| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Краткие сообщения Область однолистного покрытия на классе голоморфных отображений круга в себя с двумя граничными неподвижными точками О. С. Кудрявцеваabc, А. П. Солодовab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики c Волгоградский государственный технический университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624090402 
Реферативные базы данных:
 1. Постановка задачи и основной результатНастоящая статья продолжает цикл работ авторов по исследованию свойств голоморфных отображений круга в себя в терминах неподвижных точек и угловых производных в граничных неподвижных точках. (Подробнее про угловую производную можно прочитать в [1], [2].) В работе [3] показано, что на классе функций с отталкивающей граничной неподвижной точкой нет непустых областей однолистности. Классическая теорема Данжуа–Вольфа о существовании неподвижной точки, обладающей свойством притяжения (см. [4]), а также факт наличия областей однолистности на классах функций с двумя неподвижными точками, установленный в работах [5], [6], естественным образом привели к следующей задаче: найти максимально возможные области однолистности на классах функций, где наряду с отталкивающей неподвижной точкой зафиксировано расположение притягивающей неподвижной точки (внутри или на границе круга). Недавно эта задача была полностью исследована (см. [7]–[9]). При этом оказалось, что явный вид точной области однолистности позволяет решить другую классическую задачу геометрической теории функций – об области однолистного покрытия. В частности, в работах [10], [11] была найдена точная область однолистного покрытия на подклассе функций, притягивающая неподвижная точка которых лежит внутри круга. Цель настоящей работы – найти точную область однолистного покрытия в случае, когда притягивающая неподвижная точка расположена на границе круга. Обозначим через $\mathscr B[-1,1]$ совокупность голоморфных отображений единичного круга $\mathbb D=\{z\in \mathbb C\colon |z|<1\}$ в себя, которые оставляют неподвижными граничные точки $z=\pm 1$, т.е. $\angle \lim_{z\to\pm 1}f(z)=\pm1$, причем точка $z=1$ является отталкивающей ($f'(1)>1$), а точка $z=-1$ – притягивающей ($f'(-1)\leqslant 1$). Для произвольного $\alpha > 1$ выделим в классе $\mathscr B[-1,1]$ подкласс $\mathscr B_{\alpha}[-1,1]$, состоящий из функций, имеющих ограничение на значение угловой производной в отталкивающей неподвижной точке: $f'(1)\leqslant \alpha$. Имеет место следующий результат. Теорема 1. Пусть $f\in\mathscr B_{\alpha}[-1,1]$, $\alpha\in (1,2)$. Тогда существует функция, обратная к $f$ и конформно отображающая область на некоторую область $\mathscr X\subset \mathbb D$. Какова бы ни была область $\mathscr{V}$, $\mathscr W(\alpha) \subset \mathscr{V}\subset\mathbb D$, $\mathscr{V}\ne \mathscr W(\alpha)$, найдется функция $f\in \mathscr B_{\alpha}[-1,1]$, не имеющая обратной в области $\mathscr{V}$. Наконец, при $\alpha\geqslant 2$ на классе $\mathscr B_{\alpha}[-1,1]$ нет непустых областей однолистного покрытия. Теорема 1, а также результат работы [11] дает исчерпывающее решение задачи об областях однолистного покрытия на подклассах функций с отталкивающей граничной неподвижной точкой. 2. Уточнение теоремы Жюлиа–Каратеодори в случае двух граничных неподвижных точекСогласно теореме Жюлиа–Каратеодори для любого $z\in \mathbb D$ имеет место следующая оценка угловой производной в граничной неподвижной точке $a$:
$$
\begin{equation}
