| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Обратная задача определения коэффициента поглощения в многомерном неравномерно параболическом уравнении В. Л. Камынин Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ", г. Москва
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624110105 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеВ работе изучаются вопросы существования и единственности решения обратной задачи определения коэффициента $\gamma(x)$ в параболическом уравнении
$$
\begin{equation}
\rho(t,x)u_t-\Delta u+\langle\vec b(x)u_x\rangle+c(t,x)u+\gamma(x)u=f(t,x),\qquad (t,x)\in Q,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
с краевыми условиями и дополнительным условием интегрального наблюдения
$$
\begin{equation}
\int_0^T u(t,x)\chi(t)\,dt=\varphi(x),\qquad x\in\overline\Omega.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Здесь $Q=[0,T]\times\overline\Omega$, где $\Omega$ – ограниченная область в $\mathbb R^n$ с гладкой границей $\partial\Omega$, $\Gamma$ – “параболическая” граница области $Q$, т.е. $\Gamma=\{0\}\times\overline\Omega\bigcup[0,T]\times\partial\Omega$,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, x=(x_1,\dots,x_n), \qquad \vec b(x)=(b_1(x),\dots,b_n(x)), \qquad u_x=(u_{x_1},\dots,u_{x_n}), \\ \langle\vec b(x),u_x\rangle=\sum^n_{i=1}b_i(x)u_{x_i}; \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
$\vec b(x)$ – известная вектор-функция, $\rho(t,x)$, $c(t,x)$, $f(t,x)$, $\Psi(t,x)$, $u_0(x)$, $\chi(t)$, $\varphi(x)$ – известные функции. Исследование обратной задачи (1.1)–(1.3) основывается на полученных в работе результатах по однозначной разрешимости прямой задачи (1.1), (1.2) (функция $\gamma(x)$ предполагается известной) и оценке $\|u\|_{L_\infty(Q)}\leqslant M$, с явно выписанной константой $M$. Особенностью постановки обратной задачи в данной работе является предположение о том, что уравнение (1.1) не является равномерно параболическим, а именно, что выполнены условия
$$
\begin{equation}
0\leqslant\rho(t,x)\leqslant\rho_1,\qquad \frac{1}{\rho(t,x)}\in L_q(Q),\quad q>1.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Ранее при выполнении условия (1.4) и условии наблюдения (1.3) в работе [1] была исследована обратная задача определения неизвестной правой части в многомерном уравнении (1.1), а в работах [2], [3] аналогичная обратная задача рассматривалась для параболического уравнения с одной пространственной переменной. Для случая равномерно параболических уравнений обратные задачи определения младшего коэффициентов при дополнительном условии (1.3) рассматривались в работах [4]–[9] и др. Отметим также работы [10]–[12], где исследованы обратные задачи определения зависящего от $t$ младшего коэффициента для вырождающихся параболических уравнений с одной и многими пространственными переменными при условии вырождения вида (1.4), но с другим, нежели (1.3), дополнительным условием наблюдения. Следует отметить, что изучение как прямых, так и обратных задач для вырождающихся параболических уравнений имеет различные применения в ряде прикладных задач гидродинамики, климатологии, изучения пористых сред, а также в финансовой математике (см., например, [13], [14] и ссылки в этих работах). Перейдем к точным формулировкам. Все равенства и неравенства в работе предполагаются выполненными почти всюду, все рассматриваемые функции предполагаются, как минимум, измеримыми, производные понимаются в обобщенном смысле по Соболеву. Используемые в работе пространства Лебега и Соболева с соответствующими нормами будем понимать в общепринятом смысле (см., например, [15]). В частности, через $W^{1,2}_s(Q)$ мы обозначаем пространство Соболева функций, принадлежащих $L_s(Q)$ и имеющих первую производную по $t$, а также все первые и вторые производные по переменным $x$, также принадлежащие $L_s(Q)$. При этом для удобства будем использовать обозначения норм
$$
\begin{equation*}
