bigr)\subseteq B(0,\mu_s).
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Пусть $|\lambda_{k(s,p)}|>|\lambda_{k_0}|$. Тогда $k>k_0$. Так как $B(\lambda_{k(s,p)},\beta_{k(s,p)}(h))\cap B(0,7\mu_s/4)\neq\varnothing$, то в силу (2.16) имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{15}{16} |\lambda_{k(s,p)}|\leqslant \frac{7}{4}\mu_s.
\end{equation*}
\notag
$$
Вместе с (2.20) это означает, что $B(\lambda_{k(s,p)},\beta_{k(s,p)}(h))\subset B(0,2\mu_s)$ (в частности, имеем $|\lambda_{k(s,p)}|\leqslant 2\mu_s)$. Отсюда и из (2.15), (2.5) имеем
$$
\begin{equation}
n(2\mu_s,\Lambda)\geqslant \sum_{p=1}^{p_s} n\bigl(\lambda_{k(s,p)},\beta_{k(s,p)}(h),\Lambda\bigr)\geqslant \sum_{p=1}^{p_s} \beta_{k(s,p)}(h,\Lambda).
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
Предположим, что $\mu_{2,s}(h)>7\mu_s/4$. Тогда в силу (2.19) объединение круговых проекций кругов $B(\lambda_{k(s,p)},3\beta_{k(s,p)}(h))$, $p=1,\dots,p_s$, на положительную вещественную полуось содержит полуинтервал $(\mu_s,7\mu_s/4]$. Так как $\beta_{k(s,p)} (h)\leqslant |\lambda_{k(s,p)} |$, то при условии $|\lambda_{k(s,p)}|\leqslant |\lambda_{k_0}|$ круговая проекция круга $B(\lambda_{k(s,p)},3\beta_{k(s,p)}(h))$ на положительную вещественную полуось не пересекает полуинтервал $(\mu_s,7\mu_s/4]$. Пусть $|\lambda_{k(s,p)}|>|\lambda_{k_0}|$ и круговая проекция круга $B(\lambda_{k(s,p)},3\beta_{k(s,p)}(h))$ на положительную вещественную полуось пересекает полуинтервал $(\mu_s,7\mu_s/4]$. Тогда в силу (2.14) Таким образом, верно неравенство
$$
\begin{equation*}
\sum_{|\lambda_{k(s,p)}|>\mu_s/2} 6\beta_{k(s,p)}(h)>\frac{3\mu_s}{4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с учетом (2.3), (2.2), оценки $|\lambda_{k(s,p)}|\leqslant 2\mu_s$ и определения $\mu_s$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{3\mu_s}{4} &\leqslant 6\sum_{|\lambda_{k(s,p)}|>\mu_s/2} \beta_{k(s,p)}(h,\Lambda) h_{k(s,p)}= 6\sum_{|\lambda_{k(s,p)}|>\mu_s/2} \frac{\beta_{k(s,p)} (h,\Lambda)h|\lambda_{k(s,p)}|}{|\lambda_{k(s,p)}|^{\rho(|\lambda_{k(s,p)}|)}} \\ & \leqslant 12\sum_{|\lambda_{k(s,p)}|>\mu_s/2}\frac{\beta_{k(s,p)}(h,\Lambda)h\mu_s}{(\mu_s/2)^{\rho(\mu_s/2)}} \leqslant 2^{\rho+1} 12\sum_{|\lambda_{k(s,p)}|>\mu_s/2} \frac{\beta_{k(s,p)}(h,\Lambda)h\mu_s}{(\mu_s )^{\rho(\mu_s)}} . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
(\mu_s)^{\rho(\mu_s)}\leqslant 2^{\rho+1} 16h\sum_{|\lambda_{k(s,p)}|>\mu_s/2} \beta_{k(s,p)}(h,\Lambda)\leqslant 2^{\rho+1} 16h\sum_{p=1}^{p_s} \beta_{k(s,p)}(h,\Lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (2.13), (2.2) и (2.21) получаем
$$
\begin{equation*}
\tau+1>\frac{n(2\mu_s,\Lambda)}{(2\mu_s)^{\rho(2\mu_s)}}\geqslant \frac{n(2\mu_s,\Lambda)}{2^{\rho+1}(\mu_s)^{\rho(\mu_s)}}\geqslant \frac{1}{2^{2\rho+2}16h}>\tau+1.
\end{equation*}
\notag
$$
Получили противоречие. Таким образом, $\mu_{2,s}(h)\leqslant 7\mu_s/4$. Поэтому (2.16) верно.
Докажем (2.17). Выберем $R_0>|\lambda_{k_0}|$ и положим $r_m=2^m R_0$, $m\geqslant 1$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\varlimsup_{r\to\infty} \frac{1}{r}\sum_{|\lambda_{k(s,p)}|<r} \beta_{k(s,p)}(h)= \varlimsup_{r\to\infty} \frac{1}{r} \sum_{R_0<|\lambda_{k(s,p)}|<r} \beta_{k(s,p)}(h).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $r>R_0$. Выберем номер $m\geqslant 1$ такой, что $r_m<r\leqslant r_{m+1}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \frac{1}{r}\sum_{R_0<|\lambda_{k(s,p)}|<r} \beta_{k(s,p)}(h)\leqslant \frac{1}{r_m}\sum_{p=1}^{m+1} \sum_{r_{p-1}<|\lambda_{k(s,p)}|\leqslant r_p} \beta_{k(s,p)}(h) \\ &\qquad =\sum_{p=1}^{m+1} \frac{1}{2^{m-p+1} r_{p-1}} \sum_{r_{p-1}<|\lambda_{k(s,p)}|\leqslant r_p} \beta_{k(s,p)} (h,\Lambda) h_{k(s,p)} \\ &\qquad =\sum_{p=1}^{m+1} \frac{h}{2^{m-p+1} r_{p-1}} \sum_{r_{p-1}<|\lambda_{k(s,p)}|\leqslant r_p} \frac{\beta_{k(s,p)} (h,\Lambda)|\lambda_{k(s,p)}|}{|\lambda_{k(s,p)}|^{\rho(|\lambda_{k(s,p)}|)} } \\ &\qquad \leqslant \sum_{p=1}^{m+1} \frac{h}{2^{m-p}} \sum_{r_{p-1}<|\lambda_{k(s,p)}|\leqslant r_p} \frac{\beta_{k(s,p)} (h,\Lambda)}{|\lambda_{k(s,p)}|^{\rho(|\lambda_{k(s,p)}|)}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если число $R_0$ достаточно большое, то в силу (2.4) и (2.14) величина $\beta_{k(s,p)} (h,\Lambda)$ совпадает с числом точек $\lambda_k$ (с учетом их кратностей $n_k$) в круге $B(\lambda_{k(s,p)},\beta_{k(s,p)} (h))$. При этом $\beta_{k(s,p)} (h)\leqslant \upsilon|\lambda_{k(s,p)}|$. Так как круги $B(\lambda_{k(s,p)},\beta_{k(s,p)}(h))$ попарно не пересекаются, то
