| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Обобщенные группы Виленкина А. М. Водолазовa, М. А. Скопинаbc a Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского b Санкт-Петербургский государственный университет c Региональный научно-образовательный математический центр Южного Федерального университета, г. Ростов-на-Дону
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624090190 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеКлассическая группа Виленкина $V_p$, $p=2,3,\dots$ (в частности, группа Кантора при $p=2$), ассоциирована с циклической группой порядка $p$. Точнее, группа $V_p$ – счетное прямое произведение циклических групп порядка $p$, снабженное покоординатным сложением по модулю $p$ и определенной на нем топологией, является локально компактной топологической группой (см., например, [1]–[3]). Наша цель – расширить понятие группы Виленкина, заменив циклическую группу произвольной конечной абелевой группой $G$. Отметим, что в случае, когда $G$ – группа Клейна, такое обобщение уже рассматривалось в [4]. Сначала такое определение будет дано для случая, когда $G$ – группа, ассоциированная с некоторой матрицей. Далее мы докажем, что для любой конечной абелевой группы $G$ существует матрица $M$ такая, что группа ее цифр изоморфна $G$, а обобщенная группа Виленкина, ассоциированная с $M$, есть не что иное, как счетное прямое произведение групп $G$. Показано, что для любого локального поля положительной характеристики его аддитивная группа изоморфна некоторой обобщенной группе Виленкина, но не всякая обобщенная группа Виленкина является аддитивной группой некоторого поля положительной характеристики. По аналогии с обычными группами Виленкина, дается явное описание характеров обобщенных групп Виленкина, вводятся понятия функций Уолша и преобразования Фурье. Показано, что базовые факты гармонического анализа на наших группах точно такие же, как и на классических группах Виленкина/Кантора (или в анализе Уолша). В частности, преобразование Фурье таково, что существует класс так называемых тест-функций (с компактным носителем как самой функции, так и ее преобразования Фурье). Этот класс есть своего рода аналог класса Шварца, и понятно, что интерес представляют базисы, состоящие из тест-функций. Построена система Хаара на обобщенной группе Виленкина, которая и является таким базисом. Объясняется также, почему и другие базисы и фреймы всплесков, состоящие из тест-функций, могут быть построены точно так же, как и для классических групп Виленкина. 2. Обозначения и предварительные сведенияКак обычно, будем обозначать через ${\mathbb Z}^d$ целочисленную решетку евклидова пространства ${\mathbb R}^d$, ${\mathbb Z}:={\mathbb Z}^1$. Пусть $M$ – целочисленная матрица размера $d\times d$ такая, что $m=|\det M|\geqslant 2$. Говорят, что векторы $l,k\in\mathbb{Z}^d$ сравнимы по модулю $M$ (пишем: $l \equiv k\pmod M$), если $l-k=Ms$ для некоторого $s\in\mathbb{Z}^d$. Множество $D=D(M)$ называется множеством цифр матрицы $M$, если $D=\{s_0,s_1,\dots,s_{m-1}\}$, где $s_0=\mathbf{0}$ – нулевой вектор, $s_i\in\mathbb{Z}^d$ и $s_i\not \equiv s_j\pmod M$ при $i\ne j$, $i,j\in \{0,1,\dots,m-1\}$. Пусть $M^*$ – матрица, транспонированная к $M$, и пусть векторы $s^*_0,s^*_1,\dots,s^*_{m-1}$, где $s^*_0=\mathbf{0}$, образуют множество $D^*$ цифр матрицы $M^*$, т.е. $D^*=D(M^*)=\{s^*_0,s^*_1,\dots,s^*_{m-1}\}$. Обозначим через $\mathfrak{M}_d$ класс матриц растяжения порядка $d$, т.е. целочисленных $(d\times d)$-матриц $M$ таких, что все их собственные значения по модулю больше 1. Для любой матрицы $M\in\mathfrak{M}_d$ выполняется и, кроме того, имеет место следующее соотношение справедливо для любого $\delta>0$ (см., например, [5; § 2.2]).Для $n\in{\mathbb N}$ обозначим через ${\mathbb Z}_n$ множество остатков при делении на $n$. Множество ${\mathbb Z}_n$ является конечной абелевой группой с операцией сложения по модулю $ n$. Примарной циклической группой называется группа ${\mathbb Z}_{p^k}$, где $p$ – простое число. Отметим также, что для простого числа $p$ множество $\mathbb{Z}_p$, снабженное еще и умножением по модулю $p$, является полем. Прямая сумма групп $(G_1,+_1),\dots,(G_k,+_k)$ есть группа $G$, состоящая из элементов $g=(g_1,\dots,g_k)$, $g_i\in G_i$, с покоординатным сложением что записывается как $G=G_1\oplus G_2\oplus\dots\oplus G_k$. Символом $\cong$ обозначается изоморфизм групп.Нам понадобится следующая основная теорема о конечных абелевых группах Теорема [6; 1.13, с. 19]. Каждая конечная абелева группа $G$ является прямой суммой примарных циклических подгрупп В любом таком разложении наборы порядков подгрупп совпадают с точностью до перестановки слагаемых. 3. Определение обобщенной группы ВиленкинаДля матрицы $M\in \mathfrak{M}_d$ и множества ее цифр $D(M)$, рассмотрим множество $V$, состоящее из последовательностей $x=\{x_j\}_{j \in\mathbb Z}$, где $x_j\in D(M)$ и $x_j$ отличны от нулевого элемента только для конечного числа отрицательных $j$. Определим на $V$ операцию $\oplus$, которая является покоординатным сложением по модулю $M$. Поскольку множество $D(M)$, со сложением по модулю $M$, является конечной абелевой группой (обозначим ее через $G$), то, очевидно, $V$ также является абелевой группой. Топология на $V$ определяется полной системой окрестностей нулевого элемента группы $V$, состоящей из множеств
