| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Решетки расширений циклически упорядоченных множеств и компактификаций обобщенных циклически упорядоченных пространств Г. Б. Соринab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624090335 
Реферативные базы данных:
 1. Введение и предварительные сведенияВведены понятия расширения (определение 7) и пополнения (определение 8) циклически упорядоченного множества. В теореме 4 описана полная решетка расширений и ее полная подрешетка пополнений (следствие 1) произвольного циклически упорядоченного (далее ц.у.) множества. Введенные по аналогии с линейно упорядоченными множествами понятия COTS (cyclically ordered topological space) и GCO (generalized cyclically ordered) пространства (определение 11) использованы для описания решеток. В качестве следствий теоремы 4 для ц.у. множества $(X,R)$ имеем следующие результаты:
Предлагаемый подход позволяет связать теоретико-множественное построение расширений ц.у. множества с его топологизацией. Для линейно упорядоченных множеств верны аналогичные результаты. Отличие состоит в том, что в линейно упорядоченном множестве щели делятся на внутренние и внешние, тогда как в ц.у. множестве все щели можно считать внутренними. Полученные результаты, в частности, обобщают следующие ранее известные факты:
Будем придерживаться обозначений и терминологии из [6]. Всю необходимую информацию о решетках можно найти в [7]. Символ $\cong$ обозначает изоморфизм решеток. Определение 1. Трехместное отношение $R$ на множестве $X$ называется отношением циклического порядка, если выполнены следующие условия. Следуя [8], вместо $(a,b,c) \in R$ для краткости будем писать $[a,b,c]$: Если $R$ удовлетворяет указанным условиям, то пара $(X,R)$ называется циклически упорядоченным множеством. В частности, если $[a,b,c]$, то точки $a,b,c$ попарно различны. Определим интервал, полуинтервалы и отрезок:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (a,b)_R=\{x\in X \mid [a,x,b]\}, \qquad [a,b)_R=(a,b)_R \cup \{a\}, \\ (a,b]_R=(a,b)_R \cup \{b\}, \qquad [a,b]_R=(a,b)_R \cup \{a,b\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В случаях, когда это не приведет к путанице, вместо $(a,b)_R$ будем писать просто $(a,b)$. Заметим, что $[a,b,c]$ эквивалентно $b\in (a,c)$. На ц.у. множестве $(X,R)$ определена топология циклического порядка $\sigma_R$. В случае, когда $|X| > 2$, базу $\sigma_R$ образуют интервалы $(a,b)$, где $a,b \in X$. В случае, когда $|X| \leqslant 2$, $\sigma_R$ – дискретная топология. Пространство $(X,\sigma_R)$ хаусдорфово. Более подробно см. [8] и [9]. Определение 2 [5]. Сечением на ц.у. множестве $(X,R)$ называется такое отношение $<$ линейного порядка на множестве $X$, что $a<b<c \ \Longrightarrow\ [a,b,c]$. Если $<$ является сечением на $(X,R)$ и имеет место $[a,b,c]$, то либо $a<b<c$, либо $b<c<a$, либо $c<a<b$. Подробно о сечениях на ц.у. множествах см. [5]. Пусть $(X,R)$ – ц.у. множество и $a\in X$. Тогда отношение $<_a$, определяемое по правилам является сечением на $(X,R)$. По той же точке $a$ можно построить сечение $<^a$, определяемое тем же правилом 1) и правиломЕсли задано линейно упорядоченное множество $(X,<)$, то на нем можно определить отношение $R$ циклического порядка по правилу
$$
\begin{equation*}
(a,b,c) \in R \quad \Longleftrightarrow\quad (a<b<c \vee b<c<a \vee c<a<b).
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае будем говорить, что $R$ согласовано с $<$. При этом исходное отношение $<$ является сечением на $(X,R)$. Определение 3 [5]. Пусть $<$ является сечением на $(X,R)$. Сечение $<$ называется Определение 4 [5]. Ц.у. множество $(X, R)$ называется полным, если оно не имеет щелей. Теорема 1 [8]. Пространство $(X,R,\sigma_R)$ компактно тогда и только тогда, когда $(X,R)$ является полным. Определение 5. Отображение $i\colon X\to Y$ ц.у. множеств $(X,R_X)$ и $(Y,R_Y)$ называется вложением, если оно инъективно и сохраняет циклический порядок: Так как вложение $i$ инъективно, то имеет место
$$
\begin{equation*}
[i(a),i(b),i(c)]_{R_Y}\quad\Longleftrightarrow\quad [a,b,c]_{R_X}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 6. Подмножество $X$ плотно в $(Y,R_Y)$, если пересечение любого непустого интервала в $Y$ с $X$ непусто. Подмножество $X$ плотно в $(Y,R_Y)$ тогда и только тогда, когда $X$ является всюду плотным подпространством топологического пространства $(Y,\sigma_{R_Y})$. Когда это не приведет к разночтениям, будем считать, что $X\subset Y$. Если наделить $Y$ топологией циклического порядка, то пара $(Y,i)$ из последнего определения является компактификацией пространства $X$, топология на котором индуцирована с $Y$. Определим порядок на семействе расширений ц.у. множества $(X,R)$. Определение 9. Пусть $((pX,R_p),p)$ и $((qX,R_q),q)$ являются расширениями ц.у. множества $(X,R)$. Положим $((pX,R_p),p) \leqslant ((qX,R_q),q)$, если существует вложение $i\colon pX \to qX$, для которого коммутативна следующая диаграмма: Расширения $((pX,R_p),p)$ и $((qX,R_q),q)$ будем называть эквивалентными, если
$$
\begin{equation*}
((pX,R_p),p) \leqslant ((qX,R_q),q) \qquad\text{и}\qquad ((qX,R_q),q) \leqslant ((pX,R_p),p).
