| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Инварианты на перестановочно унитарных классах эквивалентности фреймов Парсеваля В. В. Севостьянова Самарский государственный университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624090323 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеМожно привести два эквивалентных определения фрейма. Пусть $n$ и $d$ – натуральные числа, $n\geqslant d$, и пусть $\mathbb{F}$ обозначает поле $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$. Конечный фрейм в $d$-мерном евклидовом (унитарном) пространстве $\mathbb{H}^d$ над полем $\mathbb{R}$ (соответственно $\mathbb{C}$) – это произвольный полный набор векторов: $\operatorname{span}\{\varphi_j\}_{j=1}^n=\mathbb{H}^d$. Таким образом обобщается определение базиса, так как не требуется линейная независимость векторов. Дадим формальное определение фрейма. Набор векторов $\{\varphi_j\}_{j=1}^n$ называется фреймом для вещественного или комплексного пространства $\mathbb{H}^d$, если существуют константы $0<a\leqslant b<\infty$ такие, что для всех $\mathbf{x}\in \mathbb{H}^d$ выполнено
$$
\begin{equation*}
a\|\mathbf{x}\|^2\leqslant\sum_{j=1}^n|\langle \mathbf{x},\varphi_j\rangle |^2\leqslant b\|\mathbf{x}\|^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Приведенные выше определения фрейма эквивалентны [1]. Константы $a$ и $b$ называют соответственно нижней и верхней границами фрейма. Фрейм называется жесткими или $a$-жесткими, если равны фреймовые границы $a=b$. Теория конечных жестких фреймов активно развивалась в последние двадцать лет в связи с многочисленными приложениями в областях, таких как цифровая обработка сигналов, квантовая теория информации, многомерные ортогональные полиномы и сплайны, а также в теории сжатых измерений [2]–[4]. Традиционно с фреймом связан ряд операторов. Оператором синтеза для конечного набора векторов $\{\varphi_j\}_{j=1}^n$ из $\mathbb{H}^d$ называется
$$
\begin{equation*}
\mathbf{\Phi} \colon \mathbb{F}^n \to\mathbb{H}^d, \qquad \mathbf{\Phi} \mathbf{x} :=\sum_{j=1}^n \mathbf{x}(j)\varphi_j,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbf{x}(j)$ – $j$-я координата вектора $\mathbf{x}\in \mathbb{F}^n$. Матрица оператора синтеза $\mathbf{\mathbf{\Phi}}$ представляет собой $(d\times n)$-матрицу, столбцами которой являются векторы $\{\varphi_j\}_{j=1}^n$ фрейма. Оператором анализа называется оператор, сопряженный к оператору синтеза: $\mathbf{\Phi}^* \colon \mathbb{H}^d \to \mathbb{F}^n$, для которого $(\mathbf{\mathbf{\Phi}}^*\mathbf{y})(j) = \langle \varphi_j,\mathbf{y}\rangle$, $j=1,\dots,n$. Здесь скалярные произведения сопряженно-линейны по первому аргументу и линейны по второму, т.е.
$$
\begin{equation*}
\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle=\sum_{j} \overline{\mathbf{x}(j)}\mathbf{y}(j).
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем композицию операторов анализа и синтеза, определяющую оператор Грама $\mathbf{\Phi}^*\mathbf{\Phi} \colon \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^n$ с соответствующей $(n\times n)$-матрицей, у которой $(\mathbf{\Phi}^*\mathbf{\Phi})(i,j) = \langle\varphi_i,\varphi_{j}\rangle$. Хорошо известно, что последовательности $\{\varphi_j\}_{j=1}^n$ из $\mathbb{H}^d$ и $\{\widehat{\varphi}_j\}_{j=1}^n$ из $\widehat{\mathbb{H}^d}$ имеют одинаковые матрицы Грама тогда и только тогда, когда существует унитарный оператор $\mathbf{U}\colon \mathbb{H}^d\to \widehat{\mathbb{H}^d}$ такой, что $\mathbf{U}\varphi_j=\widehat{\varphi}_j$ для всех $j =1,\dots,n$. Композиция операторов в другом порядке задает фреймовый оператор
$$
\begin{equation*}
\mathbf{\Phi}\mathbf{\Phi}^* \colon \mathbb{H}^d\to \mathbb{H}^d, \qquad \mathbf{\Phi}\mathbf{\Phi}^*\mathbf{y} =\sum_{j=1}^n\langle\varphi_j,\mathbf{y}\rangle\varphi_j.
\end{equation*}
\notag
$$
В случае $a$-жесткого фрейма фреймовый оператор имеет вид $\mathbf{\Phi}\mathbf{\Phi}^*= a \mathbf{I}$, а произвольный вектор $\mathbf{x}$ представим в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\mathbf{x}=\frac 1a\sum_{i=1}^n \langle \varphi_i, \mathbf{x}\rangle \varphi_i, \qquad \mathbf{x}\in \mathbb{H}^d.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Мы будем рассматривать $1$-жесткие фреймы, которые также называются фреймами Парсеваля или нормализованными жесткими фреймами. Заметим, что произвольный $a$-жесткий фрейм можно превратить в 1-жесткий фрейм с помощью замены векторов фрейма $\varphi_i$ на $({1}/{\sqrt{a}})\varphi_i$. Вопросы классификации фреймов по классам эквивалентности неоднократно поднимались в литературе [3]–[5]. Например, в работе [6] (см. также [2]) подробно изучена проективно унитарная эквивалентность фреймов. В частности, показано, что два фрейма проективно унитарно эквивалентны в том и только том случае, когда совпадают все $m$-произведения вида
$$
\begin{equation*}
\Delta(\varphi_{i_1},\varphi_{i_2},\dots,\varphi_{i_m})= \langle\varphi_{i_1},\varphi_{i_2}\rangle \langle\varphi_{i_2},\varphi_{i_3}\rangle \dotsb\langle\varphi_{i_m},\varphi_{i_1}\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
В настоящей работе рассматривается другая классическая эквивалентность, а именно, унитарная эквивалентность с точностью до перестановки векторов фрейма Парсеваля или перестановочно унитарная эквивалентность. В класс перестановочно унитарно эквивалентных фреймов входят фреймы, у которых матрицы Грама совпадают с точностью до перестановки строк и столбцов. В [7] в вещественном случае описаны инварианты, которые разделяют в общем положении такие классы эквивалентности. В предлагаемой работе удается получить аналогичные результаты также и в случае комплексного поля. В совместной работе [8] автора с Новиковым основной результат получен благодаря рассмотрению максимально широкой эквивалентности, так называемой проективно-перестановочно унитарной эквивалентности, а именно, показано, что в пространствах $\mathbb{R}^3$, $\mathbb{R}^5$ и $\mathbb{R}^7$ жесткие равноугольные фреймы единственные с точностью до эквивалентности. Идеи, используемые при получении этих результатов, привели к появлению настоящей статьи. 2. Унитарно эквивалентные фреймыВ дальнейшем считаем $\mathbb{F}=\mathbb{C}$, и будем рассматривать фреймы в $d$-мерном унитарном пространстве $\mathbb{H}^d$. Пусть $\{\varphi_1,\dots,\varphi_{n}\}$ – фрейм Парсеваля в своей линейной оболочке. Его фреймовый оператор $\mathbf{\mathbf{\Phi}}\mathbf{\mathbf{\Phi}}^*=\mathbf{I}$. Рассмотрим матрицу Грама этого фрейма. Теорема 1. Квадратная матрица $\mathbf{G}$ порядка $n$ является матрицей Грама для фрейма Парсеваля $\{\varphi_j\}_{j=1}^n$ пространства $\operatorname{span}(\{\varphi_j\}_{j=1}^n)$ c размерностью, равной рангу $\mathbf{G}$ тогда и только тогда, когда $\mathbf{G}$ является матрицей ортогонального проектирования, т.е. $\mathbf{G}=\mathbf{G}^*=\mathbf{G}^2$. При этом Доказательство. $(\Rightarrow)$ Представляя матрицу Грама в виде композиции операторов анализа и синтеза, имеем
$$
\begin{equation*}
\mathbf{G}^2=(\mathbf{\mathbf{\Phi}}^*\mathbf{\mathbf{\Phi}}) (\mathbf{\mathbf{\Phi}}^*\mathbf{\mathbf{\Phi}})= \mathbf{\mathbf{\Phi}}^*(\mathbf{\mathbf{\Phi}}\mathbf{\mathbf{\Phi}}^*) \mathbf{\mathbf{\Phi}} =\mathbf{\mathbf{\Phi}}^*\,\mathbf{I}\,\mathbf{\mathbf{\Phi}}=\mathbf{G}.
