| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Краткие сообщения О новых представлениях значений бета-функции Дирихле в четных точках Т. А. Сафонова Северный (Арктический) федеральный университет им. М. В. Ломоносова, г. Архангельск
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624050213 
Реферативные базы данных:
  1.Следуя [1; гл. 23], символом $\beta(s)$ обозначим сумму ряда
$$
\begin{equation*}
\beta(s)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)^s}, \qquad \operatorname{Re} s>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Функцию $\beta(s)$ называют бета-функцией Дирихле (см., например, [2; гл. 1, п. 1.7]), и хорошо известно, что
$$
\begin{equation*}
\beta(2n+1)=\frac{(-1)^n(\pi/2)^{2n+1}}{2(2n)!}E_{2n}, \qquad n=0,1,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
где $E_{n}$ – числа Эйлера (см., например, [1; гл. 23, формула 23.2.22]. Из этой формулы следует, что числа $\beta(2n+1)$ являются трансцендентными. Однако различные известные представления для чисел $\beta(2n)$ или их определенных комбинаций, например, интегральное представление
$$
\begin{equation}
\beta(2n)=\frac{(-1)^{n}\pi^{2n}}{4(2n-1)!}\int_{0}^{1} \frac{E_{2n-1}(x)}{\sin (\pi x)}\,dx, \qquad n=1,2,\dots,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $E_{n}(x)$ – многочлены Эйлера (см., например, [1; гл. 23, формула 23.1.1]), не позволяют судить об их арифметической природе, и об этом мало что известно. В частности, по этой причине отыскание представлений этих чисел или их комбинаций в виде интегралов, рядов и др. представляет особый интерес, а литература, посвященная этой тематике, весьма обширна (см., например, [2] и [3]). В п. 2 настоящей работы приведены предварительные сведения, используемые в установлении справедливости результатов пп. 3 и 4, в которых сформулированы утверждения о новых представлениях некоторых определенных линейных комбинаций чисел $\beta(2n)$ в виде рядов, содержащих логарифмы (теорема 3), и пределов некоторых числовых последовательностей, содержащих тригонометрические функции (теорема 4). На протяжении всей работы особое внимание уделяется вопросам применения полученных результатов к различным представлениям чисел $\beta(2)$ ($=:G$ – постоянная Каталана; см., например, [2; гл. 1, п. 1.7]) и $\beta(4)$. 2.Следуя работам [4]–[6], рассмотрим дифференциальный оператор, порожденный выражением и граничными условиями Дирихле $y(0)=y(\pi)=0$ в гильбертовом пространстве $\mathcal{L}^2[0,\pi]$ – пространстве всех классов попарно п.в. равных между собой комплекснозначных измеримых функций $y$, таких, что $|y|^2$ интегрируема по Лебегу на $[0,\pi]$. Используя метод спектральной теории для него, в упомянутых выше работах получены интегральные представления производящих функций для значений дзета-функции Римана и родственных с ней функций в натуральных точках, в том числе установлена справедливость следующей теоремы для производящих функций чисел $\beta(2n)$.Из этой теоремы можно извлечь, что для последовательности
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}_m:=\sum_{n=1}^{m}\frac{(-1)^{m-n}}{(2(m-n))!}\biggl( \frac{\pi}{2}\biggr)^{2(m-n)} \beta(2n), \qquad m=1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
справедливо равенство
$$
\begin{equation}
\sum_{m=1}^{+\infty}\mathcal{A}_ma^{2(m-1)}= \frac{1}{2a}\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin(ax)}{\sin x}\,dx.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Разложив правую часть этого равенства в степенной ряд по степеням $a$ и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях в полученном равенстве, после некоторых элементарных преобразований приходим к справедливости равенства
$$
\begin{equation}
\mathcal{A}_m=\frac{(-1)^{m-1}}{2(2m-1)!}\int_{0}^{\pi/2}\frac{x^{2m-1}}{\sin x}\,dx, \qquad m=1,2,\dots,
\end{equation}
\tag{4}
$$
из которого, в частности, при $m=1$ и $m=2$ следует справедливость следующих равенств для постоянной Каталана $G$ (см., например, [7; п. 2.5.4, формула 5]) и числа $\beta(4)$
$$
\begin{equation*}
G=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\frac{x}{\sin x}\,dx, \qquad \beta(4)=\frac{\pi^2}{8}G-\frac{1}{12}\int_{0}^{\pi/2}\frac{x^3}{\sin x}\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко показать, что формула для $G$ совпадает с равенством (1) при $n=1$. Пусть теперь число $a$ является правильной положительной рациональной дробью, т.е. $a={p}/q$, где $p,q\in\mathcal{N}$ и $0<p<q$. Тогда интеграл, стоящий в правых частях равенств (2) и (3), явно вычисляется и