\end{equation*}
\notag
$$
Множество всех классов эквивалентности расширений ц.у. множества $(X,R)$ обозначим через $\mathcal C(X)$, а класс эквивалентности расширения $((pX,R_p),p)$ обозначим $[pX]$. Если $((pX,R_p),p) \leqslant ((qX,R_q),q)$, то корректно определено $[pX] \leqslant [qX]$. Множество $\mathcal C(X)$ частично упорядочено отношением $\leqslant$. 2. Решетка GCO топологийОпределение 10. Подмножество $A\subset (X,R)$ называется выпуклым, если для любых $a,b \in A$ хотя бы один из интервалов $(a,b)$, $(b,a)$ содержится в $A$. Определение 11. Для ц.у. множества $(X,R)$ и топологии $\sigma$ на $X$: Каждое COTS является GCO пространством. Опишем решетку $T$ всех GCO топологий на $(X,R)$. Самая слабая GCO топология на $(X,R)$ – топология $\sigma_R$ циклического порядка. Самая сильная GCO топология – это дискретная $\sigma_d$. В случае когда $\sigma_R=\sigma_d$, решетка $T$ состоит лишь из одного элемента. Частичный порядок на $T$ определим как обычный порядок на семействе топологий ($\sigma_1 \leqslant \sigma_2 \ \Longleftrightarrow\ \sigma_1 \subset \sigma_2$). Пусть $\sigma_R \ne \sigma_d$. Рассмотрим топологию $\sigma_R$ в фиксированной точке $x\in X$. Возможны следующие случаи:
Для каждого $x\in X$ имеем решетку $t(x)$ GCO топологий в точке $x$. В зависимости от случаев (1), (2), ($2'$) и (3) решетка $t(x)$ изоморфна одной из решеток $\mathcal L_1$, $\mathcal L_2$, $\mathcal L_2'$ и $\mathcal L_3$ соответственно (см. рис. 1). Случай (1) реализуется тогда и только тогда, когда сечения $<_x$ и $<^x$ являются скачками. Случай (2) реализуется тогда и только тогда, когда сечение $<_x$ является скачком, а $<^x$ является дедекиндовым сечением. Случай ($2'$) реализуется тогда и только тогда, когда сечение $<^x$ является скачком, а $<_x$ является дедекиндовым сечением. Случай (3) реализуется тогда и только тогда, когда сечения $<_x$ и $<^x$ дедекиндовы. Так как любая конечная решетка является полной и произведение полных решеток является полной решеткой, то решетка $\prod_{x\in X} t(x)$ полна (см. [7]). Из приведенных рассуждений и теоремы 1 следует Теорема 2. Имеют место следующие утверждения: 3. Заполнение щелей в циклически упорядоченном множествеУстановим зависимость семейства расширений ц.у. множества $(X,R)$ от множества щелей $\mathcal U$ в нем. Заполнить щель $<\;\in \mathcal U$ одной точкой означает:
Для заполнения щели $<$ двумя точками требуется:
Для каждой щели $u\in \mathcal U$ имеем решетку (цепь) $3$ (см. рис 2) из трех элементов (элементы решетки соответствуют различным способам заполнить данную щель точками). Так как для получения расширения $(Y,R_Y)$ каждую щель $u\in \mathcal U$ можно либо не заполнять, либо заполнить одной точкой, либо заполнить двумя точками. Допустим, что некоторая щель $u$ заполнена хотя бы тремя точками $t_1,t_2,t_3$ (можно считать, что $[t_1,t_2,t_3]_{R_Y}$) расширения $(Y,R_Y)$. То есть $<_{t_1} \!\! |_X=\; <_{t_2} \! |_X=\; <_{t_3} \! |_X=u$. Тогда непустой интервал $(t_1,t_3)_{R_Y}$ не пересекает множество $X$. Это противоречит тому, что $X$ плотно в $Y$. Через $3^{\mathcal U}$ обозначим множество всех отображений $f\colon \mathcal U \to \{0,1,2\}$. Определим частичный порядок на $3^{\mathcal U}$:
$$
\begin{equation*}
f\leqslant g \quad \Longleftrightarrow\quad f(u)\leqslant g(u) \quad \forall\, u\in \mathcal U.
\end{equation*}
\notag
$$
Подрешетку $\{1,2\} \subset 3$ обозначим через $2$. Тогда $2^{\mathcal U}$ подрешетка в $3^{\mathcal U}$. В случае, если $\mathcal U= \varnothing$, считаем, что $3^{\mathcal U}= 2^{\mathcal U}=\{\varnothing\}$ – решетка с единственным элементом. Из приведенных рассуждений и определения 9 частичного порядка на $\mathcal C(X)$ имеем Теорема 3. 1) Всевозможные классы эквивалентности расширений $(X,R)$, полученные с помощью заполнения щелей, образуют полную решетку $S$ и $S \cong 3^{\mathcal U}$. 2) Всевозможные классы эквивалентности пополнений $(X,R)$, полученные с помощью заполнения щелей, образуют подрешетку $\widehat{S} \subset S$, $\widehat{S}$ – полная решетка и $\widehat{S} \cong 2^{\mathcal U}$. 3) Если $\mathcal U=\varnothing$, то $S \cong \{\varnothing\} \cong \widehat{S}$. Пункт 2) теоремы следует из пункта 1), так как пополнение – это расширение, не имеющее щелей. В пополнении каждая щель будет заполнена либо одной, либо двумя точками. Этим двум способам соответствует подрешетка $2$ в решетке $3$. Легко видеть, что решетка $\widehat{S}$ изоморфна решетке $\mathcal{P}(\mathcal U)$ всех подмножеств в множестве щелей $\mathcal U$. 4. Решетка циклически упорядоченных расширений и ее подрешетки4.1. Решетки расширений и пополненийТеорема 4. Частично упорядоченное множество $\mathcal C(X)$ всех классов эквивалентности расширений ц.у. множества $(X,R)$ является полной решеткой, изоморфной решетке $T\times 3^{\mathcal U}$. Доказательство. Рассмотрим случай, когда множество $X$ конечно. Топология $\sigma_R$ является дискретной, т.е. самой сильной топологией на $X$. Следовательно, $T=\{\sigma_R\}$. Так как $(X,\sigma_R)$ компактно, то по теореме 1 имеем $\mathcal U=\varnothing$ и $3^{\mathcal U}=\{\varnothing\}$. Решетка $T\times 3^{\mathcal U}$ состоит из единственного элемента.
