| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Обобщенное одномерное преобразование Данкля в прямых задачах теории приближений В. И. Ивановabc a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики c Тульский государственный университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624070216 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеПусть $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ – пространство Шварца бесконечно дифференцируемых на $\mathbb{R}$ и быстро убывающих на бесконечности функций, $J_{\alpha}(x)$ – функция Бесселя первого рода порядка $\alpha\geqslant -1/2$, $j_{\alpha}(x)=2^{\alpha}\Gamma(\alpha+1)x^{-\alpha}J_{\alpha}(x)$ – нормированная функция Бесселя, $(\alpha)_n={\Gamma(\alpha+n)}/{\Gamma(\alpha)}=\alpha(\alpha+1)\cdots(\alpha+n-1)$ – символ Похгаммера. В 2012 г. Бен Саид, Кобаяши и Орстед [1] определили двупараметрическое $(k,a)$-обобщенное унитарное преобразование Фурье, которое в одномерном случае имеет вид
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}_{k,a}(f)(y)=c_{k,a}\int_{\mathbb{R}}b_{k,a}(xy)f(x)|x|^{2k+a-2}\,dx, \qquad a>0, \quad 2k+a-1>0,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $c_{k,a}^{-1}=2a^{\lambda}\Gamma(\lambda+1)$, $\lambda=(2k-1)/a$,
$$
\begin{equation*}
b_{k,a}(x)=j_{\lambda}\biggl(\frac{2}{a}|x|^{a/2}\biggr)+ \frac{\Gamma(\lambda+1)}{\Gamma(\lambda+1+2/a)}\,\frac{x}{(ai)^{2/a}} j_{\lambda+2/a}\biggl(\frac{2}{a}|x|^{a/2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
При $k=0$, $a=2$ оно совпадает с классическим преобразованием Фурье, а при $a= 2$ – с преобразованием Данкля (см. [2], [3]). Но при $a\neq 2$ обобщенное преобразование Фурье обладает деформационными свойствами (см. [4]) и не может в полной мере считаться двупараметрическим обобщением преобразования Данкля. Пусть $\lambda\geqslant -1/2$, $d\nu_{\lambda}(x)=(2^{\lambda+1}\Gamma(\lambda+1))^{-1}|x|^{2\lambda+1}\,dx$ – мера на $\mathbb{R}$, $1\leqslant p\leqslant \infty$, $L^{p}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ – лебегово пространство измеримых комплекснозначных функций с конечной нормой
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{p,d\nu_{\lambda}}=\biggl(\int_{\mathbb{R}}|f(x)|^p\,d\nu_{\lambda}(x)\biggr)^{1/p} <\infty, \qquad 1\leqslant p<\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
$L^{\infty}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})=C_b(\mathbb{R})$ – множество непрерывных ограниченных функций с нормой $\|f\|_{\infty}=\sup_{\mathbb{R}}|f(x)|$, $C^{\infty}(\mathbb{R})$ – множество бесконечно дифференцируемых функций, $C_{\Pi}^{\infty}(\mathbb{R})$ – множество бесконечно дифференцируемых функций, имеющих полиномиальный рост на бесконечности. В [4], [5], отправляясь от преобразования (1.1) при $a=2/(2r+1)$, $r\in\mathbb{Z}_+$, и $\lambda=(2r+1)(k-1/2)\geqslant -1/2$, с помощью замены переменной получено двупараметрическое семейство унитарных преобразований
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(x)=\int_{\mathbb{R}}f(x)e_{r,\lambda}(-xy) \,d\nu_{\lambda}(x)
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
с ядром
$$
\begin{equation}
e_{r,\lambda}(xy)=j_{\lambda}(xy)+i(-1)^{r}\frac{(xy)^{2r+1}}{2^{2r+1} (\lambda+1)_{2r+1}}j_{\lambda+2r+1}(xy).
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
При $r=0$ и $\lambda=k-1/2$ оно совпадает с преобразованием Данкля. Ядро (1.3) является ограниченной целой функцией экспоненциального типа по каждой переменной и справедливо вложение $\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\mathcal{S}(\mathbb{R}))\subset C^{\infty}(\mathbb{R})$. В этом смысле преобразование (1.2) не осуществляет деформацию гладкостных свойств функций. Но преобразование $\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)$ для $f\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$, к сожалению, может не иметь быстрого убывания на бесконечности. Точное описание инвариантного для преобразования $\mathcal{F}_{r}^{\lambda}$ подпространства бесконечно дифференцируемых функций получено в [4]. Пусть
$$
\begin{equation*}
\mathcal{S}_{0}(\mathbb{R})=\mathcal{S}(\mathbb{R}), \qquad \mathcal{S}_{r}(\mathbb{R})=\bigl\{f\in\mathcal{S}(\mathbb{R})\colon f^{(2s+1)}(0)=0,\, s=0,1,\dots,r-1\bigr\}, \quad r\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\mathcal{S}_{r}(\mathbb{R}))=\mathcal{S}_{r}(\mathbb{R}).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, преобразование (1.2) при $r\geqslant 1$ имеет свои особенности. Мы называем его $(r,\lambda)$-обобщенным преобразованием Данкля или просто обобщенным преобразованием Данкля. Помимо обобщенного преобразования Данкля обобщенный гармонический анализ Данкля на прямой со степенным весом $|x|^{2\lambda+1}$ [5] осуществляется c помощью дифференциального-разностного оператора, называемого обобщенным лапласианом Данкля,
$$
\begin{equation}
\Delta_{\lambda,r}f(x)=f''(x)+\frac{2\lambda+1}{x}f'(x) -(2r+1)\biggl(\lambda+r+\frac12\biggr)\frac{f(x)-f(-x)}{x^2}
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
и операторами обобщенного сдвига
$$
\begin{equation}
\tau^{y}f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}e_{r,\lambda}(yz)e_{r,\lambda}(xz) \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(z)\,d\nu_{\lambda}(z),
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
$$
\begin{equation}
T^{y}f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}j_{\lambda}(yz)e_{r,\lambda}(xz) \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(z)\,d\nu_{\lambda}(z).
