| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Равномерно выпуклые конус-пространства и свойства выпуклых множеств в них И. Г. Царьковab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624090372 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеВ этой работе нас будут интересовать свойства аппроксимирующих множеств в конус-пространствах. В частности, мы перенесем понятие равномерно выпуклого пространства со случая несимметричного линейного пространства на случай несимметричного конус-пространства. С тематикой линейных несимметрично нормированных пространств можно ознакомиться по работам [1]–[5]. С вопросами и проблематикой геометрической теории приближения в несимметричных пространствах можно ознакомиться по работам [6]–[28]. Отметим, что класс несимметричных пространств, являющийся важным и полезным расширением класса линейных нормированных пространств, имеет многочисленные приложения в задачах теории аппроксимации, вариационного исчисления, теоретической информатики и математической экономики. Дальнейший шаг в изучении разичных приложений это переход к конус-пространствам (см. [29]). Пусть в линейном пространстве $X$ над полем $\mathbb{R}$ есть выпуклое множество $B$ со следующими свойствами:
С множеством $B$ свяжем расширенный функционал Минковского положив для всех $e\in X\setminus \{0\}$ его значение равным
$$
\begin{equation*}
\inf\bigl\{t\in \overline{\mathbb{R}}_+:=[0,+\infty]\mid tB\ni x\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если ни при каком конечном $t\geqslant 0$ точка $x$ не принадлежит множеству $tB$, то мы по определению считаем, что $p_B(x)=+\infty$. И, конечно, полагаем, что $p_B(0)=0$. Тем самым, формула задает на $X$ расширенную несимметричную полунорму (см. [14; с. 399]). Через $\mathbf{Z}$ будем обозначать множество всех таких векторов $e\in X$, для которых $\|e|<+\infty$; такие векторы будем называть значимыми. Множество $\mathbf{K}=\mathbf{K}(X)$, состоящее из векторов $te$ ($t\geqslant 0$, $e\in \mathbf{Z}$), будем называть конус-пространством для несимметричной полунормы $\|\cdot|$. Таким образом, $\mathbf{K}=\mathbf{Z}\cup \{0\}$. Через $\mathbf{L}$ обозначим максимальное линейное многообразие, состоящее из векторов $te$, $t\in \mathbb{R}$, $\pm e\in \mathbf{Z}$. Если $\|e|>0$ для всех ненулевых векторов $e\in \mathbf{Z}$, то расширенную несимметричную полунорму $\|\cdot|$ будем называть расширенной несимметричной нормой.По определению положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathring{B}:=\{x\in X\mid \|x|<1\}, \qquad \mathring{B}(x_0,r)=x_0+r\mathring{B}=\{x\in X\mid \|x-x_0|<r\}, \\ x_0\in X, \qquad r> 0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, {B}(x_0,r)=x_0+r {B}=\{x\in X\mid \|x-x_0|\leqslant r\}, \qquad S(x,r):={B}(x_0,r)\setminus \mathring{B}(x_0,r), \\ x_0\in X, \qquad r\geqslant 0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Через $S$ будем обозначать множество $S(0,1)$. Отметим, что в случае, когда $\|\cdot|$ – несимметричная норма, шар $B(0,1)$ состоит из отрезков вида $[0,x]$, где $x\in S$. Если же $\|\cdot|$ – несимметричная полунорма, то надо добавить все лучи $\{te\mid t\geqslant 0\} $, где $e\in \mathbf{K}$ – произвольный ненулевой вектор, для которого $\|e|=0$. На $X$ можно ввести топологию, порожденную шарами $\{\mathring{B}(x_0,r)\}_{x,r}$ как предбазой. Для непустого множества $A\subset X$ такого, что $A\cap \mathbf{K}_x\neq\varnothing$, где $\mathbf{K}_x=(\mathbf{K}+x)$, будем через $\varrho(x,A)$ будем обозначать величину В случае, когда $A\cap \mathbf{K}_x=\varnothing$, будем полагать, что $\varrho(x,A)=+\infty$. Ограниченным линейным функционалом $x^*\colon X\to \overline{\mathbb{R}}$ называется линейный функционал, удовлетворяющий неравенству $x^*(x)\leqslant C\|x|$ (для некоторого числа $C\geqslant 0$) при всех $x\in \mathbf{K}$. Несимметричная норма (полунорма) $\|x^*|_*$ ограниченного линейного функционала $x^*$ определяется так же, как и в работах [4], [5], т.е. как наименьшая из констант $C$, удовлетворяющая указанному неравенству при всех $x\in \mathbf{K}$. Через $S^*$ обозначим множество всех функционалов единичной несимметричной нормы. Обозначим через $\mathbf{L}^*$ множество всех линейных ограниченных функционалов, и через $S^*(\mathbf{L})$ – все линейные функционалы единичной (несимметричной) нормы в пространстве $\mathbf{L}^*$ (см. [4], [5]). Отметим кратко, какими свойствами обладает расширенная несимметричная норма (полунорма) $\|\cdot|\colon X\to \overline{\mathbb{R}}$ на линейном пространстве $X$:
