| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Об аддитивных полугруппах идемпотентных полуколец с единицей А. А. Петров, А. П. Шкляев Вятский государственный университет, г. Киров
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624090281 
Реферативные базы данных:
 1. Введение. Исходные понятияПорядковые понятия можно найти в книгах Гретцера [1] и Скорнякова [2]. Необходимая информация по теории множеств содержится в монографии Куратовского и Мостовского [3]. Теория мультипликативно идемпотентных полуколец изложена в книге [4]. Определим используемые понятия. Полукольцом называется алгебраическая структура $\langle S, +, \cdot\rangle$ с коммутативно-ассоциативной операцией сложения $+$ и ассоциативной операцией умножения $\cdot$, дистрибутивной относительно сложения с обеих сторон. Полукольцо $S$ называется:
Напомним, что полурешетками называются идемпотентные коммутативные полугруппы. На всякой полурешетке $\langle A, +\rangle$ формула $a\leqslant b \Leftrightarrow a+b=b$ определяет отношение порядка $\leqslant$, превращающее $A$ в верхнюю полурешетку $\langle A, \leqslant\rangle$ в порядковом смысле, для которой $\sup\{a, b\}=a+b$ для всех $a, b\in A$. При этом элемент $0$ является нейтральным элементом полурешетки $\langle A, +\rangle$ тогда и только тогда, когда $0$ будет наименьшим элементом соответствующей верхней полурешетки $\langle A, \leqslant\rangle$. Назовем полугруппу $\langle S, +\rangle$ допустимой (или идемпотентно полукольцевой допустимой), если она допускает структуру мультипликативно идемпотентного полукольца с единицей (и с нулем), т.е. на множестве $S$ можно задать идемпотентную ассоциативную операцию $\cdot$ такую, что $\langle S, +, \cdot \rangle$ будет полукольцом с единицей (и с нулем, когда полугруппа $\langle S, +\rangle$ обладает нейтральным элементом); в противном случае будем называть полугруппу недопустимой. Полугруппу назовем наследственно допустимой, если все ее подполугруппы допустимые. Легко видеть, что допустимые полугруппы коммутативны и удовлетворяют тождеству $4x=2x$. В работе рассматривается условие допустимости для полурешеток. Допустимые полурешетки служат аддитивными полугруппами идемпотентных полуколец с единицей. Замечание 1. Будем рассматривать решетки как верхние полурешетки $\langle S, \leqslant\rangle$ и, равносильно, как полурешетки $\langle S, +\rangle$. Любая конечная дистрибутивная решетка является допустимой полурешеткой: она превращается в идемпотентное полукольцо, единицей которого служит наибольший элемент. 2. Предварительные результатыДля полноты изложения докажем следующие два утверждения [4; предложение 4.1.3]. Предложение 1. Любое идемпотентное полукольцо с единицей $1$, являющейся наибольшим элементом, будет дистрибутивной решеткой. Доказательство. Пусть единица $1$ полукольца $S$ является наибольшим элементом полурешетки $\langle S, +\rangle$. Для любых $x, y\in S$ выполняются равенства $x+xy=x(1+y)=x\cdot 1=x$ и $x+yx=x$, из которых вытекает коммутативность умножения: Таким образом, $S$ – дистрибутивная решетка. Предложение 2. Любое идемпотентное полукольцо с единицей, являющейся наименьшим элементом, будет идемпотентным моно-полукольцом. Доказательство. Пусть $S$ – идемпотентное полукольцо, единица $1$ которого является наименьшим элементом полурешетки $\langle S, +\rangle$. Для любых $x, y\in S$ имеем $1+x=x$, $1+y=y$, откуда $x+xy=xy$ и $x+yx=yx$. Поэтому т.