| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Асимптотические представления решений А. П. Косаревab, А. А. Шкаликовab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S000143462407023X 
Реферативные базы данных:
 1. Введение1.1. Определения и основные целиВ работе рассматривается $(n \times n)$-система обыкновенных дифференциальных уравнений вида
$$
\begin{equation}
y'-B(x)y-C(x, \lambda)y=\lambda A(x) y, \qquad y=y(x), \quad x \in [0, 1],
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где
$$
\begin{equation}
A=\operatorname{diag}\{a_1, \dots, a_n\}, \qquad B=\{b_{ij}\}, \qquad C=\{c_{ij}(\cdot, \lambda)\}, \qquad y=(y_1, \dots, y_n)^\top,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
а $\lambda$ – большой параметр (в краевых задачах он играет роль спектрального параметра). В общем случае полагаем, что элементы матриц $A$, $B$ и $C(\cdot, \lambda)$ – суммируемые на отрезке $[0, 1]$ функции, причем в метрике пространства $L_1[0, 1]$ $\|c_{ij}(\cdot, \lambda)\|_{1} \to 0$ равномерно при $\lambda \to \infty$, $\lambda \in \mathbb{C}$. Последнее условие нам будет удобно записать в форме
$$
\begin{equation}
\|c_{ij}(\cdot, \lambda)\|_{L_1} \leqslant \upsilon(\lambda),
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
где функция $\upsilon(\lambda)$ стремится к нулю при $\lambda \to \infty$. Основная цель статьи – получить в новой транспарентной форме результаты об асимптотических представлениях при $\lambda \to \infty$ фундаментальных решений системы (1.1). Исследования по этой теме появились более 100 лет назад в работах Хорна, Шлезингера, Биркгофа, Тамаркина, Лангера. Подробнее об этом скажем ниже. Эти результаты в последующих многочисленных работах, как для скалярных обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для систем, в разных формах были представлены в статьях и книгах многих авторов, но без акцента на требования к гладкости коэффициентов. Понижение условий на гладкость потребовало модернизации методов доказательств. Один из основных элементов новизны этой работы – минимальные условия на гладкость элементов матриц $A$, $B$ и $C$. Формулируемые ниже теоремы 1.2–1.4 новые. Основная цель работы – провести подготовку для построения спектральной теории краевых задач, порожденных системами (1.1). Результаты в этом направлении, кроме последних работ авторов, получены лишь для постоянных коэффициентов $a_j$ матрицы $A$. Наша дальнейшая цель (в последующих статьях) – получить их для переменных коэффициентов. Будем говорить, что на дуге $\lambda=e^{i\theta}$, $\theta \in [\theta_0, \theta_1]$, выполнено условие Биркгофа (или условие упорядоченности), если существует такая перестановка $\sigma$ индексов $\{1, \dots, n\}$ функций $a_j$, что неравенства
$$
\begin{equation}
\operatorname{Re} e^{i\theta}a_{\sigma(1)}(x) \leqslant \operatorname{Re} e^{i\theta}a_{\sigma(2)}(x)\leqslant \dots \leqslant \operatorname{Re} e^{i\theta}a_{\sigma(n)}(x) \qquad \text{п.в.} \quad x \in [0, 1]
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
выполнены для всех $\theta \in [\theta_0, \theta_1]$ (здесь и далее “п.в.” означает “почти для всех”, а $\operatorname{Re} \lambda$ обозначает вещественную часть числа $\lambda$). В случае $\theta_0=\theta_1$ будем говорить об условии Биркгофа (или условии упорядоченности) в точке. Не ограничивая общности, далее считаем, что $\theta_0=0$, если говорим об условии Биркгофа в точке, и $[\theta_0, \theta_1]=[-\alpha, \alpha]$, если говорим об этом условии на дуге. Этого можно добиться поворотом комплексного параметра $\lambda \mapsto \widehat{\lambda}$ и переобозначением функций $a_j \mapsto \widehat{a}_j$
$$
\begin{equation*}
\widehat{\lambda}=\exp\biggl(-\frac{i(\theta_0+\theta_1)}2\biggr)\lambda, \qquad \widehat{a}_j(x)= \exp\biggl(\frac{i(\theta_0+\theta_1)}2\biggr)a_j(x),
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, для простоты изложения полагаем, что цепочка неравенств (1.4) выполняется с тождественной перестановкой $\sigma$. В доказательстве теорем будут даны комментарии, что меняется, если в каком-то секторе перестановка $\sigma$ нетривиальная. Замена нестрогих неравенств в (1.4) на строгие приводит к следующему полезному условию
$$
\begin{equation}
\operatorname{Re} e^{i\theta} a_1(x) < \operatorname{Re} e^{i\theta} a_2(x)<\dots < \operatorname{Re} e^{i\theta} a_n(x) \qquad \text{п.в.} \quad x \in [0, 1],
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
выполнение которого предполагаем либо на дуге $\theta \in [-\alpha, \alpha]$, $\alpha < \pi/2$, либо в точке $\theta=0$. Это условие назовем условием Шлезингера (или условием строгой упорядоченности) на дуге или в точке соответственно. Позже мы поясним мотивы наших определений. Отметим, что выполнение условия Биркгофа на дуге или в точке влечет выполнение неравенств
$$
\begin{equation}
\operatorname{Re} \lambda a_{1}(x) \leqslant \operatorname{Re} \lambda a_{2}(x)\leqslant \dots \leqslant \operatorname{Re} \lambda a_{n}(x) \qquad \text{п.в.} \quad x \in [0, 1]
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
в секторе
$$
\begin{equation}
\Lambda_{\alpha}=\bigl\{\lambda \in \mathbb{C} \mid |\operatorname{arg} \lambda| \leqslant \alpha\bigr\}
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
или на луче $\lambda=r > 0$. Более того, выполнение условия (1.4) влечет выполнение обратных неравенств в противоположном секторе $-\Lambda_{\alpha}$ или на противоположном луче $\lambda=-r < 0$ (т.е. условие Биркгофа будет выполнено и в противоположном секторе с перестановкой $\sigma$, соответствующей перенумерации индексов в обратном порядке). Такое же замечание, очевидно, верно и для условия Шлезингера. Из определения условий Биркгофа и Шлезингера следует, что их выполнение определяется не функциями $a_j$, а их попарными разностями, для которых будем использовать обозначения
$$
\begin{equation}
\gamma_{jk}(x)=a_j(x)-a_k(x), \quad \Gamma_{jk}(x)=\int_0^x (a_j(t)-a_k(t))\,dt, \qquad j, k=1, \dots, n.
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
Будем говорить, что выполнено условие невырожденности, если для каждой разности $\gamma_{jk}$ почти всюду определена функция $\gamma_{jk}^{-1}=1/\gamma_{jk}$ и при некотором $1 \leqslant p \leqslant \infty$ выполнено
$$
\begin{equation}
\gamma_{jk} \in L_p[0, 1], \quad \gamma_{jk}^{-1} \in L_{p'}[0, 1], \qquad \frac1p+ \frac{1}{p'}=1, \quad \forall\,1 \leqslant j < k \leqslant n.
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
Это условие, не встречавшееся ранее в литературе, вместе с условием Биркгофа (1.4) оказывается достаточным для существования асимптотических представлений в соответствующем секторе. Введем еще одно условие, которое авторы вводили ранее для $(2 \times 2)$-систем. Будем говорить, что выполнено условие постоянства аргументов разностей (или просто условие постоянства аргументов), если
$$
\begin{equation}
\gamma_{jk}(x)=a_j(x)-a_k(x)=e^{i\theta_{jk}}\varrho_{jk}(x), \quad \varrho_{jk}(x) > 0 \qquad \text{п.в.} \quad x \in [0, 1],
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
где $\theta_{jk} \in [0, 2\pi)$, $\varrho_{jk}(x) \in L_1[0, 1]$. Очевидно, это условие не гарантирует, что $\gamma_{jk}^{-1} \in L_{p'}[0, 1]$ при некотором $1 \leqslant p' \leqslant \infty$. Это условие представляется ограничительным, но оно имеет принципиальное значение в связи теоремой 1.4, сформулированной ниже. Условие постоянства аргументов выполняется, например, если $a_j(x)=a_j \varrho(x)$, где $a_j \ne a_k=\mathrm{const}$, $0 < \varrho \in L_1[0, 1]$. При $n=2$ это условие выполняется если $a_1(x)=\alpha(x)+i\gamma(x)$, $a_2(x)=\beta(x)+i\gamma(x)$ и $\alpha(x) < \beta(x)$, а $\alpha,\beta,\gamma$ – вещественные суммируемые функции. При $n=4$ это условие выполняется, например, если $a_1=\alpha+i\gamma$, $a_2=\beta+i\gamma$, $a_3=\alpha-i\gamma$, $a_4=\beta-i\gamma$, $\gamma=\alpha-\beta < 0$. Здесь $\alpha, \beta, \gamma$ – вещественные суммируемые функции. Важный пример выполнения условия постоянства аргументов представляют гиперболические системы, для которых функции $a_j$ вещественны и
$$
\begin{equation*}
a_1(x) < a_2(x) < \dots < a_n(x) \qquad \text{п.в.} \quad x \in [0, 1].
\end{equation*}
\notag
$$
1.2. Формулировка результатовЗдесь сформулируем, а ниже докажем основные результаты работы. Для формулировки результатов определим диагональные матрицы
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, E(x, \lambda)=\operatorname{diag} \biggl\{\exp\biggl(\lambda \int_0^x a_1(t)\,dt\biggr), \dots, \exp\biggl(\lambda \int_0^x a_n(t)\,dt\biggr) \biggr\}, \\ D(x)=\operatorname{diag}\bigl\{b_{11}(x), \dots, b_{nn}(x)\bigr\}, \\ M(x)= \operatorname{diag} \biggl\{\exp\biggl(\int_0^x b_{11}(t)\,dt\biggr), \dots, \exp\biggl(\int_0^x b_{nn}(t)\,dt\biggr)\biggr\}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
а также матрицы $Q$ и $P$
$$
\begin{equation}
Q(x)=M^{-1}(x)\bigl(B(x)-D(x)\bigr)M(x), \qquad P(x, \lambda)=M^{-1}(x)C(x, \lambda)M(x).
