| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Некоторые свойства траекторий неоднородного поля скоростей движения вязкоупругой жидкости в многосвязной области А. В. Звягин, В. Г. Звягин, В. П. Орлов Воронежский государственный университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624090396 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеТечение вязкоупругой жидкости олдройдовского типа с памятью вдоль траекторий поля скоростей в ограниченной области $\Omega\subset\mathbb R^N$, $N=2,3$, с границей $\partial\Omega$ класса $C^2$ описывается начально-краевой задачей (см. [1], [2])
$$
\begin{equation}
\begin{split} &\frac{\partial}{\partial t}\,u(t,x)+\sum_{i=1}^Nu_i(t,x)\frac{\partial u(t,x)}{\partial x_i} -\mu_0\Delta u(t,x) \\ &\qquad{}-\mu_1\operatorname{Div}\int_{\tau_u(t,x)}^tG(s-t)\mathcal E(u)(s,z(s;t,x))\,ds +\operatorname{grad}p(t,x)=f(t,x); \end{split}
\end{equation}
\tag{1}
$$
$$
\begin{equation}
\operatorname{div}u|_{Q_T}=0,\qquad (t,x)\in Q_T=[0,T]\times\Omega,\qquad u|_{\{0\}\times\Omega}=u^0|_\Omega,\qquad u|_{[0,T]\times\partial\Omega}=\alpha|_{\partial\Omega}.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Здесь $u=(u_1,u_2,\dots,u_N)$ и $p$ – искомые поле скоростей и давление жидкости, $f$, $u^0$, $\alpha$ – плотность внешних сил, начальное значение функции $u$ и граничное значение функции $u$ соответственно. Гладкая функция $G(s)$, $s\geqslant 0$, и константы $\mu_0>0$, $\mu_1\geqslant 0$ определяются реологическим соотношением, определяющим тип жидкости. Символ
$$
\begin{equation*}
\mathscr E(u)=\{\mathscr E_{ij}(u)\}_{i,j=1}^N, \qquad \mathscr E_{ij}(u)=\frac12\biggl(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
задает тензор скоростей деформаций. Функция $z(\tau;t,x)$ определяется как решение задачи Коши (в интегральной форме) для системы ОДУ
$$
\begin{equation}
z(\tau;t,x)=x+\int_t^\tau u(s,z(s;t,x))\,ds,\qquad \tau,t\in[0,T],\quad x\in\overline\Omega.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Функция $\tau_u(t,x)=\inf\{\tau\colon z(s;t,x)\in\Omega,\,s\in(\tau,t]\}$ определяет начало интервала, на котором определено полное решение задачи Коши (3) (см. [3; с. 56]). Очевидно, что $\tau_u(t,x)\geqslant 0$. Так как функция $\tau_u(t,x)$ показывает, в какой момент времени частица жидкости, занимающая в момент времени $t$ положение $x\in\overline\Omega$, начинает движение по $\Omega$ к точке $x$, будем в дальнейшем называть ее начальной функцией. Слагаемое с интегралом в (1) характеризует наличие памяти о состоянии среды вдоль траектории движения частицы среды, находящейся в точке $x\in\Omega$ в момент времени $t$, за все время движения от $\tau_u(t,x)$ до $t$ частицы по области $\Omega$ (см., например, [4; гл. 7]). При исследовании слабой разрешимости систем уравнений типа (1)–(3) скорость $u\in L_2(0,T;W_2^1(\Omega)^N)$ и вопрос о разрешимости задачи Коши (3) становится нетривиальным, поскольку не существует, вообще говоря, классического решения задачи Коши (3), и ее разрешимость приходится понимать в некотором обобщенном смысле. Удобным