$$
\begin{equation*}
U_l:=\{x\in V\colon x_j=0 \ \text{для всех}\ j\leqslant l\}, \qquad l\in {\mathbb Z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что множества $U_l$ являются подгруппами $V$. Для каждого $x\in V$ множества $x\oplus U_l$, $l\in {\mathbb Z}$, являются окрестностями $x$. Таким образом, у нас есть топологическая группа $V$, которую мы будем называть обобщенной группой Виленкина, ассоциированной с матрицей $M \in \mathfrak {M}_d$ и набором ее цифр $D(M)$. Обобщенная группа Виленкина, ассоциированная с матрицей $M^*$ и набором ее цифр, будет обозначаться через $V^*$. Множества $U_l^*$ определяются для $V^*$ аналогично множествам $U_l$ в $V$. Покажем, что $V$ – локально компактная группа, т.е. каждый элемент из $V$ имеет компактную окрестность. Для этого достаточно убедиться, что множества $U_l$ компактны. Всякая $U_l$ является топологическим произведением счетного множества групп $G$. Очевидно, группа $G$ компактна, и по теореме Тихонова (см. [1], раздел 2.5) прямое произведение компактных топологических пространств компактно. Поскольку $V$ – локально компактная абелева группа, на ней существует единственная нормализованная мера Хаара $\nu$ (см. [1; с. 33]). Эта мера инвариантна относительно групповой операции, т.е. $\nu(S\oplus x)=\nu(S)$ для любого измеримого множества $S$. Интеграл Лебега определяется стандартным образом и будет обозначаться как $\int_S f\,d\nu$. Чтобы дать определение обобщенной группы Виленкина, ассоциированной с произвольной конечной абелевой группой $G$ (вместо группы цифр некоторой матрицы), мы доказываем следующую теорему. Теорема 1. Для любой конечной абелевой группы $G$ порядка $m$ существует матрица $M\in \mathfrak{M}_n$, $n=n(G)\in {\mathbb N}$, такая, что $|\det(M)|=m$, группа цифр которой изоморфна $G$. Доказательство. По основной теореме о конечных абелевых группах имеем представление где $p_i$ – простые числа, не обязательно различные, и $m=p_1^{m_1}\cdots p_n^{m_n}$.
Рассмотрим целочисленную матрицу
$$
\begin{equation*}
M=\begin{pmatrix} {p_1}^{m_1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & {p_2}^{m_2} & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & {p_n}^{m_n}\\ \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
в пространстве $\mathbb{R}^n$. Очевидно, что матрица $M$ является растягивающей, поскольку все ее собственные значения равны $p_i^{m_i}$.
Докажем, что $D(M)\cong G$. Рассмотрим отображение $\varphi\colon\mathbb{Z}^n\mapsto\mathbb{Z}_{{p_1}^{m_1}} \oplus\dots\oplus\mathbb{Z}_{{p_n}^{m_n}}$, определенное следующим образом. Для $x\in \mathbb{Z}^n$ положим
$$
\begin{equation*}
\varphi(x)=(x_1\ \operatorname{mod}{p_1}^{m_1},\,\dots,\,x_n\ \operatorname{mod} {p_n}^{m_n}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $(x_i\ \operatorname{mod}{p_i}^{m_i}) $ – остаток $i$ координаты вектора $x$ при делении на $p_i^{m_i}$. По определению прямой суммы отображение $\varphi$ является сюръективным гомоморфизмом. По теореме о гомоморфизме (см., например, [6; с. 11]) имеем
$$
\begin{equation*}
\mathbb{Z}^n/\operatorname{Ker}(\varphi) \cong \mathbb{Z}_{{p_1}^{m_1}}\oplus\dots\oplus \mathbb{Z}_{{p_n}^{m_n}},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\operatorname{Ker}(\varphi)=\{x\in\mathbb{Z}^n\colon x_i\equiv 0\pmod{{p_i}^{m_i}},\,i\in\{1,\dots,n\}\}$.
Пусть $x,y\in \mathbb{Z}^n$ таковы, что $x\equiv y\pmod M$, т.е. $x=y+Mt$, где $t\in \mathbb{Z}^n$. Это означает, что $x_i=y_i+{p_i}^{m_i}t_i$ для любого $1\leqslant i\leqslant n$, т.е. Отсюда $i$-е координаты этих векторов представляют один и тот же смежный класс в $\mathbb{Z}_{{p_i}^{m_i}}$. Следовательно, $x$ и $y$ представляют один и тот же класс в $\mathbb{Z}^n/\operatorname{Ker}(\varphi)$. Поскольку $x\in M\mathbb{Z}^n\Leftrightarrow x\in \operatorname{Ker}(\varphi)$, то из определения прямой суммы и диагональности матрицы $M$ следует, что группы $M\mathbb{Z}^n$ и $\operatorname{Ker}(\varphi)$ изоморфны.Остается отметить, что Замечание. 1) При построении матрицы $M$ можно использовать различные разложения группы $G$ в произведения циклических подгрупп. Для этого надо пользоваться тем фактом, что существует изоморфизм $\mathbb{Z}_a\oplus \mathbb{Z}_b \cong \mathbb{Z}_{ab}$, если наибольший общий делитель $(a,b)=1$. В этом случае будут получаться матрицы $M$ в разных пространствах $\mathbb{R}^n$. 