$$
\begin{equation*}
\sum_{r_{p-1}<|\lambda_{k(s,p)}|\leqslant r_p} \beta_{k(s,p)}(h,\Lambda)\leqslant n(2r_p,\Lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, из предыдущего с учетом (2.13) и (2.2), (2.3) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{1}{r}\sum_{r_0<|\lambda_{k(s,p)}|<r} \beta_{k(s,p)}(h) &\leqslant \sum_{p=1}^{m+1} \frac{h}{2^{m-p}}\frac{n(2r_p,\Lambda)}{(r_{p-1})^{\rho(r_{p-1})}}\leqslant (\tau+1) \sum_{p=1}^{m+1} \frac{h}{2^{m-p}} \frac{(2r_p )^{\rho(2r_p )}}{(r_{p-1})^{\rho(r_{p-1})}} \\ &\leqslant 2^{2\rho+2} (\tau+1) \sum_{p=1}^{m+1} \frac{h}{2^{m-p}}\leqslant 2^{2\rho+4} (\tau+1)h. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это дает нам (2.17). Лемма доказана. Замечание 1. В силу (2.16) верно вложение Замечание 2. Неравенство (2.17) означает, что $\Omega(h,\Lambda)$ является $C_\mu$-множеством, где $\mu=2^{2\rho+4} (\tau+1)h$. Пусть $\Lambda=\{\lambda_k,n_k\}$, $\rho(r)$ – уточненный порядок. Положим
$$
\begin{equation*}
\overline{n}_0 (\Lambda,\delta,\rho(r))=\varlimsup_{r\to\infty} \frac{n(r,\Lambda)-n(\delta r,\Lambda)} {(1-\delta^\rho ) r^{\rho(r)}}, \qquad \overline{n}_0 (\Lambda,\rho(r))=\varlimsup_{\delta\to 1} \overline{n}_0 (\Lambda,\delta,\rho(r)).
\end{equation*}
\notag
$$
Величина $\overline{n}_0(\Lambda)=\overline{n}_0(\Lambda,\rho(r))$ называется максимальной плотностью последовательности $\Lambda$. В силу [6; формулы 2.6, 2.7] и [7; лемма 2.1] имеем
$$
\begin{equation}
\overline{n}(\Lambda)\leqslant \overline{n}_0(\Lambda).
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
Отметим, что величину $\overline{n}_0(\Lambda)$ можно вычислить по формуле
$$
\begin{equation}
\rho\overline{n}_0(\Lambda)=\varlimsup_{\delta\to 1}\varlimsup_{r\to \infty} \frac{n(r,\Lambda)-n(\delta r,\Lambda)}{(1-\delta) r^{\rho(r)}},
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
так как
$$
\begin{equation*}
\lim_{\delta\to 1}\frac{1-\delta}{1-\delta^\rho}=\frac{1}{\rho}.
\end{equation*}
\notag
$$
Говорят, что $\Lambda$ имеет плотность $n(\Lambda)=n(\Lambda,\rho(r))$, если существует предел
$$
\begin{equation*}
\lim_{r\to\infty}\frac{n(r,\Lambda)}{r^{\rho(r)}}=n(\Lambda,\rho(r))<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\Lambda$ имеет плотность, то в силу [6; формулы 2.6, 2.7] и [7; лемма 2.1] имеем
$$
\begin{equation}
n(\Lambda)=\overline{n}(\Lambda)=\overline{n}_0 (\Lambda).
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
Лемма 4. Пусть $\rho(r)$ – уточненный порядок, $\Lambda=\{\lambda_k,n_k\}$, $\overline{n}_0(\Lambda)=\tau$, $h\in (0,\upsilon 2^{-\rho-1} (\tau+1)^{-1}(\rho+1)^{-1})$, $\upsilon\in (0,1/16)$. Тогда Доказательство. В силу (2.24) найдем $\delta_0\in (0,1)$ такое, что
$$
\begin{equation}
\varlimsup_{r\to\infty} \frac{n(r,\Lambda)-n(\delta r,\Lambda)}{\rho(1-\delta) r^{\rho(r)}}\leqslant \tau+1, \qquad \delta\in(\delta_0,1).
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
Покажем вначале, что
$$
\begin{equation}
\frac{\beta_k (h)}{|\lambda_k|}\to 0, \qquad k\to\infty.
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
Предположим, что это неверно. Тогда существуют $\alpha>0$ и $k(p)$, $p\geqslant 1$, такие, что
$$
\begin{equation}
\lim_{p\to\infty}\frac{\beta_{k(p)}(h)}{|\lambda_{k(p)}|}=\alpha.
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
С учетом (2.5) найдем номер $p_0$ такой, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \frac{\alpha}{2}|\lambda_{k(p)}| &\leqslant \beta_{k(p)}(h)\leqslant n\bigl(\lambda_{k(p)},\beta_{k(p)}(h),\Lambda\bigr) h_{k(p)} \\ & \leqslant \bigl(n(|\lambda_{k(p)}|+\beta_{k(p)}(h),\Lambda)-n(|\lambda_{k(p)}|-\beta_{k(p)}(h),\Lambda)\bigr) h_{k(p)}, \qquad p\geqslant p_0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.30}
$$
В силу (2.29) существует натуральное число $l$ такое, что
$$
\begin{equation}
\lim_{p\to\infty}\delta_p=\delta^*, \qquad \delta^*\in (\delta_0,1), \quad \delta_p=\frac{|\lambda_{k(p)}|-\beta_{k(p)}(h)}{|\lambda_{k(p)}|-\beta_{k(p)}(h)+2\beta_{k(p)}(h)/l}.
\end{equation}
\tag{2.31}
$$
Согласно (2.30) найдутся $r_{p,1}$, $r_{p,2}\in (|\lambda_{k(p)}|-\beta_{k(p)}(h),|\lambda_{k(p)}|+\beta_{k(p)}(h))$ такие, что
$$
\begin{equation}
r_{p,2}-r_{p,1}=\frac{2\beta_{k(p)}(h)}{l}, \quad \bigl(n(r_{p,2},\Lambda)-n(r_{p,1},\Lambda)\bigr) h_{k(p)}\geqslant \frac{\alpha}{2l}|\lambda_{k(p)}|, \qquad p\geqslant p_0.
