| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения О существовании слабых решений дробной модели Кельвина–Фойгта А. В. Звягин Воронежский государственный университет
Английская версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624070113 
Реферативные базы данных:
 ВведениеВ ограниченной области $\Omega\in\mathbb R^n$, $n=2,3$, с границей класса $C^2$ и на промежутке времени $[0,T]$, $T>0$, рассматривается начально–краевая задача:
$$
\begin{equation}
\begin{split} &\frac{\partial v}{\partial t}+\sum_{i=1}^nv_i\,\frac{\partial v}{\partial x_i} -\mu_0\Delta v-\mu_1\,\frac{\partial\Delta v}{\partial t} -2\mu_1\operatorname{Div} \biggl(\sum_{i=1}^nv_i\,\frac{\partial\mathscr E(v)}{\partial x_i}\biggr) \\ &\qquad{}-\frac{\mu_1}{\Gamma(1-\alpha)}\operatorname{Div} \int_0^t(t-s)^{-\alpha}\mathscr E(v)(s,z(s;t,x))\,ds+\nabla p=f, \end{split}
\end{equation}
\tag{1}
$$
$$
\begin{equation}
z(\tau;t,x)=x+\int_t^\tau v(s,z(s;t,x))\,ds,\qquad t,\tau\in[0,T],\quad x\in\Omega,
\end{equation}
\tag{2}
$$
$$
\begin{equation}
\operatorname{div}v(t,x)=0,\qquad t\in[0,T],\quad x\in\Omega,
\end{equation}
\tag{3}
$$
Здесь $v(x,t)=(v_1,\dots,v_n)$ – вектор–функция скорости движения частицы среды, $p=p(x,t)$ – функция давления, $f=f(x,t)$ – функция плотности внешних сил; $z(\tau,t,x)$ – траектория частицы среды, $\mu_0,\mu_1>0$, $0<\alpha<1$ – некоторые константы;
$$
\begin{equation*}
\mathscr E(v)=(\mathscr E_{ij}(v))_{j=1,\dots,n}^{i=1,\dots,n}, \qquad \mathscr E_{ij}(v)=\frac{1}{2}\biggl(\dfrac{\partial v_i}{\partial x_j} +\frac{\partial v_j}{\partial x_i}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
– тензор скоростей деформаций; $\Gamma(1-\alpha)$ – гамма-функция Эйлера, определяемая через абсолютно сходящийся интеграл $\Gamma(1-\alpha)=\int_0^\infty t^{-\alpha}e^{-t}\,dt$ (см. [1]). Данная математическая модель возникла при изучение движения воды при добавлении в нее небольшого количество полимеров. В таких средах равновесное состояние устанавливается не мгновенно после изменения внешних условий, а с некоторым запаздыванием, которое характеризуется значением времени релаксации. Это запаздывание объясняется процессами внутренней перестройки. Отметим, что первая теоретическая модель движения водного раствора полимеров, учитывающая их релаксационные свойства, была сформулирована в работе Войткунского, Амфилохиева и Павловского [2]. Авторы исходили из варианта модели максвелловского типа для вязкоупругой жидкости. Затем в работе Павловского [3] эта модель была упрощена и использовалась для описания турбулентного пограничного слоя в предельном случае малых времен релаксации. Поэтому рассматриваемая в работе модель также иногда называют моделью Павловского [4]. Реологическое соотношение для данной математической модели было предложено в работе [5], где рассматривалась механическая модель параллельного соединения элементов модели Ньютона ($\mu_0\dot{e}$) и элементов модели Скотта Блэрома ($\mu_1D_{0t}^\beta e$, см. [6]), где $e$ – тензор деформации. При построение данной механической модели использовали дробную производную Капуто
$$
\begin{equation*}