$$
\begin{equation}
\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin(ax)}{\sin x}\,dx =2\cos\frac{p\pi}{2q}\sum_{k=1}^{q}(-1)^{k}\sin(2k-1) \frac{p\pi}{2q}\ln\sin(2k-1)\frac{\pi}{4q}.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Учитывая это равенство в (2), приходим к справедливости следующего утверждения. Отметим также, что интеграл, стоящий в правых частях равенств (2) и (3), можно вычислить в терминах гипергеометрических функций (см. [6; равенство (2.14)]), а интеграл из правой части (4) можно записать в виде суммы достаточно быстро сходящегося ряда, общий член которого содержит значения дзета-функции Римана $\zeta(2n)$ (см. [4; равенство (17)]). В заключении этого пункта отметим, что формула (2) приведена в [4; равенство (3)] и [5; равенство (3)], равенство (4) приведено в [4; равенство (8)], равенство (5) в [6; лемма 1], а равенство (6) – в [5; теорема 3] и [6; теорема 3]. 3.Из разложения
$$
\begin{equation*}
\frac{\pi}{2\sin(\pi x/2)}=\frac{1}{ x}+{2x}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{(2k)^2-x^2}
\end{equation*}
\notag
$$
(см., например, [8; формула 4.22.5]), следует справедливость соотношения
$$
\begin{equation}
\int_{0}^{\pi/2}\frac{x^{j}}{\sin x}\,dx=\biggl( \frac{\pi}{2}\biggr)^{j}\biggl( \frac{1}{j}-2\sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^k\int_{0}^{1}\frac{u^{j+1}}{(2k)^2-u^2}\,du\biggr), \qquad j=1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Вычислив интеграл, стоящий в правой части этого равенства при $j=2m-1$, находим, что справедлива формула
$$
\begin{equation}
\int_{0}^{1}\frac{u^{2m}}{(2k)^2-u^2}\,du=-\frac12\biggl( (2k)^{2m-1}\ln\frac{{2k}-1}{{2k}+1} +2\sum_{l=0}^{m-1}\frac{(2k)^{2l}}{2m-2l-1}\biggr), \qquad m=1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Учитывая далее равенства (7) и (8) в представлении (4), приходим к справедливости следующего утверждения. В частности, полагая $m=1$ и $m=2$ в этом равенстве, для постоянной Каталана $G$ и числа $\beta(4)$ получим справедливость соотношений
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, G=\frac{\pi}{4}\biggl(1+2\sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^k\biggl(1+k\ln\frac{2k-1}{2k+1}\biggr)\biggr), \\ \notag \beta(4) =\frac{\pi^2}{8}G-\frac{\pi^3}{288}\biggl(1+2\sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^k \biggl(1+12k^2+12k^3\ln\frac{2k-1}{2k+1}\biggr)\biggr). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{9}
$$
Частичные суммы $S_n$ ряда, стоящего в правой части равенства (9), при $n=2m$ и $n=2m+1$ запишутся в виде
$$
\begin{equation*}
S_{2m}=\sum_{k=1}^{2m}(-1)^kk\ln\frac{2k-1}{2k+1}, \qquad S_{2m+1}=S_{2m}-1-(2m+1)\ln\frac{4m+1}{4m+3}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, равенство (9) можно переписать в виде
$$
\begin{equation*}
G=\frac{\pi}{4}\biggl( 1+2\sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^kk\ln\frac{2k-1}{2k+1}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
из которого следует, что
$$
\begin{equation*}
\exp\biggl(\frac{2G}{\pi}-\frac12\biggr) =\prod_{k=1}^{+\infty}\biggl(1-\frac{2}{2k+1}\biggr)^{(-1)^kk}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из равенства (9) и известного тождества
$$
\begin{equation*}
\ln 2=1+2\sum_{k=1}^{+\infty}\biggl(1+k\ln\frac{2k-1}{2k+1}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
(см., например, [7; п. 5.5.1, формула 21]), также можно извлечь, что для величины $e^{{G}/{\pi}}$ справедливы равенства
$$
\begin{equation*}
e^{{G}/{\pi}}=\frac{3\sqrt[4]{2}}{e}\prod_{k=1}^{+\infty} \biggl(e^{-1}\biggl(1+\frac{2}{4k+1}\biggr)^{2k+1}\biggr) =\frac{\sqrt{e}}{\sqrt[4]{2}}\prod_{k=1}^{+\infty} \biggl(e\biggl(1-\frac{2}{4k+1}\biggr)^{2k}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
возведение в квадрат и перемножение которых приводит к соотношению
$$
\begin{equation*}
e\cdot e^{{4G}/{\pi}}=9\prod_{k=1}^{+\infty} \biggl(1+\frac{4}{4k-1}\biggr)\biggl(1-\frac{4}{(4k+1)^2}\biggr)^{4k+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта формула напоминает тождество
$$
\begin{equation*}
{\pi}\cdot e^{{4G}/{\pi}}=8\prod_{k=1}^{+\infty}\biggl(1-\frac{1}{(2k+1)^2}\biggr)^{(-1)^k(2k+1)},