\end{equation*}
\notag
$$
Самосопряженность $\mathbf{G}$ очевидна.
$(\Leftarrow)$ Пусть $\mathbf{G}$ – квадратная матрица порядка $n$ и $\mathbf{G}=\mathbf{G}^*=\mathbf{G}^2$. Рассмотрим столбцы матрицы $\mathbf{G}$; обозначим их $\varphi_i=\mathbf{G} \mathbf{e}_i$, $i=1,2,\dots, n$, где $\{\mathbf{e}_i\}_{i=1}^n$ – стандартный ортонормированный базис в пространстве $\mathbb{H}^n$. Если $\mathbf{f}\in \operatorname{span}(\{\varphi_j\}_{j=1}^n)$, то $\mathbf{f}=\mathbf{G}\mathbf{f}$ и
$$
\begin{equation*}
\mathbf{f}=\mathbf{G}\biggl(\sum_{i=1}^n\langle\mathbf{e}_i, \mathbf{G}\mathbf{f}\rangle \mathbf{e}_i\biggr) =\sum_{i=1}^n\langle \mathbf{G} \mathbf{e}_i,\mathbf{f}\rangle \mathbf{G}\mathbf{e}_i =\sum_{i=1}^n\langle \varphi_i,\mathbf{f}\rangle \varphi_i,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $\{\varphi_j\}_{j=1}^n$ является фреймом Парсеваля в $\operatorname{span}(\{\varphi_j\}_{j=1}^n)$. Матрицей Грама этого фрейма оказывается матрица $\mathbf{G}$. Размерность пространства $\operatorname{span}(\{\varphi_j\}_{j=1}^n)$ определяется рангом матрицы $\mathbf{G}$.
Для матрицы ортогонального проектирования ранг совпадает с ее следом, что обосновывает последнее равенство в формулировке теоремы. На множестве фреймов можно ввести различные классы эквивалентности. Определение 1. Два фрейма $\{\varphi_i\}_{i=1}^n$ и $\{\psi_i\}_{i=1}^n$ называются унитарно эквивалентными, если существует унитарное преобразование $\mathbf{U}$, переводящее векторы одного фрейма в векторы другого: $\psi_i=\mathbf{U}\varphi_i$, $i=1,\dots,n$. Будем рассматривать класс унитарно эквивалентных фреймов, т.е. класс всех таких фреймов, которые попарно унитарно эквивалентны друг другу. Поскольку унитарное преобразование сохраняет скалярное произведение, матрицы Грама унитарно эквивалентных фреймов совпадают. Верно и обратное утверждение: если матрицы Грама двух систем векторов совпадают, то эти системы унитарно эквивалентны. Таким образом, в частности, фреймы Парсеваля унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда их матрицы Грама совпадают. Заметим также, что класс фреймов Парсеваля в $\mathbb{H}^d$ с $n$ векторами инвариантен относительно унитарных преобразований. Действительно, фреймовый оператор для набора $\{\mathbf{U}\varphi_i\}_{i=1}^n$ равен $\mathbf{U}\mathbf{\Phi}(\mathbf{U}\mathbf{\Phi})^*= \mathbf{U}\mathbf{I}\mathbf{U}^*=\mathbf{I}$. Фиксируем базис в $\mathbb{H}^d$, тогда любой фрейм Парсеваля $\{\varphi_i\}_{i=1}^n$ можно рассматривать как $(d\times n)$-матрицу $\Phi$ с элементами из поля $\mathbb{C}$, где столбцы $\Phi$ – векторы фрейма. Для каждого фрейма Парсеваля $\Phi$ следующие $d^2$ полиномов от элементов матрицы, полученных из условия $\Phi\Phi^*=\mathbf{I}$, обращаются в нуль на $\Phi$:
$$
\begin{equation}
\langle f_i,f_j\rangle-\delta_{i,j}, \qquad i,j=1,\dots,d,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $f_i$ – вектор-строки матрицы $\Phi$, а $\delta_{i,j}$ – символ Кронекера. Более того, множество фреймов Парсеваля с $n$ векторами в $\mathbb{C}^d$ можно определить как множество матриц в $\operatorname{Mat}_{d\times n}(\mathbb{C})$, на котором (2.1) обращаются в нуль, поэтому множество фреймов Парсеваля c $n$ векторами в $\mathbb{C}^d$ можно рассматривать как вещественное алгебраическое многообразие в $\mathbb{R}^{2dn}$, учитывая вещественную и мнимую части каждого элемента матрицы $\Phi$ (подробнее об алгебраических многообразиях см. [9]). Будем обозначать вещественное многообразие фреймов Парсеваля с $n$ векторами в $\mathbb{C}^d$ через $\mathcal{X}_{d,n}$ (о свойствах многообразия $\mathcal{X}_{d,n}$ см. [2]). Введенное обозначение позволяет взглянуть на действия унитарных преобразований на фреймах Парсеваля c алгеброгеометрической точки зрения. А именно, рассмотрим левое действие на $\mathcal{X}_{d,n}$ комплексной группы Ли $\mathrm{U}(d)$ унитарных матриц (здесь $\mathrm{U}(d)$ рассматривается как вещественная унитарная группа Ли):
$$
\begin{equation*}
\{\varphi_i\}_{i=1}^n\mapsto\{\mathbf{U}\varphi_i\}_{i=1}^n, \qquad \mathbf{U}\in \mathrm{U}(d),
\end{equation*}
\notag
$$
или в матричном виде Тогда получаем, что для любого фрейма $\Phi=\{\varphi_i\}_{i=1}^n$ класс унитарно эквивалентных ему фреймов – орбита действия группы $\mathrm{U}(d)$ на $\Phi$ или $\mathrm{U}(d)$-орбита $\Phi$, т.е. по определению множество
$$
\begin{equation*}
\{\{\mathbf{U}\varphi_i\}_{i=1}^n\colon \mathbf{U}\in\mathrm{U}(d)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что матрицы Грама $\Phi^*\Phi$ для фреймов Парсеваля $\{\varphi_j\}_{j=1}^n$ являются матрицами ортогонального проектирования. Рассмотрим множество $\mathrm{Gr}_{d,n}$ всех таких ортогональных проекций для $\mathcal{X}_{d,n}$. В этом случае отображение