\end{equation}
\tag{2.32}
$$
Нетрудно заметить, что
$$
\begin{equation*}
\frac{r_{p,1}}{r_{p,2}} \geqslant \delta_p, \qquad p\geqslant p_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Фиксируем $\varepsilon>0$, $\delta^*-\varepsilon\in (\delta_0,1)$. Согласно определению $\delta^*$ найдем номер $p_1\geqslant p_0$ такой, что
$$
\begin{equation*}
\frac{r_{p,1}}{r_{p,2}}\geqslant \delta^*-\varepsilon, \qquad p\geqslant p_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и (2.32) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl(n(r_{p,2},\Lambda)-n((\delta^*-\varepsilon) r_{p,2},\Lambda)\bigr)h_{k(p)} \\ &\qquad \geqslant\bigl(n(r_{p,2},\Lambda)-n(r_{p,1},\Lambda)\bigr) h_{k(p)}\geqslant \frac{\alpha}{2l}|\lambda_{k(p)}|, \qquad p\geqslant p_1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая теперь (2.27) и (2.31), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\tau+1\geqslant \varlimsup_{p\to\infty} \frac{n(r_{p,2},\Lambda)-n((\delta^*-\varepsilon) r_{p,2},\Lambda)} {\rho(1-\delta^*+\varepsilon) (r_{p,2})^{\rho(r_{p,2})}} =\varlimsup_{p\to\infty} \frac{(n(r_{p,2},\Lambda)-n((\delta^*-\varepsilon) r_{p,2},\Lambda)) h_{k(p)}}{\rho(1-\delta^*+\varepsilon) h_{k(p)} (r_{p,2})^{\rho(r_{p,2})}} \\ &\qquad \geqslant \frac{\alpha}{2l} \rho(1-\delta^*+\varepsilon) \varlimsup_{p\to\infty} \frac{|\lambda_{k(p)}|}{h_{k(p)}(r_{p,2})^{\rho(r_{p,2})}} = \frac{\alpha}{2l} \rho(1-\delta^*+\varepsilon) \varlimsup_{p\to\infty} \frac{|\lambda_{k(p)}|^{\rho(|\lambda_{k(p)}|)}}{(r_{p,2})^{\rho(r_{p,2})}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя еще (2.2), (2.14) и выбор чисел $r_{p,2}$, получаем
$$
\begin{equation*}
\tau+1\geqslant \frac{\alpha}{2^{\rho+2} hl\rho(1-\delta^*+\varepsilon)}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (2.29)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 1-\delta^* &=1-\lim_{p\to\infty}\delta_p=\lim_{p\to\infty} (1-\delta_p) \\ &=\lim_{p\to\infty}\frac{2\beta_{k(p)}(h)/l}{|\lambda_{k(p)}|-\beta_{k(p)}(h)+2\beta_{k(p)}(h)/l} =\frac{2\alpha/l}{1-\alpha+2\alpha/l}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, с учетом произвольности $\varepsilon>0$ и выбора $h,\upsilon$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \tau+1 &\geqslant \frac{\alpha}{2^{\rho+2} hl\rho(1-\delta^*)}=\frac{1-\alpha+2\alpha/l}{2^{\rho+3} h\rho}>\frac{(1-\alpha+2\alpha/l)(\tau+1)}{4\upsilon} \\ & >4\biggl(1-\alpha+\frac{2\alpha}l\biggr)(\tau+1)>4(1-\alpha)(\tau+1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Получили противоречие, так как в силу (2.14) и (2.29) верно неравенство $\alpha\leqslant\upsilon<16^{-1}$. Таким образом, (2.28) верно. Предположим теперь, что неверно первое соотношение в (2.26). Тогда найдется последовательность номеров $s(j)$, точки $z_{s(j)}$, $w_{s(j)}\in \overline{\Omega_{s(j)}(h,\Lambda)}$, и число $\delta\in (0,6^{-1})$ такие, что $(1-2\delta)\in (\delta_0,1)$, $|z_{s(j)}|=\mu_{2,s(j)}(h)$ и $|w_{s(j)}-z_{s(j)}|\geqslant \delta\mu_{2,s(j)}(h)$, $j\geqslant 1$. В силу (2.16) проекции кругов
$$
\begin{equation*}
B\bigl(\lambda_{k(s(j),p)},3\beta_{k(s(j),p)}(h)\bigr), \qquad p=1,\dots,p_{s(j)},
\end{equation*}
\notag
$$
на прямую, проходящую через точки $z_{s(j)}$ и $w_{s(j)}$, покрывают отрезок $[z_{s(j)},w_{s(j)}]$. Пусть
$$
\begin{equation}
B\bigl(\lambda_{k(s(j),p(m))},3\beta_{k(s(j),p(m))}(h)\bigr), \qquad m=1,\dots,m(j),
\end{equation}
\tag{2.33}
$$
– все круги, проекции которых пересекают отрезок $[z_{s(j)},w_{s(j)}]$. Тогда
$$
\begin{equation}
\sum_{m=1}^{m(j)} 6\beta_{k(s(j),p(m))}(h)\geqslant \delta\mu_{2,s(j)}(h).
\end{equation}
\tag{2.34}
$$
В силу (2.28) найдется номер $j_0$ такой, что все круги из (2.33) при $j\geqslant j_0$ лежат в кольце
$$
\begin{equation*}
(1-2\delta) \mu_{2,s(j)}<|z|<(1+2\delta) \mu_{2,s(j)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $B(\lambda_{k(s,p)},\beta_{k(s,p)}(h))\subset \Omega_s (h,\Lambda)$, то согласно определению числа $\mu_{2,s(j)}(h)$ для всех $j\geqslant j_0$ и $m=1,\dots,m(j)$ верны вложения
$$
\begin{equation}
B\bigl(\lambda_{k(s(j),p(m))},\beta_{k(s(j),p(m))}(h)\bigr)\subset \bigl\{z\in\mathbb{C}\colon (1-2\delta) \mu_{2,s(j)}<|z|<\mu_{2,s(j)}\bigr\}.