2) Полученная матрица $M$ в теореме 1 диагональна, а значит, симметрична, что позволяет выбрать одинаковые наборы цифр $D(M$) и $D(M^{*})$. 3) Если матрицы растяжения $M$, $N$ таковы, что группы их цифр изоморфны группам $G$ и $H$ соответственно, то группа цифр матрицы изоморфна $G\oplus H$.4) Используя операции умножения столбца на $-1$ или прибавления к столбцу другого столбца, умноженного на целое число, можно получить растягивающую матрицу $M$, являющуюся не обязательно диагональной, но верхне(нижне) треугольной матрицей. В п. 4) замечания мы используем тот факт, что $G$ изоморфна факторгруппе решетки $\mathbb{Z}^n$ по подрешетке $M\mathbb{Z}^n$, где столбцы матрицы $M$ являются базисом подрешетки $M\mathbb{Z}^n$. Поэтому при замене базиса $M$ на базис $M'$ мы получим ту же подрешетку $M\mathbb{Z}^n=M'\mathbb{Z}^n$. А значит, и ту же факторгруппу $\mathbb{Z}^n/M\mathbb{Z}=\mathbb{Z}^n/M'\mathbb{Z}$. Нужно лишь обеспечить условие $M'\in \mathfrak{M}_n$. Пример. Рассмотрим группу $\mathbb{Z}_6=\{0,1,2,3,4,5\}$, тогда из теоремы 1 в пространстве $\mathbb{R}$ мы найдем матрицу $M=(6)$. В этом случае получаем обычный изоморфизм $\mathbb{Z}_6\cong\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$. Используя изоморфизм $\mathbb{Z}_{6}\cong \mathbb{Z}_2\oplus \mathbb{Z}_3$ в $\mathbb{R}^2$ мы получим матрицу далее применяя преобразования из п. 4) замечания мы получим матрицуПрименяя п. 3) замечания и тот факт, что группе $\mathbb{Z}_2$ в пространстве $\mathbb{R}^{2}$ соответствует матрица а группе $\mathbb{Z}_{3}$ в пространстве $\mathbb{R}$ соответствует $T=(3)$, тогда для группы $\mathbb{Z}_{6}$ в $\mathbb{R}^3$ мы получим матрицу
$$
\begin{equation*}
M=\begin{pmatrix} 1 & 1&0 \\ -1 &1&0\\ 0&0&3\\ \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Благодаря теореме 1 мы можем определить обобщенную группу Виленкина, ассоциированную с конечной абелевой группой $G$ как обобщенную группу Виленкина ассоциированную с матрицей $M$, набор цифр которой изоморфен $G$. Зафиксируем простое $p$. Для любого $q=p^k$ существует единственное с точностью до изоморфизма поле из $q$ элементов, которое обозначается $GF(q)$. Поле $GF(q)$ является линейным пространством размерности $k$ над полем $\mathbb{Z}_p$. Существуют элементы $e_i\in GF(q)$ для $1\leqslant i\leqslant k$ такие, что для любого $x\in GF(q)$ имеется единственное представление
$$
\begin{equation*}
x=x_1e_1+x_2e_2+\dots+x_ke_k, \qquad \pi(x)=(x_1,\dots,x_k),
\end{equation*}
\notag
$$
где $x_i\in\mathbb{Z}_p$. Из этого следует изоморфизм групп $(GF(q),+_{GF(q)})\cong Z_p\oplus Z_p\oplus\dots\oplus Z_p$. Локальное поле положительной характеристики – это множество формальных рядов Лорана
$$
\begin{equation*}
F(q)=\biggl\{f(t)=\sum_{-\infty}^\infty a_it^i\biggm| a_i\in GF(q),\ \exists\, l,\ a_i=0\ \forall\,i<l\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
с операциями сложения и умножения. Поле $F(q)$ является нормированным полем характеристики $p$, где норма определяется по формуле $\|f\|=q^{-l}$ (здесь $l$ есть наименьший номер для которого $a_i \ne 0$). Поле $F(q)$ является локально компактным неархимедовски нормированным полем положительной характеристики. Подробное изложение теории локально компактных полей имеется в работе [7]. Существует множество работ, посвященных Фурье и вейвлет-анализу на локальных полях положительной характеристики, см., например, [7], [8] и библиографию в этих работах. Предложение 1. Пусть $p$ – простое, $q=p^k$, $G=\mathbb{Z}_p\oplus\mathbb{Z}_p\oplus\dots\oplus\mathbb{ Z}_p$ – группа из $q$ элементов. Тогда аддитивная группа поля $F(q)^{+}$ изоморфна обобщенной группе Виленкина $ V(G)$. Доказательство. Пусть $f\in F(q)$, тогда отображение $\lambda$, сопоставляющее ряду Лорана $f$ последовательность его коэффициентов $\{a_i\}_{i\in\mathbb{Z}}$, является изоморфизмом группы $F(q)^{+}$ и группой последовательностей коэффициентов с покоординатной операцией сложения, поскольку сложение в $F(q)$ задается по формуле
Далее используя отображение $\pi\colon GF(q)\to \mathbb{Z}_p\oplus \mathbb{Z}_p\oplus\dots \oplus\mathbb{ Z}_p$, которое является изоморфизмом групп, получаем изоморфизм групп последовательностей $\{a_i\}_{-\infty}^\infty\to\{\pi(a_i)\}_{-\infty}^\infty$. Для группы $G=\mathbb{Z}_p\oplus \mathbb{Z}_p\oplus\dots \oplus\mathbb{ Z}_p$ из теоремы 1 следует, что существует матрица $M$ такая, что $G$ изоморфна $D(M)$, обозначим этот изоморфизм $\psi\colon G\to D(M)$. Комбинируя все отображения получаем нужный нам изоморфизм
$$
\begin{equation*}
f(t)=\sum_{-\infty}^\infty a_it^i\to\{a_i\}_{i\in\mathbb{Z}}\to \{ \psi(\pi(a_i))\}_{i\in\mathbb{Z}},
\end{equation*}
\notag
$$
но последовательность $\{\psi(\pi(a_i))\}_{i\in\mathbb{Z}}$ состоит из цифр матрицы $M$, т.е. является элементом группы $V(G)$.