$$
\begin{equation}
\omega\colon \mathcal{X}_{d,n}\to \mathrm{Gr}_{d,n}, \qquad \Phi\mapsto\Phi^*\Phi
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
сюръективно и постоянно на унитарных классах эквивалентности, поскольку левое $\mathrm{U}(d)$-действие не меняет матрицу Грама или, другими словами, $\Phi^*\Phi$ инвариантно относительно левого $\mathrm{U}(d)$-действия. Поэтому скалярные произведения $\langle\varphi_i,\varphi_j\rangle$, $i,j=1,\dots,n$, также являются инвариантами левого $\mathrm{U}(d)$-действия на $\mathcal{X}_{d,n}$ и однозначно определяют матрицу Грама, а следовательно, и $\mathrm{U}(d)$-орбиту любого фрейма с такой матрицей Грама. Таким образом, любой прообраз при отображении $\omega$ – орбита действия группы $\mathrm{U}(d)$ или класс унитарно эквивалентных фреймов Парсеваля. Получаем, что матрицы Грама фреймов Парсеваля параметризуют все классы унитарно эквивалентных фреймов Парсеваля, откуда получаем, что эпиморфизм $\omega$ вместе с многообразием $\mathrm{Gr}_{d,n}$ является геометрическим фактором (о факторах по действиям линейно-редуктивных групп см., например, [10]). Следовательно, в силу леммы 2.1 из [11] имеет место следующий результат. Теорема 2. Поле инвариантов $\mathbb{R}(\mathcal{X}_{d,n})^{\mathrm{U}(d)}$ левого действия унитарной группы Ли на многообразии фреймов Парсеваля $\mathcal{X}_{d,n}$ порождается скалярными произведениями $\langle\varphi_i,\varphi_j\rangle$, $i\leqslant j$. 3. Инварианты симметрической группы на пространстве самосопряженных матрицКласс унитарно эквивалентных фреймов зависит от того, в каком порядке расположены векторы фрейма. Например, фреймы Парсеваля с матрицами синтеза
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}}&\dfrac1{\sqrt{2}}&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} \dfrac1{\sqrt{2}}&0&\dfrac1{\sqrt{2}} \\ 0&1&0 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
не являются унитарно эквивалентными, достаточно сравнить их матрицы Грама. Обозначим через $S_n$ симметрическую группу, образованную множеством перестановок длины $n$. Определение 2. Будем говорить, что два фрейма $\{\varphi_i\}_{i=1}^n$ и $\{\psi_i\}_{i=1}^n$ в $\mathbb{H}^d$ унитарно эквивалентны с точностью до перестановки или перестановочно унитарно эквивалентны, если существует перестановка $\sigma\in S_n$, для которой фреймы $\{\varphi_i\}_{i=1}^n$ и $\{\psi_{\sigma(i)}\}_{i=1}^n$ унитарно эквивалентны. Заметим вновь, что класс всех фреймов Парсеваля инвариантен и относительно перестановочно унитарной эквивалентности. Если перестановка $\sigma$ меняет местами векторы $\varphi_i$ и $\varphi_j$ фрейма $\{\varphi_i\}_{i=1}^n$ с матрицей Грама $\mathbf{G}$, то в новой матрице Грама $\mathbf{G}'$ поменяются местами строки и столбцы с номерами $i$ и $j$. Будем рассматривать класс всех фреймов, которые попарно перестановочно унитарно эквивалентны друг другу; назовем класс таких фреймов классом перестановочно унитарно эквивалентных фреймов. В дальнейшем будем рассматривать любой такой класс эквивалентности с позиции действия группы $S_n$ на множестве $\mathrm{Gr}_{d,n}$ матриц Грама. Итак, действие группы $S_n$ на $\mathrm{Gr}_{d,n}$ определяется следующим образом: возьмем
$$
\begin{equation*}
\sigma=\begin{pmatrix} 1&2&\dots&n \\ j_1&j_2&\dots&j_n \end{pmatrix} \in S_n \qquad\text{и}\qquad \mathbf{G}\in\mathrm{Gr}_{d,n},
\end{equation*}
\notag
$$
тогда
$$
\begin{equation}
\mathbf{G}=\begin{pmatrix} g_{1,1}&g_{1,2}&\dots&g_{1,n} \\ g_{2,1}&g_{2,2}&\dots&g_{2,n} \\ \dots&\dots&\dots&\dots \\ g_{n,1}&g_{n,2}&\dots&g_{n,n} \end{pmatrix} \mapsto \sigma\cdot\mathbf{G}=\begin{pmatrix} g_{j_1,j_1}&g_{j_1,j_2}&\dots&g_{j_1,j_n} \\ g_{j_2,j_1}&g_{j_2,j_2}&\dots&g_{j_2,j_n} \\ \dots&\dots&\dots&\dots \\ g_{j_n,j_1}&g_{j_n,j_2}&\dots&g_{j_n,j_n} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Из теоремы 1 следует, что если $\mathbf{G}$ – матрица ортогонального проектирования, то $\sigma\cdot\mathbf{G}$ – тоже матрица ортогонального проектирования, поэтому очевидно, что класс матриц Грама фреймов Парсеваля инвариантен относительно $S_n$-действия. Для любой матрицы Грама $\mathbf{G}$ фрейма Парсеваля прообраз $S_n$-орбиты $\mathbf{G}$ при отображении (2.2) – в точности перестановочно унитарный класс эквивалентности любого фрейма с матрицей Грама $\mathbf{G}$, точнее, для фрейма $\Phi$ c матрицей Грама $\Phi^*\Phi$ и соответствующей $S_n$-орбитой
$$
\begin{equation*}
\Omega_{\Phi}=\{\sigma\cdot(\Phi^*\Phi)\colon \sigma\in S_n\}
\end{equation*}
\notag
$$
перестановочно унитарный класс эквивалентности фрейма $\Phi$ состоит из следующих фреймов Парсеваля:
$$
\begin{equation*}
\omega^{-1}(\Omega_{\Phi})= \coprod_{\mathbf{G}\in\Omega_{\Phi}}\omega^{-1}(\mathbf{G}).