\end{equation}
\tag{2.35}
$$
В силу (2.15) круги из (2.35) попарно не пересекаются. Поэтому согласно (2.35), (2.4) и (2.14) найдется $s_0$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \frac{n(\mu_{2,s(j)}(h),\Lambda)-n((1-2\delta) \mu_{2,s(j)}(h),\Lambda)}{2\delta(\mu_{2,s(j)}(h))^{\rho(\mu_{2,s(j)}(h))h}}\geqslant \sum_{m=1}^{m(j)} \frac{\beta_{k(s(j),p(m))}(h,\Lambda) \mu_{2,s(j)}(h)h}{2\delta(\mu_{2,s(j)}(h))^{\rho(\mu_{2,s(j)}(h))+1}} \\ &\qquad \geqslant \sum_{m=1}^{m(j)} \frac{\beta_{k(s(j),p(m))} (h,\Lambda)|\lambda_{k(s(j),p(m))}|h}{2\delta(\mu_{2,s(j)}(h))^{\rho(\mu_{2,s(j)}(h))+1}}, \qquad s\geqslant s_0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\delta\in (0,6^{-1})$, то из (2.35) следует, что
$$
\begin{equation*}
2|\lambda_{k(s(j),p(m))}|\geqslant 2(1-2\delta) \mu_{2,s(j)}>\mu_{2,s(j)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому в силу (2.3) можно считать, что для всех $j\geqslant j_0$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & (\mu_{2,s(j)}(h))^{\rho(\mu_{2,s(j)} (h))}\leqslant (2|\lambda_{k(s(j),p(m))}|)^{\rho(2|\lambda_{k(s(j),p(m))}|)} \\ &\qquad \leqslant 2^{\rho+1} |\lambda_{k(s(j),p(m))}|^{\rho(|\lambda_{k(s(j),p(m))}|)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из предыдущего, а также из определения числа $\beta_k(h)$ и (2.34) получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{n(\mu_{2,s(j)}(h),\Lambda)-n((1-2\delta) \mu_{2,s(j)}(h),\Lambda)} {2\delta(\mu_{2,s(j)}(h))^{\rho(\mu_{2,s(j)}(h))}}\geqslant \frac{1}{h} \sum_{m=1}^{m(j)} \frac{\beta_{k(s(j),p(m))}(h)}{2^{\rho+2}\delta \mu_{2,s(j)}(h)}\geqslant \frac{1}{6h2^{\rho+2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая теперь (2.27) и выбор чисел $h,\upsilon$ имеем
$$
\begin{equation*}
\tau+1\geqslant \frac{1}{6\rho h2^{\rho+2}}>\frac{\tau+1}{12\upsilon}>\frac{4}{3} (\tau+1).
\end{equation*}
\notag
$$
Получили противоречие. Таким образом, первое соотношение в (2.26) верно. Докажем второе. По условию $\overline{n}_0 (\Lambda)<+\infty$. Тогда согласно определению $\overline{n}_0 (\Lambda)$ имеем
$$
\begin{equation}
\frac{n(r,\Lambda)-n(\delta r,\Lambda)}{r^{\rho(r)}} \to 0, \qquad \delta\to 1.
\end{equation}
\tag{2.36}
$$
В силу первого соотношения в (2.26) получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{\mu_{2,s}(h)-\mu_{1,s}(h)}{\mu_{2,s}(h)}\leqslant \frac{d_s (h)}{\mu_{2,s}(h)}\to 0, \qquad s\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с учетом определения $\mu_{1,s}(h)$ и $\mu_{2,s}(h)$ следует, что для каждого $\delta\in (0,1)$ существует $s(\delta)$ такое, что $\Omega_s (h,\Lambda)\subseteq \{z\colon\delta r_s<|z|<r_s\}$, $s\geqslant s(\delta)$, где $r_s=\mu_{2,s}(h)$. Тогда из (2.36) получаем вторую часть (2.26). Лемма доказана. Замечание 3. Условие конечности максимальной плотности $\overline{n}_0 (\Lambda)$ в лемме 4 существенно. Рассмотрим пример. Пусть последовательность $\Lambda=\{\lambda_k,n_k\}$ такая, что Пусть $\Lambda=\{\lambda_k,n_k\}$ и $h_1,h_2>0$. Имеет место вложение
$$
\begin{equation}
\Omega(h_1,\Lambda)\subset\Omega(h_2,\Lambda), \qquad h_1<h_2.
\end{equation}
\tag{2.37}
$$
При этом каждая компонента множества $\Omega(h_2,\Lambda)$ содержит хотя бы одну компоненту множества $\Omega(h_1,\Lambda)$. Кроме того, для каждого $s\geqslant 1$ существует $j\geqslant 1$ такое, что $\Omega_s (h_1,\Lambda)\subset\Omega_j (h_2,\Lambda)$. Пусть $H=\{h^m\}$, $R=\{r_m\}$ удовлетворяют соотношениям
$$
\begin{equation}
2^{-\rho-5} (\tau+1)^{-1}(\rho+1)^{-1}>h^1>\cdots>h^m\to 0, \qquad m\to\infty,
\end{equation}
\tag{2.38}
$$
$$
\begin{equation}
r_1<\cdots<r_m\to\infty, \quad m\to\infty, \qquad \sum_{l=1}^m r_l h^l\leqslant Ar_{m+1} h^{m+1}, \quad A>0, \quad m\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{2.39}
$$
Определим множества
$$
\begin{equation}
\Omega_{m,l}(H,R,\Lambda), \qquad 1\leqslant l\leqslant l(m), \quad m\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{2.40}
$$
В качестве $\Omega_{1,l}(H,R,\Lambda)$, $1\leqslant l\leqslant l(1)$, возьмем все множества $\Omega_s (h^1,\Lambda)$, для которых верно неравенство $\mu_{2,s}(h^1)\leqslant r_1$. Предположим, что мы уже построили множества
$$
\begin{equation}
\Omega_{j,l} (H,R,\Lambda), \qquad 1\leqslant l\leqslant l(j), \quad j=1,\dots,m-1.
\end{equation}
\tag{2.41}
$$
Тогда в качестве $\Omega_{m,l}(H,R,\Lambda)$, $1\leqslant l\leqslant l(m)$, возьмем все множества $\Omega_s (h^m,\Lambda)$, для которых верно неравенство $\mu_{2,s}(h^m)\leqslant r_m$, и которые попарно не пересекаются с множествами из (2.41). Положим
$$
\begin{equation}
\Omega(H,R,\Lambda)=\bigcup_{m=1}^\infty \bigcup_{l=1}^{l(m)} \Omega_{m,l} (H,R,\Lambda).
\end{equation}
\tag{2.42}
$$
По построению все множества из (2.40) являются связными и попарно не пересекаются. Таким образом, они являются связными компонентами множества $\Omega(H,R,\Lambda)$. Из (2.37) и определения множеств $\Omega_{m,l}(H,R,\Lambda)$ следует, что
$$
\begin{equation}
\bigcup_{\mu_{2,s}(h^m )\leqslant r_m} \Omega_s (h^m,\Lambda)\subset \Omega(H,R,\Lambda), \qquad p\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{2.43}
$$
В силу (2.37) нетрудно заметить, что для каждого $h>0$ найдется $R(h)>0$ такое, что
$$
\begin{equation}
\Omega(H,R,\Lambda)\setminus B(0,R(h))\subset \Omega (h,\Lambda).