Проверим, что аддитивная группа локального поля положительной характеристики и обобщенная группа Виленкина изоморфны также как топологические группы. Для этого заметим, что топология на $V(G)$ определяется полной системой окрестностей нулевого элемента в $V(G)$ являющихся множествами при описанном выше отображении, множествам $U_l$ взаимно однозначно соответствуют множества которые являются шарами $B(l)=\{\|f\|\leqslant q^{-l}\mid f\in F(q)\}$ и соответственно базой нулевого элемента в нормированном поле $F(q)$.Заметим, что обощенная группа Виленкина для $G=\mathbb{Z}_3\oplus\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_4$ отлична от аддитивной группы поля положительной характеристики, потому что $|G|=24$, а это число не является степенью простого числа. Также группа $G$ не является циклической и, значит, обобщенная группа Виленкина отлична от обычной группы Виленкина. 4. ХарактерыПусть $V$ – обобщенная группа Виленкина, ассоциированная с матрицей $M\in\mathfrak{M}_d$ и набором ее цифр $D(M)$. Зафиксировав также некоторый набор цифр $D(M^*)$, положим
$$
\begin{equation*}
\chi(x,\omega)=\exp\biggl({2\pi i}\sum_{j\in {\mathbb Z}} (M^{-1}x_j,\omega_{1-j})\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $x\in V$, $\omega=\{\omega_i\}_{i\in\mathbb Z}$, $\omega_i\in D(M^*)$ для всех $i\in \mathbb{Z}$, и $\omega_i$ отлично от нулевого элемента лишь для конечного числа отрицательных $i$. Очевидно, что для любого $\omega\in V^*$ функция $\chi(x,\omega)$ является характером группы $V$. Докажем, что все характеры $V$ задаются этими формулами. Теорема 2. Для каждого непрерывного характера $\widetilde\chi(x)$ группы $V$ существует единственный $\omega\in V^*$ такой, что Доказательство. Для любых $k,n\in {\mathbb Z}$, $k\leqslant n$, рассмотрим подгруппу $V^{k,n}$, состоящую из элементов $x\in V$ таких, что $x_j=\mathbf{0}$, если $j<k$ или $j>n$. Поскольку $V^{k,n}$ – конечная группа порядка $m(n-k+1)$, существует $m(n-k+1)$ различных характеров этой группы. Проверим, что функции $\chi(\,\cdot\,,\omega)$ и $\chi(\,\cdot\,,\widetilde\omega)$ такие, что $\omega$ отлично от $\widetilde\omega$ и $\omega_{1-j}=\widetilde\omega_{1-j}=\mathbf{0}$ при $j<k$ или $j>n$, – разные характеры группы $V^{k,n}$. Действительно, в противном случае для некоторого $\omega\ne\widetilde\omega$ и для каждого $x\in V^{j,j}$, где $j=k,\dots,n$, имеем
$$
\begin{equation*}
\exp({2\pi i}(M^{-1}x_j,\omega_{1-j}))= \chi(x,\omega)=\chi(x,\widetilde\omega)= \exp({2\pi i}(M^{-1}x_j,\widetilde\omega_{1-j})),
\end{equation*}
\notag
$$
т.е.
$$
\begin{equation*}
\exp({2\pi i}(M^{-1}s,\omega_{1-j}))= \exp({2\pi i}(M^{-1}s,\widetilde\omega_{1-j}))\qquad \forall\,s\in D(M).
\end{equation*}
\notag
$$
Но это равенство справедливо только в том случае, когда $\omega_{1-j}=\widetilde\omega_{1-j}$, поскольку матрица
$$
\begin{equation}
\biggl\{\frac{1}{\sqrt m}\exp({2\pi i} (M^{-1}s,s^*))\biggr\}_{s \in D(M),s^*\in D(M^*)}
\end{equation}
\tag{2}
$$
унитарна (см., например, [5; следствие 2.2.7]). Таким образом, учитывая, что таких функций $\chi(\,\cdot\,,\omega)$ всего $m(n-k+1)$, заключаем, что все характеры группы $V^{k,n}$ задаются формулой Итак, мы доказали, что каждому характеру группы $V^{k,n}$, $k\leqslant n$, соответствует единственное множество $\{\omega_i\in D(M^*)\colon 1-n\leqslant i\leqslant 1-k\}$.