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
Очевидно, что элементы этих матриц, функции $q_{jk}$ и $p_{jk}$, принадлежат пространству $L_1[0, 1]$, причем
$$
\begin{equation}
\|p_{jk}(\cdot, \lambda)\|_{L_1} \leqslant K\upsilon(\lambda),
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
где $K$ – константа, а $\upsilon(\lambda)$ – функция из условия (1.3). В формулировке теоремы будет участвовать функция $\Upsilon(\lambda)$, которую определим ниже формулой (4.19). Она зависит от функций $q_{jk}$ и $\Gamma_{jk}$, которые определены в (1.12) и (1.8), и обладает свойством $\Upsilon(\lambda) \to 0$ при $\lambda \to \infty$ в тех секторах $\lambda$-плоскости, где мы рассматриваем асимптотические разложения. Теорема 1.1. Пусть выполнены условие Биркгофа (1.4) на дуге $e^{i\theta}$, $\theta \in [-\alpha, \alpha]$, $\alpha \leqslant \pi/2$, и условие невырожденности (1.9) для элементов матрицы $A$, а также условие (1.3) на убывание элементов матрицы $C(\cdot, \lambda)$. Тогда при любом фиксированном $\kappa \geqslant 0$ существует фундаментальная матрица $Y(x, \lambda)$ решений уравнения (1.1), которая в сдвинутом влево секторе
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{\alpha, \kappa}=\bigl\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \lambda=-\kappa+re^{i\theta},\, r \geqslant 0,\, \theta \in [-\alpha, \alpha]\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
имеет асимптотическое представление
$$
\begin{equation}
Y(x, \lambda)=M(x)\bigl(I+R(x, \lambda)\bigr)E(x, \lambda),
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
где элементы $r_{jk}$ матрицы $R(x, \lambda)$ подчинены неравенствам
$$
\begin{equation}
|r_{jk}(x, \lambda)| \leqslant K\bigl(\Upsilon(\lambda)+\upsilon(\lambda)\bigr), \qquad \Upsilon(\lambda), \upsilon(\lambda) \to 0
\end{equation}
\tag{1.15}
$$
равномерно при $\lambda \to \infty$ в секторе $\Lambda_{\alpha, \kappa}$. Если $\alpha=0$ (т.е. дуга $e^{i\theta}$, $\theta \in [-\alpha, \alpha]$, вырождается в точку $1$), то утверждение остается справедливым, если сектор $\Lambda_{\alpha, \kappa}$ заменить на полуполосу
$$
\begin{equation*}
\Pi_{\kappa}=\bigl\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re} \lambda \geqslant 0,\, |\operatorname{Im} \lambda | \leqslant \kappa \bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, если матрица-функция $C(x, \lambda)$ голоморфна в $\Lambda_{\alpha, \kappa_0}$ при некотором $\kappa_0 > \kappa$ (в $\Pi_{\kappa_0}$ при некотором $\kappa_0 > \kappa$), то матрица-функция $R(x, \lambda)$ голоморфна в $\Lambda_{\alpha, \kappa}$ ($\Pi_{\kappa}$). Утверждение теоремы остается справедливым, если сектор $\Lambda_{\alpha, \kappa}$ заменить на противоположный сектор $-\Lambda_{\alpha, \kappa}$ или полуполосу $\Pi_{\kappa}$ – на противоположную $-\Pi_{\kappa}$. Можно отказаться от условия невырожденности (1.9), если условие Биркгофа заменить условием Шлезингера. В этой связи оказывается полезной следующая теорема. Теорема 1.2. Пусть $\alpha \in [0, \pi/2)$ и условие Шлезингера выполнено на дуге $\{e^{i\theta}$, $\theta \in [-\alpha, \alpha]\}$. Тогда при любом фиксированном $\kappa \geqslant 0$ существует фундаментальная матрица решений $Y(x, \lambda)$ уравнения (1.1), которая в секторе $\Lambda_{\alpha, \kappa}$ имеет представление (1.14)–(1.15) равномерно при $\lambda \to \infty$, $\lambda \in \Lambda_{\alpha, \kappa}$. Если $\alpha=0$, т.е. условие Шлезингера выполнено только в точке $1$ ($\theta=0$), то представление (1.14)–(1.15) справедливо при $\lambda \to \infty$ в полуполосе $\lambda \in \Pi_{\kappa}$. Если матрица-функция $C(x, \lambda)$ голоморфна в $\Lambda_{\alpha, \kappa_0}$ ($\Pi_{\kappa_0}$) при некотором $\kappa_0 > \kappa$, то матрица-функция $R(x, \lambda)$ голоморфна в $\Lambda_{\alpha, \kappa}$ ($\Pi_{\kappa}$). Утверждение теоремы остается справедливым, если сектор $\Lambda_{\alpha, \kappa}$ заменить на противоположный сектор $-\Lambda_{\alpha, \kappa}$ или полуполосу $\Pi_{\kappa}$ на противоположную $-\Pi_{\kappa}$. Следующая теорема устанавливает критерии выполнения условий Биркгофа и Шлезингера. Перед формулировкой напомним, что сектор $\Lambda_{\alpha}$ определен равенством (1.7). Теорема 1.3. Пусть $a_1, \dots, a_n$ – суммируемые комплекснозначные функции. Для выполнения условия Биркгофа на дуге $\{e^{i\theta} \mid \theta \in [-\alpha, \alpha]\}$, $\alpha \in [0, \pi/2]$ (при $\alpha=0$ дуга вырождается в точку), необходимо и достаточно, чтобы для каждой пары индексов $j \ne k$ значения функции $a_j-a_k$ почти при всех $x \in [0, 1]$ лежали либо только в $\Lambda_{\pi/2-\alpha}$, либо только в $-\Lambda_{\pi/2-\alpha}$. Для выполнения условия Шлезингера на дуге $\{e^{i\theta} \mid \theta \in [-\alpha, \alpha]\}$, $\alpha \in [0, \pi/2)$ (при $\alpha=0$ дуга вырождается в точку), необходимо и достаточно, чтобы для каждой пары индексов $j \ne k$ значения функции $a_j-a_k$ почти при всех $x \in [0, 1]$ лежали либо только в $\mathring{\Lambda}_{\pi/2-\alpha}$, либо только в $-\mathring{\Lambda}_{\pi/2-\alpha}$, где $\mathring{\Lambda}_{\pi/2-\alpha}$ – внутренность сектора $\Lambda_{\pi/2-\alpha}$, т.е. $\Lambda_{\pi/2-\alpha}$ без границы. Теорема 1.4. Для того, чтобы условие Биркгофа выполнялось на дугах, объединение которых совпадает со всей единичной окружностью, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие постоянства аргументов (1.10). Для построения спектральной теории краевых задач для систем вида (1.1) важно иметь условия, которые гарантируют существование секторов $\Lambda^{j}$, которые покрывают всю комплексную плоскость, и в каждом из которых справедливо асимптотическое представление (1.14)–(1.15). Из теоремы 1.4 следует, что для этого должно выполняться условие постоянства аргументов (1.10). Однако, в этом случае условие Шлезингера не выполняется на лучах $\Theta_{jk}= re^{i(\pi/2-\theta_{jk})}$, $r > 0$, которые мы назовем критическими. Поэтому из теоремы 1.2 не следует утверждение теоремы 1.5, сформулированной ниже. Из теоремы 1.1 также не следует теорема 1.5, так как для функций $\gamma_{jk}$ условие невырожденности (1.9) может не выполняться. Пусть выполнено условие постоянства аргументов (1.10). Занумеруем все различные числа $\theta_{jk}$ одним индексом $\nu$ в порядке возрастания аргумента
$$
\begin{equation}
\theta_0 \leqslant 0 < \theta_1 < \dots < \theta_m=\theta_0+2\pi, \qquad m \leqslant n^2-n.
\end{equation}
\tag{1.16}
$$
Отметим, что вместе с числом $\theta_{0}$ в набор $\{\theta\}_{j=0}^{m}$, всегда входит и число $\pi+\theta_{0}$, поэтому $m \geqslant 2$. Для $j=1, \dots, m$ обозначим через $\omega_{j}$ дуги $\lambda=e^{i\theta}$, $\pi/2- \theta_{j} \leqslant \theta \leqslant \pi/2-\theta_{j-1}$, а через $\Lambda^{j}$ – секторы, опирающиеся на дуги $\omega_{j}$ (сектор $\Lambda^{j}$ ограничен соседними критическими лучами с аргументами $\pi/2-\theta_{j}$ и $\pi/2-\theta_{j-1}$). Несложно проверить, что на дугах $\omega_{j}$ выполнено условие Биркгофа (а тогда в секторах $\Lambda^{j}$ выполнены неравенства (1.4)). Через $\Lambda_{\kappa}^{j}$ обозначим сектор $\Lambda^{j}$, сдвинутый на $\kappa \geqslant 0$ вдоль продолжения биссектрисы $\Lambda^j$ во внешность этого сектора. Очевидно, $\Lambda^{j}= e^{i(\pi-\theta_j-\theta_{j-1})/2}\Lambda_{\alpha_j}$, где $\alpha_j=(\theta_j- \theta_{j-1})/2$. Секторы $\Lambda^{j}$ покрывают всю комплексную плоскость $\mathbb{C}$, а секторы $\Lambda_{\kappa}^{j}$ покрывают $\mathbb{C}$ с наложением друг на друга, образуя в пересечении полуполосы ширины $2\kappa\sin \alpha_j$, которые мы также назовем критическими (они содержат критические лучи $re^{i(\pi/2-\theta_{jk})}$, $r > 0$). Подчеркнем еще раз: при выполнении условия (1.10) в секторах $\Lambda^{j}$ между критическими лучами выполнены условия Биркгофа (1.4). Но функции $\varrho_{jk}$ в (1.10) только положительны и суммируемы, поэтому условие невырожденности (1.9) может не выполняться, и теорема 1.1 не применима. Условие Шлезингера (1.5) не выполняется на критических лучах, поэтому теорема 1.2 также не позволяет получить асимптотические представления в секторах, покрывающих в совокупности всю комплексную плоскость. В этой связи оказывается полезной следующая теорема. Теорема 1.5. Пусть выполнено условие постоянства аргументов (1.10), а $\Lambda_{\kappa}^{j}$, $j=1, \dots, m$, – секторы, построенные выше. Тогда при фиксированном $\kappa \geqslant 0$ в каждом секторе $\Lambda_{\kappa}^{j}$ существует фундаментальная матрица $Y(x, \lambda)$ решений уравнения (1.1), которая имеет представление (1.14)–(1.15) равномерно при $\lambda \to \infty$, $\lambda \in \Lambda_{\kappa}^{j}$. Если матрица-функция $C(x, \lambda)$ голоморфна в $\Lambda_{\kappa_0}^{j}$ при некотором $\kappa_0 > \kappa$, то матрица-функция $R(x, \lambda)$ голоморфна в $\Lambda_{\kappa}^{j}$. 1.3. Исторические замечанияПервым математиком, получившим асимптотические формулы для скалярных уравнений второго порядка, был Хорн [1], [2]. В частности, для уравнения Штурма–Лиувилля он доказал, что существуют фундаментальные решения этого уравнения, имеющие в верхней и нижней полуплоскостях комплексной плоскости асимптотические представления
$$
\begin{equation}
y_{\pm}(x, \lambda)=\exp\bigl(\pm i\sqrt{a(x)} \lambda\bigr)(1+O(\lambda^{-1})).
