| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 5 научных статьях (всего в 5 статьях) Типичные корреляции и эргодические средние для сильно и мягко перемешивающих автоморфизмов В. В. Рыжиков Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624090116 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеПусть $T$ – автоморфизм вероятностного пространства $(X,\mu)$, мы также обозначаем через $T$ отвечающий ему унитарный оператор в $L_2(\mu)$. В работах [1], [2] С. Альперн и С. В. Тихонов ввели полную метрику на множестве $\mathrm{Mix}$ всех перемешивающих автоморфизмов пространства $(X,\mu)$. В связи с этим возникают задачи о типичности в смысле Бэра тех или иных свойств перемешивающих преобразований. Традиционно говорят “типичный автоморфизм обладает сингулярным спектром” (это доказано в [1]) вместо “все элементы некоторого плотного $G_\delta$-множества обладают сингулярным спектром”. В заметке дан ответ на вопрос И. В. Подвигина о медленном убывании корреляций для типичного перемешивающего автоморфизма. Решение использует конструкции ранга один и метод аппроксимации перемешивающего преобразования неперемешивающими, изложенный в [3]. Свойство неперемешивающих преобразований (в нашем случае медленное убывание корреляций) наследуются предельным перемешивающим автоморфизмом. Теорема Баштанова [4] о плотности класса сопряженности в $\mathrm{Mix}$ позволяет из одного такого специального примера стандартным способом получить плотное $G_\delta$-множество перемешивающих автоморфизмов с медленным убыванием корреляций. В заключительной части заметки мы покажем, что гипотеза о перемешивающих преобразованиях из работы [5] неверна. Не только перемешивающие автоморфизмы, как это предполагала гипотеза, но все мягко перемешивающие автоморфизмы (и только они) не допускают сходимость ненулевых средних $(1/k_n)\sum_{i=1}^{k_n}T^if(x)$ со скоростью $o(1/k_n)$. Замечание. Отметим, что типичный перемешивающий автоморфизм обладает рангом один [4]. Автор предложил в [6] другой метод доказательства этого факта и получил аналогичный результат для перемешивающих потоков ([6], теорема 7.1). Из этого вытекает, что такие потоки обладают тривиальным централизатором. С учетом результатов работы [3] можно доказать, что для типичных перемешивающих автоморфизмов и потоков их симметрические тензорные степени имеют однократный спектр. 2. Убывание корреляций для типичных перемешивающих автоморфизмовВ силу эргодической теоремы следующее утверждение содержательно для функций $f$ с нулевым средним, когда корреляции стремятся к $0$. Теорема 1. Пусть $0\ne f\in L_2(\mu)$ и $\psi(n)\to +0$ при $n\to\infty$. Для типичного перемешивающего автоморфизма $T$ множество $\{n\colon |(T^nf,f)|>\psi(n)\}$ бесконечно. Отметим, что аналогичный результат справедлив для перемешивающих потоков. Напомним, как определяется метрика $r$ на $\mathrm{Mix}$, пространстве перемешивающих автоморфизмов. На группе $\operatorname{Aut}(\mu)$ всех автоморфизмов задана метрика Халмоша $\rho$:
$$
\begin{equation*}
\rho(S,T)=\sum_i2^{-i}\bigl(\mu(SA_i\Delta TA_i)+\mu(S^{-1}A_i\Delta T^{-1}A_i)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\{A_i\}$ – некоторое фиксированное семейство, плотное в алгебре всех $\mu$-измеримых множеств. Введем на $\operatorname{Aut}(\mu)$ метрику $d_w$:
$$
\begin{equation*}
d_w(S,T)=\sum_{i,j} 2^{-i-j}\bigl|\mu(SA_i\cap A_j)-\mu(TA_i\cap A_j)\bigr|.