Более естественным классом пространств, на котором имеет смысл рассматривать расширенную (несимметричную) норму, является класс полулинейных пространств. Определение 1. Множество $X$ будем называть полулинейным пространством (или конусом) над полем $\mathbb{R}$, если на этом множестве определены операции сложения элементов (векторов) и умножения их на неотрицательные числа и выполняются следующие свойства для произвольных $x,y,z\in X$ и $\alpha,\beta\in \mathbb{R}_+$: Примером полулинейного пространства может служить множество всех непустых выпуклых подмножеств некоторого линейного пространства над полем $\mathbb{R}$. Умножение непустого подмножества на действительное число состоит в умножении каждого элемента этого подмножества на это число. Сложением двух непустых подмножеств является по определению множество, состоящее из всех попарных сумм элементов этих подмножеств. В качестве расширенной (несимметричной) полунормы на таком полулинейном пространстве можно брать какое-нибудь из односторонних хаусдорфовых уклонений или хаусдорфово расстояние. В указанном полулинейном пространстве есть умножение векторов на $-1$, но результат не является обратным по сложению к исходному вектору. В данной работе мы рассмотрим вопросы существования и единственности элементов наилучшего приближения выпуклыми множествами в несимметричных равномерно выпуклых пространствах с расширенной нормой (теорема 1, следствие 1). В этих утверждениях мы установим также свойства минимизирующих последовательностей из выпуклых множеств, которые являются аналогами свойства аппроксимативной единственности в случае линейных нормированных пространств. А также докажем при определенных условиях непустоту пересечения вложенной последовательности непустых ограниченных замкнутых множеств (теорема 2). 2. Существование и единственность при приближении выпуклыми множествами в пространствах с несимметричной расширенной нормойОпределение 2. Последовательность $\{x_n\}\subset X$ называется фундаментальной (соответственно обратно фундаментальной), если для любого $\varepsilon>0$ существует $N\in \mathbb{N}$ такое, что $\|x_m-x_n|<\varepsilon$ (соответственно $\|x_n-x_m|<\varepsilon$) для всех $m\geqslant n\geqslant N$. Несимметричное пространство $X=(X,\|\cdot|)$ называется право- (соответственно лево-) полным, если для любой фундаментальной последовательности $\{x_n\}\subset X$ существует точка $x\in X$ такая, что $\|x-x_n|\to 0$ (соответственно $\|x_n-x|\to 0$) при $n\to\infty$. Право-полное пространство будем называть просто полным пространством. Несимметричное пространство $X=(X,\|\cdot|)$ называется обратно право- (соответственно лево-) полным, если для любой обратной фундаментальной последовательности $\{x_n\}\subset X$ существует точка $x\in X$ такая, что $\|x-x_n|\to 0$ (соответственно $\|x_n-x|\to 0$) при $n\to\infty$. Обратно право-полное пространство будем называть просто обратно-полным пространством. Замечание 1. Отметим, что если проcтранство $X=(X,\|\cdot|)$ является право- (лево-) полным, то зеркальное несимметричное пространство $X^-=(X,\|-\cdot|)$ является обратно лево- (право-) полным пространством. Замечание 2. Множество $N$ в несимметричном пространстве $X=(X,\|\cdot|)$ будет замкнутым (относительно топологии, порожденной открытыми шарами), если из условий $\{y_n\}\subset N$: $\|y_n-y|\to 0$, $n\to\infty$, вытекает, что $y\in N$. То есть обычная топологическая замкнутость равносильна секвенциальной замкнутости, поскольку для каждой точки существует счетная база окрестностей. Перейдем к определению равномерно выпуклых и локально равномерно выпуклых несимметричных пространств. Следуя [14; с. 14], положим Определение 3. Несимметричное проcтранство $X=(X,\|\cdot|)$ с расширенной несимметричной нормой $\|\cdot|$ называется равномерно выпуклым, если для любых $\varepsilon>0$ и $ a\in (0,1]$ существует $\delta>0$ такое, что для любых $f,g \in S$ из условия $\Delta(a)<\delta$ вытекает, что $f \in B(\mu g,\varepsilon)$ для некоторого $\mu\in [1-\varepsilon,1]$. Если же из оговоренных выше свойств вытекает, что $g \in B(\mu f,\varepsilon)$ для некоторого $\mu\in [1-\varepsilon,1]$, то пространство $X$ называется лево-равномерно выпуклым. Определение 4. Несимметричное проcтранство $X=(X,\|\cdot|)$ с расширенной несимметричной нормой $\|\cdot|$ назовем локально равномерно выпуклым, если для всех $g\in S$, $\varepsilon>0$ и $ a\in (0,1]$ существует $\delta>0$ такое, что для любых $f\in S$ из условия $\|f-ag|+a\|g|-\|f|<\delta$ вытекает, что $\|f-g|<\varepsilon$. Если же из оговоренных выше свойств следует, что $\|g-f|<\varepsilon$, то пространство $X$ называется лево-локально равномерно выпуклым. Отметим, что в линейных несимметричных пространствах равномерно выпуклое пространство является локально равномерно выпуклым. Для конус-пространств это, по-видимому, неверно. В работе [28] (см. предложение 3.1 и замечание 3.9) автором было получено следующее утверждение. Предложение A. Пусть $X=(X,\|\cdot|)$ – несимметричное локально равномерно выпуклое пространство с расширенной нормой $\|\cdot|$, $x\in S$, $x^*\in S^*$: $x^*(x)=1$. Тогда для любой последовательности $\{x_n\}\subset \mathbf{K}_x \cap \Pi$ такой, что $\|x_n|\to 1$, $n\to\infty$, где $ \Pi:=\{z\in X\mid x^*(z)\geqslant 1\}$ и $\mathbf{K}_x:=\mathbf{K}+x$, верно $\|x_n-x|\to 0$, $n\to\infty$. Аналогичное утверждение верно и для несимметричного равномерно выпуклого пространства $X=(X,\|\cdot|)$ с расширенной нормой $\|\cdot|$ в случае, когда $x\in S\cap \mathbf{L}$, $x^*\in S^*$: $x^*(x)= 1$. В последнем случае вместо условия $x\in S\cap \mathbf{L}$ можно предположить, что несимметричное равномерно выпуклое пространство дополнительно является и локально равномерно выпуклым пространством. Как всегда аксиомой Хаусдорфа (аксиомой $T_2$) будем называть следующее свойство: для любых различных точек $a,b\in X$ найдутся их непересекающиеся окрестности. Отметим также, что несимметричное пространство $(X,\|\cdot|)$ является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда зеркальное пространство $(X,\|-\cdot|)$ хаусдорфово. При доказательстве следующего утверждения используется техника, разработанная при доказательстве теоремы 1 из работы [14]. Теорема 1. Пусть $X=(X,\|\cdot|)$ – хаусдорфово полное равномерно выпуклое несимметричное пространство с расширенной нормой $\|\cdot|$, $x^*$ – ограниченный линейный функционал единичной (несимметричной) нормы. Тогда для множества $\Pi:=\{z\in X\mid x^*(z)\geqslant 1\}$ существует единственная ближайшая точка $x $ в множестве $\Pi$ для нуля, и если $x\in \mathbf{L}$ (или, дополнительно, $X$ – локально равномерно выпуклое пространство), то для любой последовательности $\{x_n \}\subset \mathbf{K}_x \cap \Pi$ такой, что $\|x_n|\to 1=\varrho(0,\Pi)$, $n\to\infty$, выполнено условие $\|x_n -x|\to 0$, $n\to\infty$, т.е. выполняется свойство аппроксимативной единственности. Доказательство. Возьмем произвольное число $\varepsilon\in (0,1)$ и рассмотрим последовательность чисел $\{\varepsilon_n:={\varepsilon}/{2^{n+2}}\}$. В силу равномерной выпуклости пространства $X$ для любого $\varepsilon\in (0,1)$ существует число $\delta=\delta(\varepsilon)\in (0,{\varepsilon}/{8})$ такое, что для любых $f,g\in S$ из условия вытекает, что $f,g\in B(\mu g,\varepsilon)$ для некоторого $\mu\in [1-\varepsilon,1]$.