Если $((Y,R_Y),i)$ является расширением для $(X,R)$, то $i(X)$ всюду плотно в $(Y,\sigma_{R_Y})$. Так как $(Y,\sigma_{R_Y})$ хаусдорфово, а $i(X)$ – его компактное подпространство, то $i(X)=Y$. Таким образом, существует единственный класс эквивалентности $((X,R),\mathrm{id}_X) \in [X] \in \mathcal C(X)$, и утверждение теоремы очевидно. Далее считаем, что множество $X$ бесконечно. Определим отображение $h\colon \mathcal C(X) \to T\times 3^{\mathcal U}$. Пусть $[Y] \in\mathcal C(X)$ и $((Y,R_Y),i) \in [Y]$. Тогда $(Y,R_Y,\sigma_{R_Y})$ является COTS и индуцирует на $X=i(X)\subset Y$ некоторую топологию $\sigma$. Так как $R_Y|_X=R$, то $(X,R,\sigma)$ является GCO пространством. Таким образом, каждому элементу множества $\mathcal C(X)$ соответствует некоторая GCO топология $\sigma \in T$. Легко проверяется, что $\sigma$ не зависит от выбора представителя в классе эквивалентности. Через $\mathcal U$ обозначим множество щелей на $X$. Если $\mathcal U=\varnothing$, то $3^{\mathcal U}=\{\varnothing\}=2^{\mathcal U}$. Положим $h(Y)=(\sigma,\varnothing)$. Пусть $\mathcal U \neq \varnothing$. Из рассуждений в разделе 3 следует, что для каждого $u\in \mathcal U$ существует $n_u\in \{0,1,2\}$ точек в множестве $Y\setminus X$, заполняющих щель $u$. Следовательно, определено отображение $n\colon \mathcal U \to \{0,1,2\}$, $n(u)=n_u$, оно является элементом решетки $3^{\mathcal U}$. Положим $h(Y)= (\sigma,n)$. Проверка инъективности отображения $h$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, ((Y,R_Y),i) \in [Y] \in \mathcal C(X), \qquad ((Z,R_Z),j) \in [Z]\in \mathcal C(X), \\ h([Y])=h([Z])=(\sigma,n). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пространства $(Y,\sigma_{R_Y})$ и $(Z,\sigma_{R_Z})$ индуцируют на $X=i(X)=j(X)$ одну и ту же топологию $\sigma$. Для произвольной точки $x \in X$ и точки $a\in X\setminus \{x\}$ имеем
$$
\begin{equation*}
[x,a)_R \in \sigma \setminus \sigma_R \quad\Longleftrightarrow\quad \exists !\, y\in Y\setminus X \colon (y,x)_{R_Y}= \varnothing \quad\Longleftrightarrow\quad \exists !\, z\in Z\setminus X \colon (z,x)_{R_Z}=\varnothing.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично имеем
$$
\begin{equation*}
(a,x]_R \,{\in}\, \sigma \setminus \sigma_R \quad\Longleftrightarrow\quad \exists !\, y'\,{\in}\, Y\setminus X \colon (x,y')_{R_Y}\,{=}\, \varnothing \quad\Longleftrightarrow\quad \exists !\, z'\,{\in}\, Z\setminus X \colon (x,z')_{R_Z}\,{=}\,\varnothing.
\end{equation*}
\notag
$$
Продолжим тождественное отображение $\mathrm{id}_X\colon X\to X$ до вложения ц.у. множеств $f\colon Y\to Z$. Для точек вида $y,z,y',z'$, определенных выше (в случае, когда они существуют), положим $f(y)= z$ и $f(y')=z'$. При таком продолжении имеем сохраняющее циклический порядок инъективное отображение $f\colon A\to Z$, где $A\subset Y$. Пусть $\mathcal U=\varnothing$. Фиксируем произвольную точку $y\in Y\setminus X$. Так как $\mathcal U=\varnothing$, то $<_y \! |_X$ не может быть щелью на $(X,R)$. Так как $X$ плотно в $Y$, то $<_y \! |_X$ не может быть скачком на $(X,R)$. Следовательно, сечение $<_y \! |_X$ является дедекиндовым. Будем считать, что $(X,<_y \! |_X)$ имеет наименьший элемент $x$ и не имеет наибольшего элемента. Так как наибольшего элемента нет, то для некоторого $a\in X\setminus\{x\}$ имеем $[x,a)_R=(y,a)_{R_Y} \cap X \in \sigma \setminus \sigma_R$. Следовательно, отображение $f$ уже определено в точке $y$. Случай, когда $(X,<_y \! |_X)$ имеет наибольший элемент и не имеет наименьшего элемента, аналогичен. Тем самым, $A=Y$ и $f\colon Y\to Z$ является вложением. Пусть $\mathcal U \neq \varnothing$. Тогда $h(Y)=h(Z)=(\sigma,n)$, где $n\in 3^{\mathcal U}$. То есть щель $u\in \mathcal U$ заполнена $n_u$ точками множества $Y\setminus X$ и $n_u$ точками множества $Z\setminus X$. В случае, когда $n_u \neq 0$, доопределим отображение $f$ в этих точках с сохранением порядка следующим образом. 1. При $n_u=1$ существует единственная точка $t\in Y\setminus X$ такая, что $<_t \! |_X= u$; также существует единственная точка $r\in Z\setminus X$ такая, что $<_r \! |_X=u$. Положим $f(t)=r$. 2. При $n_u=2$ существует ровно две точки $t_1,t_2\in Y\setminus X$ такие, что Можно считать, что $[t_1,t_2,y]_{R_Y}$ для всех $y\in Y\setminus \{t_1,t_2\}$. Также существует ровно две точки $r_1,r_2\in Z\setminus X$ такие, что $<_{r_1} \! |_X=<_{r_2} \! |_X=u$. Можно считать, что $[r_1,r_2,z]_{R_Z}$ для всех $z\in Z\setminus \{r_1,r_2\}$. Положим $f(t_1)=r_1$ и $f(t_2)=r_2$.