\end{equation}
\tag{1.17}
$$
При условии бесконечной гладкости функций $q$ и $a$ остаток $O(\lambda^{-1})$ представляется в виде формального ряда по степеням $\lambda^{-1}$. Этот результат позволил Хорну впервые найти асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций уравнения Штурма–Лиувилля с краевыми условиями Штурма. Для получения асимптотик (1.17) Хорн впервые использовал метод последовательных приближений. Это был важнейший вклад в теорию обыкновенных дифференциальных операторов, хотя полноту собственных функций оператора Штурма–Лиувилля с краевыми условиями Штурма, которые рассматривал Хорн, он не доказал. В случае вещественного потенциала $q$ это сделал Стеклов [3], [4]. Для оператора с краевыми условиями Дирихле он доказал сходимость рядов (в норме пространства $C[0,1]$) по собственным функциям таких операторов для гладких функций, обращающихся в нуль на концах отрезка. Асимптотические представления для систем вида (1.1) и более общих (но с матрицей $C(\cdot, \lambda)$, представленной в виде формального ряда по степеням $\lambda^{-1}$) первым получил Шлезингер [5] в 1907 г. А именно, он показал, что в случае выполнения при фиксированном $\theta$ на луче $\lambda=re^{i\theta}$, $r > 0$, цепочки строгих неравенств (1.5) существуют фундаментальные решения этого уравнения, представимые на этом луче также в виде формального ряда по степеням $\lambda^{-1}$. Более того, он доказал, что эти формальные ряды являются асимптотическими представлениями истинных решений в смысле Пуанкаре. Но Шлезингер не развивал далее свои результаты. Первым, кто написал формулы для собственных значений и собственных функций краевых задач, порожденных системой (1.1) с постоянными коэффициентами на диагонали матрицы $A$, был Тамаркин [6]. Он также показал, что для регулярных краевых задач гладкие функции разлагаются в равномерно сходящиеся ряды по собственным и присоединенным функциям краевой задачи. Позже, уже в более совершенной форме, он опубликовал эти результаты в работе [7]. Однако Тамаркин существенно использовал важные результаты более ранних работ Биркгофа [8], [9]. В этих работах Биркгоф изучал уравнения, которые имеют вид
$$
\begin{equation}
y^{(n)}+p_1(x, \lambda)y^{(n-1)}+\dots+p_n(x, \lambda)y=0,
\end{equation}
\tag{1.18}
$$
где $p_{k}(x, \lambda)=\sum_{j=0}^k p_{jk}(x)\lambda^{j}$ – полиномы степени $k$, $k=1, \dots, n$. Корни $w_j=w_j(x)$, $j=1, \dots, n$, соответствующего характеристического уравнения играют ту же роль, что функции $a_j=a_j(x)$ на диагонали матрицы $A$ в (1.1). Биркгоф нашел асимптотические представления для решений уравнения (1.18) в случае, когда функции $\omega_j(x)$ подчинены условию (1.4) в некотором секторе комплексной плоскости, и дополнительно $w_j(x) \ne w_k(x)$ при всех $x \in [0, 1]$, где $j \ne k$. Эти результаты он применил для исследования задачи на собственные значения для обыкновенных дифференциальных операторов $n$-го порядка с краевыми условиями, которые он назвал регулярными. Для регулярных операторов Биркгоф нашел асимптотические формулы их собственных значений и собственных функций, а также доказал теорему о возможности разложения гладких функций в ряды по корневым функциям регулярного оператора. Изучение систем вида (1.1), где матрица $C(\cdot,\lambda)$ представима в виде асимптотического разложения по степеням $\lambda^{-1}$, Биркгоф предпринял в совместной работе с Лангером [10]. В частности, в случае бесконечно дифференцируемых коэффициентов матриц $A$, $B$ и $C$ Биркгоф и Лангер доказали теорему 1.1 (при $\kappa=0)$ при условии полной невырожденности $a_j(x)- a_k(x) \ne 0$ при всех $x \in [0,1]$ и $j\ne k$. Развивая идею работ [8], [9], они определили понятие регулярности краевой задачи для систем уравнений вида (1.1), но только в случае постоянных коэффициентов матрицы $A$. Для регулярных краевых задач так же, как в работах Тамаркина [6], [7], Биркгоф и Лангер доказали теорему о разложении достаточно гладких функций в ряды по корневым функциям соответствующих краевых задач. Построение спектральной теории краевых задач для уравнения (1.18) с общими краевыми условиями, зависящими от $\lambda$, было предпринято Шкаликовым в работе [11] в случае $p_{kk}(x) \equiv c_k \equiv \mathrm{const}$, $k=1, \dots, n$. Там же было показано, что разлагать в ряды по корневым функциям нужно не одну функцию в пространствах $C[0,1]$ или $L_p[0,1]$, а $n$ функций в пространствах $\mathcal{W}^r_{p, U}$, которые являются подпространствами в $ W^{n+r}_p \oplus W^{n+r- 1}_p \oplus \dots \oplus W^r_p $, где $W_p^k$ – соболевские пространства. Индекс $U$ означает зависимость $\mathcal W^r_{p, U}$ от краевых условий. В разных формах аспекты теории Биркгофа–Тамаркина–Лангера излагались в книгах [12]–[16]. Остатки в асимптотических представлениях получались в форме $O(\lambda^{-1})$. Оценки остатка в форме $o(1)$ появились в работе Рыхлова [17] (и более ранних работах этого автора, см. ссылки в [17]). В работах Биркгофа и Биркгофа–Лангера коэффициенты матриц-функций для простоты предполагались бесконечно гладкими, но с замечанием, что для получения остатка в виде $O(\lambda^{-m})$ достаточно требовать конечную гладкость. В работах Тамаркина для получения остатка в форме $O(\lambda^{-1})$ требовалось, чтобы коэффициенты в матрицах были непрерывно дифференцируемыми ($C^1$-гладкость). Вагабов [18] заметил, что если от матрицы $A$ требовать $C^1$-гладкость, а от матриц $B$ и $C(\cdot, \lambda)$ – только непрерывность, то теорема Тамаркина об асимптотических представлениях остается справедливой с заменой остатка вида $O(\lambda^{-1})$ на $o(1)$. Этот результат улучшил Рыхлов. Условие $C^1$-гладкости для матрицы $A$ он заменил на абсолютную непрерывность, а условие непрерывности для матриц $B$ и $C(\cdot, \lambda)$ – на суммируемость, сохранив при этом остаток в форме $o(1)$ в норме $C[0, 1]$. При этом матрица $A$ не предполагалась изначально диагональной, но в случае абсолютной непрерывности можно перейти к диагональной $A$ с абсолютно непрерывными функциями на диагонали. Поэтому справедливо заметить, что метод работы [17] может быть перенесен на случай систем вида (1.1), когда матрица $A$ диагональна, ее элементы – непрерывные функции и при некотором $\delta > 0$ выполнено условие сильной невырожденности $|a_j(x)-a_k(x)| \geqslant \delta > 0$ для всех $x \in [0, 1]$. Очевидно, такое требование является существенно более жестким, чем наше условие невырожденности (1.9) и условие $a_j \in L_1[0, 1]$. В 2012 г. появилась работа Джакова и Митягина [19], в которой для оператора Дирака с регулярными краевыми условиями и $L_2$-потенциалом (этот оператор порождается $(2 \times 2)$-системой с функциями $a_1(x)=-a_2(x)=1$, $C(\cdot, \lambda) \equiv 0$) была доказана теорема о безусловной базисности корневых функций этого оператора. Метод доказательства не использовал асимптотическую теорию. Савчук и Шкаликов [20] показали, что методы асимптотической теории позволяют получить более сильный результат, а именно, теорема о безусловной базисности остается справедливой для $L_1$-потенциала. В работах Владыкиной и Шкаликова [21] для скалярных уравнений второго порядка, а позже в работе Савчука и Шкаликова [22] для уравнений высших порядков теоремы об асимптотических представлениях были получены в полуплоскостях и секторах комплексной плоскости со сдвигом, причем в условиях на коэффициенты уравнений допускались не только суммируемые функции, но и распределения. Метод доказательства [22] существенно используется в этой работе, хотя условия на коэффициенты матрицы $A$ в [22] существенно более жесткие, нежели у нас, а потому проведение оценок требует ряда новых приемов. Основная техническая трудность в том, что мы отказываемся от требования абсолютной непрерывности функций матрицы $A$, предполагая только их суммируемость, а также отказываемся от условия сильной невырожденности $|a_j(x)-a_k(x)| \geqslant \delta > 0$ при всех $x \in [0, 1]$. Мы надеемся, что новые понятия, которые вводятся в этой работе, упростят понимание полученных результатов и их доказательств. Отметим также, что результаты для $(2 \times 2)$-систем авторами были получены в работах [23], [24], а для гиперболических систем анонсированы в работе [25] (с изучением спектральных свойств операторов, порожденных такими системами). 2. Доказательство теорем 1.3 и 1.4Введем обозначение, которое будем использовать только в этом пункте. Пусть $\gamma\colon [0, 1] \to \mathbb{C}$ – суммируемая комплекснозначная функция, а $W \subset \mathbb{C}$ – некоторое подмножество комплексной плоскости. Тогда через $\gamma^{-1}(W)$ обозначим полный прообраз множества $W$ при отображении $\gamma$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\gamma^{-1}(W) :=\{x \in [0, 1] \mid \gamma(x) \in W\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1.3 сформулирована и доказана для дуги, симметричной относительно действительной оси. Однако она легко переносится на случай произвольной дуги $\lambda=e^{i\theta}$, $\theta \in [\theta_0, \theta_1]$ (или точки при $\theta_0=\theta_1$). После поворота комплексного параметра $\lambda \mapsto \widehat{\lambda}$ и переобозначения функций $a_j \mapsto \widehat{a}_j$
$$
\begin{equation*}
\widehat{\lambda}=\exp\biggl(-\frac{i(\theta_0+\theta_1)}2\biggr)\lambda, \qquad \widehat{a}_j(x)= \exp\biggl(\frac{i(\theta_0+\theta_1)}2\biggr)a_j(x),
\end{equation*}
\notag
$$
очевидно, выполняются равенства $\lambda a_j=\widehat{\lambda}\widehat{a}_{j}$, $j=1, \dots, n$. Поэтому условие Биркгофа выполнено на дуге $\lambda=e^{i\theta}$, $\theta \in [\theta_0, \theta_1]$ тогда и только тогда, когда для параметра $\widehat{\lambda}$ и функций $\widehat{a}_1, \dots, \widehat{a}_n$ условие Биркгофа выполнено на дуге $\widehat{\lambda}=e^{i\theta}$, $\theta \in [-\alpha, \alpha]$, где $\alpha=(\theta_1-\theta_0) / 2$. Теорема 1.3 состоит из двух частей. Проведем их доказательство отдельно. 2.1. Доказательство критерия выполнения условия БиркгофаДостаточность. Если $a_j(x)-a_k(x) \in \Lambda_{\pi/2-\alpha}$, то
$$
\begin{equation}
\operatorname{arg}\{e^{i\theta}(a_j(x)-a_k(x))\} \in \biggl[-\frac{\pi}2, \frac{\pi}2\biggr] , \qquad \operatorname{Re}\{e^{i\theta}(a_j(x)-a_k(x))\} \geqslant 0
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
почти для всех $x \in [0, 1]$. Если же $a_j(x)-a_k(x) \in -\Lambda_{\pi/2-\alpha}$, то
$$
\begin{equation}
\operatorname{arg}\{e^{i\theta}(a_j(x)-a_k(x))\} \in \biggl[\frac{\pi}2, \frac{3\pi}2\biggr], \qquad \operatorname{Re}\{e^{i\theta}(a_j(x)-a_k(x))\} \leqslant 0
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
почти для всех $x \in [0, 1]$. Таким образом, для каждой пары индексов $j \ne k$ выражение $\operatorname{Re}\{e^{i\theta}(a_j(x)-a_k(x))\}$ остается либо неотрицательным, либо неположительным для любого $\theta \in [-\alpha, \alpha]$ и почти для всех $x \in [0, 1]$. Теперь остается правильно перенумеровать функции $a_1, \dots, a_n$ (что эквивалентно поиску соответствующей подстановки $\sigma$ в условии (1.4)). Упорядочивать функции будем последовательно, при необходимости меняя индексы у уже перенумерованных функций. Если $\operatorname{Re}\{e^{i\theta}(a_1(x)-a_2(x))\} \leqslant 0$, то $\widehat{a}_1 :=a_1$, $\widehat{a}_2 :=a_2$, иначе $\widehat{a}_1 :=a_2$, $\widehat{a}_2 :=a_1$. Пусть мы уже перенумеровали функции $a_1, \dots, a_{k-1}$ в $\widehat{a}_1, \dots, \widehat{a}_{k-1}$ таким образом, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{Re} e^{i\theta}\widehat{a}_{1}(x) \leqslant \operatorname{Re} e^{i\theta}\widehat{a}_{2}(x) \leqslant \dots \leqslant \operatorname{Re} e^{i\theta}\widehat{a}_{k-1}(x) \qquad \text{п.в.} \quad x \in [0, 1].
