| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Краткие сообщения Многочлены Мейкснера совместной ортогональности на перемежающихся решетках А. И. Аптекарев, А. В. Дьяченко, В. Г. Лысов Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624030374 
Реферативные базы данных:
  Пусть $(\mu_1,\dots,\mu_r)$ – вектор, вообще говоря, комплекснозначных борелевских мер. Будем предполагать, что все моменты мер конечны, а носители – бесконечные подмножества вещественной оси. Для (мульти-)индекса $\vec n=(n_1,\dots,n_r)\in \mathbb Z_{+}^r$ нетривиальный многочлен $P_{\vec n}$ степени $\operatorname{deg}P_{\vec n}\leqslant|\vec n|:=n_1+\dots+n_r$ называется многочленом совместной ортогональности, если он удовлетворяет следующим соотношениям:
$$
\begin{equation}
\int P_{\vec n}(x) x^k d\mu_j(x)=0, \qquad k=0,\dots,n_j-1, \quad j=1,\dots,r.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Сущeствование такого многочлена следует из линейности условий (1). Если степень каждого нетривиального многочлена $P_{\vec n}$, удовлетворяющего (1), в точности равна $|\vec n|$, то индекс $\vec n$ называется нормальным. В этом случае $P_{\vec n}$ определяется соотношениями ортогональности (1) однозначно с точностью до постоянного множителя. Если все индексы $\vec n\in \mathbb Z_{+}^r$ нормальны, то набор мер $\{\mu_1,\dots,\mu_r\}$ называется совершенной системой [1], [2].
Многочлены совместной ортогональности относительно совершенных систем имеют приложения в теории чисел [3], теории аппроксимаций [4]–[6], теории случайных матриц [5], теории операторов [7]. Хорошо известны два общих класса совершенных систем – система Анжелеско и АТ-система. Не останавливаясь на определениях этих классов (см., например, [4; § 23]), отметим, что в обоих случаях речь идет о наборах положительных мер, для которых многочлены совместной ортогональности $P_{\vec n}$ имеют $|\vec n|$ простых вещественных нулей. Рассмотрим многочлены $P_{n_1,n_2}$, совместно ортогональные относительно двух ($r=2$) дискретных мер
$$
\begin{equation}
\mu_j(y):=\sum_{x\in\gamma_j+\mathbb Z_+} R(x)\delta(y-x), \qquad j=1,2,
\end{equation}
\tag{2}
$$
где весовая функция $R$ определяется на решетках $\gamma_j+\mathbb Z_+$ как произведение двух классических мер Мейкснера, т.е.
$$
\begin{equation}
R(x):=R^{\alpha_1,\alpha_2,b}_{\gamma_1,\gamma_2}(x):= b^x\frac{\Gamma(x-\gamma_1+\alpha_1)\Gamma(x-\gamma_2+\alpha_2)} {\Gamma(x-\gamma_1+1)\Gamma(x-\gamma_2+1)}.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Нетрудно заметить, что вне зависимости от вида функции $R$ условие $\gamma_2-\gamma_1\not\in\mathbb{Z}$ необходимо для совершенства системы мер (2). Предположим также, что выполнены условия, обеспечивающие конечность моментов мер $\mu_1$ и $\mu_2$:
$$
\begin{equation}
0<|b|<1,\qquad \alpha_1,\alpha_2,\gamma_2-\gamma_1+\alpha_1,\gamma_1-\gamma_2+\alpha_2 \in\mathbb{C}\setminus \mathbb{Z}_-.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Тогда условие положительности этих мер эквивалентно следующей системе неравенств:
$$
\begin{equation}
0<b<1, \qquad -1<\gamma_2-\gamma_1<1, \qquad -\alpha_1< \gamma_2-\gamma_1<\alpha_2.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Сорокин изучал [8] многочлены совместной ортогональности для положительных мер $\mu_1,\mu_2$ и диагональных индексов $\vec n=(n,n)$. Введем обозначения для разностного оператора $\nabla$ и весовой функции $R_n$, которая получается из $R$ сдвигом параметров:
$$
\begin{equation}
(\nabla f)(x):=f(x)-f(x-1), \qquad R_n:=R^{\alpha_1+n,\alpha_2+n,b}_{\gamma_1,\gamma_2}, \quad n\in\mathbb{Z}_+.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Тогда, как показано в [8], следующие многочлены степени $2n$: удовлетворяют соотношениям совместной ортогональности (1) относительно мер (2) при $n_1=n_2=n$. Исследование асимптотики (см. [8], [9]) многочленов (7) показывает, что при $n\to\infty$ положительная доля нулей $P_{n,n}$ не лежит на вещественной прямой. В этом проявляется существенное отличие набора мер $\{\mu_1,\mu_2\}$ от систем Анжелеско и АТ-систем.
