| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Равномерные формулы для асимптотического решения в окрестности переднего фронта для системы Максвелла с локализованными начальными данными и с учетом временной дисперсии С. Ю. Доброхотов, А. А. Толченников Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624090062 
Реферативные базы данных:
 1. Постановка задачи. Система уравнений МаксвеллаРассмотрим уравнения Максвелла [1], [2] в неоднородной среде и с временной дисперсией. Для трехмерного вектора $\psi(x,t)$ имеем уравнение (везде далее считаем, что оператор $\widehat p$ действует первым, а оператор умножения на $x$ действует вторым)
$$
\begin{equation}
\widehat p\times \widehat p\times \psi+ F(x, \widehat p,\widehat \omega)\psi=0.
\end{equation}
\tag{1}
$$
В этой статье будем рассматривать $F$ специального вида: $F(x,p,\omega)=g^2(\omega)/c^2(x)$. Пусть начальные условия имеют вид
$$
\begin{equation*}
\psi|_{t=0}=V\biggl(\frac{x}{h}\biggr),\qquad \frac{\partial}{\partial t}\psi\bigg|_{t=0}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь описывающий неоднородность среды коэффициент $c(x)$ предполагается гладкой положительной функцией; $h\ll 1$ – малый параметр, характеризующий локализацию начальных условий. Функцию $V(y)$ мы считаем вещественной, гладкой и убывающей при $|y|\to +\infty$ вместе со своими производными быстрее любой степени $|y|^k$. В стандартных обозначениях
$$
\begin{equation*}
\widehat{\omega}=-ih\,\frac{\partial}{\partial t}\,,\qquad \widehat{p}=-ih\nabla.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть функция $g(w)$, дающая временную дисперсию, удовлетворяет следующим условиям (как и в статье [3]): это гладкая, нечетная, монотонная функция, растущая на бесконечности не быстрее полинома, $g(w)\to \infty$ при $w\to \infty$. Пусть при малых $w$:
$$
\begin{equation*}
g(\omega)=\omega+\frac{g_3}{6}\omega^3+ O(\omega^5), \qquad\text{где}\quad g_3 > 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Также считаем, что $g''(w)\ne 0$ при $w\ne 0$ и $g'(w) \geqslant 1$. Подобная задача для волнового скалярного уравнения уже рассматривалась в статье [3] и мы будем пользоваться основными конструкциями из этой статьи. Локализованные начальные функции можно представить в виде канонического оператора Маслова [4], [5] и применить соответствующую теорию для построения асимптотики решения соответствующих задач [6], [7]. Определим передний фронт. Для этого рассмотрим решение $X^0(t,\theta)$, $P^0(t,\theta)$ системы Гамильтона с гамильтонианом $H(x,p)=c(x)|p|$:
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \dot x=c(x) \dfrac{p}{|p|}\,, & x|_{t=0}=0, \\ \dot p=-\nabla_x c(x) |p|, & p|_{t=0}=n(\theta)=\begin{pmatrix} \cos \theta_2 \cos \theta_1 \\ \cos \theta_2 \sin \theta_1 \\ \sin \theta_2 \end{pmatrix} \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
($\theta=(\theta_1,\theta_2)$ – долгота и широта на сфере единичных импульсов). Передним фронтом будем называть поверхность $\gamma_t=\{x=X^0(t,\theta),n(\theta) \in S^2\}$. Мы построим асимптотику решения в окрестности (не зависящей от параметра $h$) переднего фронта следующим методом (аналогичным [3], [8]). Сначала, с помощью функции Эйри, строится асимптотика в некоторой малой окрестности (зависящей от $h$) переднего фронта, а затем эта асимптотика склеивается с асимптотикой вида ВКБ вне этой малой окрестности, что и приводит к асимптотике в достаточно большой окрестности переднего фронта. Такую асимптотику мы называем равномерной. 2. Построение асимптотического решенияСначала сведем задачу к двум более простым, перейдя в базис из собственных векторов матрично-значного символа уравнения. Матрично-значный символ оператора в левой части (1) имеет вид
