П. А. Бородин, Е. А. Савинова, “Всякая чебышевская кривая без самопересечений монотонна”, Матем. заметки, 116:2 (2024), 321–323; Math. Notes, 116:2 (2024), 387

В 2005 г. Алимов [1] ввел понятие монотонно линейно связного множества, которое оказалось весьма полезным в геометрической теории приближений [2]–[4]. Напомним его определение.

Пусть $X$ – нормированное пространство, $\operatorname{ext}S(X^*)$ – множество крайних точек единичной сферы сопряженного пространства. Везде ниже кривая – это образ $\gamma(I)$ связного замкнутого подмножества действительной оси ${\mathbb R}$ (т.е. отрезка, луча или всей прямой) при непрерывном отображении $\gamma\colon I\to X$, причем в случае $t\to \pm \infty$ обязательно $\|\gamma(t)\|\to +\infty$. Такая кривая ограниченно компактна, т.е. ее пересечение с любым замкнутым шаром компактно.

Кривая $\gamma(I)$ называется монотонной, если $f(\gamma(t))$ является монотонной функцией на $I$ для всякого $f \in \operatorname{ext}S(X^*)$ [5].

Множество $M \subset X$ монотонно линейно связно [1], если для любых $a,b \in M$ в $M$ найдется монотонная кривая, соединяющая $a$ и $b$.

Свойство монотонной линейной связности является ослаблением свойства выпуклости. Для множеств в гладком нормированном пространстве эти свойства совпадают.

Для точки $x\in X$ и множества $M\subset X$ определено расстояние $\rho(x,M)=\inf\{\|x- y\|\!: y\in M\}$ от $x$ до $M$. Множество $M$ называется чебышевским, если для всякого $x \in X$ метрическая проекция

Цель настоящей работы – дать ответ на этот вопрос.

Напомним, что множество $M\subset X$ называется $\mathring{B}$-связным, если его пересечение со всяким открытым шаром связно.

Условие о том, что кривая не имеет самопересечений, естественно: кривые типа Пеано могут представлять собой двумерное чебышевское не монотонно линейно связное множество, о котором упоминалось выше. В утверждении (3) это условие не нужно, поскольку строго монотонная кривая не может иметь самопересечений. Условие строгой монотонности в (3) существенно: отрезок, параллельный отрезку на сфере в нестрого выпуклом пространстве, является монотонной кривой, но не является чебышевским множеством.

Доказательство теоремы 1. Утверждение (2) следует из (1), поскольку всякая чебышевская кривая $\mathring{B}$-связна [2; теорема 5.7].

Монотонно линейно связное множество всегда $\mathring{B}$-связно [2; § 9], что доказывает необходимость в (1).

Докажем достаточность в (1). В специальном классе пространств, включающих в себя сепарабельные пространства, это можно сделать с помощью так называемой $m$-связности: $\mathring{B}$-связная кривая $m$-связна [9], а в пространствах из этого класса всякое ограниченно компактное $m$-связное множество монотонно линейно связно [9; теорема 4.1].

Ниже $\mathring{B}(x,R)$ обозначает открытый шар с центром $x$ радиуса $R$.

Пусть, от противного, некоторый функционал $f\in \operatorname{ext}S(X^*)$ достигает локального максимума $r=f(x_0)$ на кривой в некоторой неконцевой точке $x_0=\gamma(t_0)$. Тогда пересечение $f^{-1}(r-\varepsilon) \cap \gamma$ для достаточно малого $\varepsilon > 0$ содержит две точки $\gamma(t_1)$, $\gamma(t_2)$ с $t_1 < t_0 < t_2$.

Без ограничения общности считаем $f^{-1}(r-\varepsilon)=\ker f=Y$ и $P_Y(x_0)=0$. Гиперплоскость $Y$ рассматриваем как банахово пространство с индуцированной нормой.

Положим

$$ \begin{equation*} K=\bigcup_{\lambda \in (-1;\infty)}\mathring{B}(-\lambda x_0,(1+\lambda)r), \qquad M= K \cap Y. \end{equation*} \notag $$

Множество $K$ представляет собой открытый конус с вершиной $x_0$.

Покажем, что всякий ненулевой функционал из $Y^*$ не ограничен на $M$. В противном случае найдется такой функционал $g \in Y^*$, что

$$ \begin{equation*} M \subset \{y \in Y\colon|g(y)| < r\}. \end{equation*} \notag $$

Введем функционалы $g_1,g_2 \in X^*$ следующим образом:

$$ \begin{equation*} g_1(\lambda x_0+y)=\lambda r+g(y), \quad g_2(\lambda x_0+y)=\lambda r-g(y),\qquad\text{где}\quad y \in Y, \quad \lambda \in {\mathbb R}. \end{equation*} \notag $$

Тогда

$$ \begin{equation*} \frac{g_1+g_2}{2}(\lambda x_0+y)=\lambda r,\qquad\text{т.е.}\quad \frac{g_1+g_2}{2}=f. \end{equation*} \notag $$

Кроме того, $g_1(x_0)=g_2(x_0)=r$, $g_1(y) \leqslant r$, $g_2(y) \leqslant r$ для всякого $y \in M$. Поскольку

$$ \begin{equation*} K=\{x_0+t(y-x_0)\colon y \in M,\ t>0\}, \end{equation*} \notag $$

имеем $g_1(z) \leqslant r$, $g_2(z) \leqslant r$ для всякого $z\in K$. Так как $\mathring{B}(0,r) \subset K$, получаем

$$ \begin{equation*} \|g_1\|=\|g_2\|=1, \end{equation*} \notag $$

т.е. $f$ является серединой невырожденного отрезка $[g_1,g_2]$ на сфере $S(X^*)$ и не является крайним функционалом. Получили противоречие, следовательно, указанного $g$ не существует.

Теперь нам понадобится следующее вспомогательное утверждение.

Применяя эту лемму к нашим $M$, $Y$ и $a=\gamma(t_1)$, $b=\gamma(t_2)$, найдем такой $u \in Y$, что $\gamma(t_1),\gamma(t_2) \in M+u$. Поскольку $M+u \subset K+u$, найдется такое $\lambda_0 > -1$, что шар $\mathring{B}(-\lambda_0 x_0+u,(1+\lambda_0)r)$ содержит $\gamma(t_1)$, $\gamma(t_2)$. Этот шар не содержит $x_0$, так как для всякого $x \in K+u$ имеем $f(x) < r$. Следовательно, пересечение этого шара с $\gamma$ не связно. Получилось противоречие с $\mathring{B}$-связностью кривой $\gamma$.

Докажем (3). Существование ближайшего элемента в $\gamma(I)$ следует из ограниченной компактности кривой, которую мы предположили с самого начала. Единственность доказывается аналогично тому, как это делается в известном примере Данхэма [10], см. также [5]. Пусть для некоторых $x\in X$ и $t_1,t_2\in I$ выполнено $\gamma(t_1),\gamma(t_2)\in P_{\gamma(I)}(x)$. Тогда для всякого $t\in (t_1,t_2)$ и некоторого $f_0\in \operatorname{ext}S(X^*)$ имеем

Было бы интересно описать банаховы пространства, в которых существуют строго монотонные кривые.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