| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О глобальных решениях квазилинейных дифференциальных неравенств второго порядка А. А. Коньковa, А. Е. Шишковb a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Российский университет дружбы народов им. П. Лумумбы, г. Москва
Английская версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624110130 
Реферативные базы данных:
 1. Введение и постановка задачиБудем исследовать решения дифференциальных неравенств
$$
\begin{equation}
-\operatorname{div} A (x, \nabla u)\geqslant f (u) \qquad\text{в}\quad {\mathbb R}^n,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $n \geqslant 2$ и $A$ – каратеодориева функция, удовлетворяющая условиям равномерной эллиптичности
$$
\begin{equation*}
C_1 |\xi|^p \leqslant \xi A (x, \xi), \qquad |A (x, \xi)| \leqslant C_2 |\xi|^{p-1}, \qquad C_1, C_2 > 0, \qquad p > 1,
\end{equation*}
\notag
$$
для почти всех $x \in {\mathbb R}^n$ и всех $\xi \in {\mathbb R}^n$. Предполагается, что функция $f $ в правой части (1.1) неотрицательна и не убывает на промежутке $[0, \varepsilon]$ для некоторого вещественного числа $\varepsilon > 0$. Говорим, что $u \in W_{p, \mathrm{loc}}^1 ({\mathbb R}^n)$ – решение (1.1), если $f (u) \in L_{1, \mathrm{loc}} ({\mathbb R}^n)$ и
$$
\begin{equation*}
\int_{{\mathbb R}^n}A (x, \nabla u)\nabla \varphi\,dx\geqslant\int_{{\mathbb R}^n}f (u)\varphi\,dx
\end{equation*}
\notag
$$
для любой неотрицательной функции $\varphi \in C_0^\infty ({\mathbb R}^n)$. Будем предполагать, что решения (1.1) удовлетворяют соотношению Отсутствие решений дифференциальных уравнений и неравенств традиционно привлекает внимание математиков [1]–[12]. Нас будет интересовать вопрос, при каких условиях на функцию $f$ решения задачи (1.1), (1.2) тривиальны, т.е. равны нулю почти всюду в ${\mathbb R}^n$. Заметим, что единственно актуальным является случай $n > p$. Действительно, если $n \leqslant p$, то неравенство
$$
\begin{equation}
- \operatorname{div} A (x, \nabla u)\geqslant0 \qquad\text{в}\quad {\mathbb R}^n
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
не имеет других неотрицательных решений кроме постоянных [11]. В работе [1] для дифференциальных неравенств вида
$$
\begin{equation}
- \operatorname{div} (|\nabla u|^{p-2} \nabla u) \geqslant f (u) \qquad\text{в}\quad {\mathbb R}^n,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
которые являются частным случаем (1.1), было показано, что при
$$
\begin{equation}
\int_0^\varepsilon \frac{f (\zeta)\,d\zeta}{\zeta^{1 + n (p-1)/(n-p)}}=\infty
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
любое решение, удовлетворяющее условию (1.2), тривиально. При этом в случае, когда (1.5) не выполнено, было построено положительное решение, стремящееся к нулю при $x \to \infty$. Таким образом, (1.5) является не только достаточным, но и необходимым условием тривиальности решений (1.4), (1.2). Однако, рассуждения, приведенные в [1], существенно используют сферическую симметричность дифференциального оператора. Метод, предложенный авторами этой работы, основан на редукции произвольных решений к сферически симметричным путем поворота системы координат. Этот метод, очевидно, не применим к неравенствам общего вида (1.1). Используя принципиально иной подход, нам удалось доказать, что (1.5) является достаточным условием тривиальности решений и в случае общей задачи (1.1), (1.2) без каких бы то ни было предположений относительно симметричности дифференциального оператора. Есть гипотеза, что (1.5) является также необходимым условием тривиальности решений (1.1), (1.2). Доказательство этого факта не просто и в настоящий момент не известно.