$$
\begin{equation*}
\mathcal{H}(x,p)=\begin{pmatrix} -p_2^2 - p_3^2 & p_1 p_2 & p_1 p_3 \\ p_1 p_2 & -p_1^2 - p_3^2 & p_2 p_3 \\ p_1 p_3 & p_2 p_3 & -p_1^2 -p_2^2 \end{pmatrix}+F(x,p,\omega)\mathbf{E}_3,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbf{E}_3$ – $3\times 3$ единичная матрица. У матрицы $\mathcal{H}$ два различных собственных значения (“эффективных гамильтонианов”): $H^1$ и $H^2$. Собственному значению $H^1(x,p,w)=F(x,p,w)$ (кратности 1) отвечает собственный вектор
$$
\begin{equation*}
\xi^1(p)=\frac{1}{|p|}\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Собственному значению $H^2(x,p,w)=F(x,p,\omega)-|p|^2$ (не зависящей от $x$, $p$, $\omega$ кратности 2) отвечают два ортогональных собственных вектора $\xi^2(p)$, $\xi^3(p)$. Например, можно выбрать
$$
\begin{equation*}
\xi^2(p)=\frac{1}{\sqrt{p_2^2+p_3^2}} \begin{pmatrix} -p_3 \\ 0\\ p_1 \end{pmatrix},\qquad \xi^3(p)=\frac{1}{\sqrt{p_1^2 p_2^2+(p_1^2+p_3^2)^2+p_2^2 p_3^2}} \begin{pmatrix} p_1 p_2 \\ -p_1^2 - p_3^2 \\ p_2 p_3 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно общему подходу [9] и представленному в [10] его операторному варианту главный член асимптотического решения представляются в виде
$$
\begin{equation}
\psi=\widehat{\chi^1}\varphi^1+\widehat{\chi^2}\varphi^2,
\end{equation}
\tag{2}
$$
где символы операторов имеют разложение $\chi^m=\chi^m_0+h\chi^m_1+O(h^2)$ ($m=1,2$), $\chi^1_0=\xi^1(p)$ трехмерный вектор столбец, $\chi^2_0=(\xi^2(p),\xi^3(p))$ – $3\times 2$ матрица, $\varphi^1(x,t)$ – скалярная функция, а $\varphi^2(x,t)$ – двумерная вектор-функция с двумя компонентами $\varphi^2_1(x,t)$, $\varphi^2_2(x,t)$. Функции $\varphi^1(x,t)$, $\varphi^2(x,t)$ определяются как асимптотические решения скалярного и векторного (редуцированных) уравнений (приведем его в общем виде)
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, L^m(x,t,\widehat p,\widehat w,h)\varphi^m=0, \qquad L^m(x,t,p,w,h)=L_0^m(x,t,p,w)+hL_1^m(x,t,p,w)+O(h^2), \\ L_0^m=H^m(x,t,p,w)\mathbf{E}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3}
$$
Здесь $\mathbf{E}$ единичная матрица, размер которой равен кратности значения $H^m(x,t,p,\omega)$ и
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, L_1^m=(\chi^m_0)^\top\mathcal{H}_1\chi^m_0-i(\chi^m_0)^\top\sum_{j=0}^3 \biggl(\frac{\partial{\mathcal{H}_0}}{\partial p_j}\, \frac{\partial \chi^m_0}{\partial x_j}- \frac{\partial H^m}{\partial x_j}\, \frac{\partial \chi^m_0}{\partial p_j}\biggr), \qquad p_0=\omega,\quad x_0=t. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4}
$$
Последнюю формулу мы также приводим в общем виде, добавив в нее возможную поправку $\mathcal{ H}_1$ по $h$ к символу исходного уравнения ($\mathcal{H}=\mathcal{H}_0+h \mathcal{H}_1+O(h^2)$). В рассматриваемом случае $\mathcal{H}_1=0$, $\partial \chi^m_0/\partial x_j=0$ и мы имеем
$$
\begin{equation}
L_1^m=i(\chi^m_0)^\top\sum_{j=0}^3\frac{\partial H^m}{\partial x_j}\, \frac{\partial \chi^m_0}{\partial p_j}\,.