Пусть теперь $\widetilde\chi$ – непрерывный характер $V$ и $x\in V$. Поскольку
$$
\begin{equation*}
x=\lim_{N\to+\infty} x^{(N)},\qquad\text{где}\quad x^{(N)}\in V^{-N, N}
\end{equation*}
\notag
$$
и $x^{(N)}_j=x_j$ для всех $|j|\leqslant N$ ввиду непрерывности $\widetilde\chi$, получаем
$$
\begin{equation}
\widetilde\chi(x)=\lim_{N\to+\infty}\widetilde\chi(x^{(N)})= \lim_{N\to+\infty}\widetilde\chi|_{V^{-N,N}}(x^{(N)}),
\end{equation}
\tag{3}
$$
и $\widetilde\chi|_{V^{-N,N}}$ – характер группы $V^{-N,N}$. Как было показано, для каждого $N$ существует единственная последовательность $\omega^{(N)}=\{\omega^{(N)}_i\}_{i\in\mathbb Z}$, $\omega^{(N)}_i\in D(M^*)$, такая, что $\omega^{(N)}_i=\mathbf{0}$, если $i\leqslant -N$ или $i>N+1$, и
$$
\begin{equation*}
\widetilde\chi|_{V^{-N, N}}(z)=\exp\biggl(2\pi i \sum_{j=-N}^N(M^{-1}z_j,\omega^{(N)}_{1-j})\biggr)= \prod_{j=-N}^N\exp(2\pi i(M^{-1}z_j,\omega^{(N)}_{1-j}))
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $z\in V^{-N, N}$. Отметим, что если $N'>N$ и $-N< i\leqslant N+1$, то, очевидно, $\omega^{(N)}_i=\omega^{(N')}_i$. Вместе с (3), это дает
$$
\begin{equation*}
\widetilde\chi(x)=\lim_{N\to+\infty}\prod_{j=-N}^N \exp(2\pi i(M^{-1}x_j,\omega^{(N)}_{1-j}))= \prod_{j=-\infty}^{+\infty}\exp(2\pi i(M^{-1}x_j,\omega_{1-j})),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\omega=\{\omega_i\}_{i\in\mathbb Z}$, $\omega_i\in D(M^*)$ и $\omega_i=\omega^{(N)}_i$ при $-N< i\leqslant N+1$, и бесконечное произведение сходится для любого $x\in V$. Осталось проверить, что $\omega_i\ne \mathbf{0}$ только для конечного числа отрицательных $i$. Если верно обратное, то существуют $s^*\in D(M^*)$, $s^*\ne\mathbf{0}$, и последовательность натуральных чисел $j_k$ такая, что $\omega_{1-j_k}=s^*$. Используя ([5; лемма 2.2.6]), имеем Отсюда следует, что $\exp(2\pi i(M^{-1}s,s^*))\ne1$ для некоторого $s\in D(M)$. Но если $x\in V$ таково, что $x_{j_k}=s$ для всех $k$ и $x_j=\mathbf{0}$ при других $j$, то бесконечное произведение расходится. Таким образом, мы доказали, что $\widetilde\chi(x)=\chi(x,\omega)$ для любого $x\in V$. Группа характеров $\operatorname{Char}(V)$ с операцией умножения является абелевой группой. Для любого $S\subset V$ множество
$$
\begin{equation*}
S^{\perp}=\bigl\{\chi\in \operatorname{Char}(V)\colon \chi(x)=1\ \forall\,x\in S\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
называемое аннулятором $S$, является подгруппой группы $\operatorname{Char}(V)$. Очевидно, аннуляторы множеств $U_l$ являются окрестностями нейтрального элемента $\chi \equiv 1$, и имеет место включение $U_i^{\perp}\subset U_{i-1}^{\perp}$. Топология на $\operatorname{Char}(V)$ задается системой $\{U_l^\perp\}_{l\in\mathbb Z}$. Из теоремы 2 следует, что $\operatorname{Char}(V)$ и $V^{*}$ изоморфны как алгебраические группы, но они также изоморфны и как топологические группы, поскольку существует взаимно однозначное соответствие между множествами $U_l^\perp$ и $U_{-l}^*$. Поэтому в дальнейшем мы будем писать $V^*$ вместо $\operatorname{Char}(V)$.
5. Гармонический анализ на обобщенных группах ВиленкинаСогласно общей теории гармонического анализа на топологических группах преобразование Фурье функции $f\in L_1(V)$ определяется по формуле
$$
\begin{equation*}
\widehat{f}(\omega)= \int_V f(x)\overline{\chi(x,\omega)}\,d\nu(x),\qquad \omega \in V^{*},
\end{equation*}
\notag
$$
и распространяется на $L_2(V)$ стандартным способом. Справедливы следующие обычные свойства преобразования Фурье (см. [1; с. 84]). Теорема 3 (равенство Планшереля). Если $f \in L_2(V)$, то $\widehat{f}\in L_2(V^{*})$, и для любых $f, g\in L_2(V)$ имеет место равенство Теорема 4. Для любого $g\in L_2(V^{*})$ существует $f\in L_2(V)$ такое, что $\widehat{f}=g$, и эта функция $f$ является обратным преобразованием Фурье функции $g$, а если, кроме того, $g\in L(V^{*})$, то Положим
$$
\begin{equation*}
H:=\bigl\{x\in V\colon x_j=\mathbf{0} \ \text{для всех}\ j>0\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Элементы $H$ играют роль целых неотрицательных чисел на полупрямой. Нам будет удобно занумеровать элементы $H$ обычными неотрицательными целыми числами. Для любого $k\in\mathbb{Z}_+$, $m$-ичное представление которого имеет вид
$$
\begin{equation*}
k=\sum_{j=0}^{\infty} k_j m^{j}, \qquad k_j\in\{0,1,\dots,m-1\},
\end{equation*}
\notag
$$
обозначим через $\gamma_{[k]}$ такой элемент пространства $H$, у которого $(\gamma_{[k]})_{-j}=s_{k_j}$ для всех $j\geqslant 0$, и заметим, что $H=\{\gamma_{[k]}\colon k\in\mathbb{Z}_+\}$. Определение. Системой Уолша называется множество $\{W_\alpha\}_{\alpha=0}^{\infty}$, где функции $W_\alpha$ определены на $V$ по формулам Теорема 5. Функции Уолша $H$-периодичны, и система Уолша $\{W_\alpha \}_{\alpha=0}^{\infty}$ является ортонормированным базисом в пространстве $L_2(U)$. Доказательство. Первое утверждение легко следует из определения функций Уолша и формулы для характеров. Второе утверждение следует из того, что функции Уолша являются полной системой характеров компактной группы $U$, а теоремы об ортонормированности системы характеров для таких групп см. в [1; с. 77]. Отметим, что точно такими же формулами определяются функции Уолша на множестве М-положительных векторов в работе [4]. Однако, вместо меры Хаара $\nu$ там фигурирует мера Лебега $\mu$, поэтому теорема 5 не следует автоматически из аналогичного утверждения в [4] (хотя далее как раз будет объяснено, как можно осуществлять такого рода заимствования). Обозначим через $X^+=X^+(M,D)$ множество векторов $\widetilde x\in\mathbb{R}^d$ представимых в виде
$$
\begin{equation}
\widetilde x=\sum_{j=-\infty}^{\infty}M^{-j}x_j, \qquad x_{j} \in D,
\end{equation}
\tag{4}
$$