\end{equation*}
\notag
$$
Вложим множество матриц Грама фреймов Парсеваля с $n$ векторами в векторное пространство самосопряженных матриц $\mathcal{M}$ размера $n\times n$. Естественно рассмотреть определенное выше $S_n$-действие на более широком множестве всех самосопряженных матриц $\mathcal{M}$, а не только на $\mathrm{Gr}_{d,n}$. Будем рассматривать $\mathcal{M}$ как вещественное векторное пространство самосопряженных $(n\times n)$-матриц над $\mathbb{R}$ размерности $n^2$. Возьмем формальную самосопряженную матрицу
$$
\begin{equation*}
\mathbf{X}=\begin{pmatrix} x_{1,1}&x_{1,2}+i\,y_{1,2}&\dots&x_{1,n}+i\,y_{1,n} \\ x_{1,2}-i\,y_{1,2}&x_{2,2}&\dots&x_{2,n}+i\,y_{2,n} \\ \dots&\dots&\dots&\dots \\ x_{1,n}-i\,y_{1,n}&x_{2,n}-i\,y_{2,n}&\dots&x_{n,n} \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где $x_{i,j},y_{i,j}$ – вещественные переменные. Рассмотрим кольцо регулярных функций $\mathbb{R}[\mathcal{M}]$ на $\mathcal{M}$, т.е. кольцо многочленов на самосопряженных матрицах, которое в силу того, что $\mathcal{M}$ – векторное пространство, можно отождествить с кольцом многочленов $\mathbb{R}[x_{i,j},y_{k,l}]_{i\leqslant j,k<l}$ от $n^2$ переменных с вещественными коэффициентами (подробнее о регулярных отображениях алгебраических многообразий см., например, [9]). Аналогично, поле рациональных функций $\mathbb{R}(\mathcal{M})$ на $\mathcal{M}$ совпадает с полем вещественных рациональных функций от переменных $x_{i,j}$ и $y_{k,l}$, где $i\leqslant j$ и $k<l$. Далее, продолжим $S_n$-действие (3.1) на $\mathcal{M}$ до представления в кольце многочленов $\mathbb{R}[\mathcal{M}]$ и в поле рациональных функций $\mathbb{R}(\mathcal{M})$:
$$
\begin{equation}
f(\mathbf{G})\mapsto f(\sigma\cdot\mathbf{G}), \qquad \sigma\in S_n.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Заметим, что если транспозиция $\tau$ меняет местами индексы $i$ и $j$, то
$$
\begin{equation*}
\tau\cdot x_{i,i}=x_{j,j}, \qquad \tau\cdot x_{i,j}=x_{i,j}, \qquad \tau\cdot y_{i,j}=-y_{i,j}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому для $i<j$ разумно отождествить $x_{i,j}=x_{j,i}$ и $y_{i,j}=-y_{j,i}$. Тогда можно считать, что действие перестановки
$$
\begin{equation*}
\sigma=\begin{pmatrix} 1&2&\dots&n \\ j_1&j_2&\dots&j_n \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
меняет индексы переменных в $f$ из $\mathbb{R}[\mathcal{M}]$ (или из $\mathbb{R}(\mathcal{M})$):
$$
\begin{equation*}
f(x_{i,i},x_{k,l},y_{k,l})_{k<l}\mapsto f(x_{j_i,j_i},x_{j_k,j_l},y_{j_k,j_l}).
\end{equation*}
\notag
$$
Наша основная цель – описание инвариантов на перестановочно унитарных классах эквивалентности. Под инвариантом на классах эквивалентности будем понимать такую функцию, которая для любого класса эквивалентности постоянна на всех элементах из данного класса. Для начала рассмотрим более простую задачу, которая состоит в нахождении инвариантов действия симметрической группы на самосопряженных матрицах, т.е. таких функций, для которых при любых перестановках $\sigma$ выполняется $f(\mathbf{G})=f(\sigma\cdot\mathbf{G})$. Выпишем некоторые $S_n$-инварианты на $\mathcal{M}$. Заметим, что действие симметрической группы переставляет вещественные элементы матрицы $\mathbf{G}\in\mathcal{M}$, стоящие на диагонали. Поэтому в качестве первой серии инвариантов можно взять симметрические полиномы от диагональных элементов $\mathbf{G}$. Поскольку каждый симметрический полином однозначно представим в виде многочлена от элементарных симметрических функций, естественно в качестве первой серии инвариантов взять
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, s_1=x_{1,1}+x_{2,2}+\dots+x_{n,n}, \qquad s_2=x_{1,1}x_{2,2}+\dots+x_{n-1,n-1}x_{n,n}, \\ \dots, \\ s_n=x_{1,1}x_{2,2}\dots x_{n,n}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $N=n(n-1)/2$ число всех переменных $y_{k,l}$ и тех переменных $x_{i,j}$, для которых $i<j$. Рассмотрим вторую серию многочленов, которые, очевидно, также инвариантны относительно произвольной перестановки индексов в правых частях:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, t_1=\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}x_{i,j}, \qquad t_2=\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}(x_{i,i}-x_{j,j})^2x_{i,j}, \\ \dots \\ t_N=\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}(x_{i,i}-x_{j,j})^{2(N-1)}x_{i,j}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
В качестве последней третьей серии $S_n$-инвариантов возьмем следующие:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, v_1=\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}(x_{i,i}-x_{j,j})y_{i,j}, \qquad v_2=\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}(x_{i,i}-x_{j,j})^3y_{i,j}, \\ \dots \\ v_N=\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}(x_{i,i}-x_{j,j})^{2N-1}y_{i,j}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Таким образом, получилось $n^2$ инвариантов в трех сериях. Разумеется, это не единственный возможный способ определить функции $s_i,t_j,v_k$. Пусть $\pi\colon \mathcal{M}\to \mathbb{R}^{n^2}$ – отображение, которое каждой самосопряженной матрице $\mathbf{G}=(g_{i,j})_{i,j=1}^n\in\mathcal{M}$ ставит в соответствие набор значений инвариантов из трех серий $(s_1,\dots,s_n,t_1,\dots,t_N,v_1,\dots,v_N)|_{\mathbf{G}}$ на этой матрице. Напомним, что под топологией Зарисского в аффинном пространстве понимается топология, в которой замкнутое множество – это множество всех совместных нулей некоторых многочленов, число которых произвольно (см. [9]). В такой топологии любое непустое открытое множество является всюду плотным. Теорема 3. В пространстве самосопряженных матриц $\mathcal{M}$ найдется непустое открытое по Зарисскому подмножество $U$, при ограничении на которое отображение $\pi$ является эпиморфизмом. Кроме того, прообраз любой точки из $\pi(U)$ – $S_n$-орбита. Доказательство. Выберем набор $w=(a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_N,c_1,\dots,c_N)\in \mathbb{R}^{n^2}$. Опишем алгоритм, позволяющий восстановить по почти любому выбранному набору $w$ самосопряженную матрицу $\mathbf{G}=(g_{i,j})_{i,j=1}^n\in\mathcal{M}$ такую, что $\pi(\mathbf{G})=w$. Если известны значения элементарных симметрических функций $s_i(\mathbf{G})=a_i$, то диагональные элементы $g_{1,1},\dots,g_{n,n}$ в $\mathbf{G}$ определяются однозначно с точностью до порядка следования. Фиксируем найденные $g_{1,1},\dots,g_{n,n}$ в произвольном порядке. Далее, рассмотрим неоднородную систему линейных уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{cases} b_1=x_{1,2}+x_{1,3}+\dots+x_{n-1,n}, \\ b_2=(g_{1,1}-g_{2,2})^2x_{1,2}+(g_{1,1}-g_{3,3})^2x_{1,3}+\dots+ (g_{n-1,n-1}-g_{n,n})^2x_{n-1,n}, \\ \dots \\ b_N=(g_{1,1}-g_{2,2})^{2(N-1)}x_{1,2} \\ \qquad+(g_{1,1}-g_{3,3})^{2(N-1)}x_{1,3}+\dots +(g_{n-1,n-1}-g_{n,n})^{2(N-1)}x_{n-1,n} \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
от $N$ переменных $x_{i,j}$, $i<j$. Данная система имеет единственное решение, если определитель Вандермонда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\begin{vmatrix} 1&1&\dots&1 \\ (g_{1,1}-g_{2,2})^2&(g_{1,1}-g_{3,3})^2&\dots&(g_{n-1,n-1}-g_{n,n})^2 \\ \dots&\dots&\dots&\dots \\ (g_{1,1}-g_{2,2})^{2(N-1)}&(g_{1,1}+g_{3,3})^{2(N-1)}&\dots&(g_{n-1,n-1}+g_{n,n})^{2(N-1)} \end{vmatrix} \\ &\qquad =\prod_{(i,j)\neq(k,l)} ((g_{i,i}-g_{j,j})^2-(g_{k,k}-g_{l,l})^2) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
отличен от нуля, что выполняется при условии $g_{i,i}-g_{j,j}\neq \pm(g_{k,k}-g_{l,l})$ при любых $i<j,k<l$, таких, что $(i,j)\neq(k,l)$.