е. $S$ – идемпотентное моно-полукольцо. Доказательство. Одноэлементные цепи допустимы. Обозначим через $1$ произвольный элемент неодноэлементной цепи $S$, не являющийся наименьшим (если $S$ имеет такой элемент). В силу предложений 1 и 2 для того, чтобы $S$ было аддитивной полугруппой идемпотентного полукольца с единицей $1$, на множестве $A=\{s\in S\colon s\leqslant 1\}$ нужно задать структуру дистрибутивной решетки, положив $xy=x=yx$ для всех $x\leqslant y$ из $A$, а на множестве $B=\{s\in S\colon 1\leqslant s\}$ – структуру моно-полукольца. Остается определить, чему равно произведение $a\cdot b=ab$ элементов $a\in A, b\in B$. Так как $a\leqslant b$, то $a=aa\leqslant ab\leqslant bb=b$ и $a\leqslant ba\leqslant b$. Легко видеть, что в каждом из случаев 1) $ab=a=ba$ и 2) $ab=b=ba$ (для любых $a\in A$ и $b\in B$) мы получаем коммутативные идемпотентные полукольца $\langle S, +, \cdot\rangle$ с единицей $1$. Значит, цепь $S$ допустима. Поскольку любая подцепь цепи $S$ является цепью, то $S$ – наследственно допустимая полурешетка. Пример 1. Пусть $\langle S, +\rangle$ , $S=\{a, b, c, m\}$, – диамант без наименьшего элемента и с наибольшим элементом $m$. Предположим, что полурешетка $\langle S, +\rangle$ допустимая и $\langle S, +, \cdot \rangle$ – идемпотентное полукольцо с единицей $1$. Случай $m=1$ невозможен в силу предложения 1. Можно считать $c=1$. Тогда $a+1=m=b+1$, откуда $am=a=ma$ и $bm=b=mb$. Так как $a+b=m$, то $a=am=a+ab$ и $b=mb=b+ab$. Значит, $ab\leqslant a$ и $ab\leqslant b$, что невозможно. Следовательно, $\langle S, +\rangle$ – недопустимая полурешетка. Пример 2. Пусть $\langle S, +\rangle$ , $S=\{0, a, b, c, m\}$, – диамант. Введем на $S$ операцию умножения $\cdot$, заданную следующим образом: $am=a=ma$ и $bm=b=mb$, $ab=0=ba$, $0s=s0=0$ и $cs=sc=s$ для любого $s\in S$. В результате получаем коммутативное идемпотентное полукольцо $\langle S, +, \cdot \rangle$ с единицей $c$ и нулем $0$. Следовательно, $\langle S, +\rangle$ – допустимая полурешетка. Пример 3. Пусть дана полурешетка $\langle S, +\rangle$, $S=\{0, a, b, c, d, m\}$, с нулем $0$, с наибольшим элементом $m$ и попарно несравнимыми элементами $a, b, c, d$. Предположим, что $\langle S, +, \cdot \rangle$ будет идемпотентным полукольцом с единицей $1$ и нулем $0$. Ясно, что $1\neq 0$. При $m=1$ на основании предложения 1 получили бы дистрибутивную решетку, содержащую в качестве подрешетки недистрибутивный диамант. Поэтому можно считать $d=1$. Тогда, как и в примере 1, имели бы $ms=s=sm$ при $s=a, b, c$, $ab\leqslant a$ и $ab\leqslant b$, т.е. $ab=0$. Аналогично, $ac=0$. Поэтому что противоречит полукольцевому закону дистрибутивности. Следовательно, полурешетка $\langle S, +\rangle$ недопустимая. Доказательство. Рассмотрим пентагон $P=\{0, a, b, c, m\}$. Пусть $L$ – подполурешетка в $P$. Если она является цепью, то будет допустимой по лемме 1. В противном случае $L$ обязательно содержит элементы $c$ и $m$, а также $a$ или $b$. На $L=\{a, c, m\}$ определяем полурешеточное умножение, $c=1$ и $am=a=ma$, превращающее $L$ в коммутативное идемпотентное полукольцо с $1$. Значит, полурешетка $\{a, c, m\}$ допустимая. Аналогично, для $L=\{b, c, m\}$. Полурешетки $\{0, a, c, m\}$ и $\{0, b, c, m\}$ изоморфны. Поэтому