Произведем построение последовательности $\{f_i\}_{i=0}^{\infty}\subset S$ по индукции. $1^\circ$. Пусть $\delta_1:=\delta(\varepsilon_1)$. Существуют элементы $f_0,f_1\in S$ такие, что $x^*(f_1),x^*(f_0)\geqslant 1-{\delta_1}/{100}$. Положим $g=f_0$, $f=(f_1+g)/{2}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
x^*(f)\geqslant 1-\frac{\delta_1}{100}, \qquad \biggl\|f-\frac{1}{2}g\biggr|+\frac{1}{2}\|g|=\frac{1}{2}\|f_1|+\frac{1}{2}\|g|=1=\|f_1|.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\beta_1\geqslant 1$ такое, что $\beta_1 f\in S$, тогда $1\geqslant x^*(\beta_1 f)=\beta_1 (1-{\delta_1}/100)$, следовательно,
$$
\begin{equation*}
1\leqslant\beta_1\leqslant \frac{1}{1-{\delta_1}/100}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда
$$
\begin{equation*}
0\leqslant\beta_1-1\leqslant \frac{{\delta_1}/100}{1-{\delta_1}/100}<\frac{\varepsilon_1}{4}
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит,
$$
\begin{equation*}
1=\|\beta_1 f|\leqslant \biggl\|\beta_1 f-\frac{1}{2}g\biggr|+\frac{1}{2}\|g| \leqslant \biggl\| f-\frac{1}{2}g\biggr|+\frac{1}{2}\|g|+(\beta_1-1)\|f|\leqslant 1+\frac{{\delta_1}/100}{1-{\delta_1}/100}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\beta_1 f-\frac{1}{2}g\biggr|+\frac{1}{2}\|g|-1\leqslant\frac{{\delta_1}/100}{1-{\delta_1}/100}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\beta_1 f,g\in B(\widehat{\mu}_1 g,\varepsilon_1)$ для некоторого $\widehat{\mu}_1\in [1-\varepsilon_1,1]$. Отсюда, учитывая, что $[f,({\widehat{\mu}_1}/{\beta_1})g]$ – средняя линия в треугольнике с вершинами $f_1$, $g$ и $(2{\widehat{\mu}_1}/{\beta_1}-1)g$, мы получим, что
$$
\begin{equation*}
\biggl\|f-\frac{\widehat{\mu}_1}{\beta_1}g\biggr|\leqslant \frac{\varepsilon_1}{\beta_1}, \quad\|f_1-\mu_1g|\leqslant 2 \frac{\varepsilon_1}{\beta_1} \leqslant 4\varepsilon_1, \qquad\text{где}\quad \mu_1=2\frac{\widehat{\mu}_1}{\beta_1}-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $f_1\in B(\mu_1 g,4 \varepsilon_1)$.
$2^\circ$. Пусть $\delta_k:=\min_{m=0,\dots,k}\delta(\varepsilon_{m+1})$ и построены элементы $f_0,\dots,f_{n-1}\in S$ такие, что
$$
\begin{equation*}
x^*(f_k)\geqslant 1-\frac{\delta_{k+1}}{100}, \qquad k=0,\dots,n-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Существует элемент
$$
\begin{equation*}
f_n\in S\colon\qquad x^*(f_{n}) \geqslant 1-\frac{\delta_{n+1}}{100}\geqslant 1-\frac{\delta_{n}}{100}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $g=f_{n-1}$, $f=(f_{n}+g){2}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
x^*(f)\geqslant 1-\frac{\delta_n}{100}, \qquad \biggl\|f-\frac{1}{2}g\biggr|+\frac{1}{2}\|g|=\frac{1}{2}\|f_n|+\frac{1}{2}\|g|=1=\|f_n|.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\beta_{n}\geqslant 1$ такое, что $\beta_{n} f\in S$, тогда $1\geqslant x^*(\beta_{n} f)=\beta_{n} (1-\delta_n/100)$, следовательно,
$$
\begin{equation*}
1\leqslant\beta_{n}\leqslant \frac{1}{1-\delta_n/100}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда
$$
\begin{equation*}
0\leqslant\beta_{n}-1\leqslant \frac{\delta_n/100}{1-\delta_n/100}<\frac{\varepsilon_n}{4},
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит,
$$
\begin{equation*}
1=\|\beta_{n} f|\leqslant \biggl\|\beta_n f-\frac{1}{2}g\biggr|+\frac{1}{2}\|g|\leqslant \biggl\| f-\frac{1}{2}g\biggr|+\frac{1}{2}\|g|+(\beta_{n}-1)\|f| =1+\frac{\delta_n/100}{1-\delta_n/100}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\beta_n f-\frac{1}{2}g\biggr|+\frac{1}{2}\|g|-1\leqslant\frac{\delta_n/100}{1-\delta_n/100}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\beta_{n} f,g\in B(\widehat{\mu}_{n} g,\varepsilon_{n})$ для некоторого $\widehat{\mu}_{n}\in [1-\varepsilon_{n},1]$. Отсюда
$$
\begin{equation*}
\biggl\|f-\frac{\widehat{\mu}_n}{\beta_n}g\biggr|\leqslant \frac{\varepsilon_n}{\beta_n}, \quad \|f_n-\mu_ng|\leqslant 2 \frac{\varepsilon_n}{\beta_n} \leqslant 4\varepsilon_n, \qquad\text{где}\quad \mu_n=2\frac{\widehat{\mu}_n}{\beta_n}-1,
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $f_{n}\in B(\mu_{n} g,4 \varepsilon_n)$.
$3^\circ$. Отметим, что на каждом шаге можно выбрать $\varepsilon_{n+1}$ настолько близким к нулю, чтобы произведение $\prod_{k=1}^\infty\mu_k$ сходилось; в этом случае, конечно,
$$
\begin{equation*}
P_m:=\prod_{k=m+1}^\infty\mu_k\to 1, \qquad m\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\widehat{f}_k:=P_kf_k$, $k\in \mathbb{N}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\|\widehat{f}_{k+1}-\widehat{f}_k|=P_{k+1}\|f_{k+1}-\mu_{k+1} f_k|\leqslant \|f_{k+1}-\mu_{k+1} f_k|, \qquad k\in \mathbb{N} .