Вопрос нормальности индексов для системы $\{\mu_1,\mu_2\}$ до настоящего времени оставался открытым. Мы доказываем совершенство системы положительных мер $\{\mu_1,\mu_2\}$. В основе лежит разностное уравнение Пирсона (8) для весовой функции $R$, а также обобщение (13) разностной формулы Родрига (7). Метод доказательства опирается на свойства повышающих операторов и уже использовался нами в работе [10]. Для замыкания метода нам понадобилось доказать одно любопытное гипергеометрическое тождество (16). Мы не будем приводить здесь подробных рассуждений, а ограничимся лишь общей схемой, которая впрочем позволяет полностью восстановить все доказательства. Современным приложениям многочленов дискретной ортогональности посвящена монография [11]. Классификация классических многочленов дискретной ортогональности на основе разностного уравнения Пирсона осуществлена в [12]. Для многочленов совместной дискретной ортогональности на решетках со сдвигом подобная классификация предложена в [13]. Рассматриваемая здесь система $\{\mu_1,\mu_2\}$ послужила отправной точкой исследования [13], а многочлены $P_{\vec n}$ названы многочленами Мейкснера–Сорокина. В работе [9] изучались многочлены (7) в случае $\gamma_1=\gamma_2$, когда $\mu_1=\mu_2$, а $P_{n,n}$ совместно ортогональны относительно меры $\mu_1$ и функционала $\mu'_1$. В вырожденном случае $b=1$, $\alpha_j=1$, $\gamma_j=0$ эти многочлены переходят в многочлены Тушара степени $n$, чьи коэффициенты суть числа Стрирлинга второго рода. Работа [14] посвящена дальнейшим обобщениям многочленов $P_{n,n}$. Ортогональные многочлены относительно меры $\mu_1$ соответствуют маргинальным индексам $\vec n=(m,0)$. Интересно, что коэффициенты трехчленных рекуррентных соотношений для $P_{m,0}$ связаны с трансцендентами Пенлеве VI и с дискретными уравнениями Пенлеве, см. [15], [16]. Приступим к обсуждению результатов. Найдутся такие многочлены $U$ и $V$, что
$$
\begin{equation*}
{R_{1}(x)}=R(x)U(x) \qquad\text{и}\qquad {R_{1}(x-1)}=R(x)V(x),
\end{equation*}
\notag
$$
тогда весовая функция $R$ удовлетворяет разностному уравнению Пирсона: Используя подход [12], отсюда можно вывести разностный вариант формулы Родрига. Вначале сформулируем простую, но важную лемму о свойствах одного повышающего степени многочленов оператора.
Лемма 1. Пусть выполнены условия (4). Если $Q$ – многочлен степени $m\geqslant 0$, то Доказательство. Непосредственно проверяется, что $\deg U=\deg V=2$, а старший коэффициент $\widetilde Q(x)$ равен старшему коэффициенту $Q$, домноженному на $1-{1}/{b}\ne 0$. Таким образом, $\deg \widetilde Q = 2+\deg Q$. Обратим внимание, что ряды в (10) и (11) абсолютно сходятся благодаря условиям (4). Формула суммирования по частям дает
$$
\begin{equation*}
\sum_{x\in\gamma_j+\mathbb Z_+} x^k \widetilde Q(x) R(x)= - \sum_{l=0}^{k-1}\binom{k}{l} \sum_{x\in\gamma_j+\mathbb Z_+} x^l Q(x) R_{1}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует эквивалентность соотношений ортогональности (10) и (11). В дополнение к $P_{n_1,n_2}(x)$, рассмотрим многочлен $P_{n_1,n_2}(x;n)$ совместной ортогональности относительно дискретных мер вида (2), где в качестве веса берется функция $R_n$ из (6), т.е.