\|\cdot\|_{L_s(\Omega)}\equiv\|\cdot\|_s,\qquad 1\leqslant s\leqslant\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, Q_\tau=[0,T]\times \overline\Omega,\quad \tau\in[0,T],\quad Q_T\equiv Q,\qquad |\vec b(x)|=\biggl(\sum^n_{i=1}b^2_i(x)\biggr)^{1/2}, \\ |u_x|=\biggl(\sum^n_{i=1}u^2_{x_i}\biggr)^{1/2}, \qquad |u_{xx}|=\biggl(\sum^n_{i,j=1}u^2_{x_ix_j}\biggr)^{1/2},\qquad F(x)=\int_0^Tf(t,x)\chi(t)\,dt, \\ L^+_\infty (\Omega)=\{z(x)\in L_\infty(\Omega)\colon z(x)\geqslant 0\},\qquad B^+_R=\{z(x)\in L_\infty(\Omega)\colon 0\leqslant z(x)\leqslant R\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Нам понадобится арифметическое неравенство Коши
$$
\begin{equation}
|ab|\leqslant\frac{\varepsilon}{2}\,a^2+\frac{1}{2\varepsilon}\,b^2,\qquad \varepsilon >0,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
а также неравенство Пуанкаре–Стеклова
$$
\begin{equation}
\|z\|_2\leqslant\varkappa(n,\Omega)\|z_x\|_2 \qquad \forall\,z\in\mathring{W^1_2}(\Omega),
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
где $\varkappa(n,\Omega)=\mathrm{const}>0$ зависит от $n$ и размера области $\Omega$. Во всех дальнейших рассуждениях будем предполагать выполненными следующие условия:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, 0\leqslant\rho(t,x)\leqslant\rho_1,\quad \rho(0,x)\leqslant\rho_2,\quad \rho(T,x)\leqslant\rho_3,\qquad (t,x)\in Q, \\ \frac{1}{\rho(t,x)}\in L_q(Q),\quad q>1,\qquad \biggl\|\frac{1}{\rho}\biggr\|_{L_q(Q)}\leqslant\rho_4, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{A}
$$
существует $\rho_t(t,x)$, причем
$$
\begin{equation}
\text{либо}\ \ \rho_t\in L_1(0,T;L_\infty(\Omega)),\quad \rho_t\leqslant 0,\qquad \text{либо}\ \ \frac{\rho_t^2(t,x)}{\rho(t,x)\in L_\infty(Q)}\,,\quad \biggl\|\frac{\rho_t^2}{\rho}\biggr\|_{L_\infty(Q)}\leqslant K_\rho^*;
\end{equation}
\tag{B}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{|\vec b(x)|^2}{\rho(t,x)}\,,\,\frac{c(t,x)}{\rho(t,x)}\,,\, \frac{f^2(t,x)}{\rho(t,x)}\in L_\infty(Q),\qquad \biggl\|\frac{|\vec b|^2}{\rho}\biggr\|_{L_\infty(Q)}\leqslant K_{b,\rho}; \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\biggl\|\frac{c}{\rho}\biggr\|_{L_\infty(Q)}\!\!\!\leqslant K_{c,\rho},\qquad \frac{c(t,x)}{\rho(t,x)}\geqslant-K_{c,\rho}^*,\quad (t,x)\in Q,\quad K_{c,\rho}^*\geqslant 0,\qquad \biggl\|\frac{f^2}{\rho}\biggr\|_{L_\infty(Q)}\!\!\!\leqslant K_{f,\rho};
\end{equation}
\tag{C}
$$
$$
\begin{equation}
\Psi(t,x)\in W^{1,2}_\infty (Q),\qquad |\Psi(t,x)|\leqslant M_0,\quad (t,x)\in\Gamma;
\end{equation}
\tag{D}
$$
$$
\begin{equation}
\chi(t)\in W^1_1(0,T),\qquad \|\chi\|_{L_1(0,T)}\leqslant K_\chi,\qquad \|\chi'\|_{L_1(0,T)}\leqslant K^*_\chi, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\|\rho_t\chi\|_{L_1(0,T;L_\infty(\Omega))}\leqslant K_{\rho,\chi}^*,\qquad F_1\leqslant F(x)\leqslant F_2,\quad x\in\Omega;
\end{equation}
\tag{E}
$$
$$
\begin{equation}
\varphi(x)\in W^2_\infty(\Omega),\qquad \varphi(x)\geqslant\varphi_0 >0,\qquad |\varphi_x(x)|\leqslant K_\varphi, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\varphi_1\leqslant\Delta\varphi\leqslant\varphi_2,\qquad K_{b,\varphi}\leqslant-\langle\vec b(x),\varphi_x\rangle\leqslant K^*_{b,\varphi},\qquad x\in\overline\Omega;
\end{equation}
\tag{F}
$$
$$
\begin{equation}
\int_0^T\Psi(t,x)\chi(t)\,dt=\varphi(x),\quad x\in\partial\Omega.
\end{equation}
\tag{G}
$$
В условиях (A)–(F) $\varphi_1,\varphi_2,K_{b,\varphi},K_{b,\varphi}^*, F_1,F_2$ – константы произвольного знака, $\rho_2,\rho_3,K_\rho^*,K_{b,\rho},K_{b,\rho}^*,K_{c,\rho},K_{c,\rho}^*, K_{f,\rho},K_\chi^*,K_{\rho,\chi}^*$ – неотрицательные константы, $\rho_1,\rho_4$, $K_\chi,\varphi_0,M_0$ – положительные константы. Замечание 1. Из условий (A) и (C) вытекает, что Определение 1. Обобщенным решением обратной задачи (1.1)–(1.3) будем называть пару функций $\{u(t,x),\gamma(x)\}$ таких, что 2. Исследование прямой задачиПусть $\gamma(x)\in L^+_\infty(\Omega)$ – известная функция.