Аналогично, неоднородная система линейных уравнений от $N$ переменных $y_{i,j}$
$$
\begin{equation}
\begin{cases} c_1=(g_{1,1}-g_{2,2})y_{1,2}+(g_{1,1}-g_{3,3})y_{1,3}+\dots+ (g_{n-1,n-1}-g_{n,n})y_{n-1,n}, \\ c_2=(g_{1,1}-g_{2,2})^3y_{1,2}+(g_{1,1}-g_{3,3})^3y_{1,3}+\dots+ (g_{n-1,n-1}-g_{n,n})^3y_{n-1,n}, \\ \dots \\ c_N=(g_{1,1}-g_{2,2})^{2N-1}y_{1,2} \\ \qquad+(g_{1,1}-g_{3,3})^{2N-1}y_{1,3}+\dots +(g_{n-1,n-1}-g_{n,n})^{2N-1}y_{n-1,n} \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
имеет единственное решение, если определитель
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\begin{vmatrix} (g_{1,1}-g_{2,2})&(g_{1,1}-g_{3,3})&\dots&(g_{n-1,n-1}-g_{n,n}) \\ (g_{1,1}-g_{2,2})^3&(g_{1,1}-g_{3,3})^3&\dots&(g_{n-1,n-1}-g_{n,n})^3 \\ \dots&\dots&\dots&\dots \\ (g_{1,1}-g_{2,2})^{2N-1}&(g_{1,1}-g_{3,3})^{2N-1}&\dots&(g_{n-1,n-1}-g_{n,n})^{2N-1} \end{vmatrix} \\ &\qquad =\prod_{1\leqslant i<j\leqslant n}(g_{i,i}-g_{j,j})\cdot\prod_{(i,j)\neq(k,l)} ((g_{i,i}-g_{j,j})^2-(g_{k,k}-g_{l,l})^2) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
не равен нулю.
Упомянутое в формулировке теоремы открытое множество $U$ определим так, чтобы оба определителя Вандермонда на $U$ не обращались в нуль, т.е. следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, U &=\bigl\{\mathbf{G}\in\mathcal{M}\colon g_{a,a}\neq g_{b,b}\text{ и }g_{i,i}-g_{j,j}\neq \pm(g_{k,k}-g_{l,l}) \\ &\qquad \text{ при любых }a\neq b\text{ и }(i,j)\neq(k,l),\ i<j,\ k<l\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда для любой точки $w=(a_1,\dots,a_n, b_1,\dots,b_N,c_1,\dots,c_N)\in\pi(U)$ самосопряженная матрица $\mathbf{G}$ такая, что $\pi(\mathbf{G})=w$ восстанавливается однозначно с точностью до одинаковой перестановки строк и столбцов, а элементы вне главной диагонали находятся так: $g_{j,k}=x_{j,k}+i\,y_{j,k}$ и $g_{k,j}=x_{j,k}-i\,y_{j,k}$ при $j<k$, где $x_{j,k},y_{j,k}$ – решения систем уравнений (3.5) и (3.6). Поскольку инварианты постоянны на орбитах, то получаем, что прообраз при отображении $\pi$ любой точки из $\pi(U)$ – это в точности $S_n$-орбита в $\mathcal{M}$. Множество всех рациональных функций, являющихся $S_n$-инвариантами на $\mathcal{M}$, образует поле, которое называется полем инвариантов и обозначается $\mathbb{R}(\mathcal{M})^{S_n}$. Теорема 4. Поле инвариантов $\mathbb{R}(\mathcal{M})^{S_n}$ – поле рациональных функций от полиномов $s_1,\dots,s_n,t_1,\dots,t_N,v_1,\dots,v_N$. В частности, полиномы $s_1,\dots,s_n$, $t_1,\dots,t_N$ и $v_1,\dots,v_N$ алгебраически независимы. Доказательство. Напомним, что рациональный инвариант разделяет орбиты, если он определен в точках этих орбит и принимает в них различные значения. Заметим, что из теоремы 3 следует, что инварианты $s_1,\dots,s_n$, $t_1,\dots,t_N$ и $v_1,\dots,v_N$ разделяют $S_n$-орбиты любых двух матриц, лежащих в разных $S_n$-орбитах из плотного в $\mathcal{M}$ открытого подмножества, другими словами, разделяют орбиты в общем положении. Тогда по лемме 2.1 из [11] инварианты $s_1,\dots,s_n, t_1,\dots,t_N,v_1,\dots,v_N$ порождают поле инвариантов $\mathbb{R}(\mathcal{M})^{S_n}$.
Для завершения доказательства осталось показать, что многочлены $s_1,\dots,s_n$, $t_1,\dots,t_N$, $v_1,\dots,v_N$ алгебраически независимы. В силу того, что прообразы точек из $\pi(U)$ для всюду плотного открытого подмножества $U$ совпадают с орбитами группы $S_n$, получаем, пользуясь следствием из теоремы 2.3 в [11], что степень трансцендентности поля инвариантов, т.е. максимальное число алгебраически независимых функций в $\mathbb{R}(\mathcal{M})^{S_n}$, равна
$$
\begin{equation*}
\operatorname{degtr}\mathbb{R}(\mathcal{M})^{S_n}= \dim \mathcal{M}-m,
\end{equation*}
\notag
$$
где $m=\operatorname{dim}(S_n\cdot\mathbf{G})$ – максимальная размерность орбиты. Поскольку группа $S_n$ конечна, то любая орбита конечна и, следовательно, $m=0$, тогда и, значит, инварианты алгебраически независимы. Теорема 4 показывает, что поле инвариантов $\mathbb{R}(\mathcal{M})^{S_n}$ свободно и изоморфно полю вещественных рациональных функций от $n^2$ переменных. В терминах теории инвариантов доказанная теорема утверждает, что отображение $\pi\colon \mathcal{M}\to \mathbb{R}^{n^2}$ вместе с $\overline{\pi(\mathcal{M})}$ задает рациональный фактор пространства $\mathcal{M}$ по группе $S_n$ [10]. 4. Инварианты на перестановочно унитарных классах эквивалентностиМатрицы Грама фреймов Парсеваля в $\mathbb{H}^d$, содержащих $n$ векторов, образуют вещественное аффинное подмногообразие $\mathrm{Gr}_{d,n}$ в $n^2$-мерном вещественном векторном пространстве самосопряженных матриц $\mathcal{M}$. Действительно, из теоремы 1 следует, что многообразие $\mathrm{Gr}_{d,n}$ для фреймов Парсеваля в пространстве размерности $d$ определяется равенствами $\mathbf{G}=\mathbf{G}^*=\mathbf{G}^2$ и условием, что ранг $(n\times n)$-матрицы $\mathbf{G}$ равен $d$. Значит, многообразие $\mathrm{Gr}_{d,n}$ замкнуто в $\mathcal{M}$. Многообразие фреймов Парсеваля $\mathcal{X}_{d,n}$ инвариантно относительно правого действия комплексной унитарной группы Ли $\mathrm{U}(n)$:
$$
\begin{equation*}
\Phi\in\mathcal{X}_{d,n}\mapsto\Phi\mathbf{U}, \qquad \mathbf{U}\in \mathrm{U}(n).