\end{equation}
\tag{2.44}
$$
Теорема 1. Пусть $\rho(r)$ – уточненный порядок, $\Lambda=\{\lambda_k,n_k\}$ – последовательность с конечной плотностью $\overline{n} (\Lambda)=\tau$. Предположим, что $H=\{h^m\}$ и $R=\{r_m\}$ удовлетворяют соотношениям (2.38) и (2.39). Тогда $\Omega(H,R,\Lambda)$ является $C_0$-множеством. Доказательство. Выберем номер $s_0$ такой, что для каждого $s\geqslant s_0$ и любого $\lambda_k \in \Omega_s (h^1,\Lambda)$ верно неравенство $k\geqslant k_0$ (номер $k_0$ определен в (2.13)). В силу (2.16) множества $\Omega_s (h^1,\Lambda)$ ограничены. Поэтому достаточно показать, что $C_0$-множеством будет множество
$$
\begin{equation*}
\Omega=\Omega(H,R,\Lambda)\setminus \biggl(\bigcup_{s=1}^{s_0} \Omega_s (h^1,\Lambda)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
По построению с учетом (2.16) имеем
$$
\begin{equation}
\Omega\subset\bigcup_{m=1}^\infty \biggl(\bigcup_{\substack{\mu_{2,s}(h^m)\leqslant r_m, \\ s>s_0}} \biggl(\bigcup_{p=1}^{p_s} B(\lambda_{k(s,p)},3\beta_{k(s,p)}(h^m )) \biggr) \biggr),
\end{equation}
\tag{2.45}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\beta_k (h^m )=\beta_k (h^m,\Lambda) h_k^m, \quad h_k^m=h^m |\lambda_k|^{1-\rho(|\lambda_k|)}, \qquad k,m\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, достаточно показать, что сумма радиусов всех кругов из (2.45), центры которых лежат в круге $B(0,r)$, бесконечно мала по сравнению с $r$ при $r\to\infty$. В силу выбора $s_0$ эти центры на самом деле лежат в кольце $B(0,r)\setminus B(0,|\lambda_{k_0}|)$.
Пусть $r_j<r\leqslant r_{j+1}$ и $\lambda_{k(s,p)}$ – центр круга из (2.45) такой, что $|\lambda_{k(s,p)}|\leqslant r$. Возможны следующие два случая:
В случае 2) радиус круга с центром $\lambda_{k(s,p)}$ не превосходит $3\beta_{k(s,p)}(h^{j+1})$. Таким образом, указанная сумма радиусов не превосходит величины
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag T(r)&=3\biggl(\sum_{m=1}^j \biggl(\sum_{\substack{\mu_{2,s}(h^m)\leqslant r_m,\\ s>s_0}} \biggl(\sum_{p=1}^{p_s} \beta_{k(s,p)}(h^m)\biggr)\biggr)+ \sum_{\substack{|\lambda_{k(s,p)}|\leqslant r, \\ s>s_0|}} \beta_{k(s,p)}(h^{j+1})\biggr) \\ &\leqslant 3\sum_{m=1}^j \biggl(\sum_{|\lambda_{k_0}|\leqslant|\lambda_{k(s,p)}|\leqslant R_m} \biggl(\sum_{p=1}^{p_s}\beta_{k(s,p)}(h^m)\biggr)\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.46}
$$
где $R_m=r_m$, $m=1,\dots,j$, $R_{j+1}=r$. В последней оценке учтено определение $\mu_{2,s}(h^m)$ и включение $\lambda_{k(s,p)}\in\Omega_s (h^m,\Lambda)$. Фиксируем $m=1,\dots,j+1$, $R_m\geqslant |\lambda_{k_0}|$ и выберем $l$ такое, что $2^{l-1}\leqslant R_m<2^l$. В силу (2.14) и (2.4) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \sum_{|\lambda_{k_0}|\leqslant |\lambda_{k(s,p)}|\leqslant R_m} \biggl(\sum_{p=1}^{p_s}\beta_{k(s,p)}(h^m)\biggr) \\ \notag &\qquad=h^m \sum_{|\lambda_{k_0}|\leqslant |\lambda_{k(s,p)}|\leqslant R_m} \biggl(\sum_{p=1}^{p_s} \frac{n(\lambda_{k(s,p)},\beta_{k(s,p)}(h),\Lambda)|\lambda_{k(s,p)}|} {|\lambda_{k(s,p)}|^{\rho(|\lambda_{k(s,p)}|)}}\biggr) \\ &\qquad \leqslant h^m \sum_{q=1}^l \sum_{t_{q-1}\leqslant |\lambda_{k(s,p)}|<t_q} \biggl(\sum_{p=1}^{p_s} \frac{n(\lambda_{k(s,p)},\beta_{k(s,p)} (h),\Lambda)|\lambda_{k(s,p)}|}{|\lambda_{k(s,p)}|^{\rho(|\lambda_{k(s,p)}|)}}\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.47}
$$
где $t_q=|\lambda_{k_0}| 2^q$. По лемме 3 круги $B\bigl(\lambda_{k(s,p)},\beta_{k(s,p)}(h^m)\bigr)$, $p=1,\dots,p_s$, $s\geqslant 1$, попарно не пересекаются. Кроме того, верно вложение
$$
\begin{equation*}
B\bigl(\lambda_{k(s,p)},\beta_{k(s,p)}(h^m)\bigr)\subset B\bigl(0,2|\lambda_{k(s,p)}|\bigr)\subset B(0,2t_q ).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, с учетом (2.2), (2.3) и (2.13) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{t_{q-1}\leqslant |\lambda_{k(s,p)}|<t_q} \biggl(\sum_{p=1}^{p_s} \frac{n(\lambda_{k(s,p)},\beta_{k(s,p)}(h),\Lambda)|\lambda_{k(s,p)}|} {|\lambda_{k(s,p)}|^{\rho(|\lambda_{k(s,p)}|)}} \biggr) \\ &\qquad \leqslant \frac{t_q}{(t_{q-1})^{\rho(t_{q-1})}} \sum_{t_{q-1}\leqslant |\lambda_{k(s,p)}|<t_q} \biggl(\sum_{p=1}^{p_s} n\bigl(\lambda_{k(s,p)},\beta_{k(s,p)}(h),\Lambda\bigr)\biggr) \leqslant \frac{t_q n(2t_q,\Lambda)}{(t_{q-1})^{\rho(t_{q-1})}} \\ &\qquad \leqslant \frac{t_q (2t_q)^{\rho(2t_q )}}{(t_{q-1})^{\rho(t_{q-1})}}(\tau+1)\leqslant 2^{2\rho+2} t_q (\tau+1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (2.47), (2.39) получаем
$$
\begin{equation*}
\sum_{|\lambda_{k_0}|\leqslant |\lambda_{k(s,p)}|\leqslant r_m} \biggl(\sum_{p=1}^{p_s}\beta_{k(s,p)}(h^m )\biggr) \leqslant 2^{2\rho+2} h^m (\tau+1) t_l\sum_{q=1}^l \frac{t_q}{t_l}\leqslant 2^{2\rho+4} h^m (\tau+1) R_m.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда согласно (2.46) и (2.38) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{T(r)}{r} &\leqslant \frac{2^{2\rho+6}(\tau+1)}{r} \biggl(\sum_{m=1}^{j+1} h^m R_m \biggr)\leqslant \frac{2^{2\rho+6} (\tau+1)}{r} \bigl((A+1) r_j h^j+rh^{j+1}\bigr) \\ &\leqslant 2^{2\rho+6} (\tau+1)\bigl((A+1) h^j+h^{j+1}\bigr)\to 0, \qquad j\to\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема доказана. Замечание 4. В силу теоремы 1 $C_0$-множество вида $\Omega(H,R,\Lambda)$ нетрудно построить для любой последовательности $\Lambda$ с конечной плотностью $\overline{n} (\Lambda)$. В дальнейшем нам понадобится $C_0$-множество $\Omega(H,R,\Lambda)$, удовлетворяющее следующим дополнительным условиям: 3. Оценки снизу специальных многочленовПусть $\Lambda=\{\lambda_k,n_k\}$, $\delta\in (0,1)$ и $w\neq 0$. Положим
$$
\begin{equation*}
q_\Lambda (z,w,\delta)=\prod_{\lambda_k\in B(w,\delta|w|)}\biggl(\frac{z-\lambda_k}{3\delta|\lambda_k|}\biggr)^{n_k}.