$$
\begin{equation}
0\leqslant\gamma(x)\leqslant K_\gamma,\qquad x\in\Omega.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Рассмотрим прямую задачу (1.1), (1.2) и получим теоремы существования и единственности обобщенного решения этой задачи (понимаемого в смысле определения 1) в том виде, в котором они будут применяться в разделе 3 для исследования обратной задачи (1.1)–(1.3). Замечание 2. Вопросы разрешимости прямых задач для вырождающихся параболических уравнений ранее изучались многими авторами (см., например, [16]–[19] и др.). Однако при исследовании обратной задачи (1.1)–(1.3) мы не можем напрямую воспользоваться результатами упомянутых работ: во-первых, вырождающийся коэффициент в уравнении (1.1) стоит перед $u_t$, а во-вторых, (что еще более существенно) для нас важно получить явный вид оценок решения прямой задачи, поскольку при исследовании обратной задачи в разделе 3 этот явный вид будет использоваться в теореме существования и единственности. Теорема 1. Пусть выполнены условия (A)–(D) и (2.1). Тогда существует не более одного обобщенного решения задачи (1.1), (1.2). Доказательство теоремы повторяет доказательство теоремы 1 из [1] с учетом того, что $\gamma(x)\geqslant 0$. Теперь докажем теорему существования обобщенного решения задачи (1.1), (1.2) и установим ряд оценок для такого решения, которые будут использованы в разделе 3 при исследовании обратной задачи (1.1)–(1.3). В этих оценках через $C$ с индексом будем обозначать положительные константы, зависящие только от $\rho_1,\rho_4$, $K_{b,\rho},K_{c,\rho},K_{f,\rho}$, от нормы функции $\|\Psi\|_{W^{1,2}_\infty(Q)}$, а также от $T$ и области $\Omega$. В доказательстве будут использованы идеи доказательств аналогичных теорем из [1] и [2] (см. также [18]). Замечание 3. В силу замечания 1 (см. (1.7)) $|\vec b(x)|\leqslant K_b$, $x\in\Omega$. Пусть при некотором $i\in\{1,\dots,n\}$ Теорема 2. Пусть выполнены условия (A)–(D) и (2.1). Положим Доказательство. Положим $\rho_m(t,x)=\rho(t,x)+1/m$, $m=1,2,\dots$, и рассмотрим в $Q$ краевую задачу для уравнения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\rho_m(t,x)u^m_t-\Delta u^m +\sqrt{\rho_m(t,x)}\frac{\langle\vec b(x),u^m_x\rangle}{\sqrt{\rho(t,x)}} +\sqrt{\rho_m(t,x)}\frac{c(t,x)}{\sqrt{\rho(t,x)}}\,u^m +\gamma(x)u^m \nonumber \\ &\qquad=\sqrt{\rho_m(t,x)}\frac{f(t,x)}{\sqrt{\rho(t,x)}}\,, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
с краевыми условиями (1.2), а также краевую задачу для уравнения
$$
\begin{equation}
\rho_m(t,x)z^m_t\,{-}\,\Delta z^m +\sqrt{\rho_m(t,x)}\frac{\langle\vec b(x),z^m_x\rangle}{\sqrt{\rho(t,x)}} +\sqrt{\rho_m(t,x)}\frac{ c(t,x)}{\sqrt{\rho(t,x)}}z^m +\gamma(x)z^m =g_m(t,x),
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
с однородными краевыми условиями где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, g_m(t,x) &=\sqrt{\rho_m(t,x)}\frac{f(t,x)}{\sqrt{\rho(t,x)}} -\rho_m(t,x)\Psi_t(t,x)+\Delta\Psi(t,x) \nonumber \\ &\qquad{}-\sqrt{\rho_m(t,x)} \frac{\langle\vec b(x),\Psi_x(t,x)\rangle}{\sqrt{\rho(t,x)}} -\sqrt{\rho_m(t,x)}\frac{c(t,x)}{\sqrt{\rho(t,x)}}\,\Psi(t,x) -\gamma(x)\Psi(t,x). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
В силу условий (A)–(D) и (2.1) функция $g_m(t,x)$ удовлетворяет равномерной по $m$ оценке а уравнение (2.12) является равномерно параболическим с ограниченными коэффициентами. В силу [20] решение $z^m(t,x)$ задачи (2.10), (2.11) существует и единственно в пространстве $L_\infty(0,T;\mathring{W^1_2}(\Omega))\cap W^{1,2}_2(Q)$. Но тогда в силу определения функции $g_m(t,x)$ в (2.12) существует и единственно решение $u^m(t,x)\equiv z^m(t,x)+\Psi(t,x)$ задачи (2.9), (1.2).Выведем для $z^m(t,x)$ ряд равномерных по $m$ оценок. Положим
$$
\begin{equation}
\lambda=3(\varkappa^2(n,\Omega)K_{c,\rho}+K_{b,\rho}),
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
умножим уравнение (2.10) на $e^{-\lambda t}z^m_t$ и проинтегрируем результат по $Q_\tau$, $0<\tau\leqslant T$. После интегрирования по частям, применения неравенства Коши (1.5) и с учетом неравенства (1.6) по аналогии с доказательством теоремы 2 из [1] получим соотношение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{2}\,e^{-\lambda\tau}\|z^m_x(\tau,\,\cdot\,)\|^2_2 +\frac{\lambda}{2}\int_{Q_\tau}e^{-\lambda t}|z^m_x|^2\,dx\,dt +\int_{Q_\tau}e^{-\lambda t}\rho_m|z^m_t|^2\,dx\,dt \nonumber \\ &\qquad\qquad{}+\frac{1}{2}\,e^{-\lambda\tau} \int_\Omega\gamma(x)|z^m|^2\,dx +\frac{\lambda}{2}\int_{Q_\tau}e^{-\lambda t}\gamma(x)|z^m|^2\,dx\,dt \nonumber \\ &\qquad\leqslant\frac{3}{2}(\varkappa^2(n,\Omega)K_{c,\rho}+K_{b,\rho}) \int_{Q_\tau}e^{-\lambda t}|z^m_x|^2\,dx\,dt +\frac{3}{2}\int_{Q_\tau}e^{-\lambda t} \frac{|g_m(t,x)|^2}{\rho(t,x)}\,dx\,dt \nonumber \\ &\qquad\leqslant\frac{3}{2}(\varkappa^2(n,\Omega)K_{c,\rho}+K_{b,\rho}) \int_{Q_\tau}e^{-\lambda t}|z^m_x|^2\,dx\,dt +\frac{3}{2}\,C_3^2\rho_4(T\cdot \operatorname{mes}\Omega)^{(q-1)/q}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
В последнем переходе использованы оценка (2.13) и условие (A).