В обоих случаях $f$ останется инъективным и сохраняющим циклический порядок отображением $f\colon B\to Z$, где $B\subset Y$. Покажем, что $B=Y$. Фиксируем произвольную точку $y\in Y\setminus X$. Так как $X$ плотно в $Y$, то $<_y \! |_X$ не может быть скачком на $(X,R)$. Если $<_y \!\! |_X$ является щелью на $(X,R)$, то $f$ уже определено в точке $y$. Если $<_y \! |_X$ является дедекиндовым сечением, то, рассуждая, как в случае $\mathcal U=\varnothing$, опять имеем, что $f$ определено в точке $y$. Таким образом, $B=Y$ и $f\colon Y\to Z$ является вложением, причем $f|_X=\mathrm{id}_X$. Рассуждая аналогично, получаем, что существует вложение $g\colon Z\to Y$ такое, что $g|_X=\mathrm{id}_X$. Следовательно, расширения $((Y,R_Y),i)$ и $((Z,R_Z),j)$ эквивалентны. Это доказывает инъективность отображения $h$. Проверка сюръективности отображения $h$. Фиксируем произвольную пару Построим расширение $Y=((Y,R_Y),i)$ для $(X,R)$ такое, что $h([Y])= (\sigma,n)$.Положим изначально $((Y,R_Y),i)=((X,R),\mathrm{id}_X)$ и будем добавлять в множество $Y$ точки и продолжать циклический порядок $R_Y$. Фиксируем точку $x \in X$. Пусть $a\in X\setminus \{x\}$. Проводим добавление точек следующим образом:
Произведя преобразования 1) и 2) для всех точек $x\in X$, получим некоторое расширение $((Y',R_{Y'}),i')$ для $(X,R)$. Докажем это. Во-первых, $i'(X)$ плотно в $(Y',R_{Y'})$: пусть $(a,b)_{R_{Y'}} \neq \varnothing$. Тогда существует $y\in (a,b)_{R_{Y'}}$. Если $y\in i'(X)$, то $(a,b)_{R_{Y'}}$ пересекает $i'(X)$. Если $y\notin i'(X)$, то $y$ имеет вид $x^-$ или $x^+$ для некоторой точки $x\in X$. Рассмотрим случай $y=x^-$ (другой случай аналогичен). Если $(a,x^-)_{R_{Y'}}=\varnothing$, то $a\notin i'(X)$, так как иначе $(a,x)_R=\varnothing$, что противоречит существованию точки $x^-$. Следовательно, $a\in Y\setminus i'(X)$, т.е. либо $a=c^-$, либо $a=c^+$ для некоторого $c\in X$. Если $a=c^-$, то $i'(c) \in (a,b)_{R_{Y'}}$. Если $a=c^+$, то интервал $(c^+,x^-)_{R_{Y'}} \subset (a,b)_{R_{Y'}}$ пересекается с $i'(X)$, так как иначе $(c,x)_R=\varnothing$, что противоречит существованию точки $x^-$. Это доказывает плотность множества $i'(X)$ в $(Y',R_{Y'})$. Во-вторых, $i'$ сохраняет циклический порядок и инъективно: ограничение отображения $i'$ на образ совпадает с $\mathrm{id}_X$, которое сохраняет циклический порядок и инъективно. Таким образом, для точек $a,b,c\in X$ имеем $[i'(a),i'(b),i'(c)]_{R_{Y'}} \ \Longleftrightarrow\ [a,b,c]_R$. Отметим, что если $<$ являлось щелью на $(X,R)$, то, продолжая линейный порядок $<$ на множество $Y'$ по правилам $(x^-,x)_<=\varnothing$ и $(x,x^+)_<=\varnothing$, получим щель на $(Y',R_{Y'})$. Наоборот, если $<$ являлось щелью на $(Y',R_{Y'})$, то, переходя к линейному порядку $< \! |_X$, получим щель на $(X,R)$. Так как указанные переходы являются взаимно обратными, то имеем биекцию между множеством $\mathcal U$ и множеством щелей на $(Y',R_{Y'})$. Далее эти множества будем отождествлять в соответствии с указанными переходами. Второй компонентой в фиксированной паре $(\sigma, n)$ является отображение $n\colon \mathcal U \to \{0,1,2\}$. Заполним каждую щель $u\in \mathcal U$ на $(Y',R_{Y'})$ ровно $n_u$ точками (см. раздел 3). Если $n_u=0$, то никаких преобразований совершать не нужно. Получим ц.у. множество $(Y,R_Y)$ и отображение $i\colon X\to Y$. Очевидно, $i$ является вложением. Взяв произвольный непустой интервал $(a,b)_{R_{Y}}$, нетрудно проверить, что он пересекает множество $i(X)$. Таким образом, $((Y,R_Y),i)$ является расширением для $(X,R)$. Из заполнения щелей на $(Y',R_{Y'})$ следует, что $h([Y])=(\widetilde{\sigma},n)$. То есть получена требуемая вторая компонента. Осталось показать, что при заполнении щелей топология, индуцируемая на $i(X)$, не изменилась. Так как $Y' \subset Y$, то $\sigma \leqslant \widetilde{\sigma}$. Докажем обратное неравенство. Будем отождествлять $X$ и $i(X)$. Рассмотрим непустой интервал $(a,b)_{R_{Y}}$ и точку $x\in X$ в нем. Этот интервал определяет элемент $V$ базы топологии $\widetilde{\sigma}$ в точке $x$: $V=(a,b)_{R_{Y}} \cap X$. Если $a,b \in Y'$, то $V\in \sigma$. Пусть, например, $a\in Y\setminus Y'$. Тогда $<_a \!