\end{equation*}
\notag
$$
На $\mathrm{Mix}$ метрика $r$ задается следующим образом: В [1] доказано, что пространство $(\mathrm{Mix},r)$ является полным и сепарабельным. Чтобы найти типичное множество автоморфизмов с медленным убыванием корреляций, нам нужно предъявить пример такого автоморфизма. Говорим, что $T$ обладает $(1-\varepsilon)$-перемешиванием, если всякий слабый предел его степеней $T^{n_i}$, $n_i\to\infty$, ограниченный на пространство функций с нулевым средним, имеет норму, не превосходящую $\varepsilon$. Отметим, что $1$-перемешивание совпадает с обычным перемешиванием. Автоморфизм $T$ обладает $\varepsilon$-жесткостью, если для некоторой последовательности $m_k\to\infty$ выполняется $T^{m_k}\to\varepsilon I$. Для автоморфизма $T$ при одновременном выполнении свойств $\varepsilon$-жесткости и $(1-\varepsilon)$-перемешивания и функции $f$ с нулевым средним имеем Воспользовавшись методом работы [3], мы предъявим последовательность автоморфизмов $T_k$ таких, что $T_k$ обладает $(1-\varepsilon_k)$-перемешиванием и $\varepsilon_k$-жесткостью, $\varepsilon_k\to +0$. Для заранее фиксированного набора функций $f_i\ne 0$, $i=1,2,\dots,k$, будет выполнено $(T_k^{m_k}f_i,f_i)>\psi({m_k})$. Автоморфизмы $T_k$ в смысле работы [3] аппроксимируют перемешивающий автоморфизм $T$, который наследует корреляции: Сформулируем вспомогательные утверждения и выведем из них теорему. Лемма 2. Пусть $\psi(n)\to +0$ и задана последовательность функций $f_k\in L_2(\mu)$, $\|f_k\|=1$. Для некоторого перемешивающего автоморфизма $T$ верно, что для всяких $k$, $m$ найдется $n>m$, для которого Лемму 2 докажем позже. Для доказательства теоремы нам понадобится ее частный случай, когда $f_k=J_kf$ для некоторых автоморфизмов $J_k$. Лемма 3. Пусть $\psi(n)\to +0$, $\|f\|_2=1$ и задан счетный набор автоморфизмов $J_i$. Найдется перемешивающий автоморфизм $T$ такой, что для любых $k$, $m$ для некоторого $n>m$ выполнено Доказательство теоремы 1. Определим открытые в $\mathrm{Mix}$ множества
$$
\begin{equation*}
Y_m=\bigl\{T\in \mathrm{Mix}\colon |(T^mf,f)|>\psi(m)\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и $G_\delta$-множество Нам нужно доказать, что $G$ плотно относительно метрики $r$. Пусть семейство $\{J_k\}$ плотно в $\operatorname{Aut}(\mu)$ относительно метрики $\rho$. Рассмотрим перемешивающий автоморфизм $T$ из леммы 3, тогда $\{J_k^{-1}TJ_k\}\subset G$. Теорема Баштанова [4] утверждает, что класс сопряженности $\{J^{-1}TJ\colon J\in \operatorname{Aut}\}$ плотен в $\mathrm{Mix}$. Но в нем плотно относительно метрики $r$ семейство $\{J_k^{-1}TJ_k\colon k\in\mathbf N\}$, что вытекает, например, из леммы 10 [1]. Поясним этот факт для полноты изложения. Из сходимости $J_{k'}\to_\rho J$ (здесь $k'$ – некоторая последовательность) в силу неравенства вытекает равномерная по $n$ сходимость Получаем, что $J^{-1}TJ$ в метрике $d_w$, следовательно, и в метрике $r$ прибличается последовательностью $J_{k'}^{-1}TJ_{k'}$. Значит, семейство $\{J_k^{-1}TJ_k\}$ плотно в $\mathrm{Mix}$. Множество $G$ типично в $\mathrm{Mix}$. Теорема доказана. 3. Конструкции ранга одинДля удобства читателя мы напомним определение преобразований ранга один. Из них мы позже выберем нужные примеры перемешивающих автоморфизмов $T$. Фиксируем натуральное число $h_1\geqslant 1$ (высота башни на этапе $j=1$), последовательность $r_j\to\infty$ (число колонн, на которые виртуально разрезается башня этапа $j$) и последовательность целочисленных векторов (параметров надстроек)
$$
\begin{equation*}
\overline s_j=\bigl(s_j(1),s_j(2),\dots,s_j(r_j-1),s_j(r_j)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
На шаге $j=1$ задан полуинтервал $C_1$. Пусть на шаге $j$ определена система непересекающихся полуинтервалов $C_j,TC_j,\dots,T^{h_j-1}C_j$, причем на $C_j,\dots,T^{h_j-2}C_j$ преобразование $T$ является параллельным переносом. Такой набор полуинтервалов называется башней этапа $j$, их объединение обозначается через $X_j$ и тоже называется башней. Представим $C_j$ в виде дизъюнктного объединения полуинтервалов $C_j^i$, $i=1,2,\dots,r_j$, одинаковой длины. Для каждого $i=1,2,\dots,r_j$ рассмотрим так называемую колонну
$$
\begin{equation*}
C_j^i, \ TC_j^i, \ T^2 C_j^i, \ \dots, \ T^{h_j-1}C_j^i.