оказалось применение теории регулярных лагранжевых потоков – обобщение классической разрешимости. Соответственно, усложняется и исследование входящей в систему (1)–(3) функции $\tau_u(t,x)$. В случае однородного граничного условия ($\alpha=0$) поле скоростей $u$ равно нулю на $\partial\Omega$, и следовательно, решение задачи Коши (3) определено на всем промежутке $[0,T]$, а $\tau_u(t,x)=0$. В этом случае для различных моделей вязкоупругости нелокальные теоремы существования и единственности слабых и сильных решений для систем вида (1)–(3) устанавливались в [5]–[9]. В случае неоднородного граничного условия ($\alpha\not\equiv 0$) и $\tau_u(t,x)>0$ имеем $z(\tau_u(t,x);$ $t,x)\in \partial\Omega$, и $\tau_u(t,x)$ означает момент вхождения соответствующей частицы жидкости в $\Omega$ через $\partial\Omega$. Для некоторых неоднородных граничных условий специального типа нелокальные теоремы существования слабых решений для систем вида (1)–(3) устанавливались в [10]–[12]. Изучение протекания вязкоупругих сред из одной области в другую имеет важное прикладное значение. Область применения крайне широка – от движения лекарств по сосудам до движения нефтепродуктов по шлангам. Математические исследования скудны в данной области знаний. Одни их самых серьезных результатов были получены в работе [13] при исследовании движения ньютоновской жидкости. Данная работа посвящена изучению свойств протекания вязкоупругих сред с памятью. Наличие нижнего предела $\tau_u(t,x)$ в интеграле из (1) вносит принципиальные трудности в исследование разрешимости задачи (1). Применение аппроксимационно-топологического или галёркинского типа методов исследования слабой разрешимости задачи (1)–(3), основанных на априорных оценках приближенных решений и предельном переходе, приводит к необходимости исследования поведения приближений функций $u^n$, $z^n$, $\tau^n$ для $u$, $z$, $\tau$. В настоящей работе мы исследуем аппроксимационные свойства начальной функции $\tau_u$, порожденной полем скоростей $u$ задачи (1)–(3), в зависимости от аппроксимационных свойства функции $\alpha$ в случае многосвязной области $\Omega$ и неоднородного граничного условия в (2). 2. ОбозначенияЧерез $W_2^n(\Omega)^N$ обозначаются пространства Соболева (см. [14; раздел II.1.5]). Обозначим
$$
\begin{equation*}
\mathring{W_2^1}(\Omega)^N=\bigl\{v\colon v\in W_2^1(\Omega)^N,\,v|_{\partial\Omega}=0\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нам понадобится гильбертово пространство $V=\{v\colon v\in W_2^{1}(\Omega),\,\operatorname{div}v=0,\,v|_{\partial\Omega}=0\}$ (см. [15; п. III.1.4]). Через $W_2^{1/2}(\Gamma)^N$, $\Gamma= \partial\Omega$, обозначается пространство следов функций из $W_2^1(\Omega)^N$ на $\Gamma$. Вложение $W_2^1(\Omega)^N\subset W_2^{1/2}(\Gamma)^N$ непрерывно.