Учитывая (2.14) и условие $\gamma(x)\geqslant 0$, из (2.15) выводим равномерную по $m$ оценку
$$
\begin{equation}
\sup_{0\leqslant t\leqslant T}\|z^m_x(t,\,\cdot\,)\|^2_2+\|\rho_m(z^m_t)^2\|_{L_1(Q)}\leqslant C_4.
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Учитывая теперь определение числа $q^*$ в (2.5), из оценки (2.16), как и в доказательстве теоремы 2 из [1], выводим равномерные по $m$ оценки
$$
\begin{equation}
\|z^m_t\|_{L_{q^*}(Q)}\leqslant C_5,\quad \|z^m\|_{L_2(Q)}\leqslant C_6,\quad \|z_x^m\|_{L_2(Q)}\leqslant C_7,\quad \|z_{xx}^m\|_{L_{q^*}(Q)}\leqslant C_8,
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
$$
\begin{equation}
\int_\Omega|z^m(t_1,x)-z^m(t_2,x)|\,dx \leqslant C_9 |t_1-t_2|^{(q^*-1)/q^*}\|z^m_t\|_{L_{q^*}(Q)} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\leqslant C_{10}|t_1-t_2|^{(q^*-1)/q^*},\qquad 0\leqslant t_1<t_2\leqslant T.
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
В силу условия (D) и соотношения $u^m(t,x)=z^m(t,x)+\Psi(t,x)$, для функции $u^m(t,x)$ справедливы также равномерные по $m$ оценки
$$
\begin{equation}
\sup_{0\leqslant t\leqslant T}\|u^m_x(t,\,\cdot\,)\|_2 +\|\sqrt{\rho_m}(u^m_t)\|_{L_2(Q)}+\|u^m\|_{W^{1,2}_{q^*}(Q)}\leqslant C_{11},
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
$$
\begin{equation}
\|z^m(t_1,\,\cdot\,)-z^m(t_2,\,\cdot\,)\|_{L_1(\Omega)} \leqslant C_{12}|t_1-t_2|^{(q^*-1)/q^*},\qquad 0\leqslant t_1<t_2\leqslant T.
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
В силу оценок (2.19), (2.20), известных теорем вложения и обобщенной теоремы Арцела (см., например, [21; с. 72] найдутся подпоследовательность $m_k\to\infty$, $k\to\infty$ и функция
$$
\begin{equation*}
u(t,x)\in C(0,T;L_1(\Omega))\cap L_\infty(0,T;W^1_2 (\Omega))\cap W^{1,2}_{q^*}(Q)
\end{equation*}
\notag
$$
такие, что при $k\to\infty$
$$
\begin{equation}
u^{m_k}(t,x)\to u(t,x)\qquad \text{в норме}\quad L_{q^*}(Q),
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
$$
\begin{equation}
u_x^{m_k}(t,x)\to u_x(t,x)\quad \text{в норме}\ \ L_{q^*}(Q)\qquad \text{и}\qquad \ast\text{-слабо в}\quad L_\infty(0,T;L_2(\Omega)),
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
$$
\begin{equation}
u_t^{m_k}(t,x)\rightharpoonup u_t(t,x),\qquad u_{xx}^{m_k}(t,x)\rightharpoonup u_{xx}(t,x)\qquad \text{слабо в}\quad L_{q^*}(Q),
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
$$
\begin{equation}
u^{m_k}(t,x)\to u(t,x)\qquad \text{в норме}\quad C(0,T;L_1(\Omega)).
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
$$
\begin{equation}
\sqrt{\rho_{m_k}(t,x)}u_t^{m_k}(t,x)\rightharpoonup\sqrt{\rho(t,x)}u_t(t,x)\qquad \text{слабо в}\quad L_2(Q),
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
причем для $u(t,x)$ справедливы оценки (2.6) и (2.7).