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, 1\geqslant \|\widehat{f}_k|\geqslant x^*(\widehat{f}_k)=P_k x^*({f}_k) \geqslant P_k\biggl(1-\frac{\delta_{n}}{100}\biggr)\to 1, \qquad k\to\infty, \\ \sum_{k= m}^{n}\|\widehat{f}_{k+1}-\widehat{f}_k |\leqslant 4\sum_{k= m}^{n}\frac{\varepsilon}{2^{k+2}}\to 0 \qquad\text{при}\quad n\to\infty. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, последовательность $\{\widehat{f}_n\}$ фундаментальна в полном пространстве $X$, а следовательно, существует элемент $x\in X$ такой, что $\|x -\widehat{f}_n|\to 0$, $n\to\infty$. Отсюда из замечания 3.5 работы [28] вытекает, что $x\in S$ и $x^*(x)=1$.
Докажем, что Действительно, если существует $g\in S\setminus \{x\}$: $x^*(g)=1$, то отрезок $[g,x]\subset B(0,1)\cap \Pi$ содержится в $S$ и состоит из ближайших точек из $\Pi$ для нуля. Тогда $f_0:=(g+x)/{2}\in S$ и
$$
\begin{equation*}
\biggl\|f_0-\frac{1}{2}x\biggr|+\frac{1}{2}\|x|-\|f_0|=\frac{1}{2}\|g|+\frac{1}{2}\|x|-\|f_0|=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Откуда $\|f_0-\mu x|<\varepsilon$ для любого $\varepsilon>0$ и некоторого $\mu\in [1-\varepsilon,1]$. Аналогично $\|x-\lambda f_0|<\varepsilon$ для любого $\varepsilon>0$ и некоторого $\lambda\in [1-\varepsilon,1]$. Пусть $z_{\lambda,\mu}$ – точка пересечения отрезков $[f_0,\mu x]$ и $[x,\lambda f_0]$, тогда $\|f_0-z_{\lambda,\mu}|\leqslant \|f_0-\mu x|\to 0$ и $\|x- z_{\lambda,\mu}|\leqslant \|x-\lambda f_0 |\to 0$ при $\lambda,\mu\to 1$, что противоречит хаусдорфовости зеркального пространства $(X,\|-\cdot|)$. Следовательно, $g=x$.
В силу предложения A для любой последовательности $\{x_n \}\subset \mathbf{K}_x \cap \Pi$ такой, что $\|x_n|\to 1=\varrho(0,\Pi)$, $n\to\infty$, выполнено условие $\|x_n -x|\to 0$, $n\to\infty$. Теорема доказана. Замечание 3. В теореме 1 свойство хаусдорфовости пространства $X$ можно заменить на свойство полунепрерывности снизу несимметричной нормы, т.е. предположить, что из условия $\|a_n-a|\to 0$ вытекает, что $\|a|\leqslant \liminf_{n\to\infty}\|a_n|$. Замечание 4. Если $X=(X,\|\cdot|)$ – право-полное равномерно выпуклое несимметричное пространство (не обязательно хаусдорфово) с расширенной нормой $\|\cdot|$, $x^*$ – ограниченный линейный функционал единичной (несимметричной) нормы, то для множества $\Pi:=\{z\in X\mid x^*(z)\geqslant 1\}$ существует ближайшая точка $x $ для нуля в множестве $\Pi$. При этом, конечно, $x^*(x)=1$. Следствие 1. Пусть $X=(X,\|\cdot|)$ – несимметричное хаусдорфово равномерно выпуклое право-полное пространство с расширенной нормой $\|\cdot|$, $x\in X$, $N\subset X$ – такое непустое замкнутое выпуклое подмножество, что $N\subset (\mathbf{L}+x)$ (или дополнительно $X$ локально равномерно выпуклое пространство и $N\cap (\mathbf{L}+x)$ всюду плотно в $N$, т.е. правое замыкание $N\cap (\mathbf{L}+x)$ содержит $N$). Тогда существует единственная ближайшая точка $y\in N$ для $x$ в множестве $N $ (т.е. $\|y-x|=\varrho(x,N))$, и для любой (минимизирующей) последовательности $\{y_n\}\subset N \cap \mathbf{K}_x$ (т.е. такой, что $\|y_n-x|\to\varrho(x,N) $, $n\to\infty$) выполнено условие $\|y_n-y|\to 0$, $n\to\infty$. Последнее означает, что выполняется свойство аппроксимативной единственности. Доказательство. Без потери общности, делая при необходимости параллельный сдвиг, будем считать, что $x=0$. Достаточно рассмотреть случай $x=0\in X\setminus N$. При этом, осуществив подходящую гомотетию, будем полагать, что $\varrho(x,N)=1$. По теореме 3.2 из работы [28] существует линейный функционал $x^*\in S^*$, разделяющий шар $\mathring{B}(0,1)$ и множество $N$, т.