\end{equation}
\tag{5}
$$
2.1. Случай $m=2$. Поперечная быстрая модаИмеем
$$
\begin{equation*}
L_1^2 (x,p,w)= i g^2(w) \begin{pmatrix} 0 & \alpha(x,p) \\ -\alpha(x,p) & 0 \end{pmatrix}, \qquad \alpha(x,p)= \langle \xi^2, \nabla_p \xi^3 \cdot \nabla_x c^{-2}(x) \rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Умножив уравнение $\widehat{L^2}\varphi^2=0$ на $-c^2(x)$, получим
$$
\begin{equation*}
-g^2(\widehat w) \varphi^2+ \bigl[c^2(x)|\widehat p|^2-h c^2(x)\widehat{L_1^2}+\dotsb\bigr]\varphi^2=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Формально представим оператор в квадратных скобках в виде квадрата: $(Q(\widehat{x},\widehat{p}))^2$. Символ оператора $\widehat{Q}$ имеет разложение $Q(x,p)=Q_0(x,p)+h Q_1(x,p)+O(h^2)$, где $Q_0(x,p)=c(x)|p|E_2$,
$$
\begin{equation*}
Q_1(x,p)=\frac{i}{2} \biggl(\biggl\langle\frac{p}{|p|}\,,\nabla_x c(x)\biggr\rangle E_2- \frac{c(x)g^2(w)}{|p|}\begin{pmatrix} 0 & \alpha(x,p) \\ -\alpha(x,p) & 0 \end{pmatrix}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге, уравнение $\widehat{L^2}\varphi^2=0$ представилось в виде $\widehat{R^-}\widehat{R^+}\varphi^2=0$, где $\widehat{R^\pm}=g(\widehat{w}) \pm \widehat{Q}$. Построим асимптотическое решение в виде $\varphi^2(x,t)=u^+(x,t)+u^-(x,t)$, где $u^\pm$ – решение задач $\widehat{R^\pm} u^\pm (x,t)=0$, $u^\pm(x,0)=u_0^\pm(x)$ с некоторым $u_0^\pm$, которое определим позже. Рассмотрим задачу со знаком плюс. Решение будем строить в виде канонического оператора Маслова на 4-мерном лагранжевом многообразии $\Lambda^+ \subset \mathbb{R}^8_{x,t,p,w}$, инвариантном относительно гамильтонова векторного поля с гамильтонианом $d(x,t,p,w)=g(w)+c(x)|p|$: $u^+=K^h_{\Lambda^+}A^+$. $\Lambda^+$ построим, выпуская траектории системы Гамильтона
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \dot X=\dfrac{\partial d}{\partial p}=\dfrac{c(x) p}{|p|}\,, \\ \dot T=\dfrac{\partial d}{\partial w}=g'(w), \\ \dot P=-\dfrac{\partial d}{\partial x}=-\nabla_x c(x)|p|, \\ \dot W=-\dfrac{\partial b}{\partial t}=0 \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
из трехмерного изотропного многообразия
$$
\begin{equation*}
\Lambda_0^+=\biggl\{x =0,\ t=0,\ p=-\dfrac{g(w)}{c_0} n(\theta),\ w=w\colon w<0,\ n(\theta) \in S^2\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_0=c(0)$. Получаем $\Lambda_+$:
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} X=X^0(\tau,\theta), \\ T=\tau g'(w), \\ P=-\dfrac{g(w)}{c_0}P^0(\tau,\theta), \\ W=w, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где $X^0(\tau,\theta)$, $P^0(\tau,\theta)$ – решение системы Гамильтона
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \dot x=\dfrac{c(x)p}{|p|}\,, \\ \dot p=-\nabla_x c(x) |p| \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
с начальным условием $x|_{\tau=0}=0$, $p|_{\tau=0}=n(\theta)$. Выберем на $\Lambda^+$ начальную точку $\alpha_0=\{\tau=0^-,\ \theta=(0,0),\ w=0^-\}$ и инвариантную относительно гамильтонового векторного поля форму объема
$$
\begin{equation*}