Пусть $\Phi(t,x)\in C^\infty(Q)$ – пробная функция. Поскольку $u^m(t,x)$ удовлетворяет уравнению (2.9), то справедливо интегральное тождество
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_Q\biggl\{\rho_{m_k}(t,x) u_t^{m_k}-\Delta u^{m_k} +\sqrt{\rho_{m_k}(t,x)}\frac{\langle\vec b(x),u_x^{m_k}\rangle}{\sqrt{\rho(t,x)}} +\sqrt{\rho_{m_k}(t,x)}\frac{c(t,x)}{\sqrt{\rho(t,x)}}\,u^{m_k} \nonumber \\ &\qquad{} +\gamma(x)u^{m_k}-\sqrt{\rho_{m_k}(t,x)}\frac{f(t,x)}{\sqrt{\rho(t,x)}}\biggr\} \Phi(t,x) \,dx\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
Заметим, что $\rho_{m_k}(t,x)\to\rho(t,x)$, $k\to\infty$ в $L_\infty(Q)$. Поэтому в силу предельных соотношений (2.21)–(2.25) в (2.26) можно перейти к пределу при $k\to\infty$ и получить, что функция $u(t,x)$ удовлетворяет уравнению (1.1) п.в. в $Q$.
Кроме того,
$$
\begin{equation*}
u^{m_k}(t,x)-\Psi(t,x)=z^{m_k}(t,x)\in L_\infty(0,T;\mathring{W^1_2}(\Omega)).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому с учетом предельного соотношения (2.24) функция $u(t,x)$ удовлетворяет краевым условиям в смысле определения 1. Таким образом, доказано, что $u(t,x)$ – обобщенное решение задачи (1.1), (1.2) и для него справедливы оценки (2.6) и (2.7).
Получим теперь оценку (2.8). Поскольку уравнение (1.1) не является равномерно параболическим и после деления на $\rho(t,x)$ будет иметь неограниченные коэффициенты, мы не можем напрямую воспользоваться классическими результатами для такой оценки (например, из [15; с. 22–23] или из [22; с. 60–61]). Кроме того, для дальнейшего применения оценки (2.8) при исследовании обратной задачи (1.1)–(1.3) нам будет важен конкретный вид (2.4) константы $M$ в этой оценке. Поэтому приведем независимое доказательство оценки (2.8), используя классическое доказательство из [22; с. 60–61]. Снова рассмотрим $\rho_m(t,x)=\rho(t,x)+1/m$ и продолжим ее константой $1/m$ вне $Q$. Продолжим функции $c(t,x)/\rho_m(t,x),\vec b(x),\gamma(x),f(t,x)$ нулем вне $Q$, положим $h=1/m$ и введем средние функции $\rho_m^h,(c/\rho_m)^h,\vec b^h,\gamma^h,f^h$. В силу хорошо известных свойств средних функций имеем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \|\rho_m^h\|_{L_\infty(Q)} \leqslant\rho_1+\frac{1}{m}\,,\qquad \biggl(\frac{c}{\rho_m}\biggr)^h\geqslant -K^*_{c,\rho}, \\ -b_i^h \geqslant -b^*,\qquad \gamma^h\geqslant 0,\qquad \|f^h\|_{L_\infty(Q)}\leqslant K_f. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
Рассмотрим в $Q$ краевую задачу для уравнения
$$
\begin{equation}
\rho_m^hu_t-\Delta u+\langle\vec b^h,u_x\rangle +\rho_m^h\biggl(\frac{c}{\rho_m}\biggr)^hu+\gamma^h u=f^h,
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
с краевыми условиями (1.2). Уравнение (2.28) является равномерно параболическим с гладкими коэффициентами, поэтому задача (2.28), (1.2) имеет единственное (гладкое) решение $u^m(t,x)$, причем в силу проведенных выше рассуждений и условий (2.27) для $u^m(t,x)$ справедливы равномерные по $m$ оценки (2.6) и (2.7).
Введем следующие дифференциальные операторы:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, L^m(w) &=-\rho_m^h w_t+\Delta w-\langle\vec b^h,w_x\rangle -\rho_m^h\biggl(\frac{c}{\rho_m}\biggr)^hw-\gamma^hw, \\ \mathscr L^m(w) &=-w_t+\frac{1}{\rho_m^h}\,\Delta w-\frac{1}{\rho_m^h} \langle \vec b^h,w_x\rangle-\biggl(\frac{c}{\rho_m}\biggr)^hw -\frac{1}{\rho_m^h}\,\gamma^hw. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Временно предположим, что $c(t,x)\geqslant 0$ в $Q$. Тогда и $(c/\rho_m)^h\geqslant 0$ в $Q$. Оператор $\mathscr L^m$ является равномерно параболическим с гладкими ограниченными коэффициентами, поэтому в силу слабого принципа максимума (см. [22; с. 57]) имеем:
$$
\begin{equation*}
\text{если}\ \ \mathscr L^m(w)\leqslant 0\quad \text{в}\ \ Q, \quad w|_\Gamma\geqslant 0,\qquad \text{то и}\quad w\geqslant 0\quad \text{в}\ \ Q.
\end{equation*}
\notag
$$
Но тогда, очевидно, такое же утверждение справедливо и для оператора $L^m$.
Пусть $d$ – размер области $\Omega$ в направлении оси $x_i$, а константа $\lambda^*$ определена соотношением (2.3) (см. замечание 3). Тогда, как нетрудно видеть, справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\lambda^{*^2}-b_i^h(x)\lambda^*\geqslant 1,\qquad x\in\Omega.