\end{equation*}
\notag
$$
Действительно, $(\Phi\mathbf{U})(\Phi\mathbf{U})^*=\Phi(\mathbf{U}\mathbf{U}^*)\Phi^*= \Phi\Phi^*=\mathbf{I}$. Покажем, что группа $\mathrm{U}(n)$ действует на $\mathcal{X}_{d,n}$ транзитивно, т.е. если $\Phi$ и $\Psi$ – фреймы Парсеваля, то найдется $\mathbf{U}\in\mathrm{U}(n)$, для которого $\Psi=\Phi\mathbf{U}$. Для этого воспользуемся конструкцией дополнения по Неймарку к фрейму (cм., например, [4]): Теорема 5. Для любого фрейма Парсеваля $\mathbf{\Phi}\!=\!\{\varphi_i\}_{i=1}^n$ в пространстве $\operatorname{span}(\mathbf{\Phi})$ размерности $d$ существует дополнение по Наймарку, т.е. фрейм Парсеваля $\mathbf{\Psi}=\{\psi_i\}_{i=1}^n$ в $(n-d)$-мерном пространстве $\operatorname{span}(\mathbf{\Psi})$, для которого выполняются следующие свойства: Пусть $\Phi_1$ и $\Phi_2$ – два фрейма Парсеваля с $n$ векторами в $\mathbb{H}^d$ каждый, а $\Psi_1$ и $\Psi_2$ – соответствующие им дополнения по Наймарку. Из теоремы 5 следует
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \Phi_1\\ \Psi_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Phi_1\\ \Psi_1 \end{pmatrix}^* =\mathbf{I}_{\mathbb{F}^n} =\begin{pmatrix} \Phi_2\\ \Psi_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Phi_2\\ \Psi_2\end{pmatrix}^*.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что матрица
$$
\begin{equation*}
\mathbf{U}=\begin{pmatrix}\Phi_1\\ \Psi_1 \end{pmatrix}^* \begin{pmatrix} \Phi_2\\ \Psi_2 \end{pmatrix}=\Phi_1^*\Phi_2+\Psi_1^*\Psi_2
\end{equation*}
\notag
$$
является унитарной:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf{U}\mathbf{U}^* &=(\Phi_1^*\Phi_2+\Psi_1^*\Psi_2)(\Phi_2^*\Phi_1+\Psi_2^*\Psi_1) \\ &=\Phi_1^*(\Phi_2\Phi_2^*)\Phi_1+\Phi_1^*(\Phi_2\Psi_2^*)\Psi_1+ \Psi_1^*(\Psi_2\Phi_2^*)\Phi_1+\Psi_1^*(\Psi_2\Psi_2^*)\Psi_1 \\ &=\Phi_1^*\Phi_1+\Psi_1^*\Psi_1=\mathbf{I}_{\mathbb{C}^n}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \Phi_2\\ \Psi_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \Phi_1\\ \Psi_1 \end{pmatrix}\mathbf{U}
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит, $\Phi_2=\Phi_1\mathbf{U}$. Итак, группа $\mathrm{U}(n)$ действует на $\mathcal{X}_{d,n}$ транзитивно, следовательно, многообразие $\mathcal{X}_{d,n}$ неприводимое и гладкое, поскольку любая орбита является гладкой и неприводимой. Напомним, что многообразие называется неприводимым, если его нельзя представить в виде объединения двух различных замкнутых многообразий. Продолжим действие $\mathrm{U}(n)$ на матрицы Грама $\mathbf{G}=\Phi^*\Phi$ фреймов Парсеваля $\Phi$. Поскольку
$$
\begin{equation*}
(\Phi\mathbf{U})^*(\Phi\mathbf{U})=\mathbf{U}^*(\Phi^*\Phi)\mathbf{U}, \qquad \mathbf{U}\in \mathrm{U}(n),
\end{equation*}
\notag
$$
определим
$$
\begin{equation*}
\mathbf{G}\in\mathrm{Gr}_{d,n}\mapsto\mathbf{U}^*\mathbf{G}\mathbf{U}, \qquad \mathbf{U}\in \mathrm{U}(n).
\end{equation*}
\notag
$$
Отображение (2.2) является сюръективным, следовательно, из транзитивности действия $\mathrm{U}(n)$ на $\mathcal{X}_{d,n}$ следует транзитивность действия $\mathrm{U}(n)$ на $\mathrm{Gr}_{d,n}$. В результате получаем, что замкнутое многообразие $\mathrm{Gr}_{d,n}$ гладкое и неприводимое. Перенесем результат теоремы 4 на случай многообразия $\mathrm{Gr}_{d,n}$. Кольцо регулярных функций $\mathbb{R}[\mathrm{Gr}_{d,n}]$ на $\mathrm{Gr}_{d,n}$ образовано множеством всех возможных многочленов на $\mathrm{Gr}_{d,n}$. Здесь $\mathbb{R}[\mathrm{Gr}_{d,n}]$ – это факторкольцо $R/I$, где $R=\mathbb{R}[x_{i,j},y_{k,l}]_{i\leqslant j,k<l}$, а $I$ – идеал, содержащий все полиномы, обращающиеся в нуль на $\mathrm{Gr}_{d,n}$. Также рассмотрим поле рациональных функций $\mathbb{R}(\mathrm{Gr}_{d,n})$ на $\mathrm{Gr}_{d,n}$, которое определяется как поле частных $\mathbb{R}[\mathrm{Gr}_{d,n}]$. Далее, ограничим $S_n$-действие (3.2) на $\mathrm{Gr}_{d,n}$, тогда естественно возникает вопрос об инвариантах $S_n$-действия на многообразии $\mathrm{Gr}_{d,n}$. Обозначим через $\mathbb{R}(\mathrm{Gr}_{d,n})^{S_n}$ поле инвариантов действия группы $S_n$ на $\mathrm{Gr}_{d,n}$. Рассмотрим вложение $\theta\colon \mathrm{Gr}_{d,n}\hookrightarrow\mathcal{M}$, тогда любой функции $h\in\mathbb{R}[\mathcal{M}]$ можно поставить в соответствие функцию
$$
\begin{equation*}
\theta^*(h(\mathbf{G}))=h(\theta(\mathbf{G}))\in\mathbb{R}[\mathrm{Gr}_{d,n}], \qquad \mathbf{G}\in\mathrm{Gr}_{d,n},
\end{equation*}
\notag
$$
причем данное индуцированное отображение $\theta^*$ является эпиморфизмом [9]. Теорема 6. Поле инвариантов $\mathbb{R}(\mathrm{Gr}_{d,n})^{S_n}$ порождается образами многочленов $s_1,\dots,s_n, t_1,\dots,t_N,v_1,\dots,v_N$ при эпиморфизме $\mathbb{R}[\mathcal{M}]\to\mathbb{R}[\mathrm{Gr}_{d,n}]$, индуцированном естественным вложением $\mathrm{Gr}_{d,n}\hookrightarrow\mathcal{M}$. Доказательство. Рассмотрим ограничение отображения $\pi$ на $\mathrm{Gr}_{d,n}$:
$$
\begin{equation*}
\pi|_{\mathrm{Gr}_{d,n}}=\pi'\colon \mathrm{Gr}_{d,n}\to \mathbb{R}^{n^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пересечение $W=\mathrm{Gr}_{d,n}\cap U$ для открытой окрестности $U$ из доказательства теоремы 3, состоит из матриц Грама из $\mathrm{Gr}_{d,n}$, для диагональных элементов $x_{i,i}$ которых выполняются условия