f'(a)\frac{1-|f(z)|^2}{|a-f(z)|^2}- \frac{1-|z|^2}{|a-z|^2}\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Неравенство (1) точное, равенство в нем достигается на дробно-линейном отображении круга $\mathbb D$ на себя. Получено следующее уточнение неравенства (1) в случае двух граничных неподвижных точек, одна из которых является притягивающей. Доказательство. Если $f$ является дробно-линейным отображением круга $\mathbb D$ на себя, т.е. $f(z)=(z-s)/(1-s z)$, где $s=(\alpha-1)/(\alpha+1)$, то легко проверить, что в (2) имеет место равенство. Пусть $f$ отлична от дробно-линейного отображения. Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation}
g(z)=\frac{\alpha(1-z)f(z)-z(1-f(z))}{\alpha(1-z)-(1-f(z))}\,.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Поскольку
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re}\frac{1+g(z)}{1-g(z)}=\frac{1}{\alpha-1} \biggl(\alpha\,\frac{1-|f(z)|^2}{|1-f(z)|^2}- \frac{1-|z|^2}{|1-z|^2}\biggr)>0
\end{equation*}
\notag
$$
то функция $g$ отображает круг $\mathbb D$ в себя. Непосредственная проверка показывает, что $g$ сохраняет точку $z=-1$; кроме того, $g'(-1)=(\alpha f'(-1)-1)/(\alpha-1)$. Отсюда и из того, что $f'(-1)\leqslant 1$, выводим неравенство $g'(-1)\leqslant 1$. Применяя к функции $g$ теорему Жюлиа–Каратеодори, получаем оценку
$$
\begin{equation*}
\frac{|1+g(z)|^2}{1-|g(z)|^2}\leqslant \frac{|1+z|^2}{1-|z|^2}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
которую, принимая во внимание (3), можно преобразовать к виду
$$
\begin{equation}
\biggl|\alpha\frac{1+f(z)}{1-f(z)}-\frac{1+z}{1-z}\biggr|^2 \biggl(\alpha\frac{1-|f(z)|^2}{|1-f(z)|^2}- \frac{1-|z|^2}{|1-z|^2}\biggr)^{-1}\leqslant (\alpha-1)\frac {|1+z|^2}{1-|z|^2}\,.
\end{equation}
\tag{4}
$$
В силу теоремы Жюлиа–Каратеодори второй множитель в левой части неравенства (4) положителен. Таким образом, оценка (2) доказана. 3. Схема доказательства основного результатаДля доказательства первой части теоремы 1 нужно показать, что область $\mathscr W(\alpha)$ однолистно покрывается всеми функциями класса $\mathscr B_{\alpha}[-1,1]$. Иначе говоря, достаточно проверить, что для произвольной функции $f\in \mathscr B_{\alpha}[-1,1]$ уравнение $f(z)=w$ при каждом $w\in\mathscr W(\alpha)$ имеет в некоторой области круга $\mathbb D$ единственное решение. Возьмем в качестве такой области точную область однолистности на рассматриваемом классе функций:
$$
\begin{equation*}
\mathscr U(\alpha)=\biggl\{z\in \mathbb D\colon \frac{|1-z^2|}{1-|z|^2}<\sqrt{\frac{\alpha}{\alpha-1}}\,\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Идея состоит в том, чтобы совершить один оборот вдоль границы области $\mathscr U(\alpha)$ и применить принцип аргумента. Проверим сначала, что если точка $z$ расположена на границе области $\mathscr U(\alpha)$ (за исключением точек $z=\pm 1$, в которых аналитичность функции $f$ не предполагается), то значение $f(z)$ не может оказаться внутри области $\mathscr W(\alpha)$. Область $\mathscr U(\alpha)$ ограничена двумя симметричными относительно вещественного диаметра дугами окружностей, а именно кривыми
$$
\begin{equation}
z^+_r=\frac{r(\sqrt{\alpha-1}+i)-\sqrt{\alpha}} {r(\sqrt{\alpha-1}+i)+\sqrt{\alpha}}\,, \qquad z^-_r=\frac{r(\sqrt{\alpha-1}-i)-\sqrt{\alpha}} {r(\sqrt{\alpha-1}-i)+\sqrt{\alpha}}\,,
\end{equation}
\tag{5}
$$
где $r\in(0,\infty)$. В силу леммы 1 значение $f(z)$ должно находиться внутри круга
$$
\begin{equation*}
\mathscr E(z)=\biggl\{\zeta\in\mathbb D\colon \frac 1{\alpha-1}\,\frac {1-|z|^2}{|1+z|^2}\, \biggl|\alpha\frac{1+\zeta}{1-\zeta}- \frac{1+z}{1-z}\biggr|^2\leqslant \alpha\frac{1-|\zeta|^2}{|1-\zeta|^2}- \frac{1-|z|^2}{|1-z|^2}\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
какова бы ни была точка $z \in \mathbb D$, в том числе и в случае, когда $z$ расположена на кривых (5). Если предположить, что $f(z)\in\mathscr W(\alpha)$ при некотором $z$, принадлежащем кривым (5), то найдется хотя бы одна точка границы области $\mathscr W(\alpha)$, расположенная строго внутри круга $\mathscr E(z)$. Граница области $\mathscr W(\alpha)$ образована двумя симметричными относительно вещественного диаметра кривыми