\end{equation*}
\notag
$$
К каждой колонне с номером $i$ добавим $s_j(i)$ непересекающихся полуинтервалов (этажей) длины, равной длине интервала $C_j^i$. Полученные наборы интервалов при фиксированных $i$, $j$ называем надстроенными колоннами $X_{i,j}$. Отметим, что при фиксированном $j$ по построению колонны $X_{i,j}$ не пересекаются. Используя параллельный перенос интервалов, преобразование $T$ теперь доопределим так, чтобы колонны $X_{i,j}$ имели вид
$$
\begin{equation*}
C_j^i, \ TC_j^i, \ \dots, \ T^{h_j}C_j^i, \ T^{h_j+1}C_j^i, \ \dots, \ T^{h_j+s_j(i)-1}C_j^i,
\end{equation*}
\notag
$$
а верхние этажи колонн $X_{i,j}$ ($i<r_j$) преобразование $T$ параллельным переносом отображало в нижние этажи колонн $X_{i+1,j}$: Положив $C_{j+1}=C^1_j$, замечаем, что все указанные этажи надстроенных колонн в новых обозначениях имеют вид
$$
\begin{equation*}
C_{j+1}, \ TC_{j+1}, \ T^2 C_{j+1}, \ \dots, \ T^{h_{j+1}-1}C_{j+1},
\end{equation*}
\notag
$$
образуя башню этапа $j+1$ высоты Частичное определение преобразования $T$ на этапе $j$ сохраняется на всех последующих этапах. В результате получаем пространство $X=\bigcup_j X_j$ и обратимое преобразование $T\colon X\to X$, сохраняющее стандартную меру Лебега $\mu$ на $X$. 4. Доказательство леммы 2. Вынуждение перемешиванияИзвестно, что в случае $r_j\to\infty$, $s_j(i)=i$, соответствующая лестничная конструкция $S$ является перемешивающей [6], [7]. Пусть конструкция $T$ похожа на $S$:
$$
\begin{equation*}
s_j(i)=i,\qquad 1\leqslant i\leqslant[(1-\varepsilon_j)r_j],\quad 0<\varepsilon_j<1.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $i>[(1-\varepsilon_j)r_j]$ параметры $s_j(i)$ выбираем произвольно, но будем считать, что высоты $h_j$ у конструкций $S$ и $T$ одинаковы, т.е. суммы $\sum_{i=1}^{r_j}s_j(i)$ одинаковы для $S$ и $T$. Для нас важно, что при $\varepsilon_j\to +0$ конструкция $T$ перемешивает, это доказывается так же, как и для лестничной конструкции $S$. Частичная жесткость, частичное перемешиваниеПусть $0<\varepsilon<1$, $\varepsilon_j=\varepsilon$, раccмотрим конструкцию с параметрами
Указанная конструкция $T$ обладает $\varepsilon$-жесткостью: если тоВынуждение перемешиванияПусть $\varepsilon_k\to +0$, и пусть фиксированы функции $f_1,f_2,\dots$ . Мы находим последовательность конструкций $T_k$ и возрастающую последовательность этапов $j_k$ такую, что при $n>k$ параметры конструкций $T_n$ и $T_k$ одинаковы для всех $j\leqslant j_k$ при $m_k=h_{j_k}+v_{j_k}$ будет выполнено Конструкция $T$ по определению на всех этапах $j\leqslant j_k$ имеет те же параметры, что и конструкция $T_k$, поэтому она будет перемешивающей (напомним, что свойство перемешивания для нее доказывается также как и для обычной лестничной конструкции). Благодаря произвольному выбору (сколь угодно быстро растущих) этапов $j_k$ мы можем обеспечить выполнение неравенства (1) при подстановке $T$ вместо $T_k$ (автоморфизмы $T$ и $T_k$ отличаются на множестве такой малой меры, что неравенство сохраняется). Это завершает доказательство леммы 2. 