| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Краткие сообщения Экстремальная задача о положительности интегралов от синус-рядов с монотонными коэффициентами Е. Д. Алфероваab, А. Ю. Поповab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624070319 
Реферативные базы данных:
 В заметке [1] была доказана следующая Теорема. Каков бы ни был синус-ряд с монотонными коэффициентами Эта теорема дает возможность поставить следующую задачу. Задача. Для любого $x \in (0,\pi]$ найти величину $Y(x)$, равную по определению точной верхней грани значений $y \in (0,x)$, при которых неравенство (2) выполняется для любого синус-ряда (1). Из теоремы следуют равенство $Y(\pi)=\pi/2$ и оценка $Y(x)\geqslant x/2$ при всех $x \in (0,\pi)$. В этой работе мы решаем поставленную задачу для всех $x \in [2\pi/3;\pi)$ и уточняем оценку для остальных $x$. Теорема 1. Справедливы равенства Доказательство. Обозначим $\widetilde{D}_n(x)=\sum_{k=1}^n \sin(kx)$. Эти тригонометрические многочлены, называемые сопряженными ядрами Дирихле, входят в класс рядов (1). Верны тождества
$$
\begin{equation*}
\int_{y_1(x)}^x\widetilde{D}_2(t)\,dt =0, \quad x \in\biggl[\frac{2\pi}{3}\,;\pi\biggr], \qquad \int_{y_2(x)}^x \widetilde{D}_3(t)\,dt =0, \quad x \in\biggl[\frac{2\pi}{3}\,; \arccos\biggl(-\frac{3}{4}\biggr)\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $y_1(x)$ убывает на отрезке $[2\pi/3,\pi]$,
$$
\begin{equation*}
y_1\biggl(\frac{2\pi}{3}\biggr)=\frac{2\pi}{3}\,, \qquad y_1\biggl(\arccos\biggl(-\frac{3}{4}\biggr)\biggr)= \arccos\biggl(-\frac{1}{4}\biggr), \qquad y_1(\pi)=\frac{\pi}{2}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $y_2(x)$ возрастает на отрезке $[2\pi/3,\arccos(-3/4)]$, Отсюда и из определения величины $Y(x)$ следуют неравенства
Согласно доказанному в [1] при любом фиксированном $x \in [0;\pi]$ неравенство $Y(x) \geqslant y(x)$ ($y(x)$ – заданная величина) следует из неравенств
$$
\begin{equation}
\int_y^x \widetilde{D}_n(t)\,dt >0 \qquad \forall\,y<y(x), \quad \forall\,n \in \mathbb{N}, \ \ n \geqslant 2.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Поэтому для доказательства равенств (3) и (4) достаточно проверить выполнение неравенств (5) при любых $n\geqslant 2$ и следующих ограничениях на $x$ и $y$:
$$
\begin{equation*}
y<y_1(x),\quad x\in\biggl(\arccos\biggl(-\frac{3}{4}\biggr),\pi\biggr),\qquad y < y_2(x),\quad x \in \biggl[\frac{2\pi}{3}\,, \arccos\biggl(-\frac{3}{4}\biggr)\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
При $n=2$ неравенства (5) очевидны: если $x\in[2\pi/3,\pi]$, $y<y_1(x)$, то $\int_y^x \widetilde{D}_2(t)\,dt= \int_y^{y_1(x)}\widetilde{D}_2(t)\,dt>0$, так как $\widetilde{D}_2(t)>0$ при $0<t<2\pi/3$, а $y_1(x)<2\pi/3$ и, тем более, положителен интеграл (5) при $y<y_2(x)$, так как $y_2(x)<y_1(x)$. Пусть $n=3$. Поскольку $\widetilde{D}_3(t) < 0$ при $t\in(\pi/2, 2\pi/3)$, $\widetilde{D}_3(t) > 0$ при $t \in (0,\pi/2) \cup (2\pi/3,\pi)$, то при $x \in(\arccos(-3/4),\pi)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\min_{y\in[0,2\pi/3]} \int_y^x \widetilde{D}_3(t)\,dt= \int_{\pi/2}^{x}\widetilde{D}_3(t)\,dt > \int_{\pi/2}^{\arccos3/4}\widetilde{D}_3(t)\,dt=0.
\end{equation*}
\notag
$$
При $x\in [2\pi/3,\arccos(-3/4)]$, $y<y_2(x)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\int_y^x \widetilde{D}_3(t)\,dt= \int_y^{y_2(x)}\widetilde{D}_3(t)\,dt>0,
\end{equation*}
\notag
$$
ввиду положительности $\widetilde{D}_3(t)$ на интервале $(0,\pi/2)$ и неравенства $y_2(x)\leqslant \pi/2$.