$$
\begin{equation}
\zeta^+_s=\frac{s(2\sqrt{\alpha-1}+i(2-\alpha))-\alpha} {s(2\sqrt{\alpha-1}+i(2-\alpha))+\alpha}\,,\qquad \zeta^-_s=\frac{s(2\sqrt{\alpha-1}-i(2-\alpha))-\alpha} {s(2\sqrt{\alpha-1}-i(2-\alpha))+\alpha}\,,
\end{equation}
\tag{6}
$$
где $s\in(0,\infty)$. Сказанное выше означает, что для некоторых $r,s\in(0,\infty)$ пара точек $z$ и $\zeta$, имеющих вид (5) и (6) соответственно, удовлетворяет неравенству
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{1}{\alpha-1}\,\frac {1-|z|^2}{|1+z|^2}\, \biggl|\alpha\,\frac{1+\zeta}{1-\zeta}-\frac{1+z}{1-z}\biggr|^2< \alpha\,\frac{1-|\zeta|^2}{|1-\zeta|^2}-\frac{1-|z|^2}{|1-z|^2}\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7}
$$
Ввиду симметрии достаточно рассмотреть случай $z=z^+_r$, $\zeta=\zeta^+_s$. В этом случае после ряда преобразований неравенство (7) может быть записано в следующей эквивалентной форме: $\alpha(\sqrt{\alpha}s-r)^2<0$. Полученное неравенство не выполняется ни при каких $r,s\in(0,\infty)$. Таким образом, предположение, что значение $f(z)$ оказалось внутри области $\mathscr W(\alpha)$, неверно. Тем самым установлено: какова бы ни была точка $z$, расположенная на границе области $\mathscr U(\alpha)$, ее образ $f(z)$ не может находиться внутри области $\mathscr W(\alpha)$. Техническая трудность, заключающаяся в том, что граница области $\mathscr U(\alpha)$ содержит точки излома $z=\pm 1$, преодолевается заменой малых участков границы области $\mathscr U(\alpha)$ в окрестности этих точек на подходящие гладкие кривые, целиком лежащие внутри единичного круга $\mathbb D$. Показывается, что при прохождении вдоль измененных фрагментов в окрестностях точек излома оборот $f(z)$ вокруг $w$ невозможен. Таким образом, когда точка $z$ совершает один оборот вдоль гладкой кривой, образованной границей области $\mathscr U(\alpha)$ с измененными фрагментами в окрестностях точек $z=\pm 1$, аргумент $f(z)-w$ получает приращение $2\pi$. Отсюда и из того, что измененные участки кривых могут располагаться сколь угодно близко к точкам излома следует, что во всей области $\mathscr U(\alpha)$ уравнение $f(z)=w$ имеет ровно одно решение. Так как факт существования единственного решения уравнения $f(z)=w$ установлен для произвольной точки $w\in\mathscr W(\alpha)$, то первая часть теоремы доказана. Далее устанавливается оценка сверху области однолистного покрытия, доказывающая вторую часть теоремы. Для этого сначала показывается, что композиция
$$
\begin{equation*}
f=L\circ h\circ L^{-1},\qquad\text{где}\quad L(\zeta)=\frac{\zeta-1}{\zeta+1}\,,\quad h(\zeta)=\alpha^{-1}\biggl(\zeta+i(\alpha-1)+ \frac{\alpha-1}{\zeta+i}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
принадлежит классу $\mathscr B_{\alpha}[-1,1]$ и на границе области $\mathscr W(\alpha)$ функция, обратная к $f$, имеет точку ветвления $w_0=(2\sqrt{\alpha-1}-\alpha-(2-\alpha)i)/ (2\sqrt{\alpha-1}+\alpha-(2-\alpha)i)$. При помощи функции $f$ строится семейство $\mathscr G\subset\mathscr B_{\alpha}[-1,1]$ произведений Бляшке, обладающее следующим свойством: для произвольной точки $w\in\mathbb D$, лежащей на границе области $\mathscr W(\alpha)$, найдется функция $g\in\mathscr G$, обратная к которой имеет точку ветвления в точке $w$. Для доказательства третьей части теоремы показывается, что уже на классе $\mathscr B_2[-1,1]$ нет непустых областей однолистного покрытия. Для произвольной точки $w\in\mathbb D$ строится такое произведение Бляшке $g\in\mathscr B_2[-1,1]$, что функция, обратная к $g$, имеет точку ветвления в точке $w$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KudSol24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|