достаточно проверить допустимость полурешетки $\{0, a, c, m\}$. Она получается из допустимой полурешетки $\{a, c, m\}$ добавлением нуля $0$, значит, также является допустимой. Наконец, сама полурешетка $P=\{0, a, b, c, m\}$ допустима. Действительно, полагаем $c=1$, $0$ – полукольцевой нуль, тождественно $xx=x$ и $am=a=ma$, $bm=b=mb$, $ab=ba=a$. Получаем коммутативное идемпотентное полукольцо $\langle P, +, \cdot \rangle$ с единицей $c=1$ и нулем $0$. Следовательно, $\langle P, +\rangle$ – наследственно допустимая полурешетка. Заметим, что в силу примеров 1 и 2 диамант, будучи допустимой полурешеткой, не является наследственно допустимой полурешеткой. 3. Основные результатыДокажем несколько свойств класса допустимых полурешеток. Предложение 3. Прямое произведение любого непустого семейства полурешеток является допустимой полурешеткой тогда и только тогда, когда все сомножители будут допустимыми полурешетками. Доказательство. Пусть полурешетка $S=\Pi S_i$ есть прямое произведение допустимых полурешеток $\langle S_i, +\rangle$, $i\in I$. Тогда $\langle S, +\rangle$ будет аддитивной полугруппой прямого произведения $\Pi S_i$ соответствующих полуколец $\langle S_i, +, \cdot \rangle$, $i\in I$, которое является идемпотентным полукольцом с единицей, откуда $S$ – допустимая полурешетка.
Обратно, пусть прямое произведение $S=\Pi S_i$ полурешеток $\langle S_i, +\rangle$, $i\in I$, является допустимой полурешеткой, т.е. допускает структуру $\langle S, +, \cdot \rangle$ идемпотентного полукольца с единицей $1$. Рассмотрим полурешетку $\langle S_j, +\rangle$, $j\in I$, и выделим в полукольце $\langle S, +, \cdot \rangle$ подполукольцо Так как полурешетки $\langle T_j, +\rangle$ и $\langle S_j, +\rangle$ изоморфны, то $\langle S_j, +\rangle$ будет допустимой полурешеткой.Пример 4. Построим бесконечную недопустимую полурешетку, все конечные подполурешетки в которой допустимые. Возьмем ординальную сумму [2; с. 15] $\langle \Sigma, \leqslant\rangle$ копий $P_k$ пентагона $P$ по различным отрицательным целым числам $k$, образующих строго убывающую цепь с естественным порядком. Как множество $S$ является дизъюнктным объединением пентагонов $P_k$. Пентагон $P=\{0, a, b, c, m\}$ рассматривается как верхняя полурешетка с наименьшим элементом $0$, наибольшим элементом $m$ и неравенством $a< b$. При этом элементы $a$ и $b$ несравнимы с элементом $c$. В полурешетке $\langle P, +\rangle$ имеем $a+c=m=b+c$. Если $x\in P_k$ и $y\in P_l$ при $k\neq l$, то $x<y \Leftrightarrow k<l$. Предположим от противного, что полурешетка $\langle \Sigma , +\rangle$ допустимая. Тогда единица $1$ соответствующего идемпотентного полукольца $\langle \Sigma , +, \cdot \rangle$ принадлежит $P_l$ для некоторого индекса $l$. Как легко видеть, множество $(1]=\{s\in \Sigma\colon s\leqslant 1\}$ образует подполукольцо в $\Sigma$ - идемпотентное полукольцо с единицей $1$, являющейся его наибольшим элементом. По предложению 1 полурешетка $\langle (1], \leqslant\rangle$ дистрибутивна. Это противоречит тому, что для любого индекса $k<l$ пентагон $P_k$ является недистрибутивной подрешеткой в $\langle (1], \leqslant\rangle$. Следовательно, полурешетка $\langle \Sigma, +\rangle$ недопустимая. Если к полурешетке $\Sigma$ добавить нулевой (наименьший) элемент $0$, то получим недопустимую полурешетку $\Sigma \cup \{0\}$ с нулем. Пусть теперь $\langle K, +\rangle$ – конечная подполурешетка полурешетки $\langle \Sigma, +\rangle$. Рассмотрим множество индексов $l$, для которых $K\cap P_l\neq \varnothing$. В этом множестве возьмем наименьшее число $k$ такое, что множество $K\cap P_k$ имеет более одного элемента. Если такого числа нет, то $\langle K, +\rangle$ – цепь, т.