\end{equation*}
\notag
$$
приписываемое С. Рамануджану. Несколько видоизменив рассуждения, приводящие к доказательству теоремы 3, можно получить ее аналог, из которого при $m=1$ будет следовать это тождество. Однако, это, по-видимому, тема отдельной работы. Известно, что постоянная $e^{{2G}/{\pi}}$ является решением одной классической физической задачи – задачи о димерах – найденным в 1961 г. одновременно в работах [9] и [10], и до сих пор в физической литературе встречаются работы, посвященные приближенным вычислениям этой постоянной (см., например, [11]). Приведенные выше формулы могут оказаться полезными в этом отношении. Отметим также, что в работе [12] приведены формулы разложения некоторых математических констант, включая число $e^{G/{\pi}}$, в бесконечные произведения. Однако они получены из других соображений и отличаются от приведенных выше формул. 4.Пусть число $a$ является правильной положительной рациональной дробью, т.е. $a={p}/{q}$, где $p,q\in\mathcal{N}$ и $0<p<q$. Тогда из равенства (5) можно извлечь, что при $m=1,2,\dots$
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{\pi/2}\frac{(\sin (ax))^{2m-1}}{\sin x}\,dx =\sum_{k=1}^{q-1}(-1)^k\sin^{2m-1}\frac{kp\pi}{q} \ln\frac{\sin((2k-1)\pi/(4q))}{\sin((2k+1)\pi/(4q))}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положив в этом равенстве $a=a_n=p_n/q_n$, $n=1,2,\dots$, – последовательность положительных рациональных чисел, такую, что $a_n\to 0$ при $n\to+\infty$, и записав равенство (4) в виде
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}_m=\frac{(-1)^{m-1}}{2(2m-1)!}\lim_{a_n\to 0}\frac{1}{a_n^{2m-1}}\int_{0}^{\pi/2}\frac{(\sin(a_nx))^{2m-1}}{\sin x}\,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
очевидно, получим представление $\mathcal{A}_m$ в виде предела некоторой числовой последовательности. Таким образом, справедливо следующее утверждение. Теорема 4. Пусть $a_n=p_n/q_n$, $n=1,2,\dots$, – последовательность положительных рациональных чисел, такая, что $a_n\to 0$ при $n\to+\infty$. Тогда при $m=1,2,\dots$ справедливо равенство В частности, полагая $a_n=1/(2n)$, получим, что при $m=1,2,\dots$ справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}_m=\frac{(-1)^{m-1}}{2(2m-1)!}\lim_{n\to +\infty}(2n)^{2m-1}\sum_{k=1}^{2n-1}(-1)^k\sin^{2m-1} \frac{k\pi}{2n}\ln\frac{\sin((2k-1)\pi/(8n))}{\sin((2k+1)\pi/(8n))},
\end{equation*}
\notag
$$
из которого для постоянной Каталана $G$ (при $m=1$) и числа $\beta(4)$ (при $m=2$) следует справедливость соотношений
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, G=\lim_{n\to +\infty}n\sum_{k=1}^{2n-1}(-1)^k\sin\frac{k\pi}{2n} \ln\frac{\sin((2k-1)\pi/(8n))}{\sin((2k+1)\pi/(8n))}, \\ \beta(4)=\frac{\pi^2}{8}G-\frac{2}{3}\lim_{n\to +\infty}n^{3}\sum_{k=1}^{2n-1}(-1)^k\sin^{3}\frac{k\pi}{2n} \ln\frac{\sin((2k-1)\pi/(8n))}{\sin((2k+1)\pi/(8n))}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Легко проверяется, что приведенное здесь равенство для $G$ можно преобразовать к виду
$$
\begin{equation*}
G=2\lim_{n\to+\infty}n\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k}\sin(2k-1) \frac{\pi}{4n}\ln\sin(2k-1)\frac{\pi}{8n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Справедливость этой формулы следует из формулы (6), если в ней положить $a=a_n=1/(2n)$ и перейти к пределу при $n\to\infty$ (см. также [6; следствие 4]). Различные представления $\zeta(2n+1)$ и родственных с ними чисел в виде пределов некоторых последовательностей, например, соотношение
$$
\begin{equation}
\zeta(2n+1)=\lim_{q\to+\infty}\biggl(\frac{\pi}{2q}\biggr)^{2n+1}\sum_{p=1}^{q}\operatorname{ctg}^{2n+1}\biggl( \frac{p\pi}{2q+1}\biggr),
\end{equation}
\tag{10}
$$
где $q\in\mathcal{N}$, хорошо известны (см. [13]). Представление последовательностей $\mathcal{A}_m$ из теоремы 4 напоминает равенство (10). Кроме того, если в формуле (4) заменить интеграл на предел соответствующих интегральных сумм, также получим их представления в виде пределов некоторых числовых последовательностей. Однако представление этих последовательностей, сформулированное в теореме 4, принципиально отличается от описанных выше. Автор выражает искреннюю благодарность проф. К. А. Мирзоеву за постоянное внимание к работе. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Saf24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|