\end{equation*}
\notag
$$
В случае, когда круг $B(w,\delta|w|)$ не содержит ни одной точки $\lambda_k$, полагаем, что $q_\Lambda (z,w,\delta)\equiv 1$. Нетрудно заметить, что верны неравенства
$$
\begin{equation}
\frac{|z-\lambda_k|}{3\delta|\lambda_k|}\leqslant 1, \qquad z, \lambda_k\in B(w,\delta|w|), \quad \delta\in\biggl(0,\frac 13\biggr).
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{|z-\lambda_k|}{3\delta|\lambda_k|}\geqslant 1, \qquad z\notin B(w,5\delta|w|), \quad \lambda_k\in B(w,\delta|w|), \quad \delta\in \biggl(0,\frac 13\biggr).
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
В следующем утверждении $\Lambda$ – произвольная последовательность. В частности, она может быть конечной. Лемма 5. Пусть $\rho(r)$ – уточненный порядок, $\Lambda=\{\lambda_k,n_k\}$, $\delta\in (0,2^{-2\rho-7})$, $(1-\delta)|w|\geqslant 2r_0$ (число $r_0$ определено в (2.2) и (2.3) и $h>0$. Тогда Доказательство. Пусть $z\in B(w,\delta|w|)\setminus \Omega(h,\Lambda)$ и $\xi_{k(1)},\ldots,\xi_{k(n)}$ – все точки $\lambda_k$ с учетом их кратностей $n_k$ из круга $B(w,\delta|w|)$. При этом
$$
\begin{equation}
|z-\xi_{k(n)}|\geqslant \cdots\geqslant |z-\xi_{k(j)}|\geqslant \cdots\geqslant|z-\xi_{k(1)}|.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Согласно условию леммы имеем $|z|\geqslant 2r_0$. Кроме того, верны вложения
$$
\begin{equation*}
B(w,\delta|w|)\subset B\biggl(z,\frac{2\delta}{1-\delta}|z|\biggr)\subset B(z,2^{-2\rho-5}|z|)\subset B(z,mh(z)),
\end{equation*}
\notag
$$
где $m=[|z|/(2^{2\rho+4}h(z))]$, $h(z)=h_0 |z|^{1-\rho(|z|)}$, $h_0=h2^{-\rho-2}$. Так как $mh(z)\leqslant |z|/2^{2\rho+4}$, то с учетом этих вложений по лемме 2 имеем
$$
\begin{equation*}
n\leqslant n(z,mh(z),\Lambda)<m, \qquad n(z,jh(z),\Lambda)<j, \quad j=1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (3.4) получаем $|z-\xi_{k(j)}|\geqslant jh(z)$, $j=1,\dots,n$. Следовательно, Лемма доказана. Лемма 6. Пусть $\rho(r)$ – уточненный порядок, $\Lambda=\{\lambda_k,n_k\}$, $\delta\in (0,2^{-2\rho-7})$, $(1-\delta)|w|\geqslant 2r_0$ (число $r_0$ определено в (2.2) и (2.3) и $h>0$. Тогда Доказательство. Положим
$$
\begin{equation*}
y=\frac{2^{-\rho-2}h}{9\delta(1+\delta) |z|^{\rho(|z|)}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда непосредственно из неравенства (3.3) получаем Лемма 7. Пусть $\rho(r)$ – уточненный порядок, $\Lambda=\{\lambda_k,n_k\}$, $\overline{n}_0(\Lambda)<+\infty$. Предположим, что $H$ и $R$ удовлетворяют (2.38), (2.39) и (2.48). Тогда для каждого $\varepsilon>0$ существуют $\delta\in (0,2^{-2\rho-7})$ и $t>0$ такие, что Доказательство. Предположим, что (3.6) неверно. Тогда для некоторого числа $\varepsilon>0$ существуют последовательности $\{w_l\}$, $\{z_l\}$ такие, что $z_l\in B(w_l,l^{-1}|w_l|)\setminus \Omega(H,R,\Lambda)$, $|w_l|\to\infty$,
$$
\begin{equation}
\ln|q_\Lambda (z_l,w_l,l^{-1})|<-4\varepsilon|z_l|^{\rho(|z_l|)}, \qquad l\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Отсюда и из (3.1) следует, что
$$
\begin{equation}
\ln|q_\Lambda (z_l,w_l,\delta)|<-4\varepsilon|z_l|^{\rho(|z_l|)}, \qquad \delta\in(0,2^{-2\rho-7}), \quad l>\delta^{-1}.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\varepsilon(\delta)=-b\frac{2^{\rho+2}9\delta(1+\delta)}{h^1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Выберем $\delta(\varepsilon)\in(0,2^{2\rho-7})$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\varepsilon(\delta)\leqslant\varepsilon, \qquad \delta\in(0,\delta(\varepsilon)).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда по лемме 6 имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \ln|q_\Lambda (z,w,\delta)|\geqslant-\varepsilon|z|^{\rho(|z|)}, \\ z\in B(w,\delta|w|)\setminus\Omega(h,\Lambda), \qquad \delta\in(0,\delta(\varepsilon)), \qquad (1-\delta)|w|\geqslant 2r_0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (3.8) следует, что $z_l\in\Omega(h^1,\Lambda)$, $l\geqslant l(\delta)$, где $l(\delta)$ выбрано из условий $l>\delta^{-1}$ и $(1-\delta)|w_l|\geqslant 2r_0$ при $l\geqslant l(\delta)$. Таким образом, для каждого $l\geqslant l(\delta)$ найдется номер $s(l)$ такой, что $z_l\in\Omega_{s(l)}(h^1,\Lambda)$.