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
Работа посвящена доказательству прямых теорем теории приближений в пространствах $L^{p}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ с использованием обобщенного гармонического анализа Данкля. В работах [6], [7] аналогичные исследования были проведены для многомерного гармонического анализа Данкля с использованием оператора обобщенного сдвига, который определялся с помощью мультипликатора $j_{\lambda}(x)$, как и оператор (1.6). Отметим, что этот мультипликатор использовался и в гармоническом анализе Бесселя на полупрямой в работах [8], [9]. Поэтому мы остановимся только на использовании оператора обобщенного сдвига, определяемого мультипликатором $e_{r,\lambda}(x)$ в (1.5) Сформулируем основные наши результаты. В теореме 1 доказано аппроксимативное неравенство типа Джексона. Теорема 1. Если $\lambda>-1/2$, $\sigma> 0$, $1\leqslant p\leqslant\infty$, $n\in\mathbb{Z}_+$, $m,r\in\mathbb{N}$, то для любой функции $f\in W_{p,\lambda}^{n,r}$ Замечание 1. Неравенство Джексона в теореме 1 может быть записано эквивалентным образом: Во второй теореме установлена эквивалентная связь между $K$-функционалом и модулем гладкости. Теорема 2. Если $\lambda>-1/2$, $\delta>0$, $1\leqslant p\leqslant\infty$, $n,r\in\mathbb{N}$, то для любой функции $f\in L^{p}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ Характерной особенностью получаемых результатов является тот факт, что в одном весовом пространстве $L^{p}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ мы имеем бесконечное семейство аппроксимативных неравенств, зависящих от параметра $r\in\mathbb{N}$. Заметим также, что аппроксимативные неравенства при $r\geqslant 1$ качественно отличаются от аналогичных неравенств в случае обычного гармонического анализа Данкля $(r=0)$. Это объясняется тем, что для мультипликатора $e_{r,\lambda}(t)$ функция $1-e_{r,\lambda}(t)$ при $t=0$ имеет нуль второго порядка, если $r\geqslant 1$, и нуль первого порядка, если $r=0$. Пусть $A,B>0$. Мы будем писать $A\lesssim B$, если выполнено неравенство $A\leqslant cB$ с константой $c>0$, зависящей только от несущественных параметров, $A\asymp B$, если выполнено неравенство $c^{-1}B\leqslant A\leqslant cB$. В настоящей работе в п. 2 приводятся некоторые элементы обобщенного гармонического анализа Данкля. В п. 3 определяются классы целых функций экспоненциального типа как основной аппроксимативный аппарат. В п. 4 определяются пространство Соболева, $K$-функционал, разности и модули гладкости. В п. 5 доказываются основные леммы. В п. 6 доказываются прямые теоремы теории приближений. 2. Некоторые элементы обобщенного гармонического анализа ДанкляПусть $\{P_n^{(\alpha)}(t)\}_{n=0}^{\infty}$ – многочлены Гегенбауэра, ортогональные на отрезке $[-1,1]$ с весом $(1-t^2)^{\alpha}$, $\alpha>-1$, и нормированные условием $P_n^{(\alpha)}(1)=1$, При $\alpha\geqslant -1/2$, $d_{n,\alpha}=1$ (см. [4]).Пусть $\lambda> -1/2$, $dm_{\lambda}(t)=c_{\lambda}(1-t^2)^{\lambda-1/2}\,dt$ – вероятностная мера на отрезке $[-1,1]$,
$$
\begin{equation*}
c_{\lambda}^{-1}=\int_{-1}^{1}(1-t^2)^{\lambda-1/2}\,dt =\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\lambda+1/2)}{\Gamma(\lambda+1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Приведем некоторые свойства преобразования $\mathcal{F}_{r}^{\lambda}$ обобщенного лапласиана Данкля и операторов обобщенного сдвига из [4], [5]. Для ядра преобразования $\mathcal{F}_{r}^{\lambda}$ при $\lambda> -1/2$ справедливо представление
$$
\begin{equation*}
e_{r,\lambda}(xy)=\int_{-1}^{1}\bigl(1+P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}(t)\bigr)e^{ixyt}\,dm_{\lambda}(t),
\end{equation*}
\notag
$$
из которого для равномерной нормы ядра $\|e_{r,\lambda}(x)\|_{\infty}=M_{r,\lambda}$ вытекают оценки
$$
\begin{equation*}
M_{r,\lambda}\leqslant 1+d_{2r+1,\lambda-1/2}, \quad -\frac12<\lambda<0, \qquad M_{r,\lambda}=1, \quad \lambda\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Преобразование $\mathcal{F}_{r}^{\lambda}$ – унитарный оператор и для $f\in L^{2}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ справедливо равенство Планшереля
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}}|\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(y)|^2\,d\nu_{\lambda}(y) =\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2\,d\nu_{\lambda}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Обратный оператор имеет вид
$$
\begin{equation*}
(\mathcal{F}_{r}^{\lambda})^{-1}(g)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}e_{r,\lambda}(xy)g(y) \,d\nu_{\lambda}(y).
\end{equation*}
\notag
$$
Равенство
$$
\begin{equation*}
f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}e_{r,\lambda}(xy)\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(y)\,d\nu_{\lambda}(y)
\end{equation*}
\notag
$$
справедливо не только в $L^{2}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$, но и поточечно, если $f$ принадлежит классу
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}=\bigl\{f\in C_b(\mathbb{R})\colon f,\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)\in L^{1}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что $\mathcal{S}_r(\mathbb{R})\subset\mathcal{A}$ и $\mathcal{S}_r(\mathbb{R})$ плотно в пространствах $L^{p}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$, $1\leqslant p<\infty$. В пространстве Шварца $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ сходимость определяется счетным семейством полунорм
$$
\begin{equation*}
\rho_{j,N}(f)=\sup_{x\in\mathbb{R}}|(1+x^2)^{N}D^{j}f(x)|, \qquad j,N\in\mathbb{Z}_+, \quad Df(x)=f'(x),
\end{equation*}
\notag
$$
относительно которой $\mathcal{S}_{r}(\mathbb{R})$ – замкнутое подпространство и $\operatorname{codim}\mathcal{S}_{r}(\mathbb{R})=r$. Пусть $\mathcal{S}_{r}(\mathbb{R}_+)=\mathcal{S}(\mathbb{R}_+)$ – подпространство Шварца четных функций, $\mathcal{S}_{r}'(\mathbb{R})$ – пространство обобщенных функций на $\mathcal{S}_{r}(\mathbb{R})$, $\mathcal{S}_{r} '(\mathbb{R}_+)=\mathcal{S}'(\mathbb{R}_+)$ – пространство четных обобщенных функций медленного роста. Если для функции $\varphi\in\mathcal{S}_{r}(\mathbb{R})$, $\varphi_{\mathrm e}$ и $\varphi_{\mathrm o}$ – ее четная и нечетная составляющие, то обобщенная функция $f_{\mathrm e}\in\mathcal{S}_{r}'(\mathbb{R})$ $(f_{\mathrm o}\in\mathcal{S}_{r}'(\mathbb{R}))$ называется четной (нечетной), если
$$
\begin{equation*}
(f_{\mathrm e},\varphi)_{\lambda}=(f_{\mathrm e},\varphi_{\mathrm e})_{\lambda} \quad \bigl((f_{\mathrm o},\varphi)_{\lambda}=(f_{\mathrm o},\varphi_{\mathrm o})_{\lambda}\bigr), \qquad \varphi\in\mathcal{S}_{r}(\mathbb{R}).
\end{equation*}
\notag
$$
Множества четных обобщенных функций на $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ и $\mathcal{S}_{r}(\mathbb{R})$ совпадают. Для нечетных обобщенных функций эти множества различаются. Если $f_{\mathrm o}$ – нечетная обобщенная функция на $\mathcal{S}(\mathbb{R})$, то на $\mathcal{S}_{r}(\mathbb{R})$ нечетными обобщенными функциями будут все функции $f_{\mathrm o}/x^{2s}$, $s=1,\dots,r$ (см. также [7]). Регулярный линейный непрерывный функционал на $\mathcal{S}_{r}(\mathbb{R})$, определяемый функцией $f$ и мерой $d\nu_{\lambda}$, будет иметь запись
$$
\begin{equation*}
(f,\varphi)_{\lambda}=\int_{\mathbb{R}}f\varphi\,d\nu_{\lambda}, \qquad \varphi\in \mathcal{S}_{r}(\mathbb{R}).
\end{equation*}
\notag
$$
Обобщенное преобразование Данкля можно продолжить на $\mathcal{S}_{r}'(\mathbb{R})$ по правилу
$$
\begin{equation}
(\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f),\varphi)_{\lambda} =(f,\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\varphi))_{\lambda}, \qquad f\in \mathcal{S}_{r}'(\mathbb{R}), \quad \varphi\in \mathcal{S}_{r}(\mathbb{R}).
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Ядро (1.3) является собственной функцией обобщенного лапласиана Данкля (1.4)
$$
\begin{equation*}
(-\Delta_{\lambda,r})_{x}e_{r,\lambda}(xy)=|y|^2e_{r,\lambda}(xy).
