| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Об одной задаче Берже И. Х. Сабитов Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624090311 
Реферативные базы данных:
 1. Постановка задачи и идея ее решенияВ книге [1] среди многочисленных нерешенных задач на с. 387 упоминается задача о существовании неконгруентных изометричных поверхностей в аналитическом классе гладкости. Эта задача связана с именем Кон-Фоссена, потому что он в своей работе [2] показал, как при наличии нежесткой поверхности построить пару неконгруентных изометричных поверхностей. Во времена Кон-Коссена компактные (и без края) нежесткие поверхности были известны только в классе деформаций гладкости $C^\infty$, хотя сам Кон-Фоссен в той же работе [2] на с. 83 утверждает без доказательства, что легко построить нежесткие аналитические поверхности вращения, но при этом не упоминая ничего о классах гладкости полей бесконечно малых (б.м.) изгибаний. Поэтому Берже поставил вопрос о переносе результата Кон-Фоссена на аналитический случай, и авторы работы [3] естественно назвали эту задачу проблемой Кон-Фоссена–Берже. Решение этой проблемы заявлено как одна из целей работы [3], и она там решена параллельно с решением проблемы Бонне в классе погруженных пар поверхностей рода 1, т.е. найдены классы пар торообразных изометричных поверхностей с одинаковой (своей в каждой паре) средней кривизной (построенные поверхности оказались с самопересечениями). Мы же хотим указать, что если не уточнять требование на топологический класс искомых нежестких аналитических поверхностей, то решение задачи Кон-Фоссена–Берже в литературе на самом деле считается известным довольно давно. Мы опишем предложенный Кон-Фоссеном подход к решению этой задачи, а также приведем историю и критический анализ соответствующих работ. Как уже было сказано, в статье [2] приводится один способ построения пары изометричных поверхностей. Покажем, как это делается. Пусть некоторая поверхность $S$ с радиус-вектором $\mathbf r(u,v)$ является нежесткой с полем бесконечно малого (б.м.) изгибания $\mathbf z(u,v)$. Тогда выполнено уравнение Рассмотрим теперь поверхности
$$
\begin{equation*}
S_1\colon\mathbf r_1(u,v)=\mathbf r(u,v)+t\mathbf z(u,v)\qquad \text{и}\qquad S_2\colon\mathbf r_2(u,v)=\mathbf r(u,v)-t\mathbf z(u,v).
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом уравнения (1.1) имеем, что
$$
\begin{equation*}
d\mathbf r_1^2=d\mathbf r^2+t^2\,d\mathbf z^2=d\mathbf r_2^2,
\end{equation*}
\notag
$$
значит, поверхности $S_1$ и $S_2$ при каждом $t$ имеют одинаковые метрические формы, т.е. они изометричны. Хотя Кон-Фоссен и написал, что построить аналитические нежесткие поверхности легко, он сам не привел никакого доказательства этого утверждения1, и поэтому Рембс в работе [5] решил предложить конкретные примеры таких поверхностей. Однако его доказательство с рассуждениями с использованием ссылки на работу Ф. Шэфке (F. Schäfke) с неизвестными выходными данными представляется нам не очень убедительным. Также критически можно оценить и работу [6], так как в ней утверждается существование аналитических нежестких поверхностей вращения с определенными свойствами с регулярными полями их б.м. изгибаний без уточнения понятия регулярности. Вполне возможно, что Берже либо не знал об этих работах либо сомневался в достоверности их результатов, поэтому он и писал о нерешенности проблемы существования изометричных компактных поверхностей в аналитическом классе гладкости. 2. Элементы теории бесконечно малых изгибанийМы, не зная о постановке в книге Берже этой проблемы, в 2013 г. в ходе изучения б.м. изгибаний поверхностей вращения с уплощениями в полюсах, обнаружили существование при определенных условиях нежестких аналитических поверхностей вращения с аналитическими полями б.м. изгибаний, а отсюда уже описанным в п. 1 способом строится пример компактных аналитических изометричных поверхностей. Объясним на одном конкретном примере, как можно построить нежесткие аналитические поверхности вращения топологического типа сферы. Напомним стандартные формулы теории бесконечно малых изгибаний в применении к поверхностям вращения (см., например, [7]). Пусть $\mathbf k$ – единичный вектор оси вращения, которую мы принимаем за ось $Oz$, $\mathbf e(\theta)$ – единичный вектор, описывающий окружность в ортогональной к оси вращения плоскости. Положим $\mathbf e(\theta)=\cos\theta\mathbf i+\sin\theta\mathbf j$, где $\mathbf i$ и $\mathbf j$ – единичные орты по осям $Ox$ и $Oy$ соответственно. Пусть гладкая поверхность вращения $S$ в окрестности полюса $(0,0,0)$ представлена уравнением