D^\alpha_{0t}\varphi=I_{0t}^{1-\alpha}\frac{d}{dt}\varphi(\tau) =\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \int_0^t(t-\tau)^{-\alpha}\frac{d}{dt}\varphi(\tau)\,d\tau
\end{equation*}
\notag
$$
порядка $\alpha\in(0,1)$ для функции $\varphi(t)$, $t\in[0,T]$ (см. [1]). Здесь $I_{0t}^{1-\alpha}$ – дробный интеграл. Таким образом, получается следующее реологическое соотношение: $\sigma=\mu_0\dot e+\mu_1D_{0t}^\alpha e$. Переходя от тензора деформации $e$ к тензору скоростей деформации $\mathscr E(v)=\dot e$, в работе [7] показано, что получается следующее реологическое соотношение называемое дробной моделью Кельвина–Фойгта:
$$
\begin{equation*}
\sigma=\mu_0\mathscr E(v)+\mu_1\,\frac{d\mathscr E(v)}{dt} +\mu_1I_{0t}^{1-\alpha}\mathscr E(v) =\mu_0\mathscr E(v)+\mu_1\,\frac{d\mathscr E(v)}{dt} +\frac{\mu_1}{\Gamma(1-\alpha)} \int_0^t(t-s)^{-\alpha}\mathscr E(v)(s,x)\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Наличие интегрального слагаемого в (1) отражает учет памяти сплошной среды. Различные модели с памятью возникали и изучались в большом числе работ (см., например, [8]). Но, как правило, математические постановки рассматривали вклад памяти при постоянном значении пространственной переменной $x$ (см. [9], [10]). На практике такие модели абсолютно “не физичны”. Память среды необходимо учитывать вдоль траектории движения частицы (данное замечание было предложено в работе [11]). Таким образом, реологическое соотношение необходимо уточнить:
$$
\begin{equation*}
\sigma=\mu_0\mathscr E(v)+\mu_1\,\frac{d\mathscr E(v)}{dt} +\frac{\mu_1}{\Gamma(1-\alpha)} \int_0^t(t-s)^{-\alpha}\mathscr E(v)(s,z(s;t,x))\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $z(s;t,x)$ – траектория частицы среды, указывающая в момент времени $s$ расположение частицы среды, находящейся в момент времени $t$ в точке $x$. Данная траектория $z$ определяется полем скоростей $v$ уравнением (2). Изучаемая начально–краевая задача (1)–(4) получается подстановкой полученного реологического соотношения в систему уравнений движения однородной несжимаемой среды с постоянной плотностью. Заметим, слабая разрешимость частного случая рассматриваемой задачи (дробная альфа–модель Фойгта) была доказана в работах [12], [13]. Также частный случай рассматриваемой задачи, связывающий слабые решения модели Кельвина–Фойгта и слабые решения модели движения вязкоупругих сред с памятью, рассмотрен в работах [14], [15]. Целью данной работы является продолжение исследований математических моделей, описывающих движение вязкоупругих сред с памятью, и установление слабой разрешимости начально–краевой задачи (1)–(4). Определение слабого решения и основной результатЧерез $L_p(\Omega)$, $1\leqslant p<\infty$ обозначим пространство измеримых по мере Лебега вещественных функций на $\Omega$ абсолютно интегрируемых с $p$-й степенью. Через $W_p^m(\Omega)$, $m\geqslant 1$, $p\geqslant 1$, обозначим пространства Соболева. $C^\infty_0(\Omega)$ – пространство бесконечно дифференцируемых вектор–функций с компактным носителем. Обозначим $\mathscr V=\{v\colon v(x)\in C^\infty_0(\Omega),\,\operatorname{div}v=0\}$. Через $V^0$ обозначим