\end{equation*}
\notag
$$
С ядром и обобщенным лапласианом Данкля связан оператор [10]
$$
\begin{equation*}
V_{r,\lambda}f(x)=\int_{-1}^{1}f(xt)\bigl(1+P_{2r+1}^{\lambda-1/2}(t)\bigr)\,dm_{\lambda}(t), \qquad x\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Оператор $V_{r,\lambda}$ действует в пространстве $C[-R,R]$ для любого $R>0$ и
$$
\begin{equation*}
e_{r,\lambda}(xy)=V_{r,\lambda}\bigl(e^{i(\cdot)y}\bigr)(x).
\end{equation*}
\notag
$$
При $\lambda\geqslant 0$ оператор $V_{r,\lambda}$ положительный. Оператор $V_{r,\lambda}$ является оператором сплетения для обобщенного преобразования Данкля в том смысле, что если $r\in\mathbb{N}$, $\lambda>-1/2$, $f''\in C_{b}(\mathbb{R})$, то
$$
\begin{equation*}
V_{r,\lambda}\Delta f(x)=\Delta_{r,\lambda}V_{r,\lambda}f(x), \qquad x\in\mathbb{R},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Delta f(x)=f{''}(x)$ – одномерный оператор Лапласа. Оператор $\Delta_{\lambda,r}\colon\mathcal{S}_r(\mathbb{R})\to\mathcal{S}_r(\mathbb{R})$ и для $f\in\mathcal{S}_{r}(\mathbb{R})$ и $n\in\mathbb{N}$,
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}}(-\Delta_{\lambda,r})^nf(x)e_{r,\lambda}(xy)\,d\nu_{\lambda}(x) =|y|^{2n}\int_{\mathbb{R}}f(x)e_{r,\lambda}(xy)\,d\nu_{\lambda}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Мы можем распространить степень обобщенного лапласиана Данкля на $\mathcal{S}_{r}'(\mathbb{R})$ равенством
$$
\begin{equation}
((-\Delta_{\lambda,r})^nf,\varphi)_{\lambda}=(f,(-\Delta_{\lambda,r})^n\varphi)_{\lambda}, \qquad f\in \mathcal{S}_{r}'(\mathbb{R}), \quad \varphi\in \mathcal{S}_{r}(\mathbb{R}), \quad n\in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
В силу (2.1) можем также использовать обобщенное преобразование Данкля
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}_{r}^{\lambda}((-\Delta_{\lambda,r})^nf) =(\cdot)^{2n}\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f), \qquad f\in\mathcal{S}_{r}'(\mathbb{R}).
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Пусть $A=\sqrt{x^2+y^2-2xyt}$. Для оператора обобщенного сдвига (1.5) получено интегральное представление
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\tau^{y}f(x)=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\biggl\{ f(A)\biggl(1-P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}(t)+P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}\biggl(\frac{x-yt}{A}\biggr)+ P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}\biggl(\frac{y-xt}{A}\biggr)\biggr) \\ &\qquad\quad +f(-A)\biggl(1-P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}(t)-P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}\biggl(\frac{x-yt}{A}\biggr)- P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}\biggl(\frac{y-xt}{A}\biggr)\biggr)\biggr\}\,dm_{\lambda}(t), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и оценки его норм в пространствах $L^{p}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ для всех $1\leqslant p\leqslant\infty$, $y\in\mathbb{R}$, $\lambda> -1/2$,
$$
\begin{equation}
\|\tau^{y}\|_{p\to p}\leqslant M_{r,\lambda}^{\tau},
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
где
$$
\begin{equation*}
M_{r,\lambda}^{\tau}{=} \begin{cases} 1+3d_{2r{+}1,\lambda{-}1/2},&-\dfrac12<\lambda<0, \\ 4, &\lambda\geqslant 0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, C_{0}^{\infty}(\mathbb{R})=C^{\infty}(\mathbb{R}), \\ C_{r}^{\infty}(\mathbb{R})= \bigl\{f\in C^{\infty}(\mathbb{R})\colon f^{(2s+1)}(0)=0,\, s=0,1,\dots,r-1\bigr\}, \qquad r\geqslant 1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $e_{\lambda,r}\in C_{\Pi}^{\infty}(\mathbb{R})\cap C_{r}^{\infty}(\mathbb{R})$, то для $\varphi\in\mathcal{S}_{r}(\mathbb{R})$ и $f\in\mathcal{S}_{r}{'}(\mathbb{R})$
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\tau^{y}\varphi)(z)=e_{\lambda,r}(yz)\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\varphi)(z), \qquad \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\tau^{y}f)=e_{\lambda,r}(y(\cdot))\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f).
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
В частности,
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\tau^{y}\varphi), \qquad \tau^{y}\varphi\in\mathcal{S}_{r}(\mathbb{R}).
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
С помощью оператора сдвига $\tau^{y}$ и пары функций $g\in L^{1}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ и $\varphi\in\mathcal{S}_{r}(\mathbb{R})$ определим свертку
$$
\begin{equation}
(g\ast_{\tau}\varphi)(x)=\int_{\mathbb{R}}g(y)\tau^{x}\varphi(-y)\,d\nu_{\lambda}(y).
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Лемма 1. Если $g\in L^{1}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$, $\mathcal{F}_r^{\lambda}(g)\in C_{\Pi}^{\infty}(\mathbb{R})\cap C_{r}^{\infty}(\mathbb{R})$, $\varphi\in\mathcal{S}_{r}(\mathbb{R})$, то $(g\ast_{\tau}\varphi)\in\mathcal{S}_{r}(\mathbb{R})$ и Доказательство. Применяя (2.6), (2.7), (1.5), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (g\ast_{\tau}\varphi)(x) &=\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}g(y)e_{\lambda,r}(xz) e_{\lambda,r}(-yz)\mathcal{F}_r^{\lambda}(\varphi)(z)\, d\nu_{\lambda}(z)\,d\nu_{\lambda}(y) \\ &=\int_{\mathbb{R}}\mathcal{F}_r^{\lambda}(g)(z)\mathcal{F}_r^{\lambda}(\varphi)(z) e_{\lambda,r}(xz)\,d\nu_{\lambda}(z) =(\mathcal{F}_r^{\lambda})^{-1}\bigl(\mathcal{F}_r^{\lambda}(g) \mathcal{F}_r^{\lambda}(\varphi)\bigr)(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда вытекают все утверждения леммы 1. Пусть $g\in L^{1}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$, $\mathcal{F}_r^{\lambda}(g)\in C_{\Pi}^{\infty}(\mathbb{R})\cap C_{r}^{\infty}(\mathbb{R})$, $\check{g}(y)=g(-y)$. Используя лемму 1, определим обобщенную свертку $(f\ast_{\tau}g)\in\mathcal{S}_{r}'(\mathbb{R})$ для $f\in\mathcal{S}_{r}'(\mathbb{R})$ равенством
$$
\begin{equation}
((f\ast_{\tau}g),\varphi)_{\lambda}=(f,(\check{g}\ast_{\tau}\varphi))_{\lambda}, \qquad \varphi\in\mathcal{S}_{r}(\mathbb{R}).