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Возьмем следующую функцию $a_k$. Если $\operatorname{Re}\{e^{i\theta}(\widehat{a}_{k-1}(x)-a_k(x))\} \leqslant 0$, то $\widehat{a}_k := a_k$. В противном случае найдется наименьший индекс $m \in \{1, k-1\}$ такой, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re}e^{i\theta}a_{k}(x) \leqslant \operatorname{Re}e^{i\theta}\widehat{a}_{m}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае вставим $a_k$ на $m$-е место
$$
\begin{equation*}
\widehat{a}_k :=\widehat{a}_{k-1}, \dots, \widehat{a}_{m+1} :=\widehat{a}_{m}, \qquad \widehat{a}_{m} :=a_{k}, \qquad \widehat{a}_{m-1} :=\widehat{a}_{m-1}, \dots, \widehat{a}_{1}=\widehat{a}_{1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что неравенства (2.3) теперь выполнены для функций $\widehat{a}_1, \dots, \widehat{a}_k$. Повторяя эту процедуру при $k=3, \dots, n$, мы получим перенумерованные функции $\widehat{a}_1, \dots, \widehat{a}_{n}$, для которых будут выполнены неравенства (1.4). Достаточность доказана. Необходимость докажем от обратного. Обозначим через $\mu$ меру Лебега на отрезке $[0, 1]$. Пусть для некоторой пары индексов $j \ne k$ для функции $\gamma_{jk}=a_j-a_k$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\mu\bigl(\gamma_{jk}^{-1}(\mathbb{C} \setminus \Lambda_{\pi/2-\alpha})\bigr) > 0, \qquad \mu\bigl(\gamma_{jk}^{-1}(\mathbb{C} \setminus (-\Lambda_{\pi/2-\alpha}))\bigr) > 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\alpha=0$, то $\Lambda_{\pi/2-\alpha}$ и $-\Lambda_{\pi/2-\alpha}$ – левая и правая замкнутые полуплоскости. Тогда
$$
\begin{equation}
\operatorname{Re}\{a_j(x)-a_k(x)\} < 0 \qquad \text{при}\quad x \in \gamma_{jk}^{-1}(\mathbb{C} \setminus \Lambda_{\pi/2-\alpha}),
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
$$
\begin{equation}
\operatorname{Re}\{a_j(x)-a_k(x)\} > 0 \qquad \text{при}\quad x \in \gamma_{jk}^{-1}\bigl(\mathbb{C} \setminus (-\Lambda_{\pi/2-\alpha})\bigr),
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
что противоречит тому, что условие Биркгофа должно выполняться для точки $1$. Если $0 < \alpha \leqslant \pi/2$, то комплексная плоскость распадается на три непересекающихся множества: два замкнутых сектора $\pm \Lambda_{\pi/2-\alpha}$ и открытое дополнение к ним
$$
\begin{equation*}
\mathbb{C}=\Lambda_{\pi/2-\alpha} \cup (-\Lambda_{\pi/2-\alpha}) \cup \mathbb{C} \setminus \bigl(\Lambda_{\pi/2-\alpha} \cup (-\Lambda_{\pi/2- \alpha})\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Множество $\mathbb{C} \setminus \bigl(\Lambda_{\pi/2 - \alpha} \cup(-\Lambda_{\pi/2 - \alpha})\bigr)$ представляет собой объединение двух открытых секторов раствора $2\alpha$, биссектрисами которых являются положительная и отрицательная мнимые полуоси. Если прообраз хотя бы одного из этих секторов (при отображении $\gamma_{jk}=a_j-a_k$) имеет положительную меру, то действительные части
$$
\begin{equation}
\operatorname{Re}\{e^{-i\alpha}(a_j(x)-a_k(x))\}, \qquad \operatorname{Re}\{e^{i\alpha}(a_j(x)-a_k(x))\}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
будут иметь строго разный знак при всех $x$ из этого прообраза, т.е. условие Биркгофа не может выполняться при всех $\theta \in [-\alpha, \alpha]$. Противоречие. Значит, положительную меру должны иметь оба множества
$$
\begin{equation}
\gamma_{jk}^{-1}\bigl(\Lambda_{\pi/2-\alpha} \setminus \{0\} \bigr), \qquad \gamma_{jk}^{-1}\bigl((-\Lambda_{\pi/2-\alpha}) \setminus \{0\} \bigr),
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
тогда выражение строго положительно на одном из множеств (2.7) и строго отрицательно на другом. Снова пришли к противоречию. Первая часть теоремы 1.3 доказана. 2.2. Доказательство критерия выполнения условия ШлезингераДля доказательства второй части теоремы 1.3 достаточно повторить рассуждения из первой части с заменой $\pm \Lambda_{\pi/2 -\alpha}$ на $\pm \mathring{\Lambda}_{\pi/2 -\alpha}$ и строгих (нестрогих) неравенств на нестрогие (строгие). При доказательстве достаточности отрезки в (2.1), (2.2) заменятся на интервалы и, соответственно, выражение $\operatorname{Re}\{e^{i\theta}(a_j(x)-a_k(x))\}$ для каждой пары индексов будет либо строго положительным, либо строго отрицательным. Процедура перенумерации при этом не изменится. При доказательстве необходимости секторы $\pm \Lambda_{\pi/2-\alpha}$ сменятся на открытые секторы $\pm\mathring{\Lambda}_{\pi/2-\alpha}$, значит, дополнение к ним станет замкнутым. В результате строгие неравенства в (2.4), (2.5), (2.6), (2.8) сменятся на нестрогие, а тогда получим противоречие с выполнением условия Шлезингера. Теорема доказана. Важно отметить, что добавка “почти для всех $x \in [0, 1]$” в формулировке условия Шлезингера оказывается существенной не только для интегрируемых, но и для непрерывных функций $a_1, \dots, a_n$. Если строгие неравенства в (1.5) нарушаются на множестве меры нуль, то равномерное стремление к нулю экспонент вида
$$
\begin{equation*}
\exp\biggl(\lambda\int_s^x a_j(\xi)-a_k(\xi)\,d\xi\biggr), \quad x, s \in [0, 1], \quad 0 < \delta \leqslant x-s, \qquad \text{при} \quad \lambda \to \infty
\end{equation*}
\notag
$$
сохраняется, что является ключевым моментом в доказательстве теоремы 1.2. Замечание 2.1. Рассмотрим пример $(2 \times 2)$-системы вида (1.1). Пусть Несложно видеть, что и условие Биркгофа, и условие Шлезингера выполнено на дуге $\{e^{i\theta}, \theta \in [-\pi/4, \pi/4]\}$ (строгие неравенства (1.5) нарушаются только в концевых точках, т.е. на множестве меры нуль), и ни на какой большей дуге, содержащей эту дугу, ни одно из условий не выполняется. Более того, для системы с такой матрицей $A$ не выполняются ни условия теоремы 1.1 (очевидно, $(a_1-a_2)^{-1}=a_1^{-1} \notin L_1[0, 1]$), ни теоремы 1.5 (аргумент разности $a_1-a_2$ не постоянен). При этом теорема 1.2 дает асимптотические представления фундаментальной матрицы в секторах $\pm \Lambda_{\pi/4, \kappa}$. Таким образом, условие Шлезингера имеет самостоятельное значение, позволяя получать асимптотические представления для дополнительного класса систем. Замечание 2.2. Комплексную плоскость нельзя покрыть секторами, в которых выполнены условия Шлезингера. Это видно уже на примере $(2 \times 2)$-матриц. Если, например, $a_1(x) < a_2(x)$, то условие Шлезингера не выполняется ни на положительной, ни на отрицательной мнимых полуосях и, соответственно, ни в каких секторах, пересекающихся с мнимой осью. 2.3. Доказательство теоремы 1.4Доказательство этой теоремы идейно повторяет рассуждение из теоремы 1.3. Достаточность. Пусть выполнено условие постоянства аргументов (1.10). Занумеруем все различные числа $\theta_{jk}$ одним индексом $\nu$ в порядке возрастания так же, как в (1.16). Для $j=1, \dots, m$ обозначим через $\omega_{j}$ дуги $\lambda=e^{i\theta}$, $\pi/2- \theta_{j} \leqslant \theta \leqslant \pi/2-\theta_{j-1}$. Зафиксируем произвольный индекс $l \in \{1, \dots, m\}$ и покажем, что на дуге $\omega_l$ выполнено условие Биркгофа. По построению никакой луч вида $re^{i\theta_{jk}}$, $r \geqslant 0$, не может лежать ни между лучами с аргументами $\theta_{l-1}$ и $\theta_{l}$, ни между лучами с аргументами $\theta_{l-1}+\pi$ и $\theta_{l}+\pi$. Другими словами при $j \ne k$ значения функции $a_j-a_k$ почти при всех $x \in [0, 1]$ лежат либо только в множестве $\Lambda^1$, либо только в множестве $\Lambda^2$, где
$$
\begin{equation*}
\Lambda^1=\{-\pi+\theta_l \leqslant \operatorname{arg} z \leqslant \theta_{l-1}\}, \qquad \Lambda^2=\{\theta_l \leqslant \operatorname{arg} z \leqslant \pi+\theta_{l-1}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $a_j(x)-a_k(x) \in \Lambda^{1}$, то для всех $\theta \in [\pi/2-\theta_l, \pi/2- \theta_{l-1}]$
$$
\begin{equation}
\operatorname{arg}\{e^{i\theta}(a_j(x)-a_k(x))\} \in \biggl[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}2\biggr], \qquad \operatorname{Re}\{e^{i\theta}(a_j(x)-a_k(x))\} \geqslant 0.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Если $a_j(x)-a_k(x) \in \Lambda^{2}$, то для всех $\theta \in [\pi/2-\theta_l, \pi/2- \theta_{l-1}]$