е. $N\subset \Pi:=\{y\in X\mid x^*(y)\geqslant 1\}$. По теореме 1 существует единственный элемент $y\in \Pi$ такой, что $\|y-x|=\varrho(0,\Pi)$ и для любой последовательности верно соотношение $\|y_n-y|\to 0$, $n\to\infty$. В силу замкнутости множества $N$ точка $y$ принадлежит $N$. Следствие доказано. Замечание 5. Если $X=(X,\|\cdot|)$ – право-полное равномерно выпуклое несимметричное пространство (не обязательно хаусдорфовое) с расширенной нормой $\|\cdot|$, $x\in X$, $N\subset X$ – такое непустое замкнутое выпуклое подмножество, что $N\subset (\mathbf{L}+x)$ (или дополнительно $X$ локально равномерно выпуклое пространство и $N\cap (\mathbf{L}+x)$ всюду плотно в $N$, т.е. правое замыкание $N\cap (\mathbf{L}+x)$ содержит $N$). Тогда существует ближайшая для $x$ в множестве $N$ точка $y\in N$ такая, что $\|y-x|=\varrho(x,N)$. Фактически повторяя идеи теоремы 2 и следствия 2 из работы [18], аналогично теореме 1 и следствию 1 этой работы, мы получим следующее утверждение. Предложение 1. Пусть $N$ – такое непустое замкнутое выпуклое подмножество в несимметричном хаусдорфовом равномерно выпуклом лево-полном пространстве $X=(X,\|\cdot|)$ с расширенной нормой $\|\cdot|$, что $N\subset (\mathbf{L}+x)$ и $x\in X$. Тогда существует единственная точка $y\in N$ (ближайшая для $x$ в множестве $N$) такая, что $\|y-x|=\varrho(x,N)$. 3. Вложенная последовательность ограниченных выпуклых замкнутых множествВ доказательстве следующего утверждения мы будем использовать идеи, развитые в работе [14; теорема 2]. Результат, полученный для несимметричных линейных пространств в указанной теореме, мы перенесем на случай конус-пространств. Теорема 2. Пусть $X=(X,\|\cdot|)$ – хаусдорфово лево-полное равномерно выпуклое несимметричное конус-пространство, $\{N_k\}$ – вложенная последовательность непустых выпуклых ограниченных (т.е. содержащихся в некотором шаре с центром в нуле) замкнутых множеств, для которых $N_k\cap \mathbf{L}$ всюду плотно в $N_k$, $k\in \mathbb{N}$. Тогда пересечение $N:=\bigcap_{k=1}^\infty N_k$ непусто. Доказательство. Без потери общности будем считать, что $0\notin N_1$. Из условия вложенности множеств $\{N_k\}$ последовательность $\{\varrho_k:=\varrho(0,N_k)\}$ в нестрогом смысле возрастает и ограничена в силу ограниченности множеств из $\{N_k\}$. Поэтому последовательность $\{\varrho_k:=\varrho(0,N_k)\}$ имеет конечный предел $\varrho$. Без потери общности будем считать, что $\varrho=1$. Отметим, что в силу предложения 1 для точки нуль ближайшая точка из множества $N_k$ существует и единственна для всех $k$.
По определению равномерной выпуклости пространства $X$ для любого $\varepsilon\in (0,1)$ найдется число $\delta=\delta(\varepsilon)\in (0,{\varepsilon}/{8})$ такое, что для любых $f,g\in S$ из условия
$$
\begin{equation*}
0\leqslant \biggl\|f-\frac{1}{2}g\biggr|+\frac{1}{2}\|g|-\|f|<\delta(\varepsilon)
\end{equation*}
\notag
$$
вытекает, что $f,g\in B(\mu g,\varepsilon)$ для некоторого $\mu\in [1-\varepsilon,1]$. Возьмем произвольное число $\varepsilon\in (0,1)$ и рассмотрим последовательность чисел $\{\varepsilon_n:={\varepsilon}/{2^{n+2}}\}$.
Существует подпоследовательность множеств $\{N_{k_n}\}_{n=0}^\infty$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\varrho_{k_n}\geqslant 1-\frac{\delta(\varepsilon_n/2)}{200}.
\end{equation*}
\notag
$$
Перенумеруем эту последовательность множеств и последовательность чисел $\{\varrho_{k_n}\}$ и будем обозначать последовательности соответственно как $\{N_n\}$ и $\{\varrho_n\}$. По теореме 3.2 из работы [28] существует последовательность линейных ограниченных функционалов $\{x^*_n\}\subset S^*$, разделяющих соответственно шары $B(0,1-{\delta(\varepsilon_n/2)}/100)$ и множества $N_n$, $n\in \mathbb{Z}_+$.