\! |_X$ является щелью на $(X,R)$, следовательно, существует $c\in X$ такая, что $c <_a x$. Тогда интервал $(c,b)_{R_{Y}} \subset (a,b)_{R_{Y}}$ задает меньший элемент базы топологии $\widetilde{\sigma}$: $x\in V_1=(c,b)_{R_{Y}} \cap X \subset V$. Если $b\in Y'$, то $V_1\in \sigma$. Если $b\in Y\setminus Y'$, то, рассуждая аналогично, получим интервал $(c,d)_{R_{Y}} \subset (a,b)_{R_{Y}}$, где $d\in X$. Тогда $x \in V_2=(c,d)_{R_{Y}} \cap X \subset V$. Так как данное рассуждение не зависит от точки $x\in X$, то $\widetilde{\sigma} \leqslant \sigma$. То есть $\sigma=\widetilde{\sigma}$, откуда следует сюръективность отображения $h$. Сохраниение отображением $h$ частичного порядка. Пусть т.е. определено вложение $l\colon Y\to Z$, тождественное на $X$. Тогда можно считать, что $X\subset Y\subset Z$. Очевидно, топология $\sigma_1$, индуцируемая на $X$ циклическим порядком $R_Y$, не сильнее топологии $\sigma_2$, индуцируемой на $X$ циклическим порядком $R_Z$.Обозначим $h([Y])=(\sigma_1,k)$ и $h([Z])=(\sigma_2,n)$. Фиксируем произвольное $u\in \mathcal U$. Если $k_u=0$, то $k_u \leqslant n_u$. Пусть $k_u > 0$. Так как вложение $l\colon Y\to Z$ сохраняет циклический порядок, то точки расширения $Y$, заполняющие щель $u$, отображаются в точки расширения $Z$, заполняющие щель $u$. Из инъективности отображения $l$ следует, что $k_u \leqslant n_u$. Таким образом, в решетке $T\times 3^{\mathcal U}$ выполнено неравенство $(\sigma_1,k) \leqslant (\sigma_2,n)$. Пусть теперь $(\sigma_1,k) \leqslant (\sigma_2,n)$. Выберем представителей $((Y,R_Y),i)$ и $((Z,R_Z),j)$ из классов эквивалентности $h^{-1}((\sigma_1,k))$ и $h^{-1}((\sigma_2,n))$ соответственно. Из рассуждений, использованных в доказательстве сюръективности $h$ и неравенства $\sigma_1 \leqslant \sigma_2$, для произвольной точки $x\in X$ имеем Следовательно, отображение $\mathrm{id}_X$ продолжается до вложения $l' \colon Y' \to Z'$. Из неравенства $k_u \leqslant n_u$ для каждого $u\in \mathcal U$ и заполнения щелей, описанного в разделе 3 и доказательстве сюръективности $h$, следует, что $l'$ продолжается до вложения $l\colon Y\to Z$. Следовательно, $[Y] \leqslant [Z]$. Таким образом, $h$ является изоморфизмом частично упорядоченных множеств. Так как $T\times 3^{\mathcal U}$ является полной решеткой, то $h$ – изоморфизм решеток и решетка $\mathcal C(X)$ полна. Следствие 1. Частично упорядоченное множество $\widehat{\mathcal C}(X)$ всех классов эквивалентности пополнений ц.у. множества $(X,R)$ является полной решеткой, изоморфной решетке $T\times 2^{\mathcal U}$. Следствие 2. Решетка $\mathcal C(X)$ состоит ровно из одного элемента тогда и только тогда, когда множество $X$ конечно. В соответствии с доказанной теоремой, каждому расширению $Y$ для $(X,R)$ (точнее классу эквивалентности) соответствует GCO топология $\sigma=\sigma_{R_Y} |_X \in T$ на $X$. Семейство всех классов эквивалентности расширений, задающих на $X$ фиксированную GCO топологию $\sigma\in T$, обозначим через $\mathcal C(X,\sigma)$. Соответствующее семейство классов эквивалентности пополнений – через $\widehat{\mathcal C}(X,\sigma)$. Следствие 3. Для каждой GCO топологии $\sigma$ на $(X,R)$ имеют место следующие утверждения: COTS $(\widetilde{X_\sigma}, \widetilde{R}, \sigma_{\widetilde{R}})$ из пункта 2) предыдущего следствия будем называть наименьшим COTS расширением GCO пространства $(X,R,\sigma)$. Из доказательства теоремы 4 вытекает его конструкция: ц.у. множество $(\widetilde{X_\sigma}, \widetilde{R})$ является подмножеством (с индуцированным отношением циклического порядка) в лексикографическом произведении $(X,R) \otimes_l \{-1,0,1\}$ ц.у. множества $(X,R)$ на линейно упорядоченное множество $\{-1,0,1\}$ с обычным порядком. Подробнее о такого рода лексикографическом произведении см. определение 2.14 в [8]. Причем для каждого $x\in X$ выполнены следующие условия:
Данная конструкция аналогична конструкции построения наименьшего LOTS расширения для GO пространства, которая приведена в [2]. Наибольшее COTS расширение для GCO пространства $(X,R,\sigma)$ получается из его наименьшего COTS расширения заполнением каждой щели двумя точками. 4.2. Циклически упорядоченные компактификации GCO пространствТак как любое COTS является нормальным пространством (см. [9]), то каждая GCO топология является тихоновской. Следовательно, для GCO пространств определено понятие компактификации. Наделим каждый элемент семейства $\widehat{\mathcal C}(X,\sigma)$ топологией циклического порядка. В силу теоремы 1 получим семейство компактных COTS. Элементы $\widehat{\mathcal C}(X,\sigma)$ будем называть циклически упорядоченными компактификациями GCO пространства $(X,R,\sigma)$. Следствие 4. Для каждой GCO топологии $\sigma$ на $(X,R)$ имеет место Для GCO топологий $\sigma_1,\sigma_2$ имеет место Если в пункте 1) этого следствия положить $\sigma=\sigma_R$, то будем иметь: семейство ц.у. компактификаций COTS $(X,R,\sigma_R)$ образует полную решетку, изоморфную решетке $\mathcal{P}(\mathcal U)$ всех подмножеств в множестве $\mathcal U$ щелей на $(X,R)$. Аналог этого результата для линейно упорядоченных компактификаций LOTS получен в [3] и [4]. Также имеют место равенства