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
Положим (см. замечание 3) $\mu(x)=1-e^{\lambda^*(x_i-x_i^0)}$. Для этой функции справедливо неравенство а также
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, L^m(\mu) &=-\lambda^{*^2}e^{\lambda^*(x_i-x_i^0)}+b^h_i(x)\lambda^*e^{\lambda^*(x_i-x_i^0)} -\rho_m^h\biggl(\frac{c}{\rho_m}\biggr)^h\mu-\gamma^h\mu \nonumber \\ &\leqslant-(\lambda^{*^2}-b_i^h(x)\lambda^*)e^{\lambda^*(x_i-x_i^0)}\leqslant -e^{-\lambda^*d}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.31}
$$
В последнем переходе мы учли неравенство (2.29) и определение величины $d$ (см. замечание 3).
Пусть $u^m(t,x)$ – решение задачи (2.28), (1.2). Полагая где $M_0$ из условия (D), находим, что
$$
\begin{equation*}
L^m(w^\pm)\leqslant 0\quad \text{в}\ \ Q,\qquad w^\pm|_\Gamma\geqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда, как отмечено выше, вытекает, что $w^\pm(t,x)\geqslant 0$ в $Q$, а следовательно, с учетом (2.30)
$$
\begin{equation}
|u^m(t,x)|\leqslant M_0+e^{\lambda^*d}|\mu(x)|K_f \leqslant M_0+K_f(e^{\lambda^*d}-1),\qquad (t,x)\in Q.
\end{equation}
\tag{2.32}
$$
Пусть теперь $c(t,x)$ любого знака, но выполнено условие (C). Положим $v^m(t,x)=u^m(t,x)e^{-K^*_{c,\rho}t}$. Тогда имеем
$$
\begin{equation*}
L^m(v^m) \equiv -\rho_m^h v^m_t+\Delta v^m-\langle\vec b^h,v^m_x\rangle -\rho_m^h\biggl(K^*_{c,\rho}+\biggl(\frac{c}{\rho_m}\biggr)^h\biggr)v^m \gamma^hv^m=-e^{K^*_{c,\rho}t}f^h,
\end{equation*}
\notag
$$
где в силу (2.27) $K^*_{c,\rho}+(c/\rho_m)^h\geqslant 0$.
Следовательно, в силу доказанного выше неравенства (2.32) справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
|v^m(t,x)|\leqslant M_0+K_f(e^{\lambda^*d}-1),\qquad (t,x)\in Q,
\end{equation*}
\notag
$$
из которой вытекает равномерная по $m$ оценка
Поскольку для $u^m(t,x)$ справедливы равномерные по $m$ оценки (2.6), (2.7), то с учетом известных свойств средних функций в задаче (2.28), (1.2) можно перейти к пределу при $m\to\infty$ $(h\equiv 1/m\to 0)$. В частности, мы получим, что
$$
\begin{equation*}
u^m(t,x)\rightharpoonup u(t,x),\quad m\to\infty,\qquad \text{слабо в}\quad L_2(Q),
\end{equation*}
\notag
$$
где $u(t,x)$ – (единственное) обобщенное решение задачи (1.1), (1.2).
Но тогда из (2.33) вытекает искомая оценка (2.8) для $u(t,x)$ – обобщенного решения задачи (1.1), (1.2) (см. лемму 5 ниже). Теорема 2 доказана. Замечание 4. Номер $i$ оси $x_i$ при доказательстве оценки (2.8) следует выбрать так, чтобы произведение $(b^*+1)d$ было наименьшим – см. замечание 3. 3. Исследование обратной задачиРассмотрим обратную задачу (1.1)–(1.3) и выведем операторное уравнение для нахождения неизвестного коэффициента $\gamma(x)\in L^+_\infty(\Omega)$. Для этого умножим уравнение (1.1) на $\chi(t)$ и проинтегрируем по отрезку $[0,T]$. Учитывая условие наблюдения (1.3) и условия (E), (F), получим равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \gamma(x) &=\frac{1}{\varphi(x)}\biggl\{F(x)+\Delta \varphi-\langle\vec b(t,x),\varphi_x\rangle -\rho(T,x)\chi(T)u(T,x) \nonumber \\ &\qquad{}+\rho(0,x)\chi(0)\Psi(0,x)+\int_0^T[(\rho\chi)_t-c\chi]u\,dt\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Введем оператор $\mathscr A\colon L^+_\infty(\Omega)\to L_\infty(\Omega)$ по формуле