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Применяя лемму 1, равенство $\mathcal{F}_r^{\lambda}(\mathcal{F}_r^{\lambda}(\varphi))=\check{\varphi}$, для $\varphi\in\mathcal{S}_{r}(\mathbb{R})$ получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bigl(\mathcal{F}_r^{\lambda}(f\ast_{\tau}g),\varphi\bigr)_{\lambda} &=\bigl((f\ast_{\tau}g),\mathcal{F}_r^{\lambda}(\varphi)\bigr)_{\lambda}= \bigl(f,(\check{g}\ast_{\tau}\mathcal{F}_r^{\lambda}(\varphi))\bigr)_{\lambda} \\ &=\bigl(f,(\mathcal{F}_r^{\lambda})^{-1}(\mathcal{F}_r^{\lambda}(\check{g}) \mathcal{F}_r^{\lambda}(\mathcal{F}_r^{\lambda}(\varphi)))\bigr)_{\lambda} =\bigl(f,(\mathcal{F}_r^{\lambda})^{-1} (\mathcal{F}_r^{\lambda}(\check{g})\check{\varphi})\bigr)_{\lambda} \\ &=\bigl(f,\mathcal{F}_r^{\lambda}(\mathcal{F}_r^{\lambda}(g)\varphi)\bigr)_{\lambda} =\bigl(\mathcal{F}_r^{\lambda}(f),\mathcal{F}_r^{\lambda}(g)\varphi\bigr)_{\lambda} =\bigl(\mathcal{F}_r^{\lambda}(g)\mathcal{F}_r^{\lambda}(f),\varphi\bigr)_{\lambda}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}_r^{\lambda}(f\ast_{\tau}g)=\mathcal{F}_r^{\lambda}(g)\mathcal{F}_r^{\lambda}(f).
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Для свертки мы будем применять следующий вариант неравенства Юнга (см. [5]). Теорема 3. Если $1\leqslant p\leqslant\infty$, $f\in L^p(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$, $g\in L^1(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$, $\mathcal{F}_r^{\lambda}(g)\in C_{\Pi}^{\infty}(\mathbb{R})\cap C_{r}^{\infty}(\mathbb{R})$, то 3. Классы целых функций экспоненциального типа. Наилучшее приближениеПусть $\sigma>0$, $1\leqslant p\leqslant\infty$, $\lambda>-1/2$,
$$
\begin{equation*}
\mathcal{H}_{\lambda}(f)(y)=\int_{\mathbb{R}}f(x)j_{\lambda}(xy)\,d\nu_{\lambda}(x)
\end{equation*}
\notag
$$
– преобразование Ганкеля четной функции $f$, $M(\sigma,p,\lambda)$ – класс четных целых функций экспоненциального типа не выше $\sigma$, принадлежащих $L^p(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$. Отметим, что при $1\leqslant p\leqslant\infty$ справедливо вложение $M(\sigma,p,\lambda)\subset\mathcal{S}'(\mathbb{R}_+)$. Из результатов работы [8; теорема 2.2, лемма 3.1] вытекает следующая теорема Пэли–Винера. Теорема 4. Пусть $1\leqslant p\leqslant\infty$. Функция $f\in M(\sigma,p,\lambda)$ тогда и только тогда, когда $f\in L^{p}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ и $\operatorname{supp}\mathcal{H}_{\lambda}(f)\subset [-\sigma,\sigma]$. Рассмотрим два класса целых функций экспоненциального типа. Функция $f\in B_{p, \lambda}^{\sigma,r}$, $r\in\mathbb{Z}_+$, если $f$ – целая функция экспоненциального типа не выше $\sigma$ и $f\in L^{p}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})\cap C_{r}^{\infty}(\mathbb{R})$. Функция $f\in \widetilde{B}_{p, \lambda}^{\sigma,r}$, если $f\in L^{p}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})\cap C_{r}^{\infty}(\mathbb{R})$ и для ее аналитического продолжения на $\mathbb{C}$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
|f(z)|\leqslant c_{f}e^{\sigma|\operatorname{Im}z|} \qquad \forall\, z\in \mathbb{C},
\end{equation*}
\notag
$$
в частности, $f\in C_b(\mathbb{R})$. В [6] установлено, что эти классы совпадают. Для них справедлива теорема Пэли–Винера. Теорема 5. Пусть $1\leqslant p\leqslant\infty$. Функция $f\in B_{p, \lambda}^{\sigma,r}$ тогда и только тогда, когда Доказательство. Если $\varphi\in\mathcal{S}_{r}(\mathbb{R})$ и $\varphi(x)=\varphi_1(x)+x^{2r+1}\varphi_2(x)$, $\varphi_1,\varphi_2\in\mathcal{S}(\mathbb{R}_+)$, то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\varphi)(y) &=\int_{\mathbb{R}}\varphi_1(x)j_{\lambda}(xy)\,d\nu_{\lambda}(x)+i(-1)^{r}y^{2r+1} \int_{\mathbb{R}}\varphi_2(x)j_{\lambda+2r+1}(xy)\,d\nu_{\lambda+2r+1}(x) \notag \\ &=\mathcal{H}_{\lambda}(\varphi_1)(y)+i(-1)^{r}y^{2r+1} \mathcal{H}_{\lambda+2r+1}(\varphi_2)(y). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Пусть $f\in B_{p, \lambda}^{\sigma,r}$, $f_{\mathrm e}$, $f_{\mathrm o}$ – четная и нечетная составляющие $f$, $g(x)=f_{\mathrm o}(x)/x^{2r+1}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f),\varphi)_{\lambda} &=(f,\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\varphi))_{\lambda}=(f_{\mathrm e},\mathcal{H}_{\lambda}(\varphi_1))_{\lambda} +i(-1)^{r}(g,x^{2(2r+1)}\mathcal{H}_{\lambda+2r+1}(\varphi_2))_{\lambda} \\ &=(f_{\mathrm e},\mathcal{H}_{\lambda}(\varphi_1))_{\lambda}+i(-1)^{r}2^{2r+1} (\lambda+1)_{2r+1}\bigl(g,\mathcal{H}_{\lambda+2r+1}(\varphi_2)\bigr)_{\lambda+2r+1} \\ &=(\mathcal{H}_{\lambda}(f_{\mathrm e}),\varphi_1)_{\lambda}+i(-1)^{r}2^{2r+1} (\lambda+1)_{2r+1}\bigl(\mathcal{H}_{\lambda+2r+1}(g),\varphi_2\bigr)_{\lambda+2r+1}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
причем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{supp}\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f_{\mathrm e})=\operatorname{supp}\mathcal{H}_{\lambda}(f_{\mathrm e}), \qquad \operatorname{supp}\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f_{\mathrm o})=\operatorname{supp}\mathcal{H}_{\lambda+2r+1}(g).
\end{equation*}
\notag
$$
Четная целая функция $f_{\mathrm e}\in M(\sigma,p,\lambda)$ и по теореме 4
$$
\begin{equation}
\operatorname{supp}\mathcal{H}_{\lambda}(f_{\mathrm e})\subset [-\sigma,\sigma].
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Если $p\geqslant 2$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\mathbb{R}}|g(x)|^p\,d\nu_{\lambda+2r+1}(x) &=\int_{\mathbb{R}}|f_{\mathrm o}(x)|^p|x|^{2\lambda+1+(2-p)(2r+1)}\,dx \\ &\lesssim\int_{\mathbb{R}}|f_{\mathrm o}(x)|^p\,d\nu_{\lambda}(x)<\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, четная целая функция $g\in M(\sigma,p,\lambda+2r+1)$ и по теореме 4
$$
\begin{equation}
\operatorname{supp}\mathcal{H}_{\lambda+2r+1}(g)\subset [-\sigma,\sigma].
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Если $1\leqslant p<2$, то по неравенству разных метрик (см. [6; теорема 7.1])
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}}|f_{\mathrm o}(x)|^2\,d\nu_{\lambda}(x)\lesssim \biggl(\int_{\mathbb{R}}|f_{\mathrm o}(x)|^p\,d\nu_{\lambda}(x)\biggr)^{2/p}<\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому $g\in M(\sigma,2,\lambda+2r+1)$ и (3.4) также выполнено.