$$
\begin{equation}
\mathbf r=\varphi(\rho)\mathbf k+\rho\mathbf e(\theta),
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $\rho$ – расстояние от оси вращения, $0\leqslant\rho\leqslant a$, $z=\varphi(\rho)$ – уравнение меридиана, $\varphi(0)=0$, $\varphi'(0)=0$. Пусть
$$
\begin{equation}
\mathbf U(\rho,\theta)=\alpha\mathbf k+\beta\mathbf e(\theta) +\gamma\mathbf e'(\theta)
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
– гладкое векторное поле, заданное в точках поверхности и определяющее ее б.м. изгибание 1-го порядка соотношением
$$
\begin{equation}
\mathbf r\to\mathbf r_\varepsilon=\mathbf r+2\varepsilon\mathbf U.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
В стандартном декартовом базисе поле $\mathbf U$ б.м. изгибания имеет вид где $a=\beta\cos\theta-\gamma\sin\theta$, $b=\beta\sin\theta+\gamma\cos\theta$. Условие $ds^2-ds_\varepsilon^2=o(\varepsilon)$, $\varepsilon\to 0$, приводит к уравнению $d\mathbf r\,d\mathbf U=0$, которое, в свою очередь, можно записать в виде следующих уравнений на функции $\alpha(\rho,\theta),\beta(\rho,\theta),\gamma(\rho,\theta)$:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \varphi'\alpha_\rho+\beta_\rho=0, \\ \rho\gamma_\rho+\varphi'\alpha_\theta+\beta_\theta-\gamma=0, \\ \beta+\gamma_\theta=0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Так как все участвующие в (2.5) неизвестные функции являются периодическими по $\theta$, то естественно попытаться разделить переменные, для чего в качестве искомых нужно взять коэффициенты Фурье функций $\alpha(\rho,\theta), \beta(\rho,\theta), \gamma(\rho,\theta)$. Положим
$$
\begin{equation*}
\alpha=\sum_{-\infty}^{+\infty}\alpha_m(\rho)e^{im\theta},\qquad \beta=\sum_{-\infty}^{+\infty}\beta_m(\rho)e^{im\theta},\qquad \gamma=\sum_{-\infty}^{+\infty}\gamma_m(\rho)e^{im\theta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как все функции действительные, то
$$
\begin{equation*}
\alpha_m=\overline\alpha_{-m},\qquad \beta_m=\overline\beta_{-m},\qquad \gamma_m=\overline\gamma_{-m}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из условия регулярности поля б.м. изгибания в полюсе получаем, что все функции $\alpha_m(\rho),\beta_m(\rho),\gamma_m(\rho)$ в точке $\rho=0$ должны удовлетворять условиям
$$
\begin{equation*}
\alpha_m(0)=\beta_m(0)=\gamma_m(0)=0,\qquad \alpha'_m(0)=\beta'_m(0)=\gamma'_m(0)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
В дальнейшем составляющие поля $\mathbf U$, соответствующие номерам $m$, будем называть $m$-й гармоникой этого поля. Так как гармоники с номерами $m=0$ и $m=\pm 1$ соответствуют тривиальным б.м. изгибаниям, считаем $|m|\geqslant 2$. Вернемся к уравнениям б.м. изгибаний. Предполагая, что разложения Фурье поля б.м. изгибаний $\mathbf U$ допускают почленное дифференцирование по $\rho$ и по $\theta$, мы из (2.5) получаем систему
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \varphi'(\rho)\alpha'_m+\beta'_m=0, \\ im\varphi'(\rho)\alpha_m+im\beta_m-\gamma_m+\rho\gamma'_m=0, \\ \beta_m+im\gamma_m=0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Отсюда для $\beta_m$ и $\gamma_m$ получаем соотношения
$$
\begin{equation}
\gamma_m=\frac{i}{m}\,\beta_m,\qquad \beta_m=-\int_0^\rho\varphi'(t)\alpha'_m(t)\,dt.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Исключая из системы (2.6) неизвестную $\gamma_m(\rho)$, получим систему
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \beta'_m(\rho)=-\dfrac{m^2\varphi'(\rho)}{\rho}\,\alpha_m(\rho)-\dfrac{m^2-1}{\rho}\,\beta_m(\rho), \\ \alpha'_m(\rho)=\dfrac{m^2}{\rho}\,\alpha_m(\rho)+\dfrac{m^2-1}{\rho\varphi'(\rho)}\,\beta_m(\rho), \end{cases}\qquad \rho >0.