Покажем, что $W$ – плотное подмножество в $\mathrm{Gr}_{d,n}$. Предположим противное, пусть на неприводимом многообразии $\mathrm{Gr}_{d,n}$ для некоторых чисел $i<j$, $k<l$ таких, что $(i,j)\neq(k,l)$, выполняется, например, равенство $x_{i,i}=x_{j,j}$, $i<j$. Тогда, поскольку многообразие $\mathrm{Gr}_{d,n}$ симметрично относительно произвольной перестановки индексов элементов в матрицах Грама, то на $\mathrm{Gr}_{d,n}$ равенство $x_{i,i}=x_{j,j}$ верно для любых $i<j$. Из симметрии получаем, что все $x_{i,i}$ равны на $\mathrm{Gr}_{d,n}$. Последнее определяет множество унитарно эквивалентных равномерных фреймов Парсеваля, т.е. фреймов Парсеваля, для которых нормы всех векторов равны $\|\varphi_i\|^2=c$ для любых $i$, а такое множество образует гораздо более узкий класс, чем $\mathcal{X}_{d,n}$, что подтверждают многочисленные примеры [12]. Рассмотрим другой пример: пусть теперь $x_{1,1}-x_{2,2}=-(x_{1,1}-x_{3,3})$. Тогда имеем $2x_{1,1}=x_{2,2}+x_{3,3}$. Из симметрии $\mathrm{Gr}_{d,n}$ снова получаем, что это равенство верно после произвольной перестановки индексов $1,2,\dots,n$. Возьмем перестановку, которая дает $2x_{1,1}=x_{2,2}+x_{4,4}$, откуда $x_{3,3}=x_{4,4}$, и аналогично из симметрии получаем, что $\mathrm{Gr}_{d,n}$ – матрицы Грама для равномерных фреймов Парсеваля, что неверно. Другие случаи рассматриваются похожим образом. Таким образом, никакое из неравенств в (4.1) не обращается в тождество на неприводимом многообразии $\mathrm{Gr}_{d,n}$. Значит, $W$ – непустое открытое подмножество в многообразии $\mathrm{Gr}_{d,n}$. Тогда для любой точки из $\pi'(W)$ прообраз этой точки при отображении $\pi'$ – в точности орбита действия симметрической группы. Получаем, что инварианты $s_1,\dots,s_n, t_1,\dots,t_N,v_1,\dots,v_N$, рассматриваемые как вещественные регулярные функции на множестве матриц $\mathrm{Gr}_{d,n}$, разделяют $S_n$-орбиты в общем положении в $\mathrm{Gr}_{d,n}$, и, значит, поле инвариантов $S_n$-действия на $\mathrm{Gr}_{d,n}$ также порождается этими инвариантами. Заметим, что на $\mathrm{Gr}_{d,n}$ инварианты $s_1,\dots,s_n, t_1,\dots,t_N,v_1,\dots,v_N$ уже не будут алгебраически независимыми, для этого достаточно заметить, что для матрицы Грама $\mathbf{G}=(g_{i,j})_{i,j=1}^n$ фрейма Парсеваля, например, выполняется
$$
\begin{equation*}
s_1=\sum_{i=1}^ng_{i,i}=\sum_{i=1}^n\|\varphi_i\|^2=d.
\end{equation*}
\notag
$$
Вопрос обо всех определяющих соотношениях в многообразии $\mathrm{Gr}_{d,n}$ на инвариантах $s_1,\dots,s_n, t_1,\dots,t_N,v_1,\dots,v_N$ открыт. Теорема 7. Поле рациональных функций, постоянных на перестановочно унитарных классах эквивалентности фреймов Парсеваля с $n$ векторами в $\mathbb{H}^d$, порождается вещественными регулярными функциями на $\mathcal{X}_{d,n}$ вида В частности, данные полиномы разделяют в общем положении перестановочно унитарные классы эквивалентности фреймов Парсеваля. Доказательство. Рассмотрим композицию отображений Прообраз открытого множества $W\subset\mathrm{Gr}_{d,n}$ при отображении $\omega$ есть открытое множество в $\mathcal{X}_{d,n}$. Тогда ограничение морфизма $\pi'\circ\omega$ на открытое подмножество $\omega^{-1}(W)$ – эпиморфизм, причем прообраз любой точки из $\pi'(W)$ при отображении $\pi'\circ\omega$ – перестановочно унитарный класс эквивалентности, и любой перестановочно унитарный класс эквивалентности из открытого подмножества $\omega^{-1}(W)$ однозначно определяется значениями инвариантов $w=(s_1,\dots,s_n,t_1,\dots,t_N,v_1,\dots,v_N)$ на любой матрице Грама из $(\pi')^{-1}(w)$.
Эпиморфизм $\omega$ индуцирует вложение $\omega^*\colon \mathbb{R}[\mathrm{Gr}_{d,n}]\hookrightarrow \mathbb{R}[\mathcal{X}_{d,n}]$: Образы полиномов $s_1,\dots,s_n,t_1,\dots,t_N,v_1,\dots,v_N$ при вложении $\omega^*$ разделяют перестановочно унитарные классы эквивалентности в общем положении, следовательно, порождают поле рациональных функций, постоянных на этих классах эквивалентности.5. Классы эквивалентности для дополнений по НаймаркуПусть $\mathbf{\Phi}=\{\varphi_i\}_{i=1}^n$ – фрейм Парсеваля в $\mathbb{H}^d$, и пусть $\mathbf{\Psi}=\{\psi_i\}_{i=1}^n$ – его дополнение по Наймарку. Покажем, что для любых унитарных $\mathbf{U}\in\mathrm{U}(d)$ и $\mathbf{U}'\in\mathrm{U}(n-d)$ фрейм $\mathbf{U}'\mathbf{\Psi}$ является дополнением по Наймарку к фрейму $\mathbf{U}\mathbf{\Phi}$. Для этого достаточно проверить два свойства из условия теоремы 5. Действительно, воспользуемся тем, что $\mathbf{\Psi}$ – дополнение по Наймарку к $\mathbf{\Phi}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (\mathbf{U}'\mathbf{\Psi})(\mathbf{U}'\mathbf{\Psi})^* &=\mathbf{\Psi}^*(\mathbf{U}')^*\,\mathbf{U}'\mathbf{\Psi} =\mathbf{\Psi}^*\mathbf{\Psi}=\mathbf{I}_{\mathbb{F}^n}-\mathbf{\Phi}^*\mathbf{\Phi} \\ &=\mathbf{I}_{\mathbb{F}^n}-\mathbf{\Phi}^*\mathbf{U}^*\mathbf{U}\mathbf{\Phi} =\mathbf{I}_{\mathbb{F}^n}-(\mathbf{U}\mathbf{\Phi})(\mathbf{U}\mathbf{\Phi})^*, \\ (\mathbf{U}\mathbf{\Phi})(\mathbf{U}'\mathbf{\Psi})^* &=\mathbf{U}\mathbf{\Phi}\mathbf{\Psi}^*(\mathbf{U}')^*=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, доказана Лемма 1. Если фрейм $\mathbf{\Psi}$ – дополнение по Наймарку к фрейму $\mathbf{\Phi}$, то любой унитарно эквивалентный $\mathbf{\Psi}$ фрейм является дополнением по Наймарку к любому унитарно эквивалентному $\mathbf{\Phi}$ фрейму. Возьмем произвольную перестановку
$$
\begin{equation*}
\sigma=\begin{pmatrix} 1&2&\dots&n \\ j_1&j_2&\dots&j_n \end{pmatrix}\in S_n,
\end{equation*}
\notag
$$