Таким образом, в силу (3.2)–(3.4) $\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)\in \mathcal{S}_{r}'(\mathbb{R})$ и $\operatorname{supp}\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)\subset [-\sigma,\sigma]$. Пусть для функции $f$ выполнено (3.1). Тогда для $f_{\mathrm e}$ и $\mathcal{H}_{\lambda}(f_{\mathrm e})$ выполнено (3.3). Следовательно, по теореме 4 $f_{\mathrm e}$ – целая функция экспоненциального типа не выше $\sigma$. Если $N\geqslant (2-p)(r+1/2)$, то
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}}\frac{|g(x)|^p}{(1+x^2)^N}\,d\nu_{\lambda+2r+1}\lesssim \int_{\mathbb{R}}\frac{|f_{\mathrm o}(x)|^p|x|^{(2-p)(2r+1)}}{(1+x^2)^N}\,d\nu_{\lambda}\lesssim \int_{\mathbb{R}}|f_{\mathrm o}(x)|^p\,d\nu_{\lambda}<\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому (3.4) выполнено и по теореме 2.2 из [7] $g$ и $f_{\mathrm o}$ – целые функции экспоненциального типа не выше $\sigma$. Следовательно, $f\in B_{p, \lambda}^{\sigma,r}$. Теорема 5 доказана. Пусть
$$
\begin{equation*}
E_{\sigma,r}(f)_{p,d\nu_\lambda}=\inf\{\|f-g\|_{p,d\nu_\lambda}\colon g\in B_{p, \lambda}^{\sigma,r}\}
\end{equation*}
\notag
$$
– величина наилучшего приближения функции $f\in L^{p}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ целыми функциями экспоненциального типа не выше $\sigma$. Как и в [6], доказывается, что величина наилучшего приближения достигается. Теорема 6. Для любой функции $f\in L^{p}(\mathbb{R}, d\nu_{\lambda})$, $1\leqslant p\leqslant\infty$, существует функция $g^{\ast}\in B_{p, \lambda}^{\sigma,r}$ такая, что $E_{\sigma,r}(f)_{p,d\nu_{\lambda}}=\|f-g^{\ast}\|_{p,d\nu_{\lambda}}$. 4. Характеристики гладкости, $K$-функционалПри определении характеристик гладкости будем использовать обобщенный лапласиан Данкля (2.2) и оператор обобщенного сдвига (2.5), а также следовать работе [6]. Далее, определим пространство Соболева $W^{n,r}_{p, \lambda}$
$$
\begin{equation}
W^{n,r}_{p, \lambda}=\bigl\{f\in L^{p}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})\colon (-\Delta_{\lambda,r})^nf\in L^{p}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})\bigr\}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
с нормой
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{W^{n,r}_{p,\lambda}}=\|f\|_{p,d\nu_{\lambda}} +\|(-\Delta_{\lambda,r})^nf\|_{p,d\nu_{\lambda}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что $(-\Delta_{\lambda,r})^nf\in \mathcal{S}_{r}(\mathbb{R})$, если $f\in\mathcal{S}_{r}(\mathbb{R})$, а также $\mathcal{S}_{r}(\mathbb{R})$ плотно в $W^{n,r}_{p, \lambda}$ (см. [6]). Для пары $(L^{p}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda}), W^{n,r}_{p,\lambda})$ определим $K$-функционал
$$
\begin{equation}
K_{n,r}(t,f)_{p,d\nu_{\lambda}}=\inf\bigl\{\|f-g\|_{p,d\nu_{\lambda}} +t^{2n}\|(-\Delta_{\lambda,r})^ng\|_{p,d\nu_{\lambda}}\colon g\in W^{n,r}_{p, \lambda}\bigr\}.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Отметим некоторые простейшие свойства $K$-функционала. Лемма 2. (1) Если $f_1,f_2\in L^{p}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ и $g\in W^{n,r}_{p,\lambda}$, то (2) Для любой $f\in L^{p}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$, Пусть $m\in \mathbb{N}$, $I$ – тождественный оператор,
$$
\begin{equation}
\varDelta_{y,r}^mf(x)=(I-\tau^y)^mf(x)= \sum_{s=0}^m(-1)^s\binom{m}{s}(\tau^{y})^sf(x),
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
– разность порядка $m$, определяемая оператором обобщенного сдвига $\tau^t$, зависящим от $r$,
$$
\begin{equation}
\omega_{m,r}(\delta, f)_{p,d\nu_{\lambda}} =\sup_{0<y\leqslant\delta}\|\varDelta_{y,r}^mf(x)\|_{p,d\nu_{\lambda}}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
– модуль гладкости функции $f\in L^{p}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$. При $m=0$ полагаем $\varDelta_{y,r}^mf(x)=f(x)$. Если $f\in \mathcal{S}_{r}(\mathbb{R})$, то в силу (1.5)
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\varDelta_{y,r}^mf)(z) =e_{r,\lambda}^{m}(yz)\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(z),
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
где
$$
\begin{equation}
e_{r,\lambda}^m(t)=\sum_{s=0}^m(-1)^s\binom{m}{s} \bigl(e_{r,\lambda}(t)\bigr)^s=(1-e_{r,\lambda}(t))^m.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Для функции $e_{r,\lambda}^m$ выполнены следующие свойства:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, c^{-1}_{\lambda,r,m}\min(1,t^{2m})\leqslant |e_{r,\lambda}^m(t)|\leqslant c_{\lambda,r,m}\min(1,t^{2m}), \\ e_{r,\lambda}^m,\frac{e_{r,\lambda}^m}{x^{2m}},\frac{x^{2m}}{e_{r,\lambda}^m}\in C_{r}^{\infty}(\mathbb{R})\cap C_{\Pi}^{\infty}(\mathbb{R}). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Для $f\in \mathcal{S}_{r}'(\mathbb{R})$ мы можем определить распределения
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\tau^yf)=e_{r,\lambda}(y(\cdot))\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f), \qquad \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\varDelta_{y,r}^mf)=e_{r,\lambda}^m(y(\cdot)) \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f).
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Далее мы будем постоянно пользоваться тем свойством, что обобщенные функции на $\mathcal{S}_{r}(\mathbb{R})$ совпадают тогда и только тогда, когда совпадают их обобщенные преобразования Данкля (2.1). Доказательство. Так как для $f\in\mathcal{S}_{r}'(\mathbb{R})$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\varDelta_{y,r}^{m+n}f) &=(1-e_{r,\lambda}(y))^{m+n}\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f) =(1-e_{r,\lambda}(y))^{n}(1-e_{r,\lambda}(y))^{m}\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f) \\ &=\sum_{s=0}^{n}(-1)^s\binom{n}{s}(e_{r,\lambda}(y))^s\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\varDelta_t^{m}f), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
\varDelta_{y,r}^{m+n}f=\sum_{s=0}^{n}(-1)^s\binom{n}{s}(\tau^{y})^s\varDelta_{y,r}^{m}f.