замыкание $\mathscr V$ по норме пространства $L_2(\Omega)$, через $V^1$ замыкание по норме $W_2^1(\Omega)$ и $V^2=W_2^2(\Omega)\cap V^1$. Введем шкалу пространств $V^\beta$, $\beta\in\mathbb R$ (см. [16; § 4.2]). Для этого рассмотрим проектор Лере $P\colon L_2(\Omega)\to V^0$ и оператор $A=-P\Delta$, определенный на $D(A)=V^2$. Этот оператор может быть продолжен в $V^0$ до замкнутого оператора, который является самосопряженным положительным оператором с компактным обратным. Пусть $0<\lambda_1\leqslant\lambda_2\leqslant\dotsb\leqslant\lambda_k\leqslant\dotsb$ – собственные значения оператора $A$. В силу теоремы Гильберта о спектральном разложении компактных операторов, собственные функции $\{e_j\}$ оператора $A$ образуют ортонормированный базис в $V^0$. Обозначим через
$$
\begin{equation*}
E_\infty=\biggl\{v=\sum_{j=1}^nv_je_j\colon v_j\in\mathbb R,\,n\in\mathbb N\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
множество конечных линейных комбинаций, составленных из $e_j$ и определим пространство $V^\beta$, $\beta\in\mathbb R$, как пополнение $E_\infty$ по норме $\|v\|_{V^\beta}=\bigl(\sum_{k=1}^\infty\lambda_k^\beta|v_k|^2\bigr)^{1/2}$, где $v=\sum_{k=1}^\infty v_ke_k$. В [17] показано, что на пространстве $V^\beta$, $\beta>-1/2$, данная норма эквивалентна обычной норме $\|\cdot\|_{W_2^\beta(\Omega)}$ пространства $W_2^\beta(\Omega)$. Далее, через $V^{-\beta}=(V^\beta)^*$, $\beta\in\mathbb N$, будем обозначать сопряженное пространство к $V^\beta$. Определим пространство, в котором будет доказана разрешимость поставленной задачи:
$$
\begin{equation*}
W_1=\bigl\{v\colon v\in L_\infty(0,T,V^1),\,v'\in L_2(0,T,V^{-1})\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, для корректной постановки начально–краевых задач необходимо, чтобы траектории $z$ однозначно определялись полем скоростей $v$, другими словами, чтобы уравнение (2) имело единственное решение для поля скоростей $v$. Однако существование решений уравнения (2) при фиксированном $v$ известно лишь в случае $v\in L_1(0,T;C(\overline\Omega))$ и это решение единственно для $v\in L_1(0,T;C^1(\overline\Omega))$ таких, что $v|_{(0,T)\times\partial\Omega}=0$ (см., например, [9]). Поэтому даже для сильных решений, частные производные которых, входящие в уравнение (2), содержатся в $L_2(0,T,L_2(\Omega))$, траектории движения не определяются однозначно. Один из возможных выходов из этой ситуации – это регуляризация поля скоростей в каждый момент времени $t$ с помощью усреднения по переменной $x$ и определение траекторий $z(\tau,t,x)$ для регуляризованного поля скоростей (см. [10]). Однако сравнительно недавно (см., например, [18]–[20]) была исследована разрешимость интегральной задачи Коши (2) в случае, когда скорость $v$ принадлежит пространству Соболева, и установлены существование, единственность и устойчивость регулярных лагранжевых потоков – обобщения понятия классического решения. Определение 1. Регулярным лагранжевым потоком (РЛП), порожденным $v$, называется функция $z(\tau,t,x)$, $(\tau,t,x)\in[0,T]\times[0,T]\times\overline\Omega$, которая удовлетворяет следующим условиям: Теорема 1. Пусть $v\in L_1(0,T;W_p^1(\Omega))$, $1\leqslant p\leqslant\infty$, $\operatorname{div}v(t,x)=0$, $(t,x)\in[0,T]\times\Omega$ и $v|_{[0,T]\times\partial\Omega}=0$. Тогда существует единственный РЛП $z\in C(D;L)$, порожденный $v$, где $C(D;L)$ – банахово пространство непрерывных функций на $D=[0,T]\times[0,T]$ со значениями в $L$ – метрическом пространстве измеримых на $\Omega$ вектор–функций. Более того, $z(\tau;t,\overline\Omega)\subset\overline\Omega$ с точностью до множества меры нуль и при п.в. $x\in\Omega$. Таким образом, в силу теоремы 1 для каждого $v\in L_2(0,T;V^1)$ и для почти всех $x\in\Omega$ уравнение (2) имеет единственное решение $z(v)$ в классе РЛП. Сформулируем определение слабого решения для изучаемой начально–краевой задачи. Определение 2. Пусть $f\in L_2(0,T;V^{-1})$ и $v_0\in V^{1}$. Функция $v\in W_1$ называется слабым решением начально–краевой задачи (1)–(4), если она удовлетворяет при любом $\varphi\in V^3$ и при почти всех $t\in(0,T)$ равенству Основным результатом работы является следующая теорема. Теорема 2. Пусть $f\in L_2(0,T;V^{-1})$ и $v_0\in V^1$. Тогда начально–краевая задача (1)–(4) имеет хотя бы одно слабое решение $v\in W_1$. Доказательство теоремы основано на аппроксимационно-топологическом подходе к исследованию математических задач гидродинамики, разработанном профессором В. Г. Звягиным (см. [21]). Для этого вводится семейство вспомогательных уравнений, зависящих от малого параметра $\varepsilon>0$, доказываются априорные оценки решений и на основе теории топологической степени уплотняющих векторных полей доказывается существование слабых решений вспомогательной задачи. Далее, для доказательства разрешимости исходной задачи, на основе необходимых оценок устанавливается предельный переход. Схема доказательстваВведем семейство вспомогательных задач $(0\leqslant\xi\leqslant 1)$ с малым параметром $\varepsilon>0$: найти функцию $v\in W_2=\{v\colon v\in C([0,T,V^3]),\,v'\in L_2(0,T,V^3)\}$, удовлетворяющую для любого $\varphi\in V^3$ и почти всех $t\in(0,T)$ начальному условию $v|_{t=0}=v_0$ $(v_0\in V^3)$ и равенству
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_\Omega\,\frac{\partial v}{\partial t}\varphi\,dx -\int_\Omega\sum_{i,j=1}^nv_iv_j\,\frac{\partial\varphi_j}{\partial x_i}\,dx +\mu_0\int_\Omega\nabla v\colon\nabla\varphi\,dx +\mu_1\int_\Omega\nabla\biggl(\frac{\partial v}{\partial t}\biggr) \colon\nabla\varphi\,dx \nonumber \\ &\qquad{}-\varepsilon\int_\Omega\nabla \biggl(\Delta\biggl(\frac{\partial v}{\partial t}\biggr)\biggr) \colon\nabla(\Delta\varphi)\,dx -\mu_1\int_\Omega\sum_{i,j,k=1}^nv_k\,\frac{\partial v_i}{\partial x_j}\, \frac{\partial^2\varphi_j}{\partial x_i\,\partial x_k}\,dx \nonumber \\ &\qquad{}-\mu_1\int_\Omega\sum_{i,j,k=1}^nv_k\,\frac{\partial v_j}{\partial x_i}\, \frac{\partial^2\varphi_j}{\partial x_i\,\partial x_k}\,dx \nonumber \\ &\qquad{}+\frac{\mu_1\xi}{\Gamma(1-\alpha)}\operatorname{Div} \biggl(\int_0^t(t-s)^{-\alpha}\mathscr E(v)(s,z(v)(s;t,x))\,ds, \mathscr E(\varphi)\biggr)=\langle f\xi,\varphi\rangle. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6}
$$