3. Предварительные построения3.1. Граничная функцияОстановимся на конструкции области $\Omega$, в которой изучается течение жидкости. Рассмотрим ограниченную область $\Omega_1\subset\mathbb R^N$, $N=2,3$, с границей $\Gamma_1$. Изучаемая в работе ограниченная область $\Omega$ получается удалением из области $\Omega_1$ попарно непересекающихся множеств $\overline\Omega_i$, $i=2,\dots,K$, где области $\Omega_i\subset\Omega_1$. Таким образом, $\Omega=\Omega_1\setminus(\bigcup_{i=2}^K\overline\Omega_i)$. При этом граница $\partial\Omega=\bigcup_{i=1}^K{\Gamma}_i:=\Gamma$ области $\Omega$ такова, что поверхность $\Gamma_1=\partial\Omega_1$ ограничивает область $\Omega$ извне, а остальные связные компоненты $\Gamma_i=\partial\Omega_i$, $i=2,\dots,K$, ее границы заключены внутри этой поверхности, при этом $\Gamma_i$, $i=1,\dots,K$ попарно не пересекаются. Нас будет интересовать поле скоростей $u(t,x)$ несжимаемой жидкости, удовлетворяющей условию $u(t,x)=\alpha(x)$, $x\in\partial\Omega$, где $\alpha(x)$ – заданная функция. Таким образом, для $u(t,x)$ выполняются условия
$$
\begin{equation}
u(t,x)=\alpha(x), \qquad t\in[0,T], \quad x\in\partial\Omega.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Из соотношения (4) вытекает, что для $\alpha(x)$ выполняется следующее условие:
$$
\begin{equation}
\int_{\partial\Omega}\alpha(x)\cdot n(x)\,dx =\int_{\partial\Omega}\sum_{i=1}^N\alpha_i(x)n_i(x)\,dx=0.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Здесь $n(x)=(n_1(x),\dots,n_N(x))$ – вектор внешней нормали к $\partial\Omega$ в точке $x\in \partial\Omega$. Полагая $F_i=\int_{\Gamma_i}\alpha(x)\cdot n(x)\,dx$, $i=1,2,\dots,K$, получаем из (6)
$$
\begin{equation*}
F(\alpha)=\int_{\partial\Omega}\alpha(x)\cdot n(x)\,dx =\sum_{i=1}^K\int_{\Gamma_i}\alpha(x)\cdot n(x)\,dx=\sum_{i=1}^KF_i=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Нам удобно считать, что $\Omega_1$ содержится в некоторой ограниченной области $\Omega_0\subset\mathbb R^N$ с гладкой границей $\partial \Omega_0=\Gamma_0$. Так как поведение решений задачи Коши (3) тесно связано с граничной функцией $\alpha(x)$, наложим на $\alpha(x)$ некоторые условия. Пусть $\alpha\in W_2^{1/2}(\Gamma)^N$. Введем пространство
$$
\begin{equation*}
H^{1/2}(\Gamma)=\{\alpha\colon \alpha\in W_2^{1/2}(\Gamma)^N,\,F(\alpha)=0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $\alpha\in H^{1/2}(\Gamma)$, с одной стороны, допускает продолжение функцией $a$ в $\Omega$ такое, что $\operatorname{div}\, a(x)=0$ на $\Omega$ и $a(x)=\alpha(x)$ на $\partial\Omega$, причем $\|a\|_{W_2^{1}(\Omega)^N}\leqslant\|\alpha\|_{W_2^{1/2}(\Gamma)^N}$, а с другой стороны, допускает продолжение функцией $a^0$ на $\Omega_0\setminus\Omega$ такое, что $a^0(x)=0$ на $\partial\Omega_0$ и $a^0(x)=\alpha(x)$ на $\partial\Omega$, причем $\|a^0\|_{W_2^1(\Omega_0\setminus\Omega)^N}\leqslant\|\alpha\|_{W_2^{1/2}(\Gamma)^N}$ (см. [13]). Определим функцию $a^*(x)$ следующим образом: $a^*(x)=a(x)$ при $x\in \Omega$ и $a^*(x)=a^0(x)$ при $x\in\Omega_0\setminus\Omega$. Очевидно,
$$
\begin{equation*}