\end{equation*}
\notag
$$
Остается применить $L^p$-ограниченность оператора $\tau^y$ (2.4). Лемма 3 доказана. 5. Основные леммыПусть $n\in\mathbb{N}$, $\eta\in \mathcal{S}(\mathbb{R}_+)$,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \eta(x)=1, \quad |x|\leqslant 1, \qquad \eta(x)>0, \quad 1<|x|<2, \qquad \eta(x)=0, \quad |x|\geqslant 2, \\ \eta_n(x)=\frac{1-\eta(x)}{x^{2n}}, \qquad \widehat{\eta}_{n}(y)=\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\eta_n)(y)=\mathcal{H}_{\lambda}(\eta_n)(y). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следующая лемма установлена в [9]. Лемма 4. Для $n\in\mathbb{N}$ справедливо включение $\widehat{\eta}_{n}\in L^{1}(\mathbb{R}, d\nu_{\lambda})$. Пусть $m\geqslant n\geqslant 1$, $g_{m, n}^{*}(y)= y^{-2n}e_{r,\lambda}^{m}(y)\in C_{r}^{\infty}(\mathbb{R})$,
$$
\begin{equation*}
\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(g_{m,n})(x)=g_{m, n}^{*}(x), \qquad g_{m,n}^t(x) =t^{2(n-\lambda-1)}g_{m,n}\biggl(\frac{x}{t}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как согласно (4.6), (4.7), (4.3)
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, g_{m,n}^*(y)=e_{r,\lambda}^{m}(y)\eta_n(y)+y^{2(m-n)}\frac{e_{r,\lambda}^{m}(y)}{y^{2m}}\eta(y), \\ \frac{e_{r,\lambda}^{m}(y)}{y^{2m}}\in C_{r}^{\infty}(\mathbb{R}), \qquad \biggl|\frac{e_{r,\lambda}^{m}(y)}{y^{2m}}\biggr| \lesssim 1, \qquad y^{2(m-n)}\frac{e_{r,\lambda}^{m}(y)}{y^{2m}}\eta(y)\in\mathcal{S}_{r}(\mathbb{R}), \\ (\mathcal{F}_{r}^{\lambda})^{-1}(e_{r,\lambda}^{m}\eta_n)(x)=\sum_{s=0}^{m}(-1)^s\binom{m}{s}(\tau^{1})^s\widehat{\eta}_{n}(x), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
то, применяя ограниченность оператора $\tau^1$ (2.4) и лемму 4, получим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, g_{m,n},g_{m,n}^t\in L^{1}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda}), \qquad \|g_{m,n}^t\|_{1,d\nu_{\lambda}}=t^{2n}\|g_{m,n}\|_{1,d\nu_{\lambda}}, \\ \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(g_{m,n}^t)(y)=t^{2n}g_{m,n}^*(ty)=y^{-2n}e_{r,\lambda}^{m}(ty). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Лемма 5. Если $m\geqslant n$, $1\leqslant p\leqslant\infty$ и $f\in W_{p,\lambda}^{n,r}$, то Доказательство. Применяя (4.8), (2.2), (2.3), (5.1) и (2.8), (2.9), для $f\in\mathcal{S}_{r}'(\mathbb{R})$ получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\varDelta_{t,r}^mf) &=e_{r,\lambda}^{m}(t(\cdot))\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f) =(\cdot)^{2n}\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)\frac{e_{r,\lambda}^{m}(t(\cdot))}{(\cdot)^{2n}} \\ &=\mathcal{F}_{r}^{\lambda}((-\Delta_{\lambda,r})^nf) \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(g_{m,r}^t)=\mathcal{F}_{r}^{\lambda} \bigl((-\Delta_{\lambda,r})^nf\ast_{k}g_{m,r}^t\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, (5.2) доказано. Если $f\in W_{p, k}^{n,r}$ (4.1), то $(-\Delta_{\lambda,r})^nf\in L^{p}(\mathbb{R}^{d},d\mu_{k})$ и неравенство (5.3) вытекает из теоремы 3, (5.1). Лемма 5 доказана. Пусть $f\in L^{p}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$, $\theta(x)=\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\eta)(x)=\mathcal{H}_{\lambda}(\eta)(x)$ и $\theta_{\sigma}(x) = \theta(x/\sigma)$. Тогда $\theta$, $\theta_{\sigma}\in\mathcal{S}(\mathbb{R}_+)$. Определим аппроксимант типа Валле Пуссена $P_{\sigma}(f)(x)= (f\ast_{\tau}\theta_{\sigma})(x)$. В силу (2.9)
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(P_\sigma(f))(y)=\eta\biggl(\frac{y}{\sigma}\biggr)\mathcal{F}_k (f)(y).
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Следующее утверждение вытекает из теоремы 3 и леммы 6.5 в [6]. Лемма 6. Если $\sigma >0$, $1 \leqslant p\leqslant\infty$, $f\in L^{p}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$, то Пусть $\lambda>-1/2$, – дифференциальный оператор Бесселя. Он является сужением оператора $\Delta_{\lambda,r}$ на четные функции.Лемма 7. Если $l\in\mathbb{N}$, $n\in\mathbb{Z}_+$, $s=0,\dots,[\lambda+2]$, то для некоторой постоянной $c(\lambda,r,n)\geqslant 1$ при $|x|\geqslant 1$ Доказательство. Введем обозначения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a_{r}=\frac{i(-1)^{r}}{2^{2r+1}(\lambda+1)_{2r+1}}, \qquad b_{r}=-(2r+1)\biggl(\lambda+r+\frac 12\biggr), \\ g(x)= j_{\lambda}(x)+a_{r}x^{2r+1}j_{\lambda+2r+1}(x). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(\Delta_{\lambda,r})^{s}((g(x))^lx^{-2n}) =\sum_{k=0}^{[l/2]}(a_{r})^{2k}\binom{l}{2k}(B_{\lambda})^s \bigl((j_{\lambda}(x))^{l-2k}(j_{\lambda+2r+1}(x))^{2k}x^{2k(2r+1)-2n}\bigr) \\ &\qquad{\times}\!\! \sum_{k=0}^{[(l-1)/2]}\!\!(a_{r})^{2k+1}\binom{l}{2k+1} (\Delta_{\lambda,r})^{s} \bigl((j_{\lambda}(x))^{l-(2k+1)}(j_{\lambda+2r+1}(x))^{2k+1}x^{(2k+1)(2r+1)-2n}\bigr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &(\Delta_{\lambda,r})^{s}\bigl((g(x))^lx^{-2n}\bigr) =(B_{\lambda})^s\bigl((g)^{l}(\cdot)^{-2n}\bigr)(x) +\sum_{k=0}^{[(l-1)/2]}(a_{r})^{2k+1}\binom{l}{2k+1} \\ &\qquad\qquad \times\sum_{v=1}^{s}(2b_{r})^{v}\binom{s}{v}(B_{\lambda})^{s-v} \bigl((j_{\lambda}(x))^{l-(2k+1)}(j_{\lambda+2r+1}(x))^{2k+1}x^{(2k+1)(2r+1)-2n-2v}\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Нам понадобятся равенства (см. [7])
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, (B_{\lambda})^q\bigl((f)^t(\cdot)^{h}\bigr)(x) =x^{-2q+h}\sum_{m=0}^{2q}p_m(\lambda,q,h)x^m\bigl((f(x))^t\bigr)^{(m)}, \\ \bigl((f(x))^t\bigr)^{(m)}=\sum_{i=0}^m(f(x))^{t-i}\sum_{\Omega} a_{\alpha,\beta}(t)\bigl(D^{\alpha}(f(x))\bigr)^{\beta}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
где $\alpha=(\alpha_1\dots,\alpha_m)$, $\beta=(\beta_1\dots,\beta_m)$,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha_j\in \{1,\dots,m\}, \qquad \beta_j\in \{0,1\}, \qquad \alpha_1\geqslant\dots\geqslant\alpha_m, \qquad \beta_1\geqslant\dots\geqslant\beta_m, \\ (D^{\alpha}(f(x)))^{\beta}=\prod_{j=1}^m((f(x))^{(\alpha_j)})^{\beta_j}, \qquad \Omega=\biggl\{\alpha,\beta\colon \sum_{j=1}^m\alpha_j\beta_j=m,\, \sum_{j=1}^{m}\beta_j=i\biggr\}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и $a_{\alpha,\beta}(t)$ – многочлены по $t$ степени не выше $m$. Для случая двух сомножителей производные имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\bigl((f_1(x))^{t_1}(f_2(x))^{t_2}r\bigr)^{(m)} =\sum_{i=0}^m\binom{m}{i}\sum_{i_1=0}^{i}\sum_{i_2=0}^{m-i}(f_1(x))^{t_1-i_1}(f_2(x))^{t_2-i_2} \\ &\qquad\qquad \times\sum_{\Omega_1}a_{\alpha,\beta}(t_1) \bigl(D^{\alpha}(f_1(x))\bigr)^{\beta}\sum_{\Omega_2}a_{\alpha,\beta}(t_2) \bigl(D^{\alpha}(f_2(x))\bigr)^{\beta}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Нам также понадобятся оценки для функций Бесселя (см. [11; 7.11, 7.13], [7])
$$
\begin{equation}
|j_{\lambda}^{(m)}(x)|\leqslant c(\lambda,m)|x|^{-(\lambda+1/2)}, \qquad |x|\geqslant 1, \quad m\in \mathbb{Z}_+.