$$
\begin{equation}
\operatorname{arg}\{e^{i\theta}(a_j(x)-a_k(x))\} \in \biggl[\frac\pi2, \frac{3\pi}2\biggr], \qquad \operatorname{Re}\{e^{i\theta}(a_j(x)-a_k(x))\} \leqslant 0.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Таким образом, при всех $j \ne k$ выражение $\operatorname{Re}\{e^{i\theta}(a_j(x)-a_k(x))\}$ сохраняет знак. Процедура перенумерации индексов функций $a_j$ из теоремы 1.3 завершает доказательство достаточности. Необходимость. Пусть для пары индексов $j \ne k$ значения функции $a_j-a_k$ не лежат на одном луче. То есть найдутся два множетсва $X_1, X_2 \subset [0, 1]$ положительной меры такие, что $\operatorname{arg}\{a_j(x)-a_k(x)\}=\alpha_1$ при $x \in X_1$ и $\operatorname{arg}\{a_j(x)- a_k(x)\}=\alpha_2$ при $x \in X_2$, где $0 < \alpha_2-\alpha_1 \leqslant \pi$. Если $\alpha_2=\pi+\alpha_1$, то имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \operatorname{Re}\{e^{-i\alpha_1}(a_j(x)-a_k(x))\} > 0 \qquad \text{при} \quad x \in X_1, \\ \operatorname{Re}\{e^{-i\alpha_1}(a_j(x)-a_k(x))\} < 0 \qquad \text{при} \quad x \in X_2, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. условие Биркгофа не может выполняться в точке $\theta=-\alpha_1$. Значит, $0 < \alpha_2-\alpha_1 < \pi$. Тогда для $\theta=\pi/2-(\alpha_1+\alpha_2)/2$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \operatorname{arg} e^{i\theta}(a_j(x)-a_k(x))=\frac\pi2-\frac{\alpha_2-\alpha_1}2 \in \biggl(0, \frac\pi2\biggr) \qquad \text{при} \quad x \in X_1, \\ \operatorname{arg} e^{i\theta}(a_j(x)-a_k(x))=\frac\pi2+\frac{\alpha_2-\alpha_1}2 \in \biggl(\frac\pi2, \pi\biggr) \qquad \text{при} \quad x \in X_2, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. выражение $\operatorname{Re}\{e^{i\theta}(a_j(x)-a_k(x))\}$ меняет знак в зависимости от $x \in X_1$ или $x \in X_2$, и условие Биркгофа не может выполняться в точке $\theta=\pi/2- (\alpha_1+\alpha_2)/2$. Противоречие. Теорема доказана.
3. Три леммыЛемма 3.1. Пусть $\alpha \in [0, \pi/2]$, а комплекснозначная функция $\gamma \in L_p[0, 1]$ и $1/\gamma=\gamma^{-1} \in L_{p'}[0, 1]$, $1 \leqslant p \leqslant \infty$, $1/p+1/p'= 1$. Положим $\Gamma(t)=\int_0^t \gamma(\xi)\,d\xi$ и предположим, что непрерывные функции $\Gamma_{1}(x)$ и $\Gamma_{2}(s)$ таковы, что для любого $\theta \in [-\alpha, \alpha]$ Положим
$$
\begin{equation}
F(s, x, \lambda)=\exp\bigl(\lambda(\Gamma_1(x)+\Gamma_2(s))\bigr)\int_s^{\max \{x, s\}} q(t)e^{\lambda\Gamma(t)}\,dt,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где функция $q \in L_1[0, 1]$. Тогда функция $F$ допускает оценку где $\Upsilon(\lambda) \to 0$ при $\lambda \to \infty$ равномерно в секторе $\lambda \in \Lambda_{\kappa, \lambda}$ при любом фиксированном $\kappa \geqslant 0$. Если $\alpha=0$, то оценка (3.3) справедлива в полуполосе $\Pi_{\kappa}= \{\lambda \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re} \lambda \geqslant 0, |\operatorname{Im} \lambda | \leqslant \kappa \}$ при любом фиксированном $\kappa \geqslant 0$. Такая же оценка верна для интегралов
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \exp\bigl(\lambda(\Gamma_1(x)+\Gamma_2(s))\bigr)\int_0^{\min{\{x, s\}}} q(t)e^{\lambda\Gamma(t)}\,dt, \\ \exp\bigl(\lambda(\Gamma_1(x)+\Gamma_2(s))\bigr)\int_{\max{\{x, s\}}}^{1} q(t)e^{\lambda\Gamma(t)}\,dt, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
если условие (3.1) выполняется для любого $t {\in} [0, \min{\{x, s\}}]$ и любого $ t {\in} [\max{\{x, s\}}, 1]$ соответственно. Доказательство. Верхний предел интегрирования в (3.2) мы пишем в форме $\max\{x, s\}$, чтобы исключить случай $x < s$, при котором условие (3.1) может не выполняться.
Шаг 1. Сначала приведем доказательство в случае $\Gamma_1(x)+\Gamma_2(s) \equiv 0$. Для чисел $\lambda=-\kappa+re^{i\theta} \in \Lambda_{\kappa, \lambda}$ в силу условия (3.1) имеем
$$
\begin{equation}
\operatorname{Re} \lambda \Gamma(t)=\operatorname{Re} \bigl(-\kappa\Gamma(t)+r e^{i\theta}\Gamma(t)\bigr) \leqslant \kappa \max_{t \in [0, 1]}|\Gamma(t)|=: K,
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где через $K, K_1, K_2, \dots$ обозначаются различные постоянные, не зависящие от значений $x, s, \lambda$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
|F(s, x, \lambda)| \leqslant \int_0^1 |q(t)|e^{\operatorname{Re} \lambda\Gamma(t)}\,dt \leqslant \|q\|_{1}e^{K},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\|\cdot\|_p$ – норма в пространстве $L_p=L_p[0, 1]$. Непрерывные функции плотны в $L_1$, поэтому для любого $\varepsilon > 0$ найдется функция $q_0 \in C[0,1]$ такая, что $\|q-q_0\| \leqslant \varepsilon$. Это влечет оценку
$$
\begin{equation*}
|F(s, x, \lambda)| \leqslant \varepsilon e^K+|F_0(x, s, \lambda)|,
\end{equation*}
\notag
$$
где $F_0$ определена равенством (3.2), в котором $q$ заменена на $q_0$. Поэтому в силу произвольности $\varepsilon$ утверждение леммы достаточно доказать для функции $F_0$.
Далее случаи $p > 1$ и $p=1$ рассматриваются отдельно. Шаг 2. Пусть $p > 1$. Тогда $q_0\gamma^{-1} \in L_{p'}$. Непрерывно дифференцируемые функции плотны в $L_{p'}$, поэтому найдется функция $q_1 \in C^1[0, 1]$ такая, что $\|q_0\gamma^{-1}-q_1\|_{p'} \leqslant \varepsilon$, где $\varepsilon > 0$ произвольно мало. В силу неравенства Гёльдера имеем
$$
\begin{equation*}
\int_{s}^x\bigl(q_0(t)\gamma^{-1}(t)-q_1(t)\bigr)\gamma(t)e^{\lambda\Gamma(t)}\,dt \leqslant e^K\|q_0\gamma^{-1}-q_1\|_{p'}\|\gamma\|\big|_{p} \leqslant\varepsilon e^{K}\|\gamma\|\big|_{p}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу произвольности $\varepsilon > 0$ достаточно доказать утверждение леммы для функции
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag F_1(s, x, \lambda) &=\int_s^x q_1(t)\gamma(t)e^{\lambda\Gamma(t)}\,dt= \frac{1}{\lambda}\int_s^x q_1(t)\,de^{\lambda\Gamma(t)} \\ &=\frac{1}{\lambda}\biggl(q_1(t)e^{\lambda\Gamma(t)}\big|_s^x -\int_s^xq_1'(t)e^{\lambda\Gamma(t)}\,dt\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Из оценки (3.5) и непрерывности функций $q_1$ и $q_1'$ следует оценка
$$
\begin{equation*}
F_1(s, x, \lambda) \leqslant \frac{e^K}{\lambda} \Bigl(2\max_{t \in [0, 1]}|q_1(t)|+ \max_{t\in[0, 1]}|q_1'(t)|\Bigr)\leqslant K_1|\lambda|^{-1},
\end{equation*}
\notag
$$
что влечет утверждение леммы при $p > 1$.
Шаг 3. Пусть $p=1$. Тогда $\gamma^{-1} \in L_{\infty}$, а потому $\widehat{q}= q_0\gamma^{-1} \in L_{\infty}$, т.е. можно считать, что $|\widehat{q}(t)| \leqslant K_2$, так как изменение значений $\widehat{q}$ на множестве меры нуль не повлияет на значение интеграла. Пространство $L_{\infty}$ несепарабельно, поэтому приблизить функцию $\widehat{q}$ в метрике $L_{\infty}$ непрерывной нельзя. Но можно воспользоваться теоремой Лузина. А именно, для любого $\delta > 0$ найдутся непрерывные функции $\phi$ и множество $\Delta \in [0, 1]$ такие, что $\widehat{q}(t)=\phi(t)$ при $t \in \Delta$, а лебегова мера множества $\Delta'=[0, 1] \setminus \Delta$ не превосходит $\delta$. Функция $\psi(t)=\max{\{\phi(t), K_2\}}$ также непрерывна, при этом $|\psi(t)| \leqslant K_2$ и $\psi(t)=\widehat{q}(t)$ при $t \in \Delta$. Теперь для функции $F_0$ получаем оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |F_0(s, x, \lambda)| &\leqslant \int_{\Delta''} |\widehat{q}(t)-\psi(t)|\,|\gamma(t)|e^{K}\,dt + \biggl|\int_s^x\psi(t)\gamma(t)e^{\lambda\Gamma(t)}\,dt\biggr| \\ &\leqslant 2K_2e^K\int_{\Delta''} |\gamma(t)|\,dt + \biggl|\int_s^x\psi(t)\gamma(t)e^{\lambda\Gamma(t)}\,dt\biggr|, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Delta''=\Delta' \cap [s, x]$, при этом лебегова мера $\mu(\Delta'') \leqslant \delta$. Согласно теореме об абсолютной непрерывности интеграла Лебега первое слагаемое в правой части последнего неравенства оценивается величиной $2K_2e^K\varepsilon$, где $\varepsilon \to 0$ при $\delta \to 0$.