a^*(x)\in\mathring{W_2^1}(\Omega_0)^N, \qquad \|a^*\|_{W_2^1(\Omega_0)^N}\leqslant M\|\alpha\|_{W_2^{1/2}(\Gamma)^N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\Pi$ оператор, ставящий в соответствие функции $\alpha\in H^{1/2}(\Gamma)$ функцию $a^*(x)\in\mathring{W_2^1}(\Omega_0)^N$, так что $\Pi(\alpha)=a^*$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Gamma_+(\alpha)=\{x\colon \alpha(x)\cdot n(x)>0,\,x\in\partial\Omega\},\qquad \Gamma_-(\alpha)=\{x\colon \alpha(x)\cdot n(x)<0,\,x\in\partial\Omega\}, \\ \Gamma_*(\alpha)=\{x\colon \alpha(x)\cdot n(x)=0,\,x\in\partial\Omega\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $\partial\Omega=\Gamma_+(\alpha)\cup\Gamma_-(\alpha)\cup\Gamma_*(\alpha)$. Заметим, что множества $\Gamma_+(\alpha)$, $\Gamma_-(\alpha)$, $\Gamma_*(\alpha)$ могут иметь непустое пересечение с любой частью $\Gamma_i$ границы $\partial\Omega$. Если $\Gamma_*(\alpha)=\varnothing$, то $\partial\Omega=\Gamma_+(\alpha)\cup\Gamma_-(\alpha)$. Это означает, что каждая компонента $\Gamma_i(\alpha)$ границы $\partial\Omega$ принадлежит либо $\Gamma_+(\alpha)$, либо $\Gamma_-(\alpha)$. В случае $\Gamma_i\subset\Gamma_+(\alpha)$ на $\Gamma_i$ выполняется $\alpha(x)\cdot n(x)>0$, и на $\Gamma_i$ происходит отток жидкости из $\Omega$. В случае $\Gamma_i\subset\Gamma_-(\alpha)$ на $\Gamma_i$ выполняется $\alpha(x)\cdot n(x)<0$, и на $\Gamma_i$ происходит приток жидкости в $\Omega$. 3.2. Задача КошиЕсли поле скоростей задачи (1)–(3) $u\in L_2(0,T;W^1_2(\Omega)^N)$, то, вообще говоря, не существует классического решения задачи Коши (3) и ее разрешимость будем понимать в смысле теории регулярных лагранжевых потоков (см. [16], [17]). Рассмотрим сначала поле скоростей $u$, заданное на $\Omega_0$. Регулярным лагранжевым потоком (РЛП), порожденным $u\in L_1(0, T;\mathring{W_p^1}(\Omega_0)^N)$, $1\leqslant p\leqslant +\infty$, $\operatorname{div}u(t,x)=0$ и $u|_{[0,T]\times\partial\Omega_0}=0$, называется функция $z(\tau;t,x)$, $(\tau;t,x)\in[0,T]\times[0,T]\times\overline{\Omega_0}$, удовлетворяющая следующим условиям:
Введем множество функций
$$
\begin{equation*}
W(\alpha)=\{u\colon u=v+a,\,u|_\Gamma=\alpha\in H^{1/2}(\Gamma),\,v\in L_2(0,T;V)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Данное множество является гиперплоскостью в $L_2(0,T;W^1_2(\Omega)^N)$. Пусть $u\in W(\alpha)$, т.е.
$$
\begin{equation*}
u(t,x)=v(t,x)+a(x),\qquad (t,x)\in Q_T,\quad a=\Pi(\alpha).
\end{equation*}
\notag
$$
Продолжим функцию $v$ нулем из $\Omega$ в $\Omega_0$ и, обозначив оператор продолжения через $\Pi_1$, имеем $v^*=\Pi_1(v)$. Очевидно, что $v^*\in L_2(0,T;\mathring{W_2^1}(\Omega_0)^N)$. Рассмотрим на $\Omega_0$ функцию $u^*=v^*+a^*$. Тогда очевидно, что $u^*=u$ в $\Omega$, $u=a^0$ в $\Omega_0\setminus\Omega$ и $u^*\in L_2(0,T;\mathring{W^1_2}(\Omega_0)^N)$. Наряду с задачей (3) рассмотрим задачу Коши
$$
\begin{equation}
