$$ \begin{equation} \theta_t(t,x)-\int^t_0K(t-s)\theta_{xx}(s,x)\,ds=0,\qquad x\in\mathbb{R},\quad t>0, \end{equation} \tag{1} $$

$$ \begin{equation} \theta|_{t=0}=\theta_0(x), \end{equation} \tag{2} $$

$$ \begin{equation} K(t)=\sum_{j=1}^{m}c_je^{-\gamma_jt},\qquad m\geqslant 2, \end{equation} \tag{3} $$

Доказательство. Для доказательства воспользуемся хорошо известной теоремой Пэли–Винера (см. [4; с. 26, теорема X]): следующие два класса целых функций тождественны:

• a) класс всех целых функций $F(\,\cdot\,)$, таких что $F(z)=O(e^{A|z|})$ и $F\in L_2(\mathbb{R})$,
• б) класс всех целых функций вида
  $$ \begin{equation} F(z)=\int_{-A}^{A}f(x)e^{ixz}\,dx, \end{equation} \tag{4} $$
  где $f\in L_2(-A,A)$.

Пусть $\widehat{\theta}(t,z)$ – преобразование Фурье от решения уравнения (1). Покажем сначала, что при каждом фиксированном $t>0$ это целая функция переменного $z$, затем, что она принадлежит классу (а).

Сделаем преобразование Фурье по переменной $x$ от обеих частей уравнения (1), затем проинтегрируем это уравнение по переменной $t$:

Так как функция $Q$ непрерывна на $[0,+\infty)$, то для любого отрезка $[0,T]$ найдется $M>0$ такое, что Уравнение (5) представляет собой уравнение Вольтерры 2-го рода с параметром $z^2$. Свойства решения такого уравнения хорошо известны. Само решение можно представить в виде где $\mathbb{Q}^k$ – степень оператора $\mathbb{Q}$, который, в свою очередь, определяется следующим образом: Кроме того, Так как $\theta_0$ – финитная функция, то $\widehat{\theta}_0$ является целой. Следовательно, учитывая (7), получаем, что $\widehat{\theta}(t,\,\cdot\,)$ – целая для любого $t>0$.

Покажем теперь, что при каждом фиксированном $t>0$ имеет место представление $\widehat{\theta}(t,z)=O(e^{A|z|})$. Для этого сделаем преобразование Фурье по переменной $x$ от обеих частей уравнения (1), а по переменной $t$ – преобразование Лапласа. Тогда получим

где Рассмотрим уравнение относительно неизвестного $\lambda\in\mathbb{C}$: В уравнении (9) комплексное число $z$ выступает в роли параметра. Так как (9) сводится к алгебраическому уравнению порядка $m+1$, то оно имеет $m+1$ корень. Покажем, что для достаточно больших по модулю значений $z$ эти корни попарно различны. Для этого будем использовать методы, близкие к тем, что применялись в [5] для похожей задачи (там число $z^2$ было вещественным). Введем обозначения Если $\lambda$ сделать вещественным переменным, то функция $\psi$ будет иметь $m-1$ попарно различных вещественных нулей $\mu_1,\mu_2,\dots,\mu_{m-1}$ таких, что На комплексной плоскости в окрестности каждой точки $\mu_j$ возьмем круг $D_j$ достаточно малого радиуса таким образом, чтобы в него не попали точки $-\gamma_j$, $j=1,2,\dots,m$. Тогда на каждом таком круге функция комплексного переменного $\psi$ будет голоморфной. Выбирая параметр $z_0\in\mathbb{C}$ достаточно большим по модулю, получим, что для любого $z$, для которого верно $|z|>|z_0|$, на границе каждого круга $D_j$ выполнено неравенство Следовательно, по теореме Руше уравнение (9) имеет $m-1$ изолированных корней $\lambda_j(z)$, $j=1,\dots,m-1$.

Рассмотрим теперь круг $D$ на комплексной плоскости сколь угодно большого радиуса и с центром в нуле. Пусть все полюсы функции $\psi$ попадают внутрь $D$. Снова существует такое число $z_0$, что для любого $z$ такого, что $|z|>|z_0|$, на границе круга $D$ выполняется неравенство (11). По известной теореме из комплексного анализа имеем

где $N$ и $P$ – количество нулей и полюсов соответственно внутри круга $D$. Из последнего равенства получаем, что $N(\psi+\varphi)=m-1$. Это означает, что оставшиеся два корня уравнения (9) стремятся к бесконечности по модулю при $|z|\to +\infty$. Обозначим эти два корня $\lambda_{m}(z)$ и $\lambda_{m+1}(z)$ соответственно. Найдем порядок их асимптотического роста. Перепишем (9) в виде Из последнего получим Из равенства (12) следует, что главный член асимптотики для модулей растущих корней имеет порядок $|z|$.

Покажем теперь, что $\lambda_{m}(z)$ и $\lambda_{m+1}(z)$ различны для достаточно больших по модулю значений $z$. Перепишем (9) в виде

где Обозначим Пусть $|z|$ достаточно велико. У функции $\varphi_1$ имеется два нуля: $\pm iz\sqrt{S}$ . Рассмотрим сперва нуль $iz\sqrt{S}$ . Возьмем круг $G_{\varepsilon|z|}$ радиуса $\varepsilon |z|$ с центром в точке $iz\sqrt{S}$ , $0<\varepsilon<\sqrt{S}/2$. Предположим, что $|z|$ выбрано так, чтобы полюсы функции $\psi_1$ не попали в замыкание круга $G_{\varepsilon|z|}$. Пусть $\lambda\in\partial G_{\varepsilon|z|}$, т.е. $|\lambda-iz\sqrt{S}\,|=\varepsilon|z|$, тогда С другой стороны, где Из этого следует, что при растущем $|z|$ за счет соответствующего роста $|\lambda|\in\partial G_{\varepsilon|z|}$ можно добиться выполнения неравенства Следовательно, у функции $\varphi_1+\psi_1$ в круге $G_{\varepsilon|z|}$ также один нуль. Аналогично рассматривается случай для $-iz\sqrt{S}$ . Это и означает, что $\lambda_{m}(z)$ и $\lambda_{m+1}(z)$ различны для достаточно больших по модулю значений $z$ и не сближаются при $|z|\to+\infty$.

Таким образом, для достаточно больших значений $z$ из (8) следует представление

Из (13) получим Используя (14), а также в силу описанных выше свойств корней $\lambda_j(z)$ и выбора $\widehat{\theta}_0(z)$, получаем представление

Докажем теперь, что $\widehat{\theta}(t,\,\cdot\,)\in L_2(\mathbb{R})$. Для этого в уравнении (9) положим $z=x\in\mathbb{R}$. В этом случае для всех достаточно больших по модулю $x$ соответствующие корни $\lambda_j(x)$, $j=1,\dots,m+1$, имеют следующие асимптотики ($|x|\to+\infty$):

Истинность асимптотик для $j=1,\dots,m-1$ была установлена на стр. 3, представления для $j=m,m+1$ следуют из (12). Вопрос об асимптотиках для похожей ситуации (в более общем случае) рассматривается, например, в работе [5]. Из всего этого и из того, что $\widehat{\theta}_0\in L_2(\mathbb{R})$, получим требуемое.