2. Основной результатТеорема 1. Пусть $n > p$ и при этом выполнено условие (1.5). Тогда любое решение (1.1), (1.2) тривиально. Для доказательства нам потребуются несколько предварительных утверждений. Договоримся обозначать через $C$ и $\sigma$ различные положительные постоянные, которые могут зависеть только от $p$, $n$, $C_1$ и $C_2$. При этом в леммах 2 и 3 постоянная $C$ может также зависеть от $\lambda$. Через $B_r$ будем обозначать открытый шар радиуса $r > 0$ с центром в нуле, а через $A_r$ – шаровой слой $A_r = B_{2 r} \setminus B_r$. Как это принято, под $\chi_\Omega$ будем подразумевать характеристическую функцию множества $\Omega \subset {\mathbb R}^n$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\chi_\Omega (x)=\begin{cases} 1,&x\in\Omega, \\ 0,&x\not\in\Omega.\end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 1 (обобщенное неравенство Като). Пусть $v \in W_{p, \mathrm{loc}}^1 (\Omega)$ и при этом где $\Omega \subset {\mathbb R}^n$ – непустое открытое множество и $a \in L_{1, \mathrm{loc}} (\Omega)$. Тогда функция $v_+ = \operatorname{max} \{ v, 0 \}$ удовлетворяет неравенству где $\Omega_+ = \{ x \in \Omega\colon v (x) > 0 \}$. Лемма 1 доказана в [9; Lemma 4.2]. Применяя лемму 1 к функции $v = \varepsilon-u$, получим следствие 1, приведенное ниже. Следствие 1. Пусть $u$ – решение (1.1). Тогда $u_\varepsilon=\operatorname{min} \{ u, \varepsilon \}$ удовлетворяет неравенству где $\Omega_\varepsilon = \{ x \in {\mathbb R}^n \colon u (x) < \varepsilon \}$. Лемма 2 (слабое неравенство Харнака). Пусть $n > p$ и при этом $u \geqslant 0$ – решение (1.3). Тогда для всех $\lambda \in (0, n (p-1)/(n-p))$ и $r \in (0, \infty)$. Лемма 3. Пусть $u \geqslant 0$ удовлетворяет неравенству где $a \in L_{1, \mathrm{loc}} ({\mathbb R}^n)$ – неотрицательная функция, причем $u^\lambda \in L_{1, \mathrm{loc}} ({\mathbb R}^n)$ для некоторого $\lambda \in (p-1, \infty)$. Тогда для всех $r \in (0, \infty)$. Лемма 4. Пусть $n > p$ и при этом $u \geqslant 0$ является решением (1.3), (1.2). Тогда где $\Omega_\varepsilon = \{ x \in {\mathbb R}^n\colon u (x) < \varepsilon \}$. Лемма 2 доказана в [13]–[15]. Доказательство леммы 3 можно найти в [2]. Ключевая оценка этой леммы является прямым следствием градиентных оценок, приведенных в работах [16], [17]. Лемма 4 получена в [3; лемма 3.1]. Доказательство этой леммы непосредственно вытекает из леммы 2. В самом деле, применяя лемму 2 для некоторого $\lambda \in (0, n (p-1)/(n-p))$, получим
$$
\begin{equation*}
\varepsilon \biggl(\frac{\operatorname{mes} B_{2 r} \setminus \Omega_\varepsilon}{\operatorname{mes} B_{2 r}}\biggr)^{1/\lambda} \leqslant\biggl(\frac{1}{\operatorname{mes} B_{2 r}}\int_{B_{2 r}}u^\lambda\,dx\biggr)^{1/\lambda} \leqslant C\operatorname*{ess\,inf}_{B_r}u
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $r \in (0, \infty)$. В пределе при $r \to \infty$ это, очевидно, дает
$$
\begin{equation*}
\lim_{r \to \infty}\frac{\operatorname{mes} B_{2 r} \setminus \Omega_\varepsilon}{r^n}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Объединяя следствие 1 и леммы 2 и 3, где $\lambda \in {(p-1, p)} \cap {(0, n (p-1)/(n-p))}$ – некоторое вещественное число, приходим к приведенному ниже утверждению. Следствие 2. Пусть $n > p$ и при этом $u \geqslant 0$ является решением (1.1). Тогда для всех $r \in (0, \infty)$, где $\Omega_\varepsilon = \{ x \in {\mathbb R}^n\colon u (x) < \varepsilon \}$ и $u_\varepsilon=\operatorname{min} \{ u, \varepsilon \}$. Доказательство теоремы 1. Рассуждая от противного, предположим, что $u$ – ненулевое решение (1.1), (1.2). По лемме 2, это решение положительно почти всюду в ${\mathbb R}^n$. При этом ввиду леммы 4 найдется вещественное число $r_0 > 0$ такое, что $\operatorname{mes} \Omega_\varepsilon \cap B_r\geqslant Cr^n$ и $\operatorname{mes} \Omega_\varepsilon \cap A_r\geqslant Cr^n$ для всех $r \geqslant r_0$, где $\Omega_\varepsilon = \{ x \in {\mathbb R}^n\colon u (x) < \varepsilon \}$.