d\mu^+=\mu^+(\theta,w)\,d\tau \wedge d\theta_1\wedge d\theta_2 \wedge dw,\qquad \mu^+(\theta,w)=(g(w) g'(w))^2\frac{\cos\theta_2}{c_0^3}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
2.1.1. Амплитуда и параллельный переносОпределим амплитуду $A^+(\tau,\theta,w)$ (столбец $2\times 1$) на многообразии $\Lambda^+$. Она удовлетворяет начальному условию
$$
\begin{equation*}
A^+(0,\theta,w)=\frac{1}{2}e^{i\pi/4} h^{3/2} [\chi^2(n(\theta))]^\top \widetilde V \biggl(-\frac{g(w)}{c_0} n(\theta)\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
(это координаты проекции $\widetilde V(p)$ на двумерное собственное подпространство $\langle\xi^2,\xi^3\rangle$ при $p=P(0,\theta,w)$) и дифференциальному уравнению первого порядка:
$$
\begin{equation*}
(A^+)'_\tau=\biggl(\frac{1}{2}\operatorname{tr}d''_{xp}- i Q_1\biggr)\bigg|_{x=X(\tau,w,\theta),\ p=P(\tau,w,\theta)}A^+,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}\operatorname{tr}d''_{xp}-i Q_1= \biggl\langle\nabla c(x),\frac{p}{|p|}\biggr\rangle- \frac{c(x)g^2(w)}{2|p|} \begin{pmatrix} 0 & \alpha (x,p) \\ -\alpha (x,p) & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Но вдоль траектории системы Гамильтона
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \biggl\langle \nabla c(x), \frac{p}{|p|}\biggr\rangle\bigg|_{x=X(\tau,\theta,w),\ p=X(\tau,\theta,w)}= \biggl(\ln\frac{1}{|P(\tau,\theta,w)|}\biggr)'_\tau, \\ \alpha\bigl(X(\tau,\theta,w),P(\tau,\theta,w)\bigr)= \bigl\langle \xi^2(P(\tau,\theta,w)), (\xi^3(P(\tau,\theta,w))'_\tau \bigr\rangle. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Уравнение на амплитуду будет иметь вид
$$
\begin{equation*}
(A^+)'_\tau= \biggl(\biggl(\ln\frac{1}{|P(\tau,\theta,w)|}\biggr)'_\tau- \Sigma^\top(\tau,\theta,w)(\Sigma(\tau,\theta,w))'_\tau\biggr)A^+,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Sigma(\tau,\theta,w)= (\xi^2(P(\tau,\theta,w)),\xi^3(P(\tau,\theta,w)))$ (матрица $3\times 2$ из собственных векторов матричного символа $\mathcal{H}$, взятых вдоль траектории системы Гамильтона). Обозначив $\widetilde A^+(\tau,\theta,w)= |P(\tau,\theta,w)| A^+(\tau,\theta,w)$, получим уравнение $(\widetilde A^+)'_\tau=-\Sigma^\top(\Sigma)'_\tau\widetilde A^+$, которое равносильно уравнению $(\Sigma \widetilde A)'_\tau \perp N(\tau,\theta)$, где $N(\tau,\theta)= \langle\xi^2(p),\xi^3(p)\rangle|_{p=P(\tau,\theta,w)}$ – двумерная плоскость, ортогональная лучу $X^0(\tau,\theta)$. Таким образом, мы имеем дело с геометрическим уравнением параллельного переноса вдоль луча. Введем обозначения для оператора Коши, сопоставляющего начальному условию решение уравнения переноса. Обозначим $\widetilde{PT}(\tau,\theta)$ – линейный оператор Коши, сопоставляющий начальному условию $v_0 \in N(0,\theta)$ решение $v(\tau) \in N(\tau,\theta)$ уравнения переноса $(|P^0(\tau,\theta)| v(\tau))'_\tau \perp N(\tau,\theta)$. Аналогично обозначим $PT(\tau,\theta)$ – линейный оператор Коши, сопоставляющий начальному условию $u_0 \in N(0,\theta)$ решение $u(\tau) \in N(\tau,\theta)$ уравнения переноса $( u(\tau))'_\tau \perp N(\tau,\theta)$. Эти линейные отображения связаны простым соотношением
$$
\begin{equation*}