Пусть $\Lambda_{s(l)}(h^1)$ – последовательность, которая состоит из всех пар $\lambda_k$, $n_k$ таких, что $\lambda_k\in\Omega_{s(l)}(h^1,\Lambda)$. Так как $\Omega_s (h^1,\Lambda)$, $s\geqslant 1$, – связные компоненты множества $\Omega(h^1,\Lambda)$, то с учетом (2.4)–(2.6) нетрудно заметить, что верно равенство
$$
\begin{equation*}
\Omega(h^1,\Lambda_{s(l)}(h^1))=\Omega(h^1,\Lambda)\setminus\Omega_{s(l)}(h^1,\Lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
q_\Lambda(z_l,w_l,\delta)=q_{\Lambda_{s(l)}(h^1)} (z_l,w_l,\delta) q_{\Lambda_l(h^1)} (z_l,w_l,\delta),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Lambda_l(h^1)$ – последовательность, которая состоит из всех пар $\lambda_k$, $n_k$ таких, что $\lambda_k\in\Omega_{s(l)}(h^1,\Lambda)$. Это конечная последовательность, которая дополняет $\Lambda_{s(l)}(h^1)$ до последовательности $\Lambda$. Поскольку $z_l\in\Omega(h^1,\Lambda_{s(l)}(h^1))$, то в силу (3.5)
$$
\begin{equation}
\ln|q_{\Lambda_{s(l)}(h^1)}(z_l,w_l,\delta)|\geqslant-\varepsilon(\delta)|z_l |^{\rho(|z_l|)}\geqslant -\varepsilon|z_l|^{\rho(|z_l|)}, \qquad \delta\in(0,\delta(\varepsilon)), \quad l\geqslant l(\delta).
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Пусть $r_{m(l)}<|z_l|r_{m(l)+1}$. Так как $z_l\in\Omega_{s(l)}(h^1,\Lambda)$, то в силу первого соотношения в (2.26) и второго соотношения в (2.48) имеем
$$
\begin{equation*}
r_{m(l)}<\mu_{2,s(l)}(h^1)<r_{m(l)+2}, \qquad l\geqslant l_1 (\delta)\geqslant l(\delta).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из первого соотношения в (2.48) и (2.12) следует, что $s(l)\geqslant m(l)+1$.
Пусть вначале $\mu_{2,s(l)}(h^1)<r_{m(l)+1}$. Предположим, что $z_l\in\Omega (h^{m(l)+1},\Lambda)$ и $\Omega_{s(l)}(h^{m(l)+1},\Lambda)$ – компонента, содержащая точку $z_l$. Согласно (2.37) эта компонента лежит в одной из компонент множества $\Omega(h^1,\Lambda)$. Так как $z_l\in\Omega_{s(l)}(h^1,\Lambda)$, то $\Omega_{s(l)}(h^{m(l)+1},\Lambda)\subset\Omega_{s(l)}(h^1,\Lambda)$. Поэтому $\mu_{2,s(l)}(h^{m(l)+1})<\mu_{2,s(l)}(h^1)<r_{m(l)+1}$. Тогда в силу (2.43) имеем $z_l\in\Omega(H,R,\Lambda)$. Получили противоречие с выбором точек $z_l$. Таким образом, $z_l\in\Omega(h^{m(l)+1},\Lambda)$, $l\geqslant l_1 (\delta)$. Поскольку $\Omega(h^{m(l)+1},\Lambda_l(h^1))\subset\Omega(h^{m(l)+1},\Lambda)$, то в силу (3.3) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\ln|q_{\Lambda_l (h^1)}(z_l,w_l,\delta)|\geqslant N_{s(l)}(h_1)\ln \frac{N_{s(p)}(h_1) 2^{-\rho-2}h^{m(l)+1}}{9\delta(1+\delta)|z_l|^{\rho(|z_l|)}} \\ &\qquad\geqslant 9\delta(1+\delta) 2^{\rho+2} b|z_l|^\rho(|z_l |) +N_{s(l)}(h_1)\ln h^{m(l)+1}, \qquad l\geqslant l_1(\delta). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $b$ – число из леммы 6. Выберем $\delta\in(0,\delta(\varepsilon))$ такое, что Так как $s(l)\geqslant m(l)+1$ и $z_l\in\Omega_{s(l)}(h^1,\Lambda)$, то в силу третьего соотношения в (2.48) с учетом (2.2), (2.3) и первого соотношения в (2.26) найдем $l_2 (\delta)\geqslant l_1 (\delta)$ такое, что
$$
\begin{equation*}
N_{s(l)}(h_1)\ln h^{m(l)+1}\geqslant-\varepsilon|z_l|^{\rho(|z_l|)}, \qquad l\geqslant l_2 (\delta).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\ln|q_{\Lambda_l (h^1)}(z_l,w_l,\delta)|\geqslant -2\varepsilon|z_l|^{\rho(|z_l|)}, \qquad l\geqslant l_2 (\delta).
\end{equation*}
\notag
$$
Это неравенство вместе с неравенством (3.9) противоречит (3.8). Пусть теперь $r_{m(l)+1}\leqslant \mu_{2,s(l)}(h^1)<r_{m(l)+2}$. Тогда в силу первого соотношения в (2.48) и (2.12) $s(l)\geqslant m(l)+2$. Поскольку $\mu_{2,s(l)}(h^1)<r_{m(l)+2}$, то, как и выше, получаем $z_l\in\Omega(h^{m(l)+2},\Lambda)$, $l\geqslant l_3 (\delta)$. Затем точно так же, как и выше, получаем противоречие с (3.8). Лемма доказана. 4. Оценки снизу целых функцийПусть $\rho(r)$ – уточненный порядок и $f$ – целая функция конечного типа при порядке $\rho(r)$. Символом $\Lambda_f=\{\lambda_k,n_k\}$ обозначим последовательность ее нулей и их кратностей. Говорят [1; гл. III], что $f$ имеет вполне регулярный рост, если
$$
\begin{equation*}
h_f (\varphi)=\lim_{r\notin E,\,r\to+\infty} \frac{\ln|f(re^{i\varphi})|}{r^{\rho(r)}}, \qquad \varphi\in[0,2\pi],
\end{equation*}
\notag
$$
где $E\subset(0,+\infty)$ – множество нулевой относительной меры ($E_0$-множество), т.е.