Далее $n\geqslant 4$. Воспользуемся тождеством [2; т. 2, № 21, с. 89, с. 290]
$$
\begin{equation*}
2\widetilde{D}_{n}(t)=\operatorname{ctg}\biggl(\frac{t}{2}\biggr)(1-\cos(n+1)t)- \sin(n+1)t, \qquad n\in \mathbb N,
\end{equation*}
\notag
$$
и оценкой $\bigl|\int_y^x \sin(n+1)t\,dt\bigr| \leqslant 2/(n+1)$ для всех $x,y,n \in \mathbb{R}$, $n\geqslant 0$. Отсюда видно, что неравенство
$$
\begin{equation}
\int_y^x\operatorname{ctg}\biggl(\frac{t}{2}\biggr)(1-\cos(n+1)t)\,dt > \frac{2}{n+1}
\end{equation}
\tag{7}
$$
влечет положительность $\int_y^x \widetilde{D}_n(t)\,dt$. А так как
$$
\begin{equation*}
\int_y^x\operatorname{ctg}\biggl(\frac{t}{2}\biggr)(1-\cos(n+1)t)\,dt > \operatorname{ctg}\biggl(\frac{x_1}{2}\biggr)\int_y^{x_1}(1-\cos(n+1)t)\,dt,\qquad 0<y<x_1<x<\pi,
\end{equation*}
\notag
$$
то достаточно доказать неравенство
$$
\begin{equation*}
\int_y^{x_1}(1-\cos(n+1))\,dt\geqslant\frac{2\operatorname{tg}(x_1/2)}{n+1}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
выбрав должным образом точку $x_1 \in (y;x)$. Если $x_1$ удастся выбрать так, чтобы выполнялись оба неравенства
$$
\begin{equation}
x_1-y\geqslant \frac{2\pi}{n+1} \qquad\text{и}\qquad \operatorname{tg}\biggl(\frac{x_1}{2}\biggr)\leqslant \pi,
\end{equation}
\tag{8}
$$
то тогда мы получим требуемое:
$$
\begin{equation*}
\int_y^{x_1}(1-\cos(n+1)t)\,dt \geqslant \int_y^{y+2\pi/(n+1)}(1-\cos(n+1)t)\,dt=\frac{2\pi}{n+1} \geqslant \frac{2\operatorname{tg}(x_1/2)}{(n+1)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Это соображение в случае $x \in (\arccos(-3/4),\pi)$ (берем $x_1=\arccos(-3/4)$, тогда $x_1- y \geqslant \arccos(-3/4)-\arccos(-1/4)>0.59>2\pi/11)$ сразу же доказывает неравенства (5) при $n\geqslant 10$. В случае $x \in [2\pi/3,\arccos(-3/4)]$ берем $x_1=2\pi/3$. Тогда $x_1-y \geqslant\pi/6$, и при $n\geqslant 11$ оба неравенства (8) выполняются.
Докажем неравенства (7) при небольших значениях $n$. Поскольку подынтегральная функция неотрицательна, то достаточно оценить снизу интеграл по какому-либо отрезку, лежащему внутри $[y,x]$. При $x\in(\arccos(-3/4),\pi)$ таким отрезком является $[\arccos(-1/4), \arccos(-3/4)]$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
I_n=\int_{\arccos(-1/4)}^{\arccos(-3/4)} \operatorname{ctg}\biggl(\frac{t}{2}\biggr)(1-\cos(n+1)t)\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Вычисления показывают, что
$$
\begin{equation*}
I_9>0.31>0.2,\qquad I_8>0.27>\frac29,\qquad I_7>0.41>\frac14,\qquad I_6>0.38>\frac27,\qquad I_4>0.46>\frac25.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для проверки справедливости равенства (3) осталось доказать положительность $\int_y^x\widetilde{D}_5(t)\,dt$ при $y<y_1(x)$, $x\in(\arccos(-3/4),\pi)$. Множество отрицательности $\widetilde{D}_5(t)$ на $(0,\pi)$ есть $(\pi/3,2\pi/5)\cup(2\pi/3,4\pi/5)$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\int_{y}^x \widetilde{D}_5(t)\,dt\geqslant \int_{y}^{4\pi/5}\widetilde{D}_5(t)\,dt \geqslant \min\biggl\{\int_{\arccos(-1/4)}^{4\pi/5}\widetilde{D}_5(t)\,dt, \int_{\pi/3}^{4\pi/5}\widetilde{D}_5(t)\,dt\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Вычисления показывают, что оба эти интеграла положительны.