$$
\begin{equation}
\sum_{x\in\gamma_j+\mathbb Z_+} P_{n_1,n_2}(x;n) x^k R_{n}(x)=0, \qquad k=0,\dots,n_j-1, \quad j=1,2.
\end{equation}
\tag{12}
$$
В частности, так как $R(x)=R_0(x)$, то $P_{n_1,n_2}(x)=P_{n_1,n_2}(x;0)$. Тогда справедлива следующая теорема, которая, с точностью до порядка в паре $(\mu_1,\mu_2)$, дает представление для $P_{\vec n}$ при всех $\vec n\in\mathbb{Z}_+^2$.
Теорема 1. Пусть $m,n\in\mathbb Z_+$ и выполнены условия (4). Если $P_{m,0}(x;n)$ есть ортогональный многочлен степени $m$, удовлетворяющий (12), то Доказательство получается итерациями леммы 1:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag R(x)P_{n+m,n}(x;0) &=\nabla \bigl(R_{1}(x) P_{n+m-1,n-1}(x;1)\bigr) =\nabla^2 \bigl(R_{2}(x) P_{n+m-2,n-2}(x;2)\bigr)=\dotsb \\ &=\nabla^n \bigl(R_{n}(x)P_{m,0}(x;n)\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14}
$$
В частном случае $m=0$ формула (13) приводит к (7). Более того, для диагональных индексов многочлены $P_{n,n}$ можно выразить через обрывающиеся гипергеометрические ряды. Обозначая $(a)_n:= a\cdot(a+1)\dotsb(a+n-1)$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P_{n,n}(x) &=(-b)^{-n}\prod_{j=1}^{2} (x-\gamma_j-n+1)_n \cdot{}_{3}F_{2}\bigl(\genfrac{.}{\vert}{0pt}{1} {-n,\ x-\gamma_1+\alpha_1,\ x-\gamma_{2}+\alpha_2} {x-\gamma_1-n+1,\ x-\gamma_2-n+1}b \bigr) \\ &=\prod_{k=1}^{2} (x-\gamma_k+\alpha_k)_n \cdot{}_{3}F_{2}\bigl(\genfrac{.}{\vert}{0pt}{1} {-n,\quad\gamma_1-x,\quad\gamma_{2}-x} {\gamma_1-x-\alpha_1-n+1,\ \gamma_2-x-\alpha_2-n+1} \tfrac 1b \bigr) . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для вывода этой формулы достаточно проверить соотношения (9) в лемме 1.