$$
\begin{equation*}
\mathcal C(X,\sigma)=\mathcal C(\widetilde{X_\sigma},\sigma_{\widetilde{R}}), \qquad \widehat{\mathcal C}(X,\sigma)=\widehat{\mathcal C}(\widetilde{X_\sigma},\sigma_{\widetilde{R}}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $(\widetilde{X_\sigma},\widetilde{R},\sigma_{\widetilde{R}})$ – наименьшее COTS расширение GCO пространства $(X,R,\sigma)$. 4.3. Порядок на решетке $\widehat{\mathcal C}(X)$Эквивалентный способ задания порядка на решетке $\widehat{\mathcal C}(X)$ в терминах непрерывных отображений представлен в утверждении 1. Для его доказательства потребуется проверка эквивалентности условий 1) и 3) следующей леммы. Лемма 1. Для GCO пространств $(X,\widetilde R,\sigma_1)$ и $(X,\widetilde R,\sigma_2)$ и их наименьших расширений $((\widetilde{X_1},\widetilde{R_1},\sigma_{R_1}),j_1)$ и $((\widetilde{X_2},\widetilde{R_2},\sigma_{R_2}),j_2)$ следующие условия эквивалентны: Доказательство. Проверим эквивалентность условий 1) и 2).
Если $\sigma_1 \leqslant \sigma_2$, имеем включения $\widetilde{X_1} \subset \widetilde{X_2} \subset X \otimes_l \{-1,0,1\}$. Первому включению соответствует вложение $i\colon (\widetilde{X_1},\widetilde{R_{1}}) \to (\widetilde{X_2},\widetilde{R_{2}})$ ц.у. множеств. Очевидно, верно и обратное: если между наименьшими ц.у. расширениями $\widetilde{X_1}$ и $\widetilde{X_2}$ GCO пространств $(X,R,\sigma_1)$ и $(X,R,\sigma_2)$ существует вложение циклически упорядоченных множеств $i\colon (\widetilde{X_1},\widetilde{R_{1}}) \to (\widetilde{X_2},\widetilde{R_{2}})$, тождественное на $X$, то $\sigma_1 \leqslant \sigma_2$. Проверим эквивалентность условий 1) и 3). Пусть $\sigma_1 \leqslant \sigma_2$. Продолжим тождественное отображение $\mathrm{id}\colon (X,\sigma_2) \to (X,\sigma_1)$ до отображения наименьших ц.у. расширений $\widetilde{\mathrm{id}}\colon \widetilde{X_2} \to \widetilde{X_1}$. Отображение $\widetilde{\mathrm{id}}$ определяется по точкам: для любого $x\in X$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &1)\quad \widetilde{\mathrm{id}} (x,0)=(x,0); \\ &2)\quad \widetilde{\mathrm{id}} (x,1) = \begin{cases} (x,1), &\text{если }(x,1) \in \widetilde{X_1}, \\ (x,0), &\text{если }(x,1) \notin \widetilde{X_1}; \end{cases} \\ &3)\quad \widetilde{\mathrm{id}} (x,-1) = \begin{cases} (x,-1), &\text{если }(x,-1) \in \widetilde{X_1}, \\ (x,0), &\text{если }(x,-1) \notin \widetilde{X_1}. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отображение $\widetilde{\mathrm{id}}$ непрерывно в точке $(x,k)$, где $x\in X$, $k\in \{-1,0,1\}$. Действительно, пусть $\widetilde{\mathrm{id}}(x,k) \in ((a,m),(b,n))_{\widetilde{R_1}}$, где $a,b\in X$ и $m,n\in \{-1,0,1\}$. Тогда интервал $((a,m),(b,n))_{\widetilde{R_2}}$ является окрестностью точки $(x,k)$ и $\widetilde{\mathrm{id}}((a,m),(b,n))_{\widetilde{R_2}}=((a,m),(b,n))_{\widetilde{R_1}}$. Таким образом, $\widetilde{\mathrm{id}}$ непрерывно. Очевидно, что если $[\widetilde{\mathrm{id}}(a,k), \widetilde{\mathrm{id}}(b,l), \widetilde{\mathrm{id}}(c,m)]_{R_1}$, то $[(a,k), (b,l), (c,m)]_{R_2}$. То есть $\widetilde{\mathrm{id}}$ сохраняет циклический порядок. Пусть теперь диаграмма в пункте 3) коммутативна, и $\widetilde{\mathrm{id}}$ непрерывно. Тогда неравенство $\sigma_1\leqslant \sigma_2$ следует из непрерывности сужения $\widetilde{\mathrm{id}}|_{X_2\times\{0\}}\colon X_2\times\{0\} \to X_1\times\{0\}$ на образ и прообраз. Предложение 1. Пусть $pX=((pX,R_p,\sigma_{R_p}),p)$ и $qX=((qX,R_q,\sigma_{R_q}),q)$ являются пополнениями $(X,R)$. Следующие условия эквивалентны: Доказательство. Используя изоморфизм $h\colon \mathcal C(X) \to T\times 3^{\mathcal U}$ (точнее, его сужение $h|_{\widehat{\mathcal C}(X)}\colon \widehat{\mathcal C}(X) \to T\times 2^{\mathcal U}\,$), построенный в доказательстве теоремы 4, обозначим $h([pX])=(\sigma_1,n_1)$ и $h([qX])=(\sigma_2,n_2)$. Через $\widetilde{X_1}$ и $\widetilde{X_2}$ обозначим наименьшие расширения GCO пространств $(X,R,\sigma_1)$ и $(X,R,\sigma_2)$ соответственно.