$$
\begin{equation*}
\lim_{r\to+\infty} \frac{\operatorname{mes}(E\cap(0,r))}{r}=0
\end{equation*}
\notag
$$
(символ $\operatorname{mes}$ обозначает лебегову меру множества). Говорят также, что $f$ имеет регулярный рост на луче $L_\varphi=\{re^{i\varphi},\,r>0\}$, если
$$
\begin{equation*}
h_f (\varphi)=\lim_{r\notin E_\varphi,\,r\to+\infty}\frac{\ln|f(re^{i\varphi})|}{r^{\rho(r)}},
\end{equation*}
\notag
$$
где $E_\varphi$ – $E_0$-множество. Если $f$ имеет регулярный рост на каждом луче, то множество $E_\varphi$, вообще говоря, зависит от $\varphi\in[0,2\pi]$. Оказывается однако, что можно подобрать исключительное $E_0$-множество, которое подходит для всех $\varphi\in[0,2\pi]$ [1; гл. III, § 1, теорема 1]. Другими словами, функция $f$ имеет регулярный рост тогда и только тогда, когда она имеет регулярный рост на каждом луче. Известно также другое эквивалентное определение функции регулярного роста. Оно вытекает из следующего результата [2; лемма 4.1]. Лемма 8. Пусть $f$ – целая функция конечного типа при порядке $\rho(r)$. Следующие утверждения эквивалентны: 1) функция $f$ имеет регулярный рост на луче $L_\varphi$; 2) существует последовательность $\{z_m\}_{m=1}^\infty$ такая, что Отметим, что функция $h_f$ непрерывна (а значит, и равномерно непрерывна) на отрезке $[0,2\pi]$ [1; гл. I, § 16]. Поэтому для каждого $\varepsilon_0>0$ найдется $\delta_0\in (0,1)$ такое, что
$$
\begin{equation}
|th_f (\psi)-h_f (\varphi)|\leqslant\varepsilon_0, \qquad \varphi\in[0,2\pi], \quad te^{i\psi}\in B(e^{i\varphi},\delta_0).
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Нам понадобится еще одно свойство индикатора [1; гл. I, § 18, теорема 28]: для каждого $\varepsilon>0$ существует $R(\varepsilon)>0$ такое, что
$$
\begin{equation}
\ln|f(re^{i\psi})|\leqslant (h_f(\psi)+\varepsilon) r^{\rho(r)}, \qquad \psi\in[0,2\pi], \quad r\geqslant R(\varepsilon).
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Теорема 2. Пусть $\rho(r)$ – уточненный порядок, $f$ – целая функция конечного типа при порядке $\rho(r)$, которая имеет вполне регулярный рост. Предположим, что $H$ и $R$ удовлетворяют (2.38), (2.39) и (2.48). Тогда Доказательство. Предположим, что (4.4) неверно. Тогда в силу (4.3) существуют $\varepsilon>0$ и последовательность $\{w_j\}$ такие, что $w_j\in\mathbb{C}\setminus\Omega(H,R,\Lambda_f)$, $|w_j|\to\infty$, $j\to\infty$, и
$$
\begin{equation}
\ln|f(w_j)|\leqslant(t_j )^{\rho(t_j)}(h_f(\varphi_j)-\varepsilon), \qquad w_j=t_j e^{i\varphi_j}, \quad j\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Можно считать, что $e^{i\varphi_j}\to e^{i\varphi}$, $j\to\infty$. По условию $f$ – функция вполне регулярного роста. Тогда по лемме 8 существует последовательность $\{z_m\}$, для которой выполнено (4.1). В силу второго и третьего равенства в (4.1) для каждого $\delta>0$ и любого $j\geqslant j(\delta)$ найдется номер $m(j)$ такой, что $w_j\in B(z_{m(j)},\delta|z_{m(j)}|/5)$. Согласно (4.2), (4.3), второму равенству в (4.1) и (2.1) существует $\delta_0\in (0,5^{-1})$ и $m_\varepsilon$ такие, что Уменьшая при необходимости $\delta_0$ и увеличивая $j(\delta)$, можно считать, что
Как отмечалось во введении, $\Lambda_f$ является правильно распределенным множеством. В частности, $\Lambda_f$ имеет плотность $n(\Lambda)<+\infty$. В силу (2.25) имеем $\overline{n}_0(\Lambda)=n(\Lambda)$. Поскольку функция $\ln|q_\Lambda(z,z_m,\delta)|$ не убывает при уменьшении $\delta$ (это следует из (3.1) и ее определения), то согласно лемме 7 и (2.1) можно также считать, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \ln|q_{\Lambda_f}(z,z_m,\delta)|\geqslant-\frac{\varepsilon|z_m|^{\rho(|z_m|)}}6, \\ z\in B(z_m,\delta|z_m|)\setminus\Omega(H,R,\Lambda_f), \qquad m\geqslant m_\varepsilon, \quad \delta\in(0,\delta_0). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Из (4.5) и (4.7) получаем
$$
\begin{equation}
\ln|f(w_j)|\leqslant|z_{m(j)}|^{\rho(|z_{m(j)}|)}\biggl(h_f (\varphi)-\frac{2\varepsilon}3\biggr), \qquad j\geqslant j(\delta), \quad \delta\in(0,\delta_0)
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Согласно последнему равенству в (4.1) имеем
$$
\begin{equation}
\ln|f(z_m)|\geqslant|z_m|^{\rho(|z_m|)}\biggl(h_f(\varphi)-\frac\varepsilon6\biggr), \qquad m\geqslant m_{1,\varepsilon}\geqslant m_\varepsilon.
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Рассмотрим функции
$$
\begin{equation*}
g_m (z)=\frac{f(z)}{f(z_m)q_{\Lambda_f}(z,z_m,\delta)}, \qquad m\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (4.6), (4.10), (3.2) и принципа максимума модуля следует неравенство
$$
\begin{equation*}
\ln|g_m(z)|\leqslant\frac{\varepsilon|z_m|^{\rho(|z_m|)}}3, \qquad z\in B(z_m,5\delta|z_m|), \quad m\geqslant m_{1,\varepsilon}.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, $g_m (z_m)=1$. Тогда по лемме об оценке снизу функции, не имеющей нулей [8; гл. I, лемма 4.3], получаем
$$
\begin{equation*}
\ln|g_m(z)|\geqslant -\frac{\varepsilon|z_m|^{\rho(|z_m|)}}6, \qquad z\in B\biggl(z_m,\frac{\delta|z_m|}5\biggr), \quad m\geqslant m_{1,\varepsilon}.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности,
$$
\begin{equation*}
\ln|g_{m(j)}(w_j)|\geqslant-\frac{\varepsilon|z_{m(j)}|^{\rho(|z_{m(j)}|)}}6, \qquad j\geqslant j(\delta), \quad m(j)\geqslant m_{1,\varepsilon}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с учетом (4.8) и (4.10) имеем
$$
\begin{equation*}
\ln|f(w_j)|\geqslant |z_{m(j)}|^{\rho(|z_{m(j)}|)}\biggl(h_f(\varphi)-\frac\varepsilon2\biggr), \qquad j\geqslant j(\delta), \quad m(j)\geqslant m_{1,\varepsilon}.
\end{equation*}
\notag
$$
Это противоречит (4.9). Теорема доказана. Замечание 5. 1) Равенство (4.4) является полным аналогом равенства (1.1). Однако в отличие от (1.1) исключительное множество в (4.4) строится конструктивно. 2) В силу (2.44) множество $\Omega(H,R,\Lambda_f)$ в (4.4) можно заменить $\Omega(h,\Lambda_f)$ для любого $h>0$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KriKri24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|