Обозначим $r_i = 2^i r_0$, $i = 1,2,\dots$ . Пусть также
$$
\begin{equation*}
E (r)=\int_{\Omega_\varepsilon \cap B_r}f (u)\,dx, \qquad r > 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно следствию 2 справедливы соотношения
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\operatorname{mes} B_{r_i}}\int_{\Omega_\varepsilon \cap B_{r_i}}f (u)\,dx \leqslant Cr_i^{- p}\Bigl(\operatorname*{ess\,inf}_{B_{r_i}}u_\varepsilon\Bigr)^{p-1}, \qquad i = 1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда немедленно получим
$$
\begin{equation}
\operatorname*{ess\,inf}_{\Omega_\varepsilon \cap B_{r_i}}u =\operatorname*{ess\,inf}_{B_{r_i}}u_\varepsilon\geqslant\sigma\biggl(\frac{E (r_i)}{r_i^{n-p}}\biggr)^{1/(p-1)}, \qquad i = 1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Ввиду (1.2) это позволяет утверждать, что Так как $f$ – неубывающая функция на промежутке $[0, \varepsilon]$, формула (2.1) дает
$$
\begin{equation*}
f\Bigl(\operatorname*{ess\,inf}_{\Omega_\varepsilon \cap B_{r_i}}u\Bigr)\geqslant f (\sigma \gamma_i), \qquad i = 1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\gamma_i=\biggl(\frac{E (r_i)}{r_i^{n-p}}\biggr)^{1/(p-1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу очевидного неравенства
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\operatorname{mes} \Omega_\varepsilon \cap A_{r_{i-1}}} \int_{\Omega_\varepsilon \cap A_{r_{i-1}}}f (u)\,dx\geqslant f\Bigl(\operatorname*{ess\,inf}_{\Omega_\varepsilon \cap B_{r_i}}u\Bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
и выбора вещественного число $r_0$ это приводит к оценке
$$
\begin{equation*}
\int_{\Omega_\varepsilon \cap A_{r_{i-1}}}f (u)\,dx\geqslant Cr_i^nf (\sigma \gamma_i)
\end{equation*}
\notag
$$
или, другими словами,
$$
\begin{equation*}
E (r_i)-E (r_{i-1}) \geqslant Cr_i^nf (\sigma \gamma_i), \qquad i = 1,2,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее выражение можно, очевидно, записать в виде
$$
\begin{equation}
\frac{E (r_i)-E (r_{i-1})}{E^{n/(n-p)} (r_i)}\geqslant Ch (\sigma \gamma_i), \qquad i = 1,2,\dots,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где
$$
\begin{equation*}
h (\zeta)=\frac{f (\zeta)}{\zeta^{n (p-1)/(n-p)}}, \qquad \zeta > 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем последовательность вещественных чисел $0 < s_j < l_j \leqslant s_{j + 1}$, $j = 1,2,\dots$, такую, что
$$
\begin{equation*}
\frac{E (r_{i-1}) }{r_{i-1}^{n-p}}>\frac{E (r_i)}{r_i^{n-p}},
\end{equation*}
\notag
$$
если $i \in \bigcup_{j=1}^\infty (s_j, l_j]$ и
$$
\begin{equation*}
\frac{E (r_{i-1})}{r_{i-1}^{n-p}}\leqslant\frac{E (r_i)}{r_i^{n-p}}
\end{equation*}
\notag
$$
в противном случае. Умножая (2.3) на неравенство
$$
\begin{equation*}
1\geqslant\frac{\gamma_{i-1}-\gamma_i}{\gamma_{i-1}},
\end{equation*}
\notag
$$
получим
$$
\begin{equation}
\frac{E (r_i)-E (r_{i-1})}{E^{n/(n-p)} (r_i)}\geqslant C\frac{h (\sigma \gamma_i)}{\gamma_{i-1}}(\gamma_{i-1}-\gamma_i)
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