\widetilde{PT}(\tau,\theta)= \frac{|P^0(0,\theta)|}{|P^0(\tau,\theta)|}PT(\tau,\theta).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \chi^2(p)|_{\Lambda^+} A^+(\tau,\theta,w)&= \widetilde{PT}(\tau,\theta)\biggl[\Pi_{N(0,\theta)} \widetilde V\biggl(-\frac{g(w)}{c_0} n(\theta)\biggr)\biggr] \\ &=\frac{c(X^0(\tau,\theta))}{c_0} PT(\tau,\theta) \biggl[\Pi_{N(0,\theta)} \widetilde V\biggl(-\frac{g(w)}{c_0} n(\theta)\biggr)\biggr], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Pi_L$ – оператор ортогональной проекции на пространство $L$. Отображение $PT$ не зависит от выбора базиса в пространстве $N(\tau,\theta)$ и если луч $X^0(\tau,\theta)$ бирегулярный, то можно в качестве базиса в $N(\tau,\theta)$ взять вектора главной нормали $\nu(\tau,\theta)$ и бинормали $\beta(\tau,\theta)$. Поскольку
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{cases} \dfrac{d X}{ds}=\dfrac{P}{|P|}\,, \\ \dfrac{d P}{ds}=-\nabla \ln c(X)|P|, \end{cases} \\ \frac{d^2 X}{ds^2}=-\nabla \ln c(X)+\frac{P}{|P|} \biggl(\frac{P}{|P|}\,,\nabla \ln c(X) \biggr)= \Pi_{P^\perp}(-\nabla \ln c(X)), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
репер Френе $(v,\nu,\beta)$ будет записываться в виде
$$
\begin{equation*}
v=\frac{P}{|P|}\,, \qquad \nu=\frac{-\nabla \ln c(X)+v (v, \nabla c(X))} {\|-\nabla \ln c(X)+v (v, \nabla c(X))\|}\,, \qquad \beta=\frac{-\nabla \ln c(X) \times P} {\|\nabla \ln c(X) \times P \|}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда в матричном виде можно записать $PT(\tau,\theta)v_0= \Omega(\tau,\theta)G(\tau,\theta)\Omega^\top(0,\theta)v_0$, где матрица $\Omega(\tau,\theta)=(\nu(\tau,\theta),\beta(\tau,\theta))$, а $G(\tau,\theta)$ – матрица Коши для системы
$$
\begin{equation*}
\frac{d A}{d\tau}=-\Omega^\top(\tau,\theta)\Omega(\tau,\theta)'_\tau A =c(X^0(\tau,\theta))\begin{pmatrix} 0 & \varkappa(\tau,\theta) \\ -\varkappa(\tau,\theta) & \end{pmatrix} A.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\varkappa (\tau,\theta)$ – кручение луча $X^0(\tau(s),\theta)$, $s$ – натуральный параметр, Аналогично строится лагранжево многообразие $\Lambda^-$ и амплитуда $A^-$ на нем. 2.2. Случай $m=1$. Медленная продольная модаВ этом случае аналогично строится асимптотическое решение и при построении лагранжева многообразия надо сдвигать $\Lambda_0$ вдоль траекторий системы Гамильтона с гамильтонианом $g(w)$. Поскольку он не зависит от $p$, то $\dot x=0$ и лагранжево многообразие будет проецироваться в $x=0$ и решение во все времена останется локализованным в окрестности $x=0$ и не будет давать вклад в дальнее от источника поле. Таким образом, вдали от источника старшая часть асимптотического решения будет иметь вид
$$
\begin{equation*}
\psi_{\mathrm{as}}(x,t)=K^h_{\Lambda^+} \chi^2_0(p)|_{\Lambda^+} A^++ K^h_{\Lambda^-} \chi^2_0(p)|_{\Lambda^-} A^-.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, используя алгоритм [7], можно в окрестности фронта записать $\psi_{\mathrm{as}}$ через функцию Эйри, вне окрестности фронта записать в виде ВКБ-функции и, используя асимптотики функции Эйри, склеить эти две формулы в одну.