При $x\in [2\pi/3,\arccos(-3/4)]$ отрезком, содержащим $[y,x]$, является $[\pi/2,2\pi/3]$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
J_n=\int_{\pi/2}^{2\pi/3}\operatorname{ctg}\biggl(\frac{t}{2}\biggr)(1-\cos(n+1)t)\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Вычисления показывают, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, I_{10}=\frac{9917}{27720}>\frac{2}{11},\qquad I_9=\frac{913}{2520}>\frac{1}{5},\qquad I_8=\frac{1319}{2520}>\frac{2}{9}, \\ I_7=\frac{751}{1680}>\frac{1}4,\qquad I_5=0.45>\frac{1}3,\qquad I_4=\frac{41}{60}>\frac25. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для проверки справедливости равенства (4) осталось доказать положительность $\int_y^x\widetilde{D}_6(t)\,dt$ при $y<y_2(x)$, $x\in [2\pi/3,\arccos(-3/4)]$. Множество отрицательности $\widetilde{D}_6(t)$ на $(0,\pi)$ есть $(2\pi/7,\pi/3)\cup(4\pi/7,2\pi/3)\cup(6\pi/7,\pi)$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\int_{y}^x \widetilde{D}_6(t)\,dt\geqslant \int_{y}^{2\pi/3} \widetilde{D}_6(t)\,dt \geqslant \min\biggl\{ \int_{\pi/2}^{2\pi/3}\widetilde{D}_6(t)\,dt, \int_{2\pi/7}^{2\pi/3}\widetilde{D}_6(t)\,dt\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Вычисления показывают, что оба эти интеграла положительны.
Согласно изложенным выше соображениям для доказательства оценки $Y(x)\geqslant 0.6x$ при $0<x<2\pi/3$ требуется установить справедливость неравенств
$$
\begin{equation}
\int_y^x\widetilde{D}_n(t)\,dt>0,\quad 0<y<0.6x, \qquad 0<x<\frac{2\pi}{3}\,, \quad n\geqslant 3.
\end{equation}
\tag{9}
$$
В случае $n=2$ неравенство (9) очевидно, поскольку $\widetilde{D}_2(t)>0$ при любом $t\in (0, 2\pi/3)$. В случае $n=3$ имеем $\widetilde{D}_3(t)>0$ для любых $t\in (0,\pi/2)$, а так как $y<0.6x\leqslant 0.6\cdot 2\pi/3\leqslant 0.4\pi<\pi/2$, то
$$
\begin{equation*}
\int_y^x\widetilde{D}_3(t)\,dt>\int_{0.6x}^x\widetilde{D}_3(t)\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $x\in (0,\pi/2]$, то положительность интеграла $\int_{0.6x}^x\widetilde{D}_3(t)\,dt$ очевидна. На отрезке $\pi/2\leqslant x\leqslant 2\pi/3$ этот интеграл убывает. Поэтому минимум его достигается в точке $x=2\pi/3$ и равен
$$
\begin{equation*}
\int_{2\pi/5}^{2\pi/3}\widetilde{D}_3(t)\,dt=\frac{\sqrt5-1}{24}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее $n\geqslant4$. Согласно лемме 2 из [1] для положительности интеграла $\int_y^x\widetilde{D}_3(t)\,dt$, $0<y<x<\pi$, достаточно выполнения неравенства причем можно считать, что $x>2\pi/(n+1)$, поскольку $\widetilde{D}_n(t)>0$ на интервале $0<t<2\pi/(n+1)$, и положительность интеграла $\int_y^x\widetilde{D}_n(t)\,dt$ при $0<x<2\pi/(n+1)$ очевидна. В нашем случае $x-y>0.4x$. Следовательно, для доказательства неравенства (9) осталось проверить справедливость соотношения
$$
\begin{equation*}
0.2x\cos\biggl(\frac{x}{2}\biggr)>\frac{1}{n+1}\qquad \forall\,n\geqslant 4, \quad \forall\,x\in\biggl(\frac{2\pi}{n+1}\,,\frac{2\pi}{3}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначив $\alpha=x/2$, приходим к задаче доказательства неравенства
$$
\begin{equation}
0.4(n+1)\alpha\cos(\alpha)>1 \qquad\text{при}\quad \frac{\pi}{n+1}<\alpha<\frac{\pi}{3}\,, \quad n\geqslant 4.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Ввиду вогнутости функции $\varphi(\alpha)=\alpha\cos(\alpha)$ на отрезке $[0,\pi/2]$ неравенство (10) достаточно доказать лишь при $\alpha=\pi/(n+1)$ и $\alpha=\pi/3$. При $\alpha=\pi/3$ оно принимает вид $0.2(n+1)(\pi/3)>1$ и очевидно при $n\geqslant 4$. При $\alpha=\pi/(n+1)$ требуется доказать, что $2\pi/5\cdot \cos(\pi/(n+1))>1$. Поскольку при $n\geqslant 4$ имеем $\cos(\pi/(n+1)) \geqslant \cos(\pi/5)=(\sqrt5+1)/4$, то остается проверить численное неравенство $\pi(\sqrt5+1)>10$. Оно верно, и доказательство теоремы завершено.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AlfPop24} |
|
|||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|