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Пусть $s\leqslant [\lambda+2]$. Применяя (5.7), (5.9) для $(g(x))^{l}=(j_{\lambda}(x)+a_{r}x^{2r+2}j_{\lambda+2r+1}(x))^{l}$, получим
$$
\begin{equation}
\bigl|(B_{\lambda})^s((g)^{l}(\cdot)^{-2n})(x)\bigr|\leqslant (c(\lambda,r,n))^{l}|x|^{-l(\lambda+1/2)-2n}.
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
Применяя (5.7)–(5.9) для $k=0,\dots,[(l-1)/2]$, $v=1,\dots,s$, $(f_1)^{t_1}=(j_{\lambda})^{l-(2k+1)}$, $(f_2)^{t_2}=(j_{\lambda+2r+1})^{2k+1}$, получим
$$
\begin{equation}
\bigl|(B_{\lambda})^{s-v}((j_{\lambda})^{l-(2k+1)} (j_{\lambda+2r+1})^{2k+1}x^{(2k+1)(2r+1)-2(n+v)})\bigr| \leqslant \frac{(c(\lambda,r,n))^{l}}{|x|^{l(\lambda+1/2)+2(n+v)}}.
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
Подставляя оценки (5.10), (5.11) в (5.6), получим (5.5). Лемма 7 доказана. Лемма 8. Если $\sigma>0$, $1\leqslant p\leqslant\infty$, $m\in\mathbb{N}$, $n\in\mathbb{Z}_+$, $f\in W_{p,\lambda}^{n,r}$, то Доказательство. Пусть $f\in\mathcal{S}_{r}'(\mathbb{R})$. Применяя (2.9), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f-P_{\sigma/2}(f)) &=\biggl(1-\eta\biggl(\frac{2(\cdot)}{\sigma}\biggr)\biggr) \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f) \\ &=\sigma^{-2n}\frac{1-\eta(2(\cdot)/\sigma)}{((\cdot)/\sigma)^{2n} e_{r,\lambda}^{m}((\cdot)/\sigma)}\mathcal{F}_{r}^{\lambda} \bigl(\varDelta_{1/\sigma,r}^m((-\Delta_{\lambda,r})^{n}f)\bigr) \\ &=\sigma^{-2n}\varphi\biggl(\frac{(\cdot)}{\sigma}\biggr) \mathcal{F}_{r}^{\lambda}\bigl(\varDelta_{1/\sigma,r}^m ((-\Delta_{\lambda,r})^{n}f)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varphi(y)= \frac{1-\eta(2y)}{y^{2n} e_{r,\lambda}^{m}(y)}, \qquad \varphi\in C_{\Pi}^{\infty}(\mathbb{R}), \\ \varphi(y)=0, \quad |y|\leqslant \frac12, \qquad |\varphi(y)|\leqslant |y|^{-2n}|e_{r,\lambda}^{m}(y)|^{-1}, \quad |y|\geqslant 1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
Так как $(-\Delta_{\lambda,r})^{n}f$ и $\varDelta_{1/\sigma,r}^m ((-\Delta_{\lambda,r})^{n}f)$ принадлежат $L^{p}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$, то остается доказать, что $\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\varphi)\in L^{1}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$. Тогда $\|\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\varphi)\|_{1,d\nu_{\lambda}} =\|\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\varphi((\cdot)/\sigma))\|_{1,d\nu_{\lambda}}$ и по теореме 3
$$
\begin{equation*}
\|f-P_{\sigma/2}(f)\|_{p,d\nu_{\lambda}} \lesssim \sigma^{-2n}\|\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\varphi)\|_{1,d\nu_{\lambda}} \bigl\|\varDelta_{1/\sigma,r}^m ((-\Delta_{\lambda,r})^{n}f)\bigr\|_{p,d\nu_{\lambda}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя разложение
$$
\begin{equation*}
(1-t)^{-m}=\sum_{l=0}^{\infty}a_lt^l, \qquad a_l=\binom{l+m-1}{m-1}\lesssim (l+1)^{m-1},
\end{equation*}
\notag
$$
можем записать где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varphi_1(y)=2^{2n}\eta_{n}(2y)\bigl((1-e_{r,\lambda}(y))^{-m}-S_N(e_{r,\lambda}(y))\bigr)\in C^{\infty}_{\Pi}(\mathbb{R}), \\ \varphi_2(y)=2^{2n}\eta_{n}(2y)S_N(e_{r,\lambda}(y))\in C^{\infty}_{\Pi}(\mathbb{R}), \qquad \eta_{n}(y)=\frac{1-\eta(y)}{y^{2n}}, \qquad S_N(t)=\sum_{l=0}^{N-1}a_lt^l. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя лемму 7 для $s=0,[\lambda+2]$ и $|y|\geqslant 2c(\lambda,r,n)$, получим
$$
\begin{equation*}
{|\varphi_1(y)|,|(\Delta_{\lambda,r})^s\varphi_1(y)|}\leqslant \sum_{l=N}^{\infty}(c(\lambda,r,n))^l|y|^{-l(\lambda+1/2)-2n}\leqslant 2 (c(\lambda,r,n))^N|y|^{-N(\lambda+1/2)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $N=[3+2/(2\lambda+1)]$, то $\varphi_1, (\Delta_{\lambda,r})^s\varphi_1\in L^{1}(\mathbb{R}, d\nu_{\lambda})$. Согласно (2.3)
$$
\begin{equation*}
|\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\varphi_1)(x)|\leqslant\frac{\|(-\Delta_{\lambda,r})^s \varphi_1\|_{1,d\nu_{\lambda}}}{|x|^{2s}}
\end{equation*}
\notag
$$
и условие $s>\lambda+1$ обеспечивает вложение $\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\varphi_1)\in L^{1}(\mathbb{R}, d\nu_{\lambda})$.