3. Равномерная асимптотика в окрестности регулярных точек переднего фронта. Основная теоремаЗафиксируем момент времени $t>0$ и рассмотрим точку $P=X^0(t,\theta^0)$ фронта $\gamma_t$ такую, что, во-первых, $|X^0_{\theta_1}\times X^0_{\theta_2}|/ \cos\theta_2|_{\theta=\theta^0}\ne 0$, а, во-вторых, на замыкании $\Lambda^+$ есть только один прообраз точки $P$ при проецировании на конфигурационное пространство. В окрестности регулярной точки фронта можно ввести координаты $d$, $\theta_1$, $\theta_2$, где $d$ – расстояние по нормали к фронту ($d<0$ внутри фронта, $d>0$ вне фронта $\gamma_t$). Внешняя нормаль к фронту $N_{\mathrm{out}}={P^0(t,\theta)}/{|P^0(t,\theta)|}$. Внутри фронта можно на многообразии $\Lambda^+$ выразить координату $w$ через $d$, $\theta$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, d=\langle x-X^0(t,\theta),N_{\mathrm{out}}\rangle= -\frac{1}{2} g_3 t w^2 c(X^0(t,\theta))+O(w^4), \\ w^+(\theta,d)= -\biggl(-\frac{2d}{g_3 t c(X^0(t,\theta))}\biggr)^{1/2}+O(d^{3/2}). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом $(w^+(x))^2$ можно продолжить гладким образом за фронт (с любой заданной гладкостью). Можно выразить действие $\Phi^+=t(w-g(w)/g'(w))$ на $\Lambda^+$ как функцию от $(d,\theta)$:
$$
\begin{equation*}
\Phi^+(d,\theta)=\frac{t g_3}{3}(w^+)^3+O((w^+)^5)= -\frac{2^{3/2}}{3(tg_3)^{1/2}(c(X^0(t,\theta)))^{3/2}} (-d)^{3/2}+O(d^{5/2}).
\end{equation*}
\notag
$$
Функцию $(\Phi^+)^{2/3}$ можно с любой гладкостью продолжить за фронт и определить
$$
\begin{equation*}
\Psi^+(d,\theta)=\begin{cases} \biggl(-\dfrac{3t}{2}\biggl(w- \dfrac{g(w)}{g'(w)}\biggr)\biggr)^{2/3}\bigg|_{w=w^+(d,\theta)} & \text{при}\ d\leqslant 0, \\ -d\biggl(\dfrac{1}{2}t g_3 c^3(X^0(t,\theta))\biggr)^{-1/3}+ O(d^2) &\text{при}\ d\geqslant 0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Сформулируем основной результат. Теорема 1. В окрестности точки $P$ старший член асимптотического решения задачи (1) имеет вид Замечание 1. Если $V(y)$ – вещественно-значная функция, то два слагаемых в этой формуле комплексно сопряжены. Замечание 2. Если $c(x)=\operatorname{const}$, то эта формула справедлива везде, кроме окрестности начала координат. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{DobTol24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|