Введем операторы и перепишем равенство (6) в операторном виде:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, J\colon V^3\to V^{-3}, \qquad \langle Jv,\varphi\rangle=\int_\Omega v\varphi\,dx, \quad v,\varphi\in V^3, \\ A\colon V^1\to V^{-1}, \qquad \langle Av,\varphi\rangle=\int_\Omega\nabla v\colon\nabla\varphi\,dx, \quad v,\varphi\in V^1, \\ N\colon V^3\to V^{-3}, \qquad \langle Nv,\varphi\rangle=\int_\Omega\nabla(\Delta v)\colon\nabla(\Delta\varphi)\,dx, \quad v,\varphi\in V^3, \\ B_1\colon L_4(\Omega)^n\to V^{-1}, \qquad \langle B_1(v),\varphi\rangle =\int_\Omega\sum_{i,j=1}^nv_iv_j\,\frac{\partial\varphi_j}{\partial x_i}\,dx, \quad v\in L_4(\Omega)^n, \quad\varphi\in V^1, \\ B_2\colon V^1\to V^{-3}, \qquad \langle B_2(v),\varphi\rangle =\int_\Omega\sum_{i,j,k=1}^nv_k\,\frac{\partial v_i}{\partial x_j}\, \frac{\partial^2\varphi_j}{\partial x_i\,\partial x_k}\,dx, \quad v\in V^1, \quad\varphi\in V^3, \\ B_3\colon V^1\to V^{-3}, \qquad \langle B_3(v),\varphi\rangle =\int_\Omega\sum_{i,j,k=1}^nv_k\,\frac{\partial v_j}{\partial x_i}\, \frac{\partial^2\varphi_j}{\partial x_i\,\partial x_k}\,dx, \quad v\in {V^1}, \quad\varphi\in V^3, \\ C\colon V^1\times CG\to V^{-1}, \qquad (C(v,z)(t),\varphi)=\biggl(\int_0^t(t-s)^{-\alpha}\mathscr E(v)(s,z(s;t,x))\,ds, \mathscr E(\varphi)\biggr), \\ L\colon W_2\to L_2(0,T;V^{-3})\times V^3, \qquad L(v)=\bigl((J+\varepsilon N+\mu_1 A)v',v|_{t=0}\bigr), \\ K\colon W_2\to L_2(0,T;V^{-3})\times V^3, \qquad K(v)=\bigl(\mu_0 Av-B_1(v)-\mu_1B_2(v)-\mu_1B_3(v),0\bigr), \\ G\colon W_2\to L_2(0,T;V^{-1})\times V^3, \qquad G(v)=\biggl(\frac{\mu_1}{\Gamma(1-\alpha)}\,C(v,z),0\biggr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, нахождение решения уравнения (6), удовлетворяющего начальному условию $v|_{t=0}=v_0$, эквивалентно нахождению решения следующего операторного уравнения: Для введенных операторов справедливы следующие свойства. Лемма 1. 1) Оператор $L\colon W_2\to L_2(0,T;V^{-3})\times V^3$ обратим и обратный оператор непрерывен. 2) Оператор $K\colon W_2\to L_2(0,T;V^{-3})\times V^3$ компактен. 3) Отображение $C\colon W_2\to L_2(0,T;V^{-3})\times V^3$ является $L$-уплотняющим по мере некомпактности Куратовского. Для решений операторного равенства (7) справедливы следующие априорные оценки. Теорема 3. Если $v\in W_2$ – решение операторного уравнения (7) для некоторого $\xi\in[0,1],$ тогда справедливы следующие оценки: В силу априорных оценок (8) все решения семейства уравнений (7) лежат в шаре $B_R\subset W_2$. Значит, определена теория топологической степени для уплотняющих векторных полей (см. [22], [23]), отличная от нуля. Следовательно, существует хотя бы одно решение $v\in W_2$ уравнения (7) при $\xi=1$. Отсюда вытекает, что аппроксимационная задача имеет хотя бы одно решение. В силу оценок (9) переходя к пределу в интегральном равенстве (6) при $\xi=1$ получаем, что предельная функция $v^*$ удовлетворяет интегральному равенству из определения слабого решения (5) и начальному условию. Это и завершает доказательство теоремы 2. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Zvy24} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|