Так как $\varphi_2(y)=2^{2n}\sum_{l=0}^{N-1}a_l(e_{r,\lambda}(y))^l\eta_{n}(2y)$, то в силу (4.8)
$$
\begin{equation*}
\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\varphi_2)(x)=2^r\sum_{l=0}^{N-1}a_l(\tau^1)^l\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\eta_r(2(\cdot))(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя ограниченность оператора $\tau^1$ в $L^{1}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ и лемму 4, получим
$$
\begin{equation*}
\|\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\varphi_2)\|_{1,d\nu_{\lambda}}\lesssim \|\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\eta_{n}(2(\cdot)))\|_{1,d\nu_{\lambda}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $n\geqslant 1$ лемма 8 доказана.
Пусть $n=0$,
$$
\begin{equation*}
\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(A_1g) =\varphi_1\biggl(\frac{(\cdot)}{\sigma}\biggr)\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(g), \qquad \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(A_2g) =\varphi_2\biggl(\frac{(\cdot)}{\sigma}\biggr)\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(g).
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно теореме 3 достаточно доказать ограниченность операторов $A_1$, $A_2$ в пространстве $L^{p}(\mathbb{R}, d\nu_{\lambda})$. Для оператора $A_1$ это вытекает из принадлежности $\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\varphi_1)\in L^{1}(\mathbb{R}, d\nu_{\lambda})$ при $n=0$. Рассмотрим случай оператора $A_2$. Если $Bg=\sum_{l=0}^{N-1}a_l(\tau^1)^{l}g$, то в силу (2.9)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(A_2g) &=\biggl(1-\eta\biggl(\frac{2(\cdot)}{\sigma}\biggr)\biggr) S_N(e_{r,\lambda})((\cdot))\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(g) \\ &=\biggl(1-\eta\biggl(\frac{2(\cdot)}{\sigma}\biggr)\biggr) \mathcal{F}_k(Bg)=\mathcal{F}_k(Bg-P_{\sigma/2}(Bg)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $A_2g=Bg-P_{\sigma/2}(Bg)$. По теореме 3 и ограниченности оператора $\tau^1$ в $L^{1}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ получаем оценку $\|Bg\|_{p,d\nu_{\lambda}}\lesssim\|g\|_{p,d\nu_{\lambda}}$, а по лемме 6 – оценку
$$
\begin{equation*}
\|A_2g\|_{p,d\nu_{\lambda}}\leqslant \|Bg\|_{p,d\nu_{\lambda}}+\|P_{\sigma/2}(Bg)\|_{p,d\nu_{\lambda}} \lesssim \|g\|_{p,d\nu_{\lambda}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $n=0$ лемма 8 также доказана. Лемма 9. Если $\sigma >0$, $1\leqslant p\leqslant\infty$, $m\in\mathbb{N}$, $f\in L^{p}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$, то Доказательство. Применяя (2.2), (2.9), (4.8) и (5.4), для $f\in\mathcal{S}_{r}'(\mathbb{R})$ получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathcal{F}_{r}^{\lambda}\bigl((-\Delta_{\lambda,r})^{m}P_{\sigma/2}(f)\bigr) =(\cdot)^{2m}\eta\biggl(\frac{2(\cdot)}{\sigma}\biggr)\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f) \\ &\qquad=\sigma^{2m}\varphi\biggl(\frac{(\cdot)}{\sigma}\biggr) e_{r,\lambda}^{m}\biggl(\frac{(\cdot)}{\sigma}\biggr)\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f) =\sigma^{2m}\varphi\biggl(\frac{(\cdot)}{\sigma}\biggr) \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\varDelta_{1/\sigma,r}^{m} f) \\ &\qquad=\sigma^{2m}\mathcal{F}_{r}^{\lambda}\biggl(\varDelta_{1/\sigma}^{m} f\ast_{\tau}\mathcal{F}_{r}^{\lambda} \biggl(\varphi\biggl(\frac{(\cdot)}{\sigma}\biggr)\biggr)\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\varphi(y)=\frac{y^{2m}\eta(2y)}{e_{\lambda,r}^{m}(y)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как согласно (4.7) $y^{2m}/e_{r,\lambda}^{m}(y)\in C_{r}^{\infty}(\mathbb{R})\cap C_{\Pi}^{\infty}(\mathbb{R})$, $\eta\in\mathcal{S}(\mathbb{R}_+)$, то $\varphi\in \mathcal{S}_{r}(\mathbb{R})$ и $\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\varphi)\in \mathcal{S}_{r}(\mathbb{R})$. Оценка (5.12) вытекает из условия $f\in L^{p}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$, леммы 3 и теоремы 3. Лемма 9 доказана. 6. Неравенство Джексона. Эквивалентность модуля гладкости и $K$-функционала Доказательство теоремы 1. Применяя лемму 8, получим (1.7)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, E_{\sigma}(f)_{p,d\nu_{\lambda}} &\leqslant\|f-P_{\sigma/2}(f)\|_{p,d\nu_{\lambda}}\lesssim \sigma^{-2n}\|\varDelta_{1/\sigma,r}^m((-\Delta_{\lambda,r})^{n}f)\|_{p,d\nu_{\lambda}} \\ &\lesssim \sigma^{-2n}\omega_{m,r}\biggl(\frac{1}{\sigma}, (-\Delta_{\lambda,r})^{n}f\biggr)_{p,d\nu_{\lambda}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1 доказана. Доказательство теоремы 2. Пусть $f\in L^{p}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ и $g\in W_{p, \lambda}^{n,r}$. Применяя леммы 3 и 5, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\varDelta_{\delta,r}^{n}f\|_{p,d\nu_{\lambda}} &\leqslant\|\varDelta_{\delta,r}^{n}(f-g)\|_{p,d\nu_{\lambda}} +\|\varDelta_{\delta,r}^{n}g\|_{p,d\nu_{\lambda}} \\ &\lesssim \|f-g\|_{p,d\nu_{\lambda}}+\delta^{2n}\|(-\Delta_{\lambda,r})^{n}g\|_{p,d\nu_{\lambda}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда для $K$-функционала в (1.8) вытекает оценка снизу
Согласно лемм 6, 9 для любого $\sigma>0$ справедливы включения $P_{\sigma/2}(f)\in W_{p, \lambda}^{n,r}$, поэтому
$$
\begin{equation}
K_{n,r}(\delta, f)_{p,d\nu_{\lambda}} \leqslant \|f-P_{\sigma/2}(f)\|_{p,d\nu_{\lambda}}+ \delta^{2n}\|(-\Delta_{\lambda,r})^{n}P_{\sigma/2}(f) \|_{p,d\nu_{\lambda}}.
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
Из лемм 8, 9 вытекают неравенства
$$
\begin{equation}
\|f-P_{\sigma/2}(f)\|_{p,d\nu_{\lambda}} \lesssim\|\varDelta_{1/\sigma,r}^{n}f\|_{p,d\nu_{\lambda}},
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
$$
\begin{equation}
\|(-\Delta_{\lambda,r})^{n}P_{\sigma/2}(f)\|_{p,d\nu_{\lambda}} \lesssim \sigma^{2n}\|\varDelta_{1/\sigma,r}^{n} f\|_{p,d\nu_{\lambda}}.
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
Полагая $\sigma=1/\delta$, из (6.1)–(6.3) для $K$-функционала в (1.8) получаем оценку сверху
$$
\begin{equation*}
K_{n,r}(\delta, f)_{p,d\nu_{\lambda}}\lesssim \|\varDelta_{\delta,r}^{n} f\|_{p,d\nu_{\lambda}}\lesssim \omega_{n,r}(\delta, f)_{p,d\nu_{\lambda}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2 доказана. Замечание 2. В силу эквивалентности $K$-функционала и модуля гладкости лемма 2 позволяет уточнить некоторые свойства модуля гладкости: Автор благодарит С. С. Платонова за полезное обсуждение результатов работы. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Iva24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|