определим соответствующую ей квадратную $(n\times n)$-матрицу $A_{\sigma}$, которая в любой строке и любом столбце содержит только одну единицу, а остальные элементы – нули, причем каждая 1 стоит на пересечении строки $i$ и столбца $j_i$, $i=1,\dots,n$. Как и ранее, будем рассматривать фрейм $\mathbf{\Phi}=\{\varphi_i\}_{i=1}^n$ в виде $(d\times n)$-матрицы, столбцы которой – векторы фрейма. Тогда фрейм $\{\varphi_{\sigma(i)}\}_{i=1}^n$, полученный с помощью перестановки $\sigma$ векторов фрейма, можно представить в виде произведения двух матриц: $\mathbf{\Phi}A_{\sigma}$. Лемма 2. Если фрейм $\mathbf{\Psi}$ – дополнение по Наймарку к фрейму $\mathbf{\Phi}$, то для любой перестановки $\sigma\in S_n$ фрейм $\mathbf{\Psi}A_{\sigma}$ – дополнение по Наймарку к $\mathbf{\Phi}A_{\sigma}$. Доказательство. Вновь достаточно проверить свойства из условия теоремы 5:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (\mathbf{\Psi}A_{\sigma})^*(\mathbf{\Psi}A_{\sigma}) &=A_{\sigma}^*\mathbf{\Psi}^*\mathbf{\Psi}A_{\sigma} =A_{\sigma}^*(\mathbf{I}_{\mathbb{F}^n}-\mathbf{\Phi}^*\mathbf{\Phi})A_{\sigma} \\ &=A_{\sigma}^*A_{\sigma}-A_{\sigma}^*\mathbf{\Phi}^*\mathbf{\Phi}A_{\sigma}= \mathbf{I}_{\mathbb{F}^n}-(\mathbf{\Phi}A_{\sigma})^*(\mathbf{\Phi}A_{\sigma}), \\ (\mathbf{\Phi}A_{\sigma})(\mathbf{\Psi}A_{\sigma})^* &=\mathbf{\Phi}A_{\sigma}A_{\sigma}^*\mathbf{\Psi}^* =\mathbf{\Phi}\mathbf{\Psi}^*=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 3. Если фреймы $\mathbf{\Phi}_1$ и $\mathbf{\Phi}_2$ перестановочно унитарно эквивалентны, то их соответствующие дополнения по Наймарку $\mathbf{\Psi}_1$ и $\mathbf{\Psi}_2$ тоже перестановочно унитарно эквивалентны. Доказательство. Пусть $\mathbf{\Phi}_1$ и $\mathbf{\Phi}_2$ лежат в одном перестановочно унитарном классе эквивалентности, тогда существуют унитарный $\mathbf{U}\in\mathrm{U}(d)$ и перестановка $\sigma\in S_n$ такие, что $\mathbf{\Phi}_2=\mathbf{U}\mathbf{\Phi}_1A_{\sigma}$. Если $\mathbf{\Psi}_1$ и $\mathbf{\Psi}_2$ – их соответствующие дополнения по Наймарку, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf{\Psi}^*_2\mathbf{\Psi}_2 &=\mathbf{I}_{\mathbb{F}^n}-\mathbf{\Phi}^*_2\mathbf{\Phi}_2= \mathbf{I}_{\mathbb{F}^n}-(\mathbf{U}\mathbf{\Phi}_1A_{\sigma})^* (\mathbf{U}\mathbf{\Phi}_1A_{\sigma}) \\ &=\mathbf{I}_{\mathbb{F}^n}-A_{\sigma}^*\mathbf{\Phi}_1^*\mathbf{U}^* \mathbf{U}\mathbf{\Phi}_1A_{\sigma}= \mathbf{I}_{\mathbb{F}^n}-A_{\sigma}^*\mathbf{\Phi}_1^*\mathbf{\Phi}_1A_{\sigma} \\ &=A_{\sigma}^*(\mathbf{I}_{\mathbb{F}^n}-\mathbf{\Phi}_1^*\mathbf{\Phi}_1)A_{\sigma} =A_{\sigma}^*\mathbf{\Psi}_1^*\mathbf{\Psi}_1A_{\sigma}= (\mathbf{\Psi}_1A_{\sigma})^*(\mathbf{\Psi}_1A_{\sigma}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Другими словами, матрицы Грама $\mathbf{\Psi}^*_1\mathbf{\Psi}_1$ и $\mathbf{\Psi}^*_2\mathbf{\Psi}_2$ лежат в одной $S_n$-орбите. Последнее означает, что соответствующие фреймы $\mathbf{\Psi}_1$ и $\mathbf{\Psi}_2$ перестановочно унитарно эквивалентны. Заметим, что если $\mathbf{\Psi}$ – дополнение по Наймарку к $\mathbf{\Phi}$, то также $\mathbf{\Phi}$ – дополнение по Наймарку к $\mathbf{\Psi}$. Отсюда и из лемм 1, 3 получаем, что между (перестановочно) унитарными классами эквивалентности фреймов Парсеваля с $n$ векторами в $\mathbb{H}^d$ и (перестановочно) унитарными классами эквивалентности для фреймов Парсеваля с $n$ векторами в $\mathbb{H}^{n-d}$ существует биекция, определяемая конструкцией дополнения по Наймарку. Далее, опишем, как связаны инварианты $s_i,t_j,v_k$ фрейма и его дополнения по Наймарку. Предложение 1. Пусть $\mathbf{\Psi}$ – дополнение по Наймарку к фрейму Парсеваля $\mathbf{\Phi}$. Тогда значения инвариантов $s_i,t_j,v_k$, $i=1,\dots,n$, $j,k=1,\dots,N$, на $\mathbf{\Phi}$ и значения соответствующих инвариантов $s'_i,t'_j,v'_k$ на $\mathbf{\Psi}$ связаны равенствами Доказательство. Если $\mathbf{\Psi}$ – дополнение по Наймарку к фрейму $\mathbf{\Phi}$, то из части a) теоремы 5 следует, что если $\mathbf{\Phi}$ имеет матрицу Грама $\mathbf{\Phi}^*\mathbf{\Phi}=(g_{i,j})$, то матрица Грама для $\mathbf{\Psi}$ – это $\mathbf{\Psi}^*\mathbf{\Psi}=(g'_{i,j})$, где $g'_{i,i}=1-g_{i,i}$, $g'_{j,k}=-g_{j,k}$, $j\neq k$. Тогда, заменяя в (3.3) и (3.4) значения $x_{i,i}$ на $1-x_{i,i}$ и $x_{j,k}$ (соответственно $y_{j,k}$) на $-x_{j,k}$ (соответственно на $-y_{j,k}$), получаем требуемые равенства для второй и третьей серий инвариантов.
Аналогично, заменим $x_{j,j}$ на $1-x_{j,j}$ в определении первой серии инвариантов:
$$
\begin{equation*}
s'_i=\sum_{j_1<\dots<j_i}(1-x_{j_1,j_1})\dotsb(1-x_{j_i,j_i}).
\end{equation*}
\notag
$$
После раскрытия всех скобок полученная сумма будет состоять из слагаемых вида
$$
\begin{equation}
(-1)^mx_{k_1,k_1}\dotsb x_{k_m,k_m}, \qquad m\leqslant i, \quad k_1<\dots<k_m.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Подсчитаем общее количество таких слагаемых для набора $k_1<\dots<k_m$. Пусть индексы $k_1<\dots<k_m$ выбраны из множества индексов некоторого исходного слагаемого, определяемого $j_1<\dots<j_i$. Число тех наборов $j_1<\dots<j_i$, которые содержат индексы $k_1<\dots<k_m$ равно $C_{n-m}^{i-m}$. Далее, поскольку для фиксированного $m$ сумма всех возможных одночленов вида (5.1) равна $(-1)^ms_m$, получаем нужную формулу для $s'_i$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sev24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|