Далее, построим последовательность $\{f_n\}_{n=0}^{\infty}\subset S$ при помощи математической индукции. $1^\circ$. Возьмем $\delta_1:=\delta(\varepsilon_1/2)$. Найдутся ближайшие элементы $\psi_0$ и $\psi_1$ для нуля соответственно в множествах $N_0$ и $N_1$, т.е. $ \|\psi_0|=\varrho_0$ и $\|\psi_1|=\varrho_1$. Пусть
$$
\begin{equation*}
f_0:=\varrho_0^{-1}\psi_0, \qquad f_1:=\varrho_1^{-1}\psi_1\in S,
\end{equation*}
\notag
$$
тогда $x^*_0(f_1),x^*_0(f_0)\geqslant 1-{\delta_1}/100$. Возьмем $g=f_0$, $f=(f_1+g)/{2}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
x^*_0(f)\geqslant 1-\frac{\delta_1}{100}, \qquad\text{и}\qquad \biggl\|f-\frac{1}{2}g\biggr|+\frac{1}{2}\|g|=\frac{1}{2}\|f_1|+\frac{1}{2}\|g|=1=\|f_1|.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\beta_1\geqslant 1$ такое, что $\beta_1 f\in S$, тогда $1\geqslant x^*_0(\beta_1 f)=\beta_1 (1-{\delta_1}/100)$, и
$$
\begin{equation*}
1\leqslant\beta_1\leqslant \frac{1}{1-{\delta_1}/100}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
0\leqslant\beta_1-1\leqslant \frac{{\delta_1}/100}{1-{\delta_1}/100}<\frac{\varepsilon_1}{4}
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит,
$$
\begin{equation*}
1=\|\beta_1 f|\leqslant \biggl\|\beta_1 f-\frac{1}{2}g\biggr|+\frac{1}{2}\|g| \leqslant \biggl\| f-\frac{1}{2}g\biggr|+\frac{1}{2}\|g|+(\beta_1-1)\|f|\leqslant 1+\frac{{\delta_1}/100}{1-{\delta_1}/100}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\beta_1 f-\frac{1}{2}g\biggr|+\frac{1}{2}\|g|-1\leqslant\frac{{\delta_1}/100}{1-{\delta_1}/100},
\end{equation*}
\notag
$$
и $\beta_1 f,g\in B(\widehat{\mu}_1 g,\varepsilon_1)$ для некоторого $\widehat{\mu}_1\in [1-\varepsilon_1/2,1]$. Отсюда, учитывая, что $[f,({\widehat{\mu}_1}/{\beta_1})g]$ – средняя линия в треугольнике с вершинами $f_1$, $g$ и $(2{\widehat{\mu}_1}/{\beta_1}-1)g$, мы получим, что
$$
\begin{equation*}
\biggl\|f-\frac{\widehat{\mu}_1}{\beta_1}g\biggr|\leqslant \frac{\varepsilon_1}{\beta_1}, \quad \|f_1-\mu_1g|\leqslant 2 \frac{\varepsilon_1}{\beta_1} \leqslant 4\varepsilon_1, \qquad \text{где}\quad \mu_1=2\frac{\widehat{\mu}_1}{\beta_1}-1\in [1-\varepsilon_1,1],
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $f_1\in B(\mu_1 g,4 \varepsilon_1)$.
Тогда
$$
\begin{equation*}
\|f_1-(1-\varepsilon_1)g|\leqslant \|f_1-\mu_1g|+\|\mu_1g-(1-\varepsilon_1)g|\leqslant 4 \varepsilon_1 + \varepsilon_1=5\varepsilon_1
\end{equation*}
\notag
$$
и $f_1\in B(\mu_1 g, 5\varepsilon_1)$, где $\mu_1$ будем считать равным $1-\varepsilon_1$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\psi_1\in B(\mu_1\varrho_1 g,5 \varepsilon_1\varrho_1)= B\biggl(\frac{\mu_1\varrho_1}{\varrho_0} \psi_0,5 \varepsilon_1\varrho_1\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
$2^\circ$. Положим $\delta_k:=\min_{m=0,\dots,k}\delta(\varepsilon_{m+1}/2)$, $k=0,\dots,n$, и пусть построены элементы
$$
\begin{equation*}
f_0,\dots,f_{n-1}\in S\colon \qquad x^*(f_k)\geqslant 1-\frac{\delta_{k+1}}{100}, \qquad k=0,\dots,n-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Найдется ближайший элемент $\psi_n$ для нуля в множестве $N_n$, т.е. $ \|\psi_n|=\varrho_n$. Пусть $f_n:=\varrho_n^{-1}\psi_n \in S$, тогда
$$
\begin{equation*}
x^*_n(f_{n}) \geqslant 1-\frac{\delta_{n+1}}{100}\geqslant 1-\frac{\delta_{n}}{100}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $g=f_{n-1}$, $f=(f_{n}+g)/{2}$ верны соотношения
$$
\begin{equation*}
x^*_{n-1}(f)\geqslant 1-\frac{\delta_n}{100}, \qquad \biggl\|f-\frac{1}{2}g\biggr|+\frac{1}{2}\|g|=\frac{1}{2}\|f_n|+\frac{1}{2}\|g|=1=\|f_n|.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\beta_{n}\geqslant 1$ такое, что $\beta_{n} f\in S$, тогда $1\geqslant x^*(\beta_{n} f)=\beta_{n} (1-\delta_n/100)$, и