Так как $\psi \in C[0, 1]$, то найдется функция $q_1 \in C^1[0, 1]$ такая, что $|\psi(t)-q_1(t)| \leqslant \varepsilon$. Тогда второй интеграл в последнем неравенстве оценивается величиной
$$
\begin{equation*}
\varepsilon e^{K} \int_{0}^{1}|\gamma(t)|\,dt+ \biggl|\frac{1}{\lambda}\int_s^xq_1(t)\,de^{\lambda\Gamma(t)}\biggr| \leqslant \varepsilon K_3+K_4 |\lambda|^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Этим завершается доказательство леммы для случая $\Gamma_1(x)+\Gamma_2(s) \equiv 0$.
Шаг 4. В общем случае доказательство не меняется. Достаточно учесть, что в силу неравенства (3.1) и непрерывности функций $\Gamma_1(x)$ и $\Gamma_2(s)$ для всех $\lambda=-\kappa+re^{i\theta} \in \Lambda_{\kappa, \alpha}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re} \lambda \bigl(\Gamma(t)+\Gamma_1(x)+\Gamma_2(s)\bigr) \leqslant \kappa \Bigl(\max_{t \in [0, 1]}|\Gamma(t)|+\max_{x \in [0, 1]}|\Gamma_1(x)|+\max_{s \in [0, 1]}|\Gamma_2(s)|\Bigr)=: \widehat{K}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, как и ранее, остается верным неравенство
$$
\begin{equation*}
|F(s, x, \lambda)| \leqslant \|q\|_{1}e^{\widehat{K}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\alpha=0$, то доказательство сохраняется с точностью до замены сектора $\Lambda_{\kappa, \lambda}$ на полуполосу $\Pi_{\kappa}$. Рассуждение для интегралов (3.4) не меняется. Лемма доказана. Лемма 3.2. Пусть $\alpha \in [0, \pi/2)$, а комплекснозначные функции $\Gamma_j$ представимы в виде где $\gamma_j \in L_1[0, 1]$, причем Положим
$$
\begin{equation}
F(s, x, \lambda)=\int_s^{\max \{x, s\}} q(t)\exp\bigl(\lambda(\Gamma_1(t)-\Gamma_1(s)+ \Gamma_2(x)-\Gamma_2(t))\bigr)\,dt,
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
где функция $q \in L_1[0, 1]$. Тогда функция $F$ допускает оценку где $\Upsilon(\lambda) \to 0$ при $\lambda \to \infty$ равномерно в секторе $\lambda \in \Lambda_{\kappa, \lambda}$ при любом фиксированном $\kappa \geqslant 0$. Если $\alpha=0$, то оценка (3.10) справедлива в полуполосе $\Pi_{\kappa}= \{\lambda \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re} \lambda \geqslant 0, |\operatorname{Im} \lambda | \leqslant \kappa \}$ при любом фиксированном $\kappa \geqslant 0$. Та же оценка верна для интегралов вида (3.9) c пределами интегрирования от $0$ до $\min\{x, s\}$ и от $\max\{x, s\}$ до $1$ при условии, что каждый знак в (3.8) (строго больше или строго меньше) задан таким образом, что $\operatorname{Re} e^{i\theta}(\Gamma_{1}(t)-\Gamma_{1}(s)) \leqslant 0$ и $\operatorname{Re} e^{i\theta}(\Gamma_{2}(x)-\Gamma_{2}(t)) \leqslant 0$ при всех $\theta \in [-\alpha, \alpha]$, $x, s \in [0, 1]$ и $t$ в пределах интегрирования. Доказательство. В силу представления (3.7) и условия (3.8) для $\lambda=-\kappa+ re^{i\theta}$, $r \in [0, \infty)$, $\theta \in [-\alpha, \alpha]$ выполнено неравенство при всех $0 \leqslant s < x \leqslant 1$.
Зафиксируем произвольное $\varepsilon > 0$. В силу теоремы об абсолютной непрерывности интеграла Лебега найдется $\delta > 0$ такое, что для любого множества $\Delta$ с лебеговой мерой не больше $\delta$ выполнено неравенство Функции
$$
\begin{equation*}
T_1(t, s, \theta)=\operatorname{Re} e^{i\theta}\bigl(\Gamma_1(t)-\Gamma_1(s)\bigr), \qquad T_2(t, x, \theta)=\operatorname{Re} e^{i\theta}\bigl(\Gamma_1(x)-\Gamma_1(t)\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
определены и непрерывны в параллелепипеде $\Pi=[0, 1]^{2} \times [-\alpha, \alpha]$. В силу условия (3.8) функция $T_1$ строго отрицательна на компакте $s+\delta \leqslant t \leqslant 1$, $s \in [0, 1]$, $\theta \in [-\alpha, \alpha]$, а функция $T_2$ строго отрицательна на компакте и $0 \leqslant t \leqslant x-\delta$, $x \in [0, 1]$, $\theta \in [-\alpha, \alpha]$. Следовательно, найдется константа $c > 0$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, T_1(t, s, \theta) \leqslant -c, \qquad \text{если} \quad s+\delta \leqslant t \leqslant 1, \quad s \in [0, 1], \quad \theta \in [-\alpha, \alpha], \\ T_2(t, x, \theta) \leqslant -c, \qquad \text{если} \quad 0 \leqslant t \leqslant x-\delta, \quad x \in [0, 1], \quad \theta \in [-\alpha, \alpha]. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
При $x-s > 2\delta$ представим интеграл (3.9) в виде
$$
\begin{equation}
F(s, x, \lambda)=\biggl(\int_{s}^{s+\delta}+\int_{x-\delta}^{x}+ \int_{s+\delta}^{x-\delta}\biggr) q(t) \exp\bigl(\lambda(\Gamma_1(t)-\Gamma_1(s)+\Gamma_2(x)- \Gamma_2(t))\bigr)\,dt.
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
В силу неравенства (3.11) и выбора $\delta$ из условия (3.12) первые два интеграла допускают оценку $\leqslant \varepsilon$. Тогда при всех $\lambda=-\kappa+re^{i\theta}$, $r \in [0, \infty)$, $\theta \in [-\alpha, \alpha]$ справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
|F(s, x, \lambda)| \leqslant 2\varepsilon+e^{K}e^{-2cr}\int_{0}^{1}|q(t)|\,dt \leqslant 3\varepsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
где последнее неравенство выполнено, если $r$ достаточно велико. Так как по условию $\alpha \in (0, \pi/2)$, то при $\lambda \in \Lambda_{\alpha, \kappa}$ и $\lambda \to \infty$ имеем $|\lambda|/r \to 1$, поэтому последняя оценка сохраняется при всех достаточно больших $\lambda \in \Lambda_{\alpha, \kappa}$.
При $x-s \leqslant 2\delta$ оценка $|F(s, x, \lambda)| \leqslant 2\varepsilon$ сразу следует из неравенства (3.11) и выбора $\delta$ из условия (3.12). Если $\alpha=0$, то доказательство для полуполосы $\Pi_{\kappa}$ не меняется. Доказательство для интегралов с пределами интегрирования от $0$ до $\min\{x, s\}$ и от $\max\{x, s\}$ до $1$ (при условии согласования знаков в (3.8)) отличается только разбиением (3.13), а именно, они представляются в виде соответственно. Лемма доказана.Следующая лемма является аналогом леммы 3.1, но с другим условием на функцию $\gamma$. Лемма 3.3. Пусть $\alpha \in (0, \pi/2]$, и функция $\gamma$ представима в виде $\gamma(\xi)=\beta \varrho(\xi)$, где $\beta \ne 0$ – комплексное число, а $\varrho \in L_1[0, 1]$ и $\varrho(\xi) > 0$ п.в. $x \in [0, 1]$. Положим $\Gamma(t)=\int_0^t \gamma(\xi)\,d\xi$ и предположим, что непрерывные функции $\Gamma_{1}(x)$ и $\Gamma_{2}(s)$ таковы, что выполнено неравенство (3.1). Если функция $F$ определена равенством (3.2), где $q \in L_1[0, 1]$, то она допускает оценку где $\Upsilon(\lambda) \to 0$ при $\lambda \to \infty$ равномерно в секторе $\lambda \in \Lambda_{\kappa, \lambda}$ при любом фиксированном $\kappa \geqslant 0$. Утверждение верно и для интегралов (3.4), если условие (3.1) выполняется при $t \in [0, \min{\{x, s\}}]$ и $t \in [\max{\{x, s\}}, 1]$ соответственно. Доказательство. Множитель $\exp\{\lambda(\Gamma_1(x)+\Gamma_2(s))\}$ не зависит от $t$, поэтому при оценке интеграла (3.2) его можно рассматривать как константу, гарантирующую неравенство (3.1) при всех $x,s \in [0, 1]$. Следовательно, достаточно доказать лемму, когда $\Gamma_1(x)+\Gamma_2(s) \equiv 0$, а неравенство (3.1) остается справедливым.
Сделаем замену По условию леммы функция $w(t)$ абсолютно непрерывна и строго возрастает, поэтому замена корректна. Тогда интеграл $F$ примет вид
$$
\begin{equation*}
F(s, x, \lambda)=\int_{w(s)}^{w(x)} \widehat{q}(\zeta)e^{\lambda\beta\zeta}\,d\zeta, \qquad \widehat{q}(\zeta)=q(t(\zeta))\frac{1}{\varrho(t(\zeta))},
\end{equation*}
\notag
$$
где $t(\zeta)$ – обратная к $w(t)$ функция, а $[w(s), w(x)] \subset [0, \omega]$, $\omega=w(1)$. При этом
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{\omega} |\widehat{q}(\zeta)|\,d\zeta=\int_{0}^{1} |q(t)|\,dt,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому функция $\widehat{q} \in L_1[0, \omega]$.
Заметим, что в силу условия (3.1) для любого $\lambda=-\kappa+ re^{i\theta} \in \Lambda_{\alpha, \kappa}$ все так же верна оценка
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re} \lambda \beta \zeta \leqslant \kappa \int_0^1 \varrho(u)\,du =\kappa |\beta|^{-1}\max_{t \in [0, 1]} |\Gamma(t)|=: K.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство завершается так же, как в лемме Римана–Лебега. Для произвольно малого $\varepsilon > 0$ найдется функция $q_1 \in C^1[0, \omega]$ такая, что $\|\widehat{q}- q_1\|_{L_1[0, \omega]}$ меньше $\varepsilon$, поэтому интеграл $F$ допускает оценку
$$
\begin{equation*}
|F(s, x, \lambda)| \leqslant \varepsilon e^K+\int_{w(s)}^{w(x)} q_1(\zeta)e^{\lambda\beta\zeta}\,d\zeta.