z(\tau;t,x)=x+\int_t^\tau(v^*+a^*)(s,z(s;t,x))\,ds,\qquad \tau,t\in[0,T],\quad x\in\Omega_0.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Так как $v^*+a^*\in L_2(0,T;\mathring{W_2^1}(\Omega_0)^N)$, то существует единственный РЛП, порожденный функцией $u^*=v^*+a^*$ (см. [16], [17]). В частности, это означает, что задача Коши (7) имеет абсолютно непрерывное по $\tau\in [0,T]$ решение $z(\tau;t,x)$ при п.в. $x\in\Omega_0$ и $t\in[0,T]$. При $(t,x)\in Q_T$ и $z(\tau;t,x)\in\Omega$ решения задач Коши (3) и (7) совпадают. Функция $\tau_u(t,x)$ определяется как $\tau_u(t,x)=\inf\{\tau\colon z(s;t,x)\in\Omega,\,s\in(\tau,t]\}$, где $z(s;t,x)$ РЛП, порожденный $u^*$. Обозначим через $\mathscr T$ оператор, ставящий в соответствие функции $u$ функцию $\tau_u$, так что $\tau_u=\mathscr T(u)$. 4. Приближения граничных функцийОбозначим через $\mathscr A$ множество гладких функций $\alpha\in H^{1/2}(\Gamma)$ таких, что множество $\Gamma_*(\alpha)=\{x\colon \alpha(x)\cdot n(x)=0,\,x\in\partial\Omega\}$ состоит из конечного числа гладких кривых на $\partial\Omega$ в случае $N=3$ и конечного числа точек на $\partial\Omega$ в случае $N=2$. Пусть $u\in W(\alpha)$, где $\alpha\in\mathscr A$, $\tau_u=\mathscr T(u)$, $z(\tau;t,x)$ РЛП, порожденный задачей Коши (7). Положим
$$
\begin{equation*}
Q_+(u)=\bigl\{(t,x)\colon x=z(t;\tau_u(t, x),x),\,(t,x)\in Q_T\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1. Пусть $u\in W(\alpha)$, где $\alpha\in\mathscr A$. Тогда функция $\tau_u$ непрерывна на множестве полной меры $Q_T\setminus Q_+(u)$. Теорема 2. Пусть $\alpha\in H^{1/2}(\Gamma)$. Тогда существует последовательность $\alpha^n\in\mathscr A$, $n=1,2,\dots$, такая, что 5. Основной результатТеорема 3. Пусть $u\in W(\alpha)$, $\alpha\in H^{1/2}(\Gamma)$. Тогда найдется последовательность $u^n\in W(\alpha^n)$, $\alpha^n\in\mathscr A$, $n=1,2,\dots$, такая, что при п.в. $(t,x)\in Q_T$. Схема доказательства теоремы 3. Из теоремы 2 следует, что для $\alpha\in H^{1/2}(\Gamma)$ существует последовательность $\alpha^n\in\mathscr A$, $n=1,2,\dots$, такая, что $\lim_{n\to+\infty}\|\alpha-\alpha^n\|_{H^{1/2}(\Gamma)}= 0$. Так как $u\in W(\alpha),$ то $u=v+a$, где $a=\Pi(\alpha).$ Построим последовательность $v^n\in L_2(0,T;V\cap C^2(\Omega)^N)$ такую, что $\|v-v^n\|_{ L_2(0,T;W^1_2(\Omega)^N)}\to 0$. Тогда для $u^n=v^n+a^n$, где $a^n=\Pi(\alpha^n)$, справедливо включение $u^n\in W(\alpha^n)$ и соотношение $\|u-u^n\|_{L_2(0,T;W^1(\Omega)^N)}\to 0$. Функции $u^{n*}$ и $u^*$ принадлежат $L_2(0,T;\mathring{W_2^1}(\Omega_0)^N)$, и, следовательно, существуют РЛП, порожденные задачами Коши
$$
\begin{equation*}
z^n(\tau;t,x)=x+\int_t^\tau(v^{n*}+a^{n*})(s,z^n(s;t,x))\,ds,\qquad \tau,t\in[0,T],\quad x\in\Omega_0,
\end{equation*}
\notag
$$
и (7), и определены функции $\tau_{u^n}$ и $\tau_u$. Пусть $(t,x)\in Q_T$, $\tau_{u^n}(t,x)=\overline t^n$, $\overline z^n=z(\overline t;t,x)$. Положим
$$
\begin{equation*}
Q_+(u^n)=\bigl\{(t,x)\colon (t,x)\in Q_T,\, x=z^n(t;\overline t^n,\overline x^n),\,t\in[0,T]\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Множество $Q_+(u^n)\in Q_T$ имеет меру нуль, при этом функция $\tau_{u^n}$ непрерывна на $Q_T\setminus Q_+(u^n)$. Затем устанавливается, что на множестве полной меры $Q_+(u)=Q_T\setminus\bigcup_{n=1}^{+\infty}Q_+(u^n)$ последовательность $\tau_{u^n}$ сходится к $\tau_u$ почти всюду.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ZvyZvyOrl24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|