Так как $h|_{\widehat{\mathcal C}(X)}$ является изоморфизмом решеток, то условие 1) данного предложения эквивалентно следующему: Докажем эквивалентность условий $1'$) и 2). $1'$) $\ \Longrightarrow\ $ 2). В силу леммы 1 неравенство $\sigma_1 \leqslant \sigma_2$ равносильно существованию непрерывного продолжения тождественного отображения $\widetilde{\mathrm{id}}\colon (\widetilde{X_{2}} ,\widetilde{R_{2}} ,\sigma _{\widetilde{R_{2}}}) \to (\widetilde{X_{1}} ,\widetilde{R_{1}} ,\sigma _{\widetilde{R_{1}}})$, причем $\widetilde{\mathrm{id}}$ сохраняет циклический порядок. Из взаимно однозначного соответствия между щелями на $\widetilde{X_2}$ и $\widetilde{X_1}$ и неравенства $n_1\leqslant n_2$ следует существование непрерывного отображения $f\colon (qX,\sigma_{R_q}) \to (pX,\sigma_{R_q})$, которое продолжает $\widetilde{\mathrm{id}}$:
2) $\ \Longrightarrow\ $ $1'$). Отображение $f|_X=\mathrm{id}$ непрерывно, т.е. $\sigma_1 \leqslant \sigma_2$. Покажем, что $n_1\leqslant n_2$. По лемме 1 существует непрерывное продолжение $\widetilde{\mathrm{id}}\colon (\widetilde{X_{2}} ,\sigma _{\widetilde{R_{2}}}) \to (\widetilde{X_{1}} ,\sigma _{\widetilde{R_{1}}})$ отображения $\mathrm{id}\colon (X,\sigma_2) \to (X,\sigma_1)$. Отображение $f$ является продолжением отображения $\widetilde{\mathrm{id}}$. Действительно, отображения $f|_{\widetilde{X_2}}$ и $\widetilde{\mathrm{id}}$ непрерывны, совпадают на $X$ – всюду плотном подпространстве и $\widetilde{X_1}$ хаусдорфово, следовательно, $f|_{\widetilde{X_2}}=\widetilde{\mathrm{id}}$. Таким образом, $f(\widetilde{X_2})=\widetilde{X_1}$. Так как $f$ сюръективно (как непрерывное отображение компактов со всюду плотным образом), то $pX\setminus \widetilde{X_1} \subset f(qX \setminus \widetilde{X_2})$. Множество щелей на $\widetilde{X_1}$ и множество щелей на $\widetilde{X_2}$ можно естественным образом отождествить с множеством $\mathcal U$ щелей на $(X,R)$. Пусть щель $u\in \mathcal U$ заполнена двумя точками $y_1,y_2$ в пополнении $pX$. Тогда существуют $z_1,z_2 \in qX\setminus \widetilde{X_2}$ такие, что $f(z_j)=y_j$, $j=1,2$. Предположим, что точки $z_1$ и $z_2$ заполняют различные щели, т.е. сечения $<_{z_1}\!|_X$ и $<_{z_2}\!|_X$ различны. Тогда существуют точки $x_1,x_2\in X$ такие, что $[z_1,x_1,x_2]$ и $[z_2,x_2,x_1]$. Так как $y_1,y_2$ заполняют одну щель, то порядки $<_{y_1}\!|_X$ и $<_{y_2}\!|_X$ совпадают. Можно считать, что $[y_1,x_1,x_2]$ и $[y_2,x_1,x_2]$. Утверждение $[y_2,x_1,x_2]$ можно записать как $[f(z_2),f(x_1),f(x_2)]$. Так как $f$ сохраняет циклический порядок, то из последнего следует $[z_2,x_1,x_2]$, что противоречит $[z_2,x_2,x_1]$. Следовательно, точки $z_1$ и $z_2$ заполняют одну щель. Похожим образом устанавливается, что точки $z_1$ и $z_2$ заполняют $u$, а не некоторую другую щель. Отсюда, $n_1(u) \leqslant n_2(u)$ для всех $u \in \mathcal U$. Тогда $n_1\leqslant n_2$. 5. Приложения: мощности решеток и примерыЧерез $S$ обозначим множество комплексных чисел, по модулю равных единице. Циклический порядок $R$ задается выбором обхода против часовой стрелки. Подмножества $\mathbb Q,\mathbb J \subset S$, состоящие из чисел, аргумент которых рационален и иррационален соответственно, наделены индуцированным отношением циклического порядка. Для краткости отношение циклического порядка на $\mathbb Q$ и $\mathbb J$ будем также обозначать $R$. 5.1. О мощностях решеток $\mathcal C(X)$ и $\widehat{\mathcal C}(X)$Случай конечного множества $X$ описан следствием 2: $|\mathcal C(X)|= |\widehat{\mathcal C}(X)|=1$ тогда и только тогда, когда $X$ конечно. Предложение 2. Пусть $\mathcal U$ – множество щелей на $(X,R)$. Тогда выполнены следующие утверждения: Доказательство. В случае, когда $\mathcal U=\varnothing$, утверждение очевидно. Пусть $\mathcal U \neq \varnothing$ (тогда множество $X$ бесконечно).