где ряд сходится ввиду (1). Для некоторого $\widetilde x\in X^+$ может быть несколько представлений (4), но в [9] доказано, что представление единственное почти для всех $\widetilde x\in X^+$ и для любого $\widetilde x\in X^+$ может существовать не более одного конечного представления. Следуя [9], будем говорить, что множество где $X^{\#}$ – множество $\widetilde x\in X^+$, имеющих не менее двух представлений вида (4), а $X^0$ состоит из векторов $\widetilde x\in X^+$, для которых существует конечное представление, называется пространством $M$-положительных векторов, ассоциированным с матрицей $M$ и набором ее цифр $D(M)$. Отметим также, что $X^{\#}$ не более чем счетное множество. Каждому множеству $E\subset V$ поставим в соответствие множество $\widetilde E$, состоящее из точек $\widetilde x\in X$ таких, что соответствующее $x=\{x_i\}_i$ принадлежит $E$.Положим
$$
\begin{equation*}
U:=U_0=\bigl\{x\in V\colon x_j=\mathbf{0} \text{ для всех } j\leqslant 0\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и отметим, что соответствующее множество $\widetilde U$ является ограниченным, измеримым по Лебегу, и а его мера – целое число, зависящее от выбора цифр (см., например, [5; § 2.8], [10; § 6.1], [11], [12]). Зафиксируем $D(M)$ и нормируем меру Хаара $\nu$: Пусть $\mathcal M$ – отображение, определенное на $V$ следующим образом: если $x=\{x_j\}_{j=-\infty}^{+\infty}$, то ${\mathcal M}x$ – элемент группы $V$ такой, что $({ \mathcal M} x)_j=x_{j+1}$. Очевидно, имеет место равенство $\widetilde{\mathcal M}x=M\widetilde x$. Элементы $\widetilde H$ (как и элементы множества $H$) играют роль целых неотрицательных чисел на полупрямой, и нам будет удобно нумеровать их обычными неотрицательными целыми числами, положив
$$
\begin{equation*}
\widetilde\gamma_{[k]}:=\sum_{j=0}^{\infty}M^{j}s_{k_j}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что $\widetilde H=\{\widetilde\gamma_{[k]}\colon k\in\mathbb{Z}_+\}$, и напомним, что $H=\{\gamma_{[k]}\colon k\in\mathbb{Z}_+\}$. Следуя [9], мы также рассмотрим множества
$$
\begin{equation}
\widetilde U_{n,k}:=M^{-n}\widetilde\gamma_{[k]}+ M^{-n}(\widetilde U), \qquad n\in\mathbb{Z},\quad k\in\mathbb{Z}_+,
\end{equation}
\tag{5}
$$
и отметим следующие их свойства (см. [9; предложение 4]). Если $n,n',k,k'\in\mathbb{Z}_+$, $n\geqslant n'$, то либо $\widetilde U_{n,k}\subset \widetilde U_{n',k'}$, либо $U_{n,k}$ и $U_{n',k'}$ не пересекаются. Для любого $n\in\mathbb{N}$ имеет место равенство Нетрудно видеть, что аналогичные свойства справедливы и для множеств
$$
\begin{equation*}
U_{n,k}:={\mathcal M}^{-n}\gamma_{[k]}+{\mathcal M}^{-n}(U), \qquad n\in\mathbb{Z},\quad k\in\mathbb{Z}_+,
\end{equation*}
\notag
$$
что дает $\nu U_{n,k}= m^{-n}\nu U$ для всех $ n\in\mathbb{Z}$ и $k\in\mathbb{Z}$ (потому что мера $\nu$ инвариантна относительно сдвига). Очевидно, что существует взаимно однозначное соответствие между наборами
$$
\begin{equation*}
\{U_{n,k};\, n\in\mathbb{Z},\ k\in\mathbb{Z}_+\}=:\mathfrak R \qquad \text{и}\qquad \{\widetilde U_{n,k}; \,n\in\mathbb{Z},\ k\in\mathbb{Z}_+\} =:\widetilde{\mathfrak R},
\end{equation*}
\notag
$$
и каждое из этих множеств является полукольцом. Более того, имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\mu\widetilde U_{n,k}=\mu\widetilde U \nu U_{n,k} \qquad\text{для всех}\quad n\in\mathbb{Z}\quad\text{и}\quad k\in\mathbb{ Z}_+.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя теорему Каратеодори, распространим полукольцо $\widetilde{\mathfrak R}$ на сигма-алгебру $\widetilde{\mathfrak A}$. Согласно [13; теорема IV.5.1], каждый элемент множества $\widetilde{\mathfrak A}$ измерим по Лебегу. Аналогичным образом, сигма-алгебра ${\mathfrak A}$, полученная стандартным распространением с полукольца ${\mathfrak R}$, состоит из $\nu$-измеримых множеств. Каждому $E\subset V$ сопоставим $E'$, полученное удалением из $E$ всех точек $x\in V$ таких, что $\widetilde x\in X^{\#}\setminus X^0$. Положим
$$
\begin{equation*}
\bigl\{U'_{n,k};\, n\in\mathbb{Z},\, k\in\mathbb{Z}_+\bigr\}=:{\mathfrak R}'.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $X^{\#}$ не более чем счетно, множества $U'_{n,k}$ $\nu$-измеримы, $\nu U'_{n,k}=\nu U_{n,k}$, и ${\mathfrak R}'$ является полукольцом. Опять сигма-алгебра ${\mathfrak A}'$, полученная стандартным распространением ${\mathfrak R'}$, состоит из $\nu$-измеримых множеств. Так как существует взаимно однозначное соответствие между подмножествами $X$ и совокупностью множеств $\{E'\colon E\subset V\}$, заданное отображением $E'\leftrightarrow \widetilde E$, мы имеем и взаимно однозначное соответствие между ${\mathfrak A}'$ и $\widetilde{\mathfrak A}$, и равенство соответствующих интегралов Лебега, т.е. если $E'\in {\mathfrak A}'$ и функция $f$ измерима на $E'$, то
$$
\begin{equation}
\mu\widetilde U\int_{E'}f\,d\nu= \int_{\widetilde E} \widetilde f\,d\mu,
\end{equation}
\tag{7}
$$
где $\widetilde E$ состоит из точек $\widetilde x\in X$ таких, что $x\in E'$, и $\widetilde f (\widetilde x)=f(x)$. Пусть теперь $E\in \mathfrak A$, $f$ – функция, измеримая на $E$, а $\int_E f\,d\nu$ – интеграл Лебега на $\mathfrak A$. Учитывая, что множество $X^{\#}$ не более чем счетно, заключаем, что $\int_E f\,d\nu=\int_{E'} f\,d\nu$, и ввиду (7), интеграл $\int_E f\,d\nu$ можно заменить на $(1/\mu \widetilde U) \int_{\widetilde E}\widetilde f\,d\mu$. Другими словами, если утверждение для $M$-положительных пространств таково, что появляются только интегралы по множествам $\widetilde E\subset \widetilde{\mathfrak A}$, то соответствующее утверждение для группы $V$ также верно. Из этого рассуждения ясно, что верны формулы
$$
\begin{equation}
\int_V f({\mathcal M}^j\,\cdot\,)\,d\nu= \frac{1}{m^j}\int_V f\,d\nu,
\end{equation}
\tag{8}
$$
$$
\begin{equation}
\widehat{f({\mathcal M}^j\,\cdot\,)}= \frac{1}{m^j}\widehat f({{\mathcal M}^*}^{-j}\,\cdot\,).