\end{equation*}
\notag
$$
откуда, предполагая, что все происходит в классе гладкости $C^2$, для $\alpha_m(\rho)$ приходим к уравнению
$$
\begin{equation}
\rho\varphi'(\rho)\alpha''_m+\rho\varphi''(\rho)\alpha'_m-m^2\varphi''(\rho)\alpha_m=0.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Видим, что в итоге действительная и мнимая части искомых функций должны удовлетворять одинаковым уравнениям с действительными коэффициентами, поэтому будем считать, что все искомые функции являются вещественно-значными и что $m\geqslant 2$. Заметим, что “главной” функцией является $\alpha$ – компонента по оси $Oz$, так как при известной $\alpha$ другие две компоненты легко находятся.
3. Постановка и решение обратной задачиРассмотрим теперь вопрос в обратной постановке – восстановление поверхности по ее известному полю б.м. изгибания. Мы сделаем это, следуя работе [8], но окончательные формулы представим в классе гладкости $C^1$. Из уравнения (2.8) имеем следующие тождественные преобразования:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\varphi''(\rho)}{\varphi'(\rho)} &=\frac{\rho\alpha''_m}{m^2\alpha_m-\rho\alpha'_m} =-\frac{m^2\alpha'_m-\alpha'_m-\rho\alpha''_m}{m^2\alpha_m-\rho\alpha'_m} +\frac{m^2\alpha'_m-\alpha'_m}{m^2\alpha_m-\rho\alpha'_m} \\ &=-\frac{(m^2\alpha_m-\rho\alpha'_m)'}{m^2\alpha_m-\rho\alpha'_m} +\frac{(m^2-1)\rho\alpha'_m}{\rho(m^2\alpha_m-\rho\alpha'_m)} \\ & =-[\ln(m^2\alpha_m-\rho\alpha'_m)]' +\frac{(m^2-1)(\rho\alpha'_m)}{\rho(m^2\alpha_m-\rho\alpha'_m)} \\ &=-[\ln(m^2\alpha_m-\rho\alpha'_m)]' -\frac{m^2-1}{\rho} +\frac{m^2(m^2-1)\alpha_m}{\rho(m^2\alpha_m-\rho\alpha'_m)}\,, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда интегрированием получаем равенство
$$
\begin{equation}
\varphi'(\rho)=\frac{\rho^{1-m^2}}{m^2\alpha_m-\rho\alpha'(\rho)} \exp\biggl(m^2(m^2-1)\int_0^\rho\frac{\alpha_m(t)\,dt}{t(m^2\alpha_m(t)-t\alpha'_m(t))}\biggr).