Для доказательства совершенства системы $\{\mu_1,\mu_2\}$ нам понадобилось следующее гипергеометрическое тождество:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag (1-b)^{-\alpha_1-\alpha_2} ={}_1F_0\bigl(\genfrac{.}{\vert}{0pt}{1}{\alpha_1+\alpha_2}{-}b\bigr) {} &={} {}_2F_1\bigl(\genfrac{.}{\vert}{0pt}{1}{\alpha_1,\:\alpha_2+\gamma}{1+\gamma}b\bigr) {}_2F_1\bigl(\genfrac{.}{\vert}{0pt}{1}{\alpha_1-\gamma,\:\alpha_2}{1-\gamma}b\bigr) \\ \notag &\qquad + \tfrac{b\alpha_1(\alpha_2+\gamma)}{\gamma(1+\gamma)} {}_2F_1\bigl(\genfrac{.}{\vert}{0pt}{1}{1+\alpha_1,\: 1+\alpha_2+\gamma}{2+\gamma}b\bigr) {}_2F_1\bigl(\genfrac{.}{\vert}{0pt}{1}{\alpha_1-\gamma,\:\alpha_2}{1-\gamma}b\bigr) \\ &\qquad - \tfrac{b\alpha_2(\alpha_1-\gamma)}{\gamma(1-\gamma)} {}_2F_1\bigl(\genfrac{.}{\vert}{0pt}{1}{1+\alpha_1-\gamma,\:1+\alpha_2}{2-\gamma}b\bigr) {}_2F_1\bigl(\genfrac{.}{\vert}{0pt}{1}{\alpha_1,\:\alpha_2+\gamma}{1+\gamma}b\bigr) . \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
Применяя преобразования Пфаффа и соотношения смежности Гаусса, с использованием обозначения $z:= {b}/(b-1)$ тождество (15) переписывается в эквивалентной форме
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag 1 &={}_2F_1\genfrac{(}{\vert}{0pt}{1}{\alpha_1,\:-\alpha_2}{\gamma}z\bigr) {}_2F_1\genfrac{(}{\vert}{0pt}{1}{1-\alpha_1,\:\alpha_2}{1-\gamma}z\bigr) \\ &\qquad + {}_2F_1\genfrac{(}{\vert}{0pt}{1}{\alpha_1,\:1-\alpha_2}{1+\gamma}z\bigr) {}_2F_1\genfrac{(}{\vert}{0pt}{1}{-\alpha_1,\:\alpha_2}{-\gamma}z\bigr) - {}_2F_1\genfrac{(}{\vert}{0pt}{1}{\alpha_1,\:1-\alpha_2}{1+\gamma}z\bigr) {}_2F_1\genfrac{(}{\vert}{0pt}{1}{1-\alpha_1,\:\alpha_2}{1-\gamma}z\bigr) . \end{aligned}
\end{equation}
\tag{16}
$$
Чтобы убедиться в справедливости последнего тождества, достаточно представить его правую часть в виде ряда Тейлора $1+\sum_{k=1}^\infty s_k z^k$ и показать, что $s_k=0$ для $k\geqslant 1$. Последнее же следует из того, что $s_k=\sum_{j=0}^k s_{k,j}$ для
$$
\begin{equation*}
s_{k,j}=(-1)^{j-1}\frac{(1-\alpha_1-j)_{k-1}(1+\alpha_2-j)_{k-1}}{j!\,(k-j)!\,(-\gamma-j)_{k+1}} \bigl((k-2j-\gamma)\alpha_1\alpha_2 + j(k-j)(\alpha_2-\alpha_1+\gamma)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда индукцией по $m$ выводятся следующие равенства:
$$
\begin{equation*}
\sum_{j=0}^m s_{k,j} = (-1)^{m}\frac{k-m}k\cdot\frac{(-\alpha_1-m)_k(\alpha_2-m)_{k}}{m!\,(k-m)!\,(-\gamma-m)_{k}} \qquad(\text{и, в частности, }s_k=0).
\end{equation*}
\notag
$$
Основным результатом настоящей работы является следующая теорема. Теорема 2. Пусть $\gamma_1\neq\gamma_2$ и выполнены условия (5). Тогда система положительных мер $\{\mu_1,\mu_2\}$ совершенна. Иными словами, в условиях теоремы 2 многочлен $P_{n_1,n_2}$, определяемый формулой Родрига в теореме 1, есть с точностью до умножения на константу единственный для индекса $(n_1,n_2)$ многочлен совместной ортогональности относительно пары мер $(\mu_1,\mu_2)$. Доказательство теоремы 2. Будем доказывать совершенство пар дискретных мер вида (2), где в качестве веса берется функция $R_n$ из (6) при $n\in\mathbb{Z}_+$. Отметим, что выбор параметров обеспечивает положительность и конечность значений $R_n(x)$ во всех узлах решеток $x\in(\gamma_1+\mathbb Z_+)\cup(\gamma_2+\mathbb Z_+)$. Как следствие, меры ортогональности в соотношениях (12) положительны и их носители бесконечны. Из стандартной теории ортогональных многочленов [4; с. 20] тогда следует, что все маргинальные индексы (т.е. индексы $(n_1,n_2)$ для которых $n_1\cdot n_2=0$) нормальны.