\end{equation*}
\notag
$$
После интегрирования по частям получаем оценку при всех достаточно больших $|\lambda|$. Лемма доказана.4. Доказательство основных теорем4.1. Доказательство теоремы 1.1Шаг 1. От системы (1.1) перейдем к матричному уравнению
$$
\begin{equation}
Y'(x, \lambda)-B(x)Y(x, \lambda)-C(x, \lambda)Y(x, \lambda)=\lambda A(x)Y(x, \lambda)
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
с неизвестной матрицей $Y(x, \lambda)=\{y_{jk}(x, \lambda)\}_{j,k=1}^{n}$. Осуществим замену переменных с неизвестной $(n \times n)$-матрицей $Z(x, \lambda)$. Подставляя $Y(x, \lambda)$ в (4.1) с учетом равенств $E'=\lambda A E$ и $M'=DM$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, M' ZE+MZ' E+MZE'=\lambda AMZE+BMZE+CMZE, \\ DMZE+MZ' E+MZ\lambda A E=\lambda A MZE+DMZE+(B-D)MZE CMZE, \\ MZ' E=\lambda (AMZ-MZA)E+(B-D)MZE+CMZE. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Умножим на $M^{-1}$ слева и на $E^{-1}$ справа и учтем, что диагональные матрицы $M$ и $A$ коммутируют. Тогда где матрицы $Q(x)$ и $P(x, \lambda)$ определены в (1.12).В координатной записи полученное уравнение имеет вид
$$
\begin{equation}
z_{jk}'(x, \lambda)=\lambda\bigl(a_j(x)-a_k(x)\bigr)z_{jk}(x, \lambda)+ \sum_{l=1}^{n}\bigl(q_{jl}(x)+p_{jl}(x, \lambda)\bigr)z_{lk}(x, \lambda).
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Зафиксируем индекс $k$ и рассмотрим отдельно $k$-й столбец в уравнении (4.3). Проведем интегрирование в (4.4), выбирая начальные условия $z_{jk}(0, \lambda)=0$ для $j < k$, $z_{jk}(1, \lambda)=0$ для $j > k$ и $z_{kk}(0, \lambda)=1$. В результате получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, z_{kk}(x, \lambda)-1 &=\int_{x_{jk}}^{x} \sum_{l=1}^{n} \bigl(q_{kl}(t)+p_{kl}(t, \lambda)\bigr)z_{lk}(t, \lambda)\,dt, \\ z_{jk}(x, \lambda) &=\int_{x_{jk}}^{x} \exp\bigl(\lambda(\Gamma_{jk}(x)-\Gamma_{jk}(t))\bigr)\sum_{l=1}^{n} \bigl(q_{jl}(t)+p_{jl}(t, \lambda)\bigr)z_{lk}(t, \lambda)\,dt, \qquad j \ne k, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
где $j, k=1, \dots, n$, и $x_{jk}=0$ при $j \leqslant k$ и $x_{jk}=1$ при $j > k$. Здесь и далее нам удобнее использовать запись $\int_{x_{jk}}^x$ вместо того, чтобы рассматривать два интеграла $\int_0^x$ и $\int_x^1$. Конечно, всегда полагаем $\int_b^a=- \int_a^b$. Так как по условию теоремы условие Биркгофа выполняется на дуге $\theta \in [-\alpha, \alpha]$ с тождественной подстановкой $\sigma$, то неравенства (1.6) выполнены при всех $\lambda=re^{i\theta}$, $r \in [0,+\infty)$, $\theta \in [-\alpha, \alpha]$. Следовательно, такой выбор начальных условий обеспечивает выполнение неравенств
$$
\begin{equation}
\operatorname{Re} \lambda(\Gamma_{jk}(x)-\Gamma_{jk}(t)) \leqslant 0 \qquad \forall\, t \in [x_{jk}, x],
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
из чего, очевидно, следует ограниченность всех экспонент из (4.5) в пределах интегрирования. Если в секторе условие Биркгофа (1.4) выполнено с некоторой нетождественной подстановкой $\sigma$, то начальные условия в (4.5) нужно снова выбирать исходя из логики выполнения неравенства (4.6) (следовательно, начальные условия будут уже другими). При этом все дальнейшие рассуждения сохраняются. Как будет видно далее, это и приводит к тому, что в каждом секторе остаток $R(x, \lambda)$ из (1.14) имеет свое представление и равномерно стремится к нулю только в рамках своего сектора. Через $z_k$ обозначим $k$-й столбец матрицы $Z(x, \lambda)$, а через $V_k=V_k(\lambda)$ – интегральный оператор, определенный соответствующей правой частью равенств (4.5), а именно, если $h=V_k(\lambda)f$, где $f,h$ – $n$-мерные вектор-функции, то $j$-я координата вектора $h$ имеет вид
$$
\begin{equation}
h_j(x, \lambda)=\int_{x_{jk}}^{x} \exp\bigl(\lambda(\Gamma_{jk}(x)-\Gamma_{jk}(t))\bigr) \sum_{l=1}^{n} \bigl(q_{jl}(t)+p_{jl}(t, \lambda)\bigr)f_l(t)\,dt,
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
где $f_l$ – $l$-я координата вектора $f$. Тогда уравнения (4.5) для $z_k$ запишутся в виде
$$
\begin{equation}
z_k=z_k^0+V_kz_k, \quad z_k^0=(\delta_{1k}, \dots, \delta_{nk})^\top, \qquad k=1, \dots, n.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Оператор $V_k$ естественным образом представляется в виде суммы двух операторов где $Q_k$ и $P_k$ определены правой частью (4.7) с заменой суммы $q_{jl}(t)+p_{jl}(t, \lambda)$ на $q_{jl}(t)$ и $p_{jl}(t, \lambda)$ соответственно.Всюду далее мы предполагаем, что нормы векторов и операторов берутся в пространстве $L_{\infty}^n[0, 1]$, поэтому будем опускать соответствующие индексы в выражениях $\|\cdot\|_{L_{\infty}^n}$ и $\|\cdot\|_{L_{\infty}^n \to L_{\infty}^n}$. В силу неравенства (4.6) найдется такая константа $K > 0$, что для всех чисел $\lambda=-\kappa+re^{i\theta} \in \Lambda_{\kappa, \lambda}$ будет выполнено
$$
\begin{equation}
\operatorname{Re} \lambda\bigl(\Gamma_{jk}(x)-\Gamma_{jk}(t)\bigr) \leqslant \operatorname{Re} \bigl\{-\kappa(\Gamma_{jk}(x)-\Gamma_{jk}(t))\bigr\} \leqslant 2\kappa \max_{j, k, t}|\Gamma_{jk}(t))| \leqslant K,
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Пусть $f \in L_{\infty}^{n}$, $h=P_k(\lambda)f \in AC^{n}$, где $f, h$ – $n$-мерные вектор-функции. Тогда с учетом (1.13) имеем
$$
\begin{equation}
\|P_k(\lambda)f\|=\|h(x, \lambda)\| \leqslant e^{K} \sum_{j=1}^{n}\sum_{l=1}^{n} \int_{0}^{1} |p_{jl}(t, \lambda)|\,|f_l(t)|\,dt \leqslant e^k n^2 K \upsilon(\lambda)\|f\|.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Константу перед $\|f\|$ в последнем неравенстве обозначим через $K_1$. Теперь для нормы оператора $P_k$ очевидна оценка т.е. оператор $P_k\colon (L_{\infty}[0, 1])^n \to (L_{\infty}[0, 1])^n$ является сжимающим. Если положить $K_q :=\sum_{j, k=1}^{n} \|q_{jk}\|_{L_1}$, то таким же образом получается оценка
$$
\begin{equation}
\|Q_k\|_{L_{\infty \to L_\infty}} \leqslant e^K K_Q=: K_2.
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Шаг 2. Покажем, что оператор $V_k^2$ – сжатие. Для оператора $V_k^2(\lambda)$ верно равенство В силу оценок (4.12), (4.13) для суммы последних трех операторов с некоторой константой $K_3 > 0$ верна оценка
$$
\begin{equation}
\bigl\|Q_k(\lambda)P_k(\lambda)+P_k(\lambda)Q_k(\lambda)+P_k^2(\lambda)\bigr\| \leqslant K_3\upsilon(\lambda).
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Таким образом, достаточно доказать, что $Q_k^2$ – сжатие. Для этого рассмотрим действие оператора $Q_k^2(\lambda)$. Пусть $g=Q_k^2(\lambda)f$, тогда, пользуясь определением (4.7), запишем $j$-ю координату вектора $g$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag g_j(x, \lambda) &=\int_{x_{jk}}^{x} \exp\bigl(\lambda(\Gamma_{jk}(x)-\Gamma_{jk}(t))\bigr) \\ &\qquad\times\sum_{l=1}^{n} q_{jl}(t, \lambda)\int_{x_{lk}}^{t} \exp\bigl(\lambda(\Gamma_{lk}(t)-\Gamma_{lk}(s))\bigr) \sum_{m=1}^{n} q_{lm}(s, \lambda)f_m(s)\,ds\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
Вынесем знаки сумм наружу и изменим порядок интегрирования в (4.15). В зависимости от комбинации индексов $j, k, l$ есть 4 варианта расстановки пределов ($x_{jk}, x_{lk} \in \{0, 1\}$) в двойном интеграле (4.15) и, соответственно, 4 варианта расстановки пределов после смены порядка интегрирования. Явно их запишем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_{0}^x \int_0^t W \,ds\,dt=\int_{0}^{1}\int_{s}^{\max{\{x, s\}}} W \,dt\,ds, \qquad \int_{0}^x \int_1^t W \,ds\,dt=\int_{0}^{1}\int_{\min{\{x, s\}}}^0 W\,dt\,ds, \\ \int_{1}^x \int_0^t W \,ds\,dt=\int_{0}^{1}\int_{1}^{\max{\{x, s\}}} W \,dt\,ds, \qquad \int_{1}^x \int_1^t W \,ds\,dt=\int_{0}^{1}\int_{x}^{\max{\{x, s\}}} W \,dt\,ds, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где через $W$ обозначена соответствующая подынтегральная функция от переменных $t$, $s$, $x$, $\lambda$. В результате выражение (4.15) для $g_j(x, \lambda)$ запишется в виде
$$
\begin{equation}
g_j(x, \lambda)=\sum_{m=1}^n\int_{0}^{1} \biggl(\sum_{l=1}^{n}q_{lm}(s, \lambda)v_{jkl}(s, x, \lambda)\biggr)f_m(s)\,ds,
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
где функции $v_{jkl}(s, x, \lambda)$ определяются следующим образом:
$$
\begin{equation}
v_{jkl}(s, x, \lambda)=\int q_{jl}(t) \exp\bigl(\lambda(\Gamma_{lk}(t)-\Gamma_{lk}(s)+\Gamma_{jk}(x)-\Gamma_{jk}(t))\bigr)\,dt.