для всех $i \in \bigcup_{j=1}^\infty (s_j, l_j]$. Поскольку $E$ – неубывающая функция, имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{2^{n-p}E (r_i)}{r_i^{n-p}}\geqslant\frac{E (r_{i-1})}{r_{i-1}^{n-p}} >\frac{E (r_i)}{r_i^{n-p}}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $i \in \bigcup_{j=1}^\infty (s_j, l_j]$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_{E (r_{i-1})}^{E (r_i)}\frac{d\zeta}{\zeta^{n/(n-p)}}\geqslant\frac{E (r_i)-E (r_{i-1})}{E^{n/(n-p)} (r_i)}, \\ \frac{h (\sigma \gamma_i)}{\gamma_{i-1}}(\gamma_{i-1}-\gamma_i)\geqslant2^{- (n-p)/(p-1)}\int_{\gamma_i}^{\gamma_{i-1}} \frac{\widetilde h (\sigma \zeta)}{\zeta}\,d\zeta \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $i \in \bigcup_{j=1}^\infty (s_j, l_j]$, где
$$
\begin{equation*}
\widetilde h (\zeta)=\inf_{(2^{- (n-p)/(p-1)}\zeta,\,\zeta)}h, \qquad \zeta > 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Ввиду (2.4) это приводит к оценке
$$
\begin{equation*}
\int_{E (r_{i-1})}^{E (r_i)}\frac{d\zeta}{\zeta^{n/(n-p)}} \geqslant C\int_{\gamma_i}^{\gamma_{i-1}}\frac{\widetilde h (\sigma \zeta)}{\zeta}\,d\zeta
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $i \in \bigcup_{j=1}^\infty (s_j, l_j]$, откуда немедленно следует, что
$$
\begin{equation}
\sum_{j=1}^\infty \int_{E (r_{s_j})}^{E (r_{l_j})}\frac{d\zeta}{\zeta^{n/(n-p)}} \geqslant C\sum_{j=1}^\infty\int_{\gamma_{l_j}}^{\gamma_{s_j}}\frac{\widetilde h (\sigma \zeta)}{\zeta}\,d\zeta.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Принимая во внимание неравенства
$$
\begin{equation*}
E (r_{s_{j+1}})\geqslant E (r_{l_j}), \qquad j = 1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
получим
$$
\begin{equation}
\int_{E (r_{s_1})}^\infty\frac{d\zeta}{\zeta^{n/(n-p)}} \geqslant\sum_{j=1}^\infty\int_{E (r_{s_j})}^{E (r_{l_j})}\frac{d\zeta}{\zeta^{n/(n-p)}}.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Несложно также увидеть, что
$$
\begin{equation*}
\gamma_{s_{j+1}} \geqslant \gamma_{l_j}, \qquad j = 1,2,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым, (2.2) позволяет утверждать, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{j=1}^\infty\int_{\gamma_{l_j}}^{\gamma_{s_j}}\frac{\widetilde h (\sigma \zeta)}{\zeta}\,d\zeta \geqslant\int_0^{\gamma_{s_1}}\frac{\widetilde h (\sigma \zeta)}{\zeta}\,d\zeta,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда согласно (2.5) и (2.6) будем иметь
$$
\begin{equation}
\int_{E (r_{s_1})}^\infty\frac{d\zeta}{\zeta^{n/(n-p)}} \geqslant C\int_0^{\gamma_{s_1}}\frac{\widetilde h (\sigma \zeta)}{\zeta}\,d\zeta.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Не представляет труда убедиться, что
$$
\begin{equation}
\int_{E (r_{s_1})}^\infty\frac{d\zeta}{\zeta^{n/(n-p)}}=\frac{n-p}{p}E^{-p/(n-p)} (r_{s_1})<\infty.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
В то же время,
$$
\begin{equation*}
\widetilde h (\sigma \zeta)\geqslant\frac{Cf (\sigma \zeta)}{\zeta^{n (p-1)/(n-p)}}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $\zeta > 0$ из некоторой окрестности нуля, так как $f$ – неубывающая функция на промежутке $[0, \varepsilon]$, поэтому в силу (1.5) имеем
$$
\begin{equation*}
\int_0^{\gamma_{s_1}}\frac{\widetilde h (\sigma \zeta)}{\zeta}\,d\zeta=\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для завершения доказательства остается заметить, что последнее равенство противоречит (2.7) и (2.8). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KonShi24} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|