Нормальность для индекса $\vec n=(1,1)$ эквивалентна тому, что многочлены
$$
\begin{equation*}
P_{1,0}(0;n)=x-c_{\gamma_1,\gamma_2}^{\alpha_1+n,\,\alpha_2+n} \qquad\text{и}\qquad P_{0,1}(0;n)=x-c_{\gamma_2,\gamma_1}^{\alpha_2+n,\,\alpha_1+n}
\end{equation*}
\notag
$$
различны, здесь свободные члены определяются из условий ортогональности:
$$
\begin{equation*}
c_{\gamma_1,\gamma_2}^{\alpha_1,\alpha_2}= \gamma_1+ b \alpha_1\frac{\gamma_1-\gamma_2+\alpha_2}{\gamma_1-\gamma_2+1}\cdot\frac {{}_2F_1\bigl(\genfrac{.}{\vert}{0pt}{1} {\alpha_1+1,\:\gamma_1-\gamma_2+\alpha_2+1}{\gamma_1-\gamma_2+2}b\bigr)} {{}_2F_1\bigl(\genfrac{.}{\vert}{0pt}{1} {\alpha_1,\:\gamma_1-\gamma_2+\alpha_2}{\gamma_1-\gamma_2+1}b\bigr)} .
\end{equation*}
\notag
$$
Однако
$$
\begin{equation*}
P_{1,0}(0;n)-P_{0,1}(0;n)=c_{\gamma_1,\gamma_2}^{\alpha_1+n,\,\alpha_2+n}- c_{\gamma_2,\gamma_1}^{\alpha_2+n,\,\alpha_1+n}\ne 0
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $n\in\mathbb Z_+$: достаточно заметить, что левая сторона тождества (15) после подстановки $\gamma=\gamma_1-\gamma_2$ и $\alpha_j=\alpha_j+n$, $j=1,2$, строго положительна для всех значений параметров из условий теоремы 2.
Осталось проверить нормальность индексов $\vec n=(n_1,n_2)$ с положительными координатами и $n_1+n_2\geqslant 3$. Пусть $\vec n$ – такой индекс с наименьшим значением $|\vec n|$, что для некоторого сдвига параметров $n\in\mathbb Z_+$ нормальность $\vec n$ нарушается. Тогда по определению нормальности найдется нетривиальный многочлен $Q(x)$ степени $< n_1+n_2$, который удовлетворяет всем тем же условиям (12) для индекса $\vec n$. В частности, эти условия содержат соотношения ортогональности, которым удовлетворяют многочлены $P_{n_1-1,n_2}(x;n)$ и $P_{n_1,n_2-1}(x;n)$, определяемые формулой Родрига из теоремы 1. Нормальность индексов $(n_1-1,n_2)$ и $(n_1,n_2-1)$ дает равенства $Q(x)= C_1 P_{n_1-1,n_2}(x;n) = C_2 P_{n_1,n_2-1}(x;n)$ для некоторых ненулевых постоянных $C_1,C_2$. В то же время, не нарушая общности, полагаем $n_1\geqslant n_2$, тогда из $n_1+n_2\geqslant 3$ следует, что $n_1\geqslant 2$. Многочлен $P_{n_1-1,n_2}(x;n)=Q(x)/C_1$ удовлетворяет соотношениям ортогональности (12) для индекса $\vec n$ и восстанавливается по многочлену $P_{n_1-2,n_2-1}(x;n+1)$ по формулам (14). Тогда по лемме 1 многочлен $P_{n_1-2,n_2-1}(x;n+1)$ удовлетворяет соотношениям ортогональности для индекса $(n_1-1,n_2-1)$. Последнее противоречит минимальности $|\vec n|$, что и доказывает нормальность всех индексов $(n_1,n_2)\in\mathbb Z_+^2$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AptDyaLys24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|