\end{equation}
\tag{9}
$$
Используя те же аргументы, мы можем позаимствовать следующие утверждения из статьи [9]. Введем следующие классы функций $f$ определенных на $V$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{S}_n(V)&:=\bigl\{f\colon f(x)=f(x')\text{ для всех } x,x'\in U_{n,k}, \ k\in {\mathbb Z}_+\bigr\}, \\ \mathcal{S}_n^{(k)}(V)&:=\bigl\{ f\in \mathcal{S}_n(V)\colon \operatorname{supp} f \subset {\mathcal M}^k(U)\bigr\}, \qquad \mathcal{S}(V):=\bigcup_{n,k} \mathcal{S}_n^{(k)}(X). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Классы $\mathcal{S}_n(V^*)$, $\mathcal{S}_n^{(k)}(V^*)$ и $\mathcal{S}(V^*)$ определяются аналогично. Таким образом, подобно обычным группам Виленкина (см. [14]), в нашей группе $V$ существует класс финитных функции, у которых преобразование Фурье финитно. Этот класс можно рассматривать как аналог класса Шварца в классическом анализе. Также для этого класса справедлив следующий аналог формулы суммирования Пуассона. 6. Всплески на обобщенных группах ВиленкинаПодобно классическим группам Виленкина, для функций, определенных на $V$, мы имеем естественный оператор растяжения $f\to f({\mathcal M}\,\cdot\,)$ и оператор сдвига $f\to f(\,\cdot\,\oplus h)$. Таким образом, мы можем рассматривать системы всплесков, т.е. системы, состоящие из растяжений и сдвигов нескольких функций. Базисы и фреймы всплесков, состоящие из тест-функций, представляют особый интерес, поскольку этот класс является аналогом класса Шварца. Рассмотрим функции $\psi^{\nu}$, $\nu=1,\dots,m-1$ такие, что $\widehat{\psi^{(\nu)}}:= \mathbf{1}_{U^*\oplus s^*_\nu}({\mathcal M}\,\cdot\,)$, и положим
$$
\begin{equation*}
\psi^{(\nu)}_{jk}:=m^{j/2}\psi^{(\nu)}({\mathcal M}^j\cdot \oplus \gamma_{(k)}),\qquad j\in\mathbb Z,\quad k\in\mathbb{Z}_+.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что это функции из пространства $S(V)$. Докажем, что система $\{\psi^{(\nu)}_{jk}\}_{\nu,j,k}$ является ортонормированным базисом в $L_2(V)$. Из теоремы 6 следует, что
$$
\begin{equation*}
\widehat{\psi^{(\nu)}_{0k}}= \widehat{\psi^{(\nu)}}\chi(\gamma_{[k]},\,\cdot\,)= \mathbf{1}_{U^*\oplus s^*_\nu}({\mathcal M}\,\cdot\,)w^*_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Принимая во внимание (9), имеем
$$
\begin{equation}
\widehat{\psi^{(\nu)}_{jk}}= m^{j/2}\widehat{\psi^{(\nu)}_{0k}({\mathcal M}^j\,\cdot\,)}= \frac{1}{m^{j/2}}\widehat{\psi^{(\nu)}_{0k}} ({{\mathcal M}^*}^{-j}\,\cdot\,)=\frac{1}{m^{j/2}} \mathbf{1}_{U^*\oplus s^*_\nu}({{\mathcal M}^*}^{1-j}\,\cdot\,) w^*_k({{\mathcal M}^*}^{-j}\,\cdot\,).