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
4. Постановка и решение обратной задачиПрименим полученную формулу для построения аналитической поверхности, нежесткой в аналитическом классе деформаций. Следуя идее работы [7], возьмем функцию $\alpha_m(\rho)$ в виде
$$
\begin{equation*}
\alpha_m(\rho)=\frac{1}{\rho^{-m}+\rho^m}=\frac{\rho^m}{1+\rho^{2m}}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
В работе [7] с использованием формулы (3.1) проведены вычисления для главных частей соответствующего поля б.м. изгибания в полюсах искомой нежесткой поверхности вращения с меридианом $z=\varphi(\rho)$ (рассмотрен общий случай с $\alpha_m(\rho)=1/(\rho^{-k_1}+\rho^{k_2})$ и приведены общие утверждения о качественных свойствах нежестких поверхностей). Для того чтобы все вычисления можно было довести до конца и убедиться в аналитичности рассмотренных поверхностей и их поля б.м. изгибания, берем случай $m=2$ и сначала по формуле (3.1) явно вычисляем
$$
\begin{equation*}
\varphi'(\rho)=\frac{\rho(1+\rho^4)^2}{2(1+3\rho^4)^2}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
а затем интегрированием находим $\varphi(\rho)$ с условием $\varphi(0)=1$:
$$
\begin{equation*}
\varphi(\rho)=1+\frac{1}{36} \biggl(\rho^2+2\sqrt{3}\operatorname{arctg}(\sqrt{3}\rho^2)+\frac{2\rho^2}{1+3\rho^4}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Берем аналитическую нежесткую поверхность $S:z=z(x,y)=\varphi(\rho)$ с $1\leqslant z<\infty$, $0\leqslant\rho^2=x^2+y^2<\infty$ и c компонентой поля б.м. изгибания $\alpha_2(\rho,\theta)\mathbf k=(\alpha_2(\rho)\cos 2\theta)\mathbf k$ или $(\alpha_2(\rho)\sin 2\theta)\mathbf k$, которая при замене $\rho^2$ на $x^2+y^2$ представится как аналитическая функция от $(x,y)$. Компонента $\alpha_2(\rho,\theta)\mathbf k$ б.м. изгибания получается умножением $\alpha_2(\rho)=\rho^2/(1+\rho^4)$ на $e^{2i\theta}$, что и в действительной, и в мнимой части дает аналитическую функцию. Компоненты $\gamma_2(\rho,\theta)$ и $\beta_2(\rho,\theta)$ вычисляются по формуле (2.7). Применим теперь проективное преобразование, отобразив точки $(x,y,z)\in S$ в точки $(x^*,y^*,z^*)$ по формулам
$$
\begin{equation*}
x^*=\frac{x}{z}\,,\quad y^*=\frac{y}{z}\,,\quad z^*=\frac{1}{z}\,,\qquad \text{где}\quad z=\varphi(\rho).
\end{equation*}
\notag
$$
При этом отображении неограниченная поверхность вращения $S$ переходит в компактную поверхность вращения $S^*$ с полюсами в точках $(0,0,0)$ и $(0,0,1)$ и с меридианом
$$
\begin{equation*}
z^*=\varphi^*(r)=\frac{1}{\varphi(\rho(r))}, \qquad r^2=(x^*)^2+(y^*)^2,
\end{equation*}
\notag
$$
и связью $r=\rho/\varphi(\rho)$. Для правильного толкования этой связи надо иметь в виду, что между $r$ и $\rho$ нет монотонного соответствия, так как при подходе к обоим полюсам величина $r\to 0$, а $\rho$ в одном полюсе стремится к нулю, а в другом полюсе – к бесконечности. Дальше заметим, что по известной теореме Зауэра поверхность $S^*$ тоже будет нежесткой с компонентами поля б.м. изгибания, записанными в соответствии с обозначениями из (2.4) в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
a^*=\frac{a}{z}\,,\qquad b^*=\frac{b}{z}\,,\qquad \alpha^*=-\frac{a\rho\cos\theta+b\rho\sin\theta+\alpha\varphi}{z}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь остается построить две изометричные аналитические поверхности
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, S_1\colon\mathbf r_1=\{x^*,y^*,\varphi^*(r)\} +2\varepsilon \{a^*,b^*,\alpha^*_2(\rho,\theta)\}, \\ S_2\colon\mathbf r_2=\{x^*,y^*,\varphi^*(r)\} -2\varepsilon \{a^*,b^*,\alpha^*_2(\rho,\theta)\}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
которые и будут решением задачи Берже. Усложнением вычислений можно построить и другие примеры с бо́льшими значениями целочисленного параметра $m$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sab24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|