е. допустимая полурешетка по лемме 1. Итак, имеем неодноэлементную подполурешетку $L=K\cap P_k$ пентагона $P=\{0, a, b, c, m\}$. Сразу отметим, что элементы из $L$ меньше всевозможных элементов из полурешетки $K\setminus L$, которая допускает структуру идемпотентного моно-полукольца. По лемме 2 полурешетка $L$ допустимая. Значит, допустимой будет и полурешетка $K$. Обозначим через $K_l$, где $l$ – отрицательное целое число, объединение всех полурешеток $P_k$ при $k\geqslant l$. Получаем бесконечную строго возрастающую последовательность конечных допустимых полурешеток $K_{-1}\subset K_{-2}\subset \dots \subset K_l\subset \dotsb$, дающих в объединении недопустимую полурешетку $\langle \Sigma, \leqslant\rangle$. Предложение 4. Пусть $\langle S, +\rangle$ – произвольная полурешетка. Тогда верны следующие утверждения: Доказательство. $1)$ (а) Пусть полурешетка $S$ имеет нуль $0$. Присоединим к $S$ новый нуль $\theta\colon S\cup \{\theta\}=T$, где $x+\theta=\theta+x=x$ для любого $x\in T$. На полурешетке $\langle T, +\rangle$ зададим операцию умножения $\cdot$ следующим образом: на $S$ умножение совпадает со сложением $+$ и $x\cdot \theta=\theta\cdot x=\theta$ для любого $x\in T$. Получаем коммутативное идемпотентное полукольцо $\langle T, +, \cdot \rangle$ с единицей $1=0$ и нулем $\theta$. Значит, полурешетка $\langle T, +\rangle$ с нулем является допустимой полурешеткой и содержит $S$ в качестве подполурешетки.
(б) Пусть полурешетка $S$ не обладает нулем. Сначала присоединим к $S$ нуль $0$, а затем добавим к полурешетке $S\cup \{0\}$ новый нуль $\theta$, как в пункте (а). 2) В полурешетку $\langle \Sigma \cup \{0\}, \leqslant\rangle$ из примера 4 вставим данную полурешетку $S$ вместо пентагона $P_{-1}$. В результате получим искомую недопустимую полурешетку с нулем. 3) Рассмотрим полурешетку $\langle S, +\rangle$ с нулем $0$. Как и в пункте $1)$ (а), образуем допустимую полурешетку $\langle T, +\rangle$ с нулем $\theta$. Разбиение $\Sigma$ множества $T$, единственным неодноэлементным классом которого служит $\{0, \theta\}$, определяет полугрупповую конгруэнцию на полурешетке $\langle T, +\rangle$, фактор-полурешетка по которой изоморфна полурешетке $\langle S, +\rangle$. Заметим, что это отношение эквивалентности не будет конгруэнцией на полукольце $\langle T, +, \cdot \rangle$ кроме случая одноэлементной полурешетки $S$. Для доказательства достаточно применить пункт $1)$ предложения 4 к примеру 1 или 3. Для доказательства достаточно применить пункт $2)$ предложения 4 к примеру 3. Следствие 2 показывает, что класс всех допустимых полурешеток не является квазимногообразием. Теорема 1. Существует счетная недопустимая полурешетка с нулем, в которую изоморфно вкладывается любая конечная полурешетка. Доказательство. С точностью до изоморфизма множество всех конечных полурешеток счетно. Занумеруем их отрицательными целыми числами:
$$
\begin{equation*}
S_{-1},\quad S_{-2},\quad \dots,\quad S_{-n}, \qquad n\in \mathbb N.