\end{equation}
\tag{12}
$$
Легко видеть, что носители функций $\widehat{\psi^{(\nu)}_{jk}}$ и $\widehat{\psi^{(\nu')}_{j'k '}}$ не пересекаются, если $j\ne j'$ или $j=j'$ и $\nu\ne\nu'$, т.е. эти функции ортогональны. Далее, используя (8), учитывая $H^*$-периодичность функций Уолша $w^*_k$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{V^*}\widehat{\psi^{(\nu)}_{jk}} \overline{\widehat{\psi^{(\nu)}_{jk'}}}\,d\nu^*&= m^j\int_{V^*}\widehat{\psi^{(\nu)}_{jk}}({\mathcal M}^j\,\cdot\,) \overline{\widehat{\psi^{(\nu)}_{jk'} ({\mathcal M}^j\,\cdot\,)}}\,d\nu^* \\ &=\int_{U^*\oplus s^*_\nu} w^*_k(\,\cdot\,\oplus s^*_\nu) \overline{w^*_{k'}(\,\cdot\,\oplus s^*_\nu)}\,d\nu^*, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
из чего ввиду теоремы 5 следует, что функции $\widehat{\psi^{(\nu)}_{jk}}$ и $\widehat{\psi^{(\nu)}_{jk'}}$ ортогональны при $k\ne k'$. Из теоремы Планшереля следует, что система $\{\psi^{(\nu)}_{jk}\}_{\nu,j,k}$ ортогональна. Пусть теперь $f\in L_2(V)$. Снова используя теорему Планшереля и (8), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|f\|_2^2&=\sum_{j\in \mathbb Z}\int_{{{\mathcal M}^*}^{-j} ({\mathcal M}U^*\setminus U^*)}|\widehat f|^2\,d\nu^*= \sum_{j\in \mathbb Z} m^{-j}\int_{{\mathcal M}U^*\setminus U^*} |\widehat f({{\mathcal M}^*}^{-j}\,\cdot\,)|^2\,d\nu^* \\ &=\sum_{j\in \mathbb Z} m^{-j}\sum_{\nu=1}^{m-1} \int_{U^*\oplus{s_\nu^*}} |\widehat f({{\mathcal M}^*}^{-j}\,\cdot\,)|^2\,d\nu^* \\ &=\sum_{j\in \mathbb Z}\,\sum_{\nu=1}^{m-1} m^{-j} \int_{{\mathcal M}U^*}|\widehat f({{\mathcal M}^*}^{-j}\,\cdot\,) \mathbf 1_{U^*\oplus {s_\nu^*}}|^2\,d\nu^* \\ &=\sum_{j\in \mathbb Z}\,\sum_{\nu=1}^{m-1} m^{-j+1} \int_{U^*}|\widehat f({{\mathcal M}^*}^{-j+1}\,\cdot\,) \mathbf 1_{U^*\oplus {s_\nu^*}}({\mathcal M}\,\cdot\,)|^2\,d\nu^* \\ &=\sum_{j\in \mathbb Z}\,\sum_{\nu=1}^{m-1} m^{-j} \int_{U^*}|\widehat f({{\mathcal M}^*}^{-j}\,\cdot\,) \mathbf 1_{U^*\oplus {s_\nu^*}}({\mathcal M}\,\cdot\,)|^2\,d\nu^*. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По теореме 5 функции $w^*_k$ образуют ортонормированный базис в $L_2(U^*)$, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\int_{U^*}|\widehat f({{\mathcal M}^*}^{-j}\,\cdot\,) \mathbf 1_{U^*\oplus {s_\nu^*}}({\mathcal M}\,\cdot\,)|^2\,d\nu^*= \sum_{k\in \mathbb Z} |\langle\widehat f({{\mathcal M}^*}^{-j}\,\cdot\,) \mathbf 1_{U^*\oplus {s_\nu^*}} ({\mathcal M}\,\cdot\,),w^*_k\rangle|^2
\end{equation*}
\notag
$$
и, используя (8), (12), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &m^{-j}|\langle\widehat f({{\mathcal M}^*}^{-j}) \mathbf 1_{U^*\oplus{s_\nu^*}}({\mathcal M}\,\cdot\,),w^*_k\rangle|^2 =|m^{-j}\langle\widehat f({{\mathcal M}^*}^{-j}),m^{j/2} \widehat{\psi_{0k}^{(\nu)}}\rangle|^2 \\ &\qquad=|\langle\widehat f,m^{j/2}\widehat{\psi_{0k}^{(\nu)}} ({{\mathcal M}^*}^{j}\,\cdot\,)\rangle|^2= |\langle\widehat f, \widehat {\psi_{jk}^{(\nu)}}\rangle|^2= |\langle f, \psi_{jk}^{(\nu)}\rangle|^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сопоставив полученные неравенства, имеем
$$
\begin{equation*}
\|f\|_2^2=\sum_{j\in \mathbb Z}\,\sum_{k\in \mathbb Z}\, \sum_{\nu=1}^{m-1}|\langle f,\psi_{jk}^{(\nu)}\rangle|^2,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. получено равенство Парсеваля для системы $\{\psi^{(\nu)}_{jk}\}_{\nu,j,k}$. Таким образом, мы построили ортогональный базис, состоящий из сдвигов и растяжений тест-функций $\psi^{(\nu)}$, $\nu=1,\dots,m-1$. Нетрудно видеть, что в рамках общей схемы построения базисов Хаара для широкого класса топологических пространств (см. [15]) наша система представляет собой не что иное как базис Хаара, соответствующий масштабирующей функции $\varphi=\mathbf 1_{U}$. Другие ортогональные базисы и фреймы всплесков, состоящие из тест-функций, могут быть построены в рамках общей теории всплесков точно так же, как для пространств М-положительных векторов или для обычных групп Виленкина (см. [14], [16], [17]). Это возможно, поскольку, масштабирующие тест-функции можно позаимствовать из теоремы 7 в [18] согласно аргументам п. 5, после чего легко найти всплеск-функции, которые тоже будут тест-функциями. Отметим, что для классических групп Виленкина различные примеры масштабирующих функций (не только ступенчатых) имеются в работах [19] и [16]. Также можно использовать некоторые специальные методы построения ортогональных базисов всплесков, разработанные в [20], [21]. Отметим, что такого рода заимствования с обычных групп Виленкина на полупрямую уже осуществлялись в [17], где использовались конструкции систем всплесков из работ [19], [14], [20], [16]. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{VodSko24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|