Фиксируем $<\in \mathcal U$. В линейно упорядоченном множестве $(X,<)$ щелью называется такое разбиение множества $X$ на два выпуклых подмножества $X=A \oplus B$ (упорядоченная сумма $A$ и $B$), что в $A$ нет наибольшего элемента и в $B$ нет наименьшего элемента. Щель называется внутренней, если $A \neq \varnothing \neq B$. Множество $\mathcal U \setminus \{<\}$ равномощно множеству $\mathcal V$ внутренних щелей в $(X,<)$. Сопоставив каждой щели $v\in \mathcal V$ множество $A$ из соответствующего разбиения, получим инъективное отображение $f\colon \mathcal V \to \mathcal{P}(X)$. Таким образом, $|\mathcal V| \leqslant 2^{|X|}$. Так как $X$ бесконечно, то $|\mathcal U| \leqslant 2^{|X|}$. Пункты 2 и 3 утверждения следуют из теоремы 3. Равенство $|\mathcal U |=2^{|X|}$ достигается на счетном ц.у. множестве $\mathbb Q$. Его наименьшим пополнением является обычная окружность $S$. Мощность множества щелей на $(\mathbb Q,R)$ равна мощности множества $S\setminus \mathbb Q=\mathbb J$, т.е. континуум. Из рассуждений в разделе 2 имеем Из теоремы 4 и предложений 2 и 3 вытекает Следствие 5. Для решетки $\mathcal C(X)$ расширений и решетки $\widehat{\mathcal C}(X)$ пополнений ц.у. множества $(X,R)$ выполнены неравенства 5.2. Некоторые примерыПример 1. Пусть $S$ – окружность; на $(S,R)$ нет щелей. 1. Топология $\sigma_R$ совпадает с евклидовой топологией на окружности. $(S,R,\sigma_R)$ является компактным COTS, оно является своей единственной ц.у. компактификацией. 2. Пространство $(S,R,\sigma_d)$ с дискретной топологией является GCO пространством. Так как $\sigma_d \setminus \sigma_R$ содержит все одноточечные подмножества в $S$, то наименьшее COTS расширение имеет вид $\widetilde{S}=S \otimes_l \{-1,0,1\}$ и является единственной циклически упорядоченной компактификацией $(S,R,\sigma_d)$. 3. Топология “стрелки” на окружности $S$: базу топологии $\sigma_\to$ образуют всевозможные полуинтервалы вида $[a,b)$, где $a,b\in S$. Наименьшее COTS расширение для GCO пространства $(S,R,\sigma_\to)$ имеет вид $\widetilde{S}=S \otimes_l \{-1,0\}$ и является единственной циклически упорядоченной компактификацией $(S,R,\sigma_\to)$. Пространство $\widetilde{S}$ является циклическим аналогом пространства “две стрелки Александрова”. Имеем Пример 2. Ц.у. множество $(\mathbb Q,R)$. 1. Наименьшим пополнением $\mathbb Q$ является $S$ – каждая щель заполнена ровно одной иррациональной точкой. То есть $(S,R,\sigma_R)$ является наименьшей ц.у. компактификацией COTS $(\mathbb Q, R, \sigma_R)$. Наибольшую компактификацию можно представить как подпространство $\mathbb Q \times \{0\} \cup \mathbb J \times \{0,1\}$ в $S\otimes_l \{0,1\}$. 2. Для GCO пространства $(\mathbb Q, R, \sigma_d)$ наименьшее COTS расширение имеет вид $\mathbb Q \otimes_l \{-1,0,1\}$. Для получения наименьшей ц.у. компактификации требуется заполнить каждую щель в $\mathbb Q \otimes_l \{-1,0,1\}$ ровно одной точкой. Эту компактификацию можно представить в виде подпространства $\mathbb Q \times \{-1,0,1\} \cup \mathbb J \times \{0\} \subset S \otimes_l \{-1,0,1\}$. Наибольшая ц.у. компактификация: подпространство $\mathbb Q \times \{-1,0,1\} \cup \mathbb J \times \{0,1\}$. 3. Для GCO пространства $(\mathbb Q, R, \sigma_\to)$ наименьшее COTS расширение имеет вид $\mathbb Q \otimes_l \{-1,0\}$. Наименьшая ц.у. компактификация: подпространство $\mathbb Q \times \{-1,0\} \cup \mathbb J \times \{0\} \subset S\otimes_l \{-1,0\}$. Наибольшая ц.у. компактификация: $\mathbb Q \otimes_l \{-1,0\} \cup \mathbb J \otimes_l \{-1,0\}=S\otimes_l \{-1,0\}$. Имеем Пример 3. На линейно упорядоченном множестве $(\mathbb Z,<)$ определим отношение $R$ циклического порядка по правилу $(a,b,c) \in R \ \Longleftrightarrow\ (a<b<c \vee b<c<a \vee c<a<b)$. На $(\mathbb Z,R)$ существует единственная GCO топология $\sigma_R$, которая дискретна. Пространство $(\mathbb Z,R)$ имеет только одну щель. Наименьшая ц.у. компактификация получается заполнением этой щели одной точкой $\infty$. Наибольшая компактификация – двумя точками $+\infty,-\infty$. Имеем 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sor24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|