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathscr A(\gamma) &=\frac{1}{\varphi(x)}\biggl\{F(x)+\Delta\varphi-\langle\vec b(t,x),\varphi_x\rangle -\rho(T,x)\chi(T)u(T,x) \nonumber \\ &\qquad{}+\rho(0,x)\chi(0)\Psi(0,x)+\int_0^T[(\rho\chi)_t-c\chi]u\,dt\biggr\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где $\gamma(x)$ – произвольная функция из $L^+_\infty(\Omega)$, а $u(t,x)\equiv u(t,x;\gamma)$ – решение прямой задачи (1.1), (1.2) с данным коэффициентом $\gamma(x)$ в уравнении (1.1). Такое решение существует и единственно в силу теорем 1 и 2 из предыдущего раздела. Тогда соотношение (3.1) перепишется в виде Замечание 5. В силу условий (A)–(F) и теорем 1 и 2 оператор $\mathscr A$ определен корректно и действует из $L^+_\infty(\Omega)$ в $L_\infty(\Omega)$. Лемма 1. Пусть выполнены условия (A)–(G). Тогда операторное уравнение (3.3) эквивалентно обратной задаче (1.1)–(1.3) в следующем смысле. Если пара $\{u(t,x),\gamma(x)\}$ является обобщенным решением обратной задачи (1.1)–(1.3), то $\gamma(x)$ удовлетворяет уравнению (3.3). Обратно, если $\widehat\gamma(x)\in L^+_\infty(\Omega)$ является решением операторного уравнения (3.3), а $\widehat u(t,x)$ – решение прямой задачи (1.1), (1.2) с этой функцией $\widehat\gamma(x)$ в правой части уравнения (1.1), то пара $\{\widehat u(t,x),\widehat\gamma(x)\}$ является обобщенным решением обратной задачи (1.1)–(1.3). Доказательство. Доказательство леммы является повторением аналогичного доказательства леммы 2.1 в [9]. Лемма 2. Пусть выполнены условия (A)–(G), константа $M$ определена в (2.4). Предположим, что выполнено неравенство Тогда для всех $\gamma(x)\in L^+_\infty(\Omega)$ $\mathscr A(\gamma)(x)\geqslant 0$. Доказательство. Из (3.4) с учетом оценки (2.8) вытекает неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &F(x)+\Delta\varphi-\langle\vec b(t,x),\varphi_x\rangle-\rho(T,x)\chi(T)u(T,x) \\ &\qquad\qquad{}+\rho(0,x)\chi(0)\Psi(0,x)+\int_0^T[(\rho\chi)_t-c\chi]u\,dt\geqslant 0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
из которого в силу определения оператора $\mathscr A$ в (3.2) следует утверждение леммы. Лемма 3. Пусть выполнены условия (A)–(G), (3.4), константа $M$ определена в (2.4). Тогда для всех $\gamma(x)\in L^+_\infty(\Omega)$ справедлива оценка где Доказательство. Оценка (3.5) есть непосредственное следствие определения оператора $\mathscr A$ в (3.2), условий (A)–(F) и оценки (2.8). Замечание 6. Если выполнено неравенство (3.4), то константы $F_1,\varphi_1,K_{b,\varphi}$ заведомо удовлетворяют условию $F_1+\varphi_1+K_{b,\varphi}\geqslant 0$. Но тогда и $F_2+\varphi_2+K^*_{b,\varphi}\geqslant 0$, а следовательно, в (3.6) $R_0\geqslant 0$. Лемма 4. Пусть выполнены условия (A)–(G), (3.4), константа $M$ определена в (2.4). Тогда оператор $\mathscr A$ отображает множество $L^+_\infty(\Omega)$ в $B^+_{R_0}$, где $R_0$ из (3.6). Теорема 3. Пусть выполнены условия (A)–(G), (3.4), константа $M$ определена в (2.4). Предположим, что Доказательство. В силу леммы 4 оператор $\mathscr A$ переводит множество $B^+_{R_0}$ в себя. Покажем, что оператор $\mathscr A$ является сжимающим на $B^+_{R_0}$. Пусть $\gamma^{(1)}(x),\gamma^{(2)}(x)\in B^+_{R_0}$, а $u^{(1)}(t,x)\equiv u(t,x;\gamma^{(1)}(x))$, $u^{(2)}(t,x)\equiv u(t,x;\gamma^{(2)}(x))$ – соответствующие решения прямой задачи (1.1), (1.2). Положим $v(t,x)=u^{(1)}(t,x)-u^{(2)}(t,x)$, $\sigma(x)=\gamma^{(1)}(x)-\gamma^{(2)}(x)$. Тогда пара $\{v(t,x),\sigma(x)\}$ удовлетворяет соотношениям
Применяя оценку (2.8) к функции $v(t,x)$ с учетом того, что $v(t,x)$ удовлетворяет соотношениям (3.9), (3.10), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|v\|_{L_\infty(Q)} &\leqslant e^{K^*_{c,\rho}T}(e^{\lambda^*d}-1)\|\sigma(x)u^{(2)}(t,x)\|_{L_\infty(Q)} \nonumber \\ &\leqslant e^{2K^*_{c,\rho}T}(e^{\lambda^*d}-1)\bigl[M_0+K_f(e^{\lambda^*d}-1)\bigr]\|\sigma\|_\infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Но тогда в силу определения оператора $\mathscr A$ в (3.2) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|\mathscr A(\gamma^{(1)}-\mathscr A(\gamma^{(2)}\|_\infty \\ &\qquad\leqslant\frac{1}{\varphi_0}[\rho_3|\chi(T)|\cdot\|v\|_{L_\infty(Q)} +(K^*_{\rho,\chi}+\rho_1K^*_\chi +\rho_1K_{c,\rho} K_\chi)\|v\|_{L_\infty(Q)}] \\ &\qquad\leqslant\frac{1}{\varphi_0}\bigl[\rho_3|\chi(T)|+(K^*_{\rho,\chi} +\rho_1K^*_\chi+\rho_1K_{c,\rho}K_\chi)\bigr] \\ &\qquad\qquad{}\times e^{2K^*_{c,\rho}T}(e^{\lambda^*d}-1) \bigl[M_0+K_f(e^{\lambda^*d}-1)\bigr]\|\sigma\|_\infty, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда в силу (3.7) получаем, что