5. Эргодические средние и мягкое перемешиваниеПереформулируем слегка теорему 1 работы [5]. Теорема 2. Пусть для эргодического автоморфизма $T$, некоторой ненулевой функции $f\in L_1$ с нулевым средним и последовательности $k_n\to\infty$ для почти всех $x$ выполнено Тогда для почти всех $x$ имеет место сходимость В [5] показано, что перемешивающие автоморфизмы не удовлетворяют условиям теоремы 2, и высказана гипотеза о том, что этим свойством обладают только перемешивающие автоморфизмы. На самом деле этот класс существенно шире: он включает все мягко перемешивающие автоморфизмы, т.е. автоморфизмы без жесткого фактора (термин предложен в работе [8]). Отсутствие жесткого фактора означает отсутствие непостоянной функции $\chi\in L_1$ такой, что для некоторой $k_n\to\infty$ выполнено Покажем, что при выполнении условий цитируемой теоремы автоморфизм $T$ не обладает мягким перемешиванием. Пусть последовательность функций $(1/N)\sum_{n=1}^NT^{k_n}f$ сходятся к $f$ п.в., тогда она сходится по мере. С учетом абсолютной непрерывности интеграла Лебега получим сходимость по норме:
$$
\begin{equation}
\biggl\|\frac{1}{N}\sum_{n=1}^NT^{k_n}f-f\biggr\|_1\to 0,
\end{equation}
\tag{2}
$$
что является несложным упражнением. Будем считать, что $f$ – вещественная функция (общий случай сводится к этому стандартным способом). Пусть $A=\{x\colon a<f(x)<b\}$, причем выполнено $0<\mu(A)<1$. Так как $f\ne\mathrm{const}$, такое множество $A$ найдется. Из (2) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\frac{1}{N}\sum_{n=1}^NT^{k_n}\chi_A-\chi_A\biggr\|_1\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Но это означает, что для фиксированного $\varepsilon>0$ для большинства индексов $n$ выполнено $\|T^{k_n}\chi_A -\chi_A\|_1<\varepsilon$. Устремляя $\varepsilon$ к нулю, выбираем последовательность $n(i)$ такую, что
$$
\begin{equation*}
\|T^{k_{n(i)}}\chi_A-\chi_A\|_1\to 0,\qquad k_{n(i)}\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $T$ не является мягко перемешивающим. Замечаем также, что ограничение автоморфизма $T$ на минимальную $T$-инвариантную сигма-алгебру, относительно которой измерима функция $f$, является жестким фактором. При наличии жесткого фактора быструю сходимость средних обеспечивают кограницы [5]. Подведем итог. Теорема 3. Эргодический автоморфизм $T$ удовлетворяет условию теоремы 2 только в том случае, когда он обладает нетривиальным жестким фактором. Среди многообразия мягко перемешивающих автоморфизмов, не обладающих свойством перемешивания, классическим примером является преобразование Чакона [9]. Среди недавних примеров отметим пуассоновские надстройки над преобразованиями ранга один с полиномиальными слабыми пределами, предложенными в [10]. Частично жесткие автоморфизмы из § 4 также перемешивают мягко, но доказательство этого факта требует значительных усилий. БлагодарностиАвтор признателен рецензенту за замечания. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ryz24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|