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем недопустимую полурешетку $\Sigma \cup \{0\}$ из примера 4 и заменим в ней все пентагоны $P_{-n}$ на полурешетки $S_{-n}$. В результате получим искомую полурешетку $S$. Теорема 2. Существует счетная допустимая полурешетка с нулем, в которую изоморфно вкладывается любая конечная полурешетка. Доказательство. Рассмотрим полурешетку $S$ из теоремы 1. Дополним $S$ новыми элементами $\theta< e$, считая $e< s$ для всех $s\in S$. Получаем полурешетку $S\cup \{\theta, e\}$ с нулем $\theta$. Она будет искомой допустимой полурешеткой. Действительно, зададим на полурешетке $S\cup \{\theta, e\}$ структуру коммутативного идемпотентного полукольца, считая $S\cup \{e\}$ моно-полукольцом с единицей $e$, а элемент $\theta$ – поглощающим по умножению $(x\cdot \theta=\theta\cdot x=\theta$ для любого $x\in S\cup \{\theta, e\})$. Замечание 2. Теоремы 1 и 2 можно доказать, опираясь на предложение 3, а именно, взять прямое произведение $\Pi S_{-n}$ конечных полурешеток $S_{-n}$ по всем натуральным числам $n$. И к недопустимой полурешетке $\Pi S_{-n}$ добавить соответственно $0$ или элементы $\theta$, $e$. Отметим, что полурешетка $\Sigma$ счетная, а полурешетка $\Pi S_{-n}$ имеет мощность континуума. В следующем замечании мы опираемся на известные факты теории мощностей множеств, которые можно найти в [3; гл. V и § 4, гл. VIII]. Замечание 3. Конструкцию примера 4 можно обобщить. Пусть $m$ – бесконечное кардинальное число (мощность). Вместо цепи $(-\mathbb N)$ рассмотрим цепь $L$, построенную следующим образом. Возьмем множество $L$ мощности $2^m$, вполне упорядочим его без наибольшего элемента (это можно сделать в силу теоремы Цермело) и введем на $L$ двойственный порядок. Получаем цепь $\langle L, \leqslant\rangle$ мощности $2^m$, без наименьшего элемента, каждое непустое подмножество которой имеет наибольший элемент. На любом множестве бесконечной мощности $k$ существует $2^k$ бинарных отношений, значит, на нем существует $\leqslant 2^k$ полурешеточных порядков. Мощность множества всех мощностей $\leqslant m$ имеет мощность $\leqslant$ наименьшей мощности $>m$, которая, конечно, $\leqslant 2^m$. Поэтому множество $X$ всевозможных полурешеток мощности $\leqslant m$, указанных с точностью до изоморфизма, имеет мощность $\leqslant 2^m$. Далее, взяв вместо каждой полурешетки из $X$ по $2^m$ ее экземпляров, получим множество $M$ мощности $2^m$. Упорядочим $M$ как $L$. Тогда каждая полурешетка $S\in M$ будет пронумерована индексом $l\in L\colon S=S_l$. Для каждого индекса $l\in L$ дополним $S_l$ пентагоном (или диамантом) $P$: на множестве $T_l=S_l\cup P$ сохраняем имеющиеся на $S_l$ и на $P$ полурешеточные порядки, а все элементы из $P$ считаем меньшими всех элементов из $S_l$. Обозначим через $\Xi$ ординальную сумму полурешеток $T_l$ по элементам $l$ цепи $L$. В результате получаем недопустимую (как и в примере 4) полурешетку $\Xi$ мощности $2^m$, содержащую в качестве подполурешеток – с точностью до изоморфизма – все полурешетки мощности $\leqslant m$. Авторы выражают благодарность профессору Е. М. Вечтомову за постановку задачи и обсуждение полученных результатов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{PetShk24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|