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Здесь функции $q_{jl}$ и $\Gamma_{jk}$ определены в (1.12) и (1.8), а пределы интегрирования следующие:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \text{от }s\text{ до }\max{\{x, s\}} & \text{при } j, l \leqslant k, \\ \text{от }\min{\{x, s\}}\text{ до }0 & \text{при } j \leqslant k < l, \\ \text{от }1\text{ до }\max{\{x, s\}} & \text{при } l \leqslant k < j, \\ \text{от }x\text{ до }\max{\{x, s\}} & \text{при } k < j, l. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
Покажем это на примере, когда $j, l \leqslant k$ (т.е. $x_{jk}=0$, $x_{lk}=0$). Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g_j(x, \lambda) &=\int_{0}^{x} \exp\bigl(\lambda(\Gamma_{jk}(x)-\Gamma_{jk}(t))\bigr) \\ &\qquad\times\sum_{l=1}^{n} q_{jl}(t, \lambda)\int_{0}^{t} \exp\bigl(\lambda(\Gamma_{lk}(t)-\Gamma_{lk}(s))\bigr)\sum_{m=1}^{n} q_{lm}(s, \lambda)f_m(s)\,ds\,dt \\ &=\sum_{l=1}^{n}\sum_{m=1}^{n}\int_{0}^{x} \exp\bigl(\lambda(\Gamma_{jk}(x)-\Gamma_{jk}(t))\bigr) q_{jl}(t, \lambda) \\ &\qquad\times\int_{0}^{t} \exp\bigl(\lambda(\Gamma_{lk}(t)-\Gamma_{lk}(s))\bigr) q_{lm}(s, \lambda)f_m(s)\,ds\,dt \\ &=\sum_{m=1}^{n}\int_{0}^{1} \biggl(\sum_{l=1}^{n}q_{lm}(s, \lambda) \\ &\qquad\times \int_{s}^{\max{\{x, s\}}} \exp\bigl(\lambda(\Gamma_{jk}(x)-\Gamma_{jk}(t)+\Gamma_{lk}(t)-\Gamma_{lk}(s))\bigr) q_{jl}(t, \lambda)\,dt\biggr)f_m(s)\,ds \\ &=\sum_{m=1}^n\int_{0}^{1}\biggl(\sum_{l=1}^{n}q_{lm}(s, \lambda)v_{jkl}(s, x, \lambda)\biggr)f_m(s)\,ds. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для оценки остатков в представлении $Y(x, \lambda)$ определим функцию
$$
\begin{equation}
\Upsilon(\lambda)=\Upsilon_{\infty}(\lambda)=\max_{j, k, l, s, x} |v_{jkl}(s, x, \lambda)|.
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
Покажем, что $\Upsilon(\lambda) \to 0$ при $\lambda \to \infty$, $\lambda \in \Lambda_{\alpha, \kappa}$. Возьмем произвольные индексы $j, k, l$ и соответствующую функцию $v_{jkl}(s, x, \lambda)$. Заметим, что в представлении (1.12) для матрицы $Q$ матрица $B-D$ имеет нулевую диагональ, а матрицы $M$ и $M^{-1}$ диагональные. Но тогда $q_{jj}=0$ при $j=1, \dots, n$, т.е. $v_{jkl} \equiv 0$ при $j=l$, поэтому будем считать, что $j \ne l$. Положим $\Gamma :=\Gamma_{lk}-\Gamma_{jk}=\Gamma_{lj}$, $\Gamma_1=\Gamma_{jk}$, $\Gamma_2=- \Gamma_{lk}$, $q :=q_{jl} \in L_1[0, 1]$. В силу выполнения условия Биркгофа на дуге $\lambda=e^{i\theta}$, $\theta \in [-\alpha, \alpha]$, неравенства (3.1) выполняются при каждом из четырех вариантов пределов интегрирования (4.18). Тогда из леммы 3.1 следует, что $v_{jkl}(s, x, \lambda) \to 0$ при $\lambda \to \infty$, $\lambda \in \Lambda_{\alpha, \kappa}$ (при $k < j, l$ в (3.2) нужно поменять местами $s$ и $x$, а также $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$). Следовательно, $\Upsilon(\lambda) \to 0$ при $\lambda \to \infty$, $\lambda \in \Lambda_{\alpha, \kappa}$. Тогда из представления (4.16) получаем, что
$$
\begin{equation}
\|Q_k^2(\lambda)\| \leqslant K_Q\Upsilon(\lambda) \to 0, \qquad \lambda \to \infty, \quad \lambda \in \Lambda_{\alpha, \kappa}.
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
В силу оценок (4.14) и (4.20) для нормы оператора $V_k^2(\lambda)$ с некоторой константой $K_4 > 0$ имеем оценку
$$
\begin{equation}
\|V_k^2(\lambda)\| \leqslant K_4(\Upsilon(\lambda)+\upsilon(\lambda)).
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
Шаг 3. Вернемся к уравнению (4.8). Представим его решение в виде формального ряда
$$
\begin{equation}
z_k=z_k^0+\sum_{\nu=1}^\infty V_k^\nu(\lambda) z_k^0.
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
Используя оценку (4.21), найдем число $\lambda_0 > 0$ такое, что при $|\lambda| > \lambda_0$ выполнены неравенства
$$
\begin{equation*}
\|V_k^2(\lambda)\| < \frac{1}{2}, \qquad \sum_{\nu=0}^\infty \|V_k^{2\nu}(\lambda)\| < 2, \quad k=1, 2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $V_k^0=I$ – тождественный оператор. Тогда для частичных сумм справедлива оценка
$$
\begin{equation}
\biggl\|\sum_{\eta=0}^{N} V_k^\eta z_k^0\biggr\| \leqslant \sum_{\eta=0}^{\lceil N/2 \rceil} \|V_k^{2\eta}\| \bigl(\|I\|+\|V_k\|\bigr) \|z_k^0\| \leqslant 2(1+K_1+K_2) :=K_5.
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
Таким образом, ряд (4.22) сходится по норме пространства $L_{\infty} \times L_{\infty}$. Из аналогичных оценок для частичных сумм $\sum_{\eta=0}^{N} V_k^\eta(\lambda)$ следует, что ряд $\sum_{\eta=0}^\infty V_k^\eta(\lambda)$ сходится по операторной норме, при этом его норма не превосходит постоянной $K_5$. Хотя оператор $Q_k$ не является сжимающим, из представления (4.7) несложно видеть, что для вектора $Q_kz_k^0$ верно равенство
$$
\begin{equation*}
Q_kz_k^0=\bigl(v_{1kk}(0, x, \lambda), \dots, v_{nkk}(0, x, \lambda)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
из которого следует оценка Тогда для вектора $\|V_kz_k^0\|$ с некоторой константой $K_6 > 0$ выполнена оценка
$$
\begin{equation}
\|V_kz_k^0\| \leqslant \|Q_kz_k^0\|+\|P_kz_k^0\| \leqslant n\Upsilon(\lambda)+K_1\upsilon(\lambda) \leqslant K_6\bigl(\Upsilon(\lambda)+ \upsilon(\lambda)\bigr).
\end{equation}
\tag{4.24}
$$
Из представления (4.22) получаем
$$
\begin{equation*}
\|z_k-z_k^0\| \leqslant \biggl\|\sum_{\nu=0}^\infty V_k^\nu(\lambda)\biggr\|\,\|V_kz_k^0\| \leqslant K_5 K_6 \bigl(\Upsilon(\lambda)+\upsilon(\lambda)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Переход от матрицы $Z(x, \lambda)$ к матрице $Y(x, \lambda)$ осуществляется по формуле (4.2). В случае $\alpha=0$ все рассуждения сохраняются с заменой сектора $\Lambda_{\alpha, \kappa}$ на полуполосу $\Pi_{\kappa}$. В секторе $-\Lambda_{\alpha, \kappa}$ (в полуполосе $-\Pi_{\kappa}$) неравенства в (1.6) будут обратными, поэтому в (4.5) нужно положить $x_{jk}=1$ при $j < k$ и $x_{jk}=0$ при $j \geqslant k$. Тогда все соотношения на индексы $j, k, l$ в (4.18) станут обратными. В результате экспоненты в (4.5) и (4.17) сохранят ограниченность, а все остальные рассуждения не изменятся. Замечание 4.1. Из вида (1.14) матрицы $Y(x, \lambda)$ следует, что ее определитель имеет вид Замечание 4.2. Результат о голоморфности матрицы $R(x, \lambda)$ известен, его можно найти, например, в [22; замечание 2]). 4.2. Доказательство теоремы 1.2Рассуждение из доказательства теоремы 1.1 сохраняется. Отличие заключается только в другом способе доказательства равномерного убывания функции $\Upsilon(\lambda)$ к нулю. Здесь вместо леммы 3.1 применим лемму 3.2, положив $\Gamma_1 :=\Gamma_{lk}$, $\Gamma_2 :=\Gamma_{jk}$. Так как на дуге $e^{i\theta}$, $\theta \in [-\alpha, \alpha]$, выполнено условие Шлезингера, то при всех пределах интегрирования в $v_{jkl}(s, x, \lambda)$ выполняется соответствующее условие (3.8). Поэтому $\Upsilon(\lambda) \to 0$ при $\lambda \in \Lambda_{\alpha, \kappa}$ ($\lambda \in \Pi_{\kappa}$). Теорема доказана. 4.3. Доказательство теоремы 1.5Зафиксируем произвольный индекс $l \in \{1, \dots, m\}$ и повторим для $\Lambda_{\kappa}^{l}$ рассуждение из доказательства теоремы 1.1. На соответствующей дуге $\omega_l$ неравенства (1.4) могут выполняться с некоторой нетривиальной подстановкой $\sigma$, поэтому в (4.5) возьмем начальные условия, гарантирующие ограниченность экспонент в (4.5). Так как условие невырожденности (1.9) может не выполняться, вместо леммы 3.1 применим лемму 3.3. Снова получим, что $\Upsilon(\lambda) \to 0$ при $\lambda \in \Lambda_{\kappa}^{l}$. Теорема доказана. Замечание 4.3. Во всей работе мы полагали, что $\gamma_{jk}(x)=a_j(x)-a_k(x) \ne 0$ п.в. $x \in [0,1]$. Но в действительности, так же, как в работе [22], можно допускать случаи $ a_j(x)- a_k(x) \equiv 0$ при $j \ne k$. В этом случае доказательства теорем 1.1, 1.2 и 1.5 сохраняются, но конструкция матрицы $M$ меняется. Она будет блочно-диагональной, при этом соответствующие блоки в матрице $Q$ будут нулевыми. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KosShk24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|