$$
\begin{equation*}
1\leqslant\beta_{n}\leqslant \frac{1}{1-\delta_n/100}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда
$$
\begin{equation*}
0\leqslant\beta_{n}-1\leqslant \frac{\delta_n/100}{1-\delta_n/100}<\frac{\varepsilon_n}{4}
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит,
$$
\begin{equation*}
1=\|\beta_{n} f|\leqslant \biggl\|\beta_n f-\frac{1}{2}g\biggr|+\frac{1}{2}\|g|\leqslant \biggl\| f-\frac{1}{2}g\biggr|+\frac{1}{2}\|g|+(\beta_{n}-1)\|f|\leqslant 1+\frac{\delta_n/100}{1-\delta_n/100}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\beta_n f-\frac{1}{2}g\biggr|+\frac{1}{2}\|g|-1\leqslant\frac{\delta_n/100}{1-\delta_n/100},
\end{equation*}
\notag
$$
и $\beta_{n} f,g\in B(\widehat{\mu}_{n} g,\varepsilon_{n})$ для некоторого $\widehat{\mu}_{n}\in [1-\varepsilon_{n}/2,1]$. Отсюда, учитывая, что $[f,({\widehat{\mu}_n}/{\beta_n})g]$ – средняя линия в треугольнике с вершинами $f_n$, $g$ и $(2{\widehat{\mu}_n}/{\beta_n}-1)g$, мы получим, что
$$
\begin{equation*}
\biggl\|f-\frac{\widehat{\mu}_n}{\beta_n}g\biggr| \leqslant \frac{\varepsilon_n}{\beta_n}, \quad \|f_n-\mu_ng|\leqslant 2 \frac{\varepsilon_n}{\beta_n} \leqslant 4\varepsilon_n, \qquad \text{где}\quad \mu_n=2\frac{\widehat{\mu}_n}{\beta_n}-1\in [1-\varepsilon_{n},1],
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $f_{n}\in B(\mu_{n} g,4 \varepsilon_n)$. Так же, как в пункте $1^\circ$, беря в качестве $\mu_n$ число $1-\varepsilon_n$, мы получим, что $f_{n}\in B(\mu_{n} g,5\varepsilon_n)$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\psi_n\in B(\mu_n\varrho_n g,5 \varepsilon_n\varrho_n)= B\biggl(\frac{\mu_n\varrho_n}{\varrho_{n-1}} \psi_{n-1},5 \varepsilon_n\varrho_n\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что в силу выбора $\varrho_n$ число ${\mu_n\varrho_n}/{\varrho_{n-1}} $ меньше 1 (напоминаем, что $\mu_{n}=1-\varepsilon_n$).
$3^\circ$. Отметим, что на каждом шаге можно выбрать $\varepsilon_{n+1}$ настолько близко к нулю, чтобы произведение $\prod_{k=1}^\infty\mu_k$ сходилось; в этом случае, конечно,
$$
\begin{equation*}
P_m:=\prod_{k=m+1}^\infty\frac{\mu_k\varrho_k}{\varrho_{k-1}}\to 1, \qquad m\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\widehat{\psi}_k:=P_k\psi_k$, $k\in \mathbb{N}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\|\widehat{\psi}_{k+1}-\widehat{\psi}_k|=P_{k+1}\biggl\|\psi_{k+1}-\frac{\mu_{k+1}\varrho_{k+1}}{\varrho_{k}} \psi_k\biggr| \leqslant \biggl\|\psi_{k+1}-\frac{\mu_{k+1}\varrho_{k+1}}{\varrho_{k}} \psi_k\biggr|, \qquad k\in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\sum_{k= m}^{n}\|\widehat{\psi}_{k+1}-\widehat{\psi}_k | \leqslant 5\sum_{k= m}^{n}\frac{\varepsilon}{2^{k+2}}\to 0 \qquad \text{при}\quad n\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда вытекает, что последовательность $\{\widehat{\psi}_n\}$ фундаментальна в лево-полном пространстве $X$, поэтому существует элемент $x\in X$ такой, что $\|\widehat{\psi}_n -x|\to 0$, $n\to\infty$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\|{\psi}_n -x \|\leqslant \|{\psi}_n-P_n{\psi}_n|+\|P_n{\psi}_n-x|= (1-P_n)\|{\psi}_n|+\|\widehat{\psi}_n-x|\to 0, \qquad n\to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда в силу замкнутости множества $N:=\bigcap_{k=1}^\infty N_k$ вытекает, что точка $x$ принадлежит этому множеству. Таким образом, множество $N$ не пусто. Теорема доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tsa24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|