$$
\begin{equation*}
\|\mathscr A(\gamma^{(1)})-\mathscr A(\gamma^{(2)})\|_\infty \leqslant m\|\gamma^{(1)}-\gamma^{(2)}\|_\infty,\qquad m<1.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, оператор $\mathscr A$ является сжимающим оператором, переводящим множество $B^+_{R_0}$ в себя, а следовательно, операторное уравнение (3.3) имеет единственное решение, лежащее в $B^+_{R_0}$. В силу леммы 1 получаем, что обратная задача (1.1)–(1.3) имеет решение и притом единственное. Кроме того, справедлива оценка (3.8). Теорема 3 доказана. 4. Пример и заключительные замечанияПриведем пример обратной задачи, для которой применимы доказанные в разделе 3 теоремы существования и единственности. Пример. Пусть $\Omega=\{x\colon |x|< l\}$ – $n$-мерный шар, $Q=[0,T]\times\overline\Omega$. Рассмотрим в $Q$ обратную задачу Здесь $\alpha=\mathrm{const}\in(0,1)$, $\beta=\mathrm{const}\in(0,n)$. В обозначениях задачи (1.1)–(1.3) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \rho(t,x)=(T-t)^\alpha|x|^\beta,\qquad \vec b(t,x)=\vec 0,\qquad c(t,x)=0,\qquad f(t,x)=0, \\ \chi(t)=\frac{1}{T}\,,\qquad \varphi(x)=\frac{1}{2}\biggl(\frac{|x|^2}{l^2}+1\biggr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что условие (4.3) имеет простой физический смысл: это взятие среднего по времени от функции $u(t,x)$ на промежутке $[0,T]$. Заметим, что $\rho_t=-\alpha (T-t)^{\alpha-1}|x|^\beta$, поэтому $\rho_t\in L_1(0,T;L_\infty(\Omega))$, $\rho_t\leqslant 0$, так что выполняется вариант 1 из условия (B). Выполнение остальных условий (A), (C)–(G) очевидно. Выясним, как выглядят условия (3.4) и (3.7) из теоремы 3. Нетрудно проверить, что константы, входящие в это условие, могут выбраны следующими:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \rho_1=\rho_2=T^\alpha l^\beta,\qquad \rho_3=0,\qquad K_{b,\rho}=K_{c,\rho}=K_{c,\rho}^*=b^*=K_f=F_1=F_2=0, \\ \lambda^*=1,\qquad d=2l,\qquad K_\chi=1,\qquad K_\chi^*=0,\qquad K_{\rho,\chi}^*=T^{\alpha-1}l^\beta, \\ \chi(T)=\chi(0)=\frac{1}{T}\,, \qquad M_0=M=1,\qquad \varphi_0=\frac{1}{2}\,,\qquad \varphi_1=\varphi_2=\frac{n}{l^2}\,. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, условие (3.4) запишется в виде
$$
\begin{equation*}
\frac{n}{l^2}\geqslant T^\alpha l^\beta\frac{1}{T} +T^{\alpha-1}l^\beta\equiv 2T^{\alpha-1}l^\beta,
\end{equation*}
\notag
$$
что эквивалентно соотношению а условие (3.7) запишется в виде что эквивалентно соотношению Таким образом, условия (4.4) и (4.5) будут выполнены либо при достаточно большом $T$ (и фиксированном радиусе шара $\Omega$), либо если радиус шара $\Omega$ мал (а $T$ фиксировано). В обоих этих случаях для обратной задачи (4.1)–(4.3) выполнены условия теоремы 3, а следовательно, эта задача имеет решение и притом единственное. В заключение для полноты изложения докажем известное утверждение, которое было использовано выше при доказательстве оценки (2.8) в теореме 2. Лемма 5. Пусть в некоторой области $D\subset\mathbb R^n$ заданы функции $f_k(x),f(x)\in L_2(D)$, $k=1,2,\dots$, $f_k(x)\geqslant 0$ в $D$, и при $k\to\infty$ $f_k(x)\rightharpoonup f(x)$ слабо в $L_2(D)$. Тогда $f(x)\geqslant 0$ в $D$. Доказательство. Пусть $\psi(x)\geqslant 0$ – произвольная функция из $L_2(D)$. Тогда и следовательно,
Предположим от противного, что $f(x)<0$ на множестве $E\subset D$ положительной меры. Тогда $\int_E f(x)\,dx<0$. Выберем в качестве $\psi(x)$ характеристическую функцию множества $E$. В результате получим $\int_Df(x)\psi(x)\,dx=\int_E f(x)\,dx<0$, что противоречит соотношению (4.6). Лемма доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kam24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|