| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Критерии существования слабых решений задачи Дирихле для нелинейных вырождающихся эллиптических уравнений при любой А. А. Ковалевскийab a Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского Уральского отделения РАН, г. Екатеринбург b Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б. Н. Ельцина, г. Екатеринбург
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624090177 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеСогласно $L^1$-теории нелинейных эллиптических уравнений дивергентного вида второго порядка (см., например, [1]–[3]), если $\Omega$ – ограниченное открытое множество в $\mathbb R^n$ ($n\geqslant 2$), $1<p<n$ и коэффициенты уравнения растут относительно градиента неизвестной функции $u$ как $|\nabla u|^{p-1}$ и удовлетворяют стандартным условиям коэрцитивности и строгой монотонности, то задача Дирихле для этого уравнения в множестве $\Omega$ имеет слабое решение для любой $L^1$-правой части только при условии $p>2-1/n$. Сказанное относится к уравнениям, коэффициенты которых не вырождаются относительно пространственной переменной. Аналогичный результат для одного класса нелинейных вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка с $L^1$-правой частью в ограниченном открытом множестве $\Omega\subset\mathbb R^n$ ($n\geqslant 2$), содержащем начало координат, был получен в [4]. В условия роста и коэрцитивности на коэффициенты уравнений этого класса входят весовая функция $\omega$, определенная равенством $\omega(x)=|x|^\alpha$, $x\in\Omega$, где $\alpha\in(0,1]$, и параметр $p$ такой же, как и выше. Модельным представителем этого класса является уравнение
$$
\begin{equation*}
-\sum_{i=1}^nD_i(\omega|\nabla u|^{p-2}D_iu)=f\quad \text{в }\ \Omega,
\end{equation*}
\notag
$$
где $f\in L^1(\Omega)$. В работе [4] было доказано, что неравенство $p>2-(1-\alpha)/n$ необходимо и достаточно для того, чтобы задача Дирихле для уравнений рассматриваемого класса имела слабое решение при любой $L^1$-правой части. В настоящей заметке анонсируем несколько аналогичных результатов для более широкого класса весовых функций на $\Omega$, к тому же не предполагая, что множество $\Omega$ содержит начало координат. Что касается других работ, относящихся к теме нашего исследования, в дополнение к [4] отметим, что существование решений задачи Дирихле для нелинейных вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка с $L^1$-данными или мерами в качестве данных исследовано, например, в [5]–[10]. Однако за исключением работы [4], упомянутые и, насколько нам известно, другие работы не содержат никаких результатов о точности условий существования слабых решений в $W^{1,1}_0(\Omega)$ задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений с $L^1$-правой частью. 2. Предположения и определенияПусть $n\in\mathbb N$, $n\geqslant 2$, и пусть $\Omega$ – непустое ограниченное открытое множество в $\mathbb R^n$. Пусть $\mu\in L^\infty(\Omega)$ – неотрицательная функция такая, что $\mu>0$ п.в. в $\Omega$. Пусть $p\in(1,n)$, и пусть $c_1,c_2>0$. Кроме того, пусть $g,h\in L^1(\Omega)$ – неотрицательные функции, и пусть $\mu g^p\in L^1(\Omega)$. Для любого $i\in\{1,\dots,n\}$ пусть $a_i\colon\Omega\times\mathbb R^n\to\mathbb R$ – функция Каратеодори. Предположим, что для почти всех $x\in\Omega$ и любого $\xi\in\mathbb R^n$ справедливы неравенства
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^n|a_i(x,\xi)| \leqslant c_1\mu(x)|\xi|^{p-1}+\mu(x)g^{p-1}(x), \qquad \sum_{i=1}^na_i(x,\xi)\xi_i \geqslant c_2\mu(x)|\xi|^p-h(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, предположим, что для почти всех $x\in\Omega$ и любых $\xi,\xi'\in\mathbb R^n$, $\xi\ne\xi'$, справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^n\bigl[a_i(x,\xi)-a_i(x,\xi')\bigr](\xi_i-\xi'_i)>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 1. Если $f\in L^1(\Omega)$, то ${\mathscr D}(f)$ – множество всех функций $u\in W^{1,1}_0(\Omega)$ таких, что: Если $f\in L^1(\Omega)$, то функцию $u\in W^{1,1}_0(\Omega)$, удовлетворяющую условиям (i) и (ii) из определения 1, назовем слабым решением задачи Дирихле
$$
\begin{equation}
-\sum_{i=1}^nD_ia_i(x,\nabla u)=f\quad \text{в}\ \ \Omega,\qquad u=0\quad \text{на}\ \ \partial\Omega.
\end{equation}
\tag{$D_f$}
$$
Это согласуется с определением слабого решения задачи Дирихле для невырождающихся эллиптических уравнений второго порядка с $L^1$-данными или мерами в качестве данных (см., например, [1] и [2]). Таким образом, если $f\in L^1(\Omega)$, то непустота множества $\mathscr D(f)$ эквивалентна существованию слабого решения задачи ($D_f$). Поэтому результаты о существовании или несуществовании слабого решения задачи ($D_f$) с $f\in L^1(\Omega)$ могут быть сформулированы в терминах непустоты или пустоты множества $\mathscr D(f)$. Предположим, что множество $\{t>0\colon 1/\mu\in L^t(\Omega)\}$ непусто, и положим
$$
\begin{equation*}
t_\mu=\sup\biggl\{t>0\colon \frac{1}{\mu}\in L^t(\Omega)\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $t_\mu\in(0,\infty]$. Положим
$$
\begin{equation*}
s_\mu=\begin{cases} \infty, &\text{если}\quad t_\mu\leqslant n, \\ \dfrac{nt_\mu}{t_\mu-n}\,, &\text{если}\quad n<t_\mu<\infty, \\ n, &\text{если}\quad t_\mu=\infty. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем $s_\mu\in[n,\infty]$. Для любого $y\in\Omega$ пусть $J_y\colon\Omega\to\mathbb R$ – функция такая, что
$$
\begin{equation*}
J_y(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{|x-y|}\biggl[\ln\biggl(e+\dfrac{1}{|x-y|}\biggr)\biggr]^{-1}, &\text{если}\quad x\in\Omega\setminus\{y\}, \\ 0, &\text{если}\quad x=y. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
3. Основные результатыС использованием следствия 3.9 из работы [10] о существовании слабого решения задачи Дирихле для одного класса вырождающихся анизотропных уравнений с $L^1$-данными установлен следующий результат. Теорема 1. Пусть $t_\mu>2-\operatorname{sign}(n-2)$, и пусть $p>\max\{n/t_\mu,2-1/n+1/t_\mu\}$. Тогда для любой функции $f\in L^1(\Omega)$ множество $\mathscr D(f)$ непусто. Кроме того, показано, что если $t_\mu\geqslant n$, $p\leqslant 2-1/n+1/t_\mu$ и некоторое весовое соболевское пространство $V$, определяемое функцией $\mu$ и параметром $p$, содержит неограниченные функции, то существует функция $f\in L^1(\Omega)$ такая, что множество $\mathscr D(f)$ пусто. Этот результат вместе с условиями, обеспечивающими указанное свойство пространства $V$, и теоремой 1 приводит к следующим утверждениям. Теорема 2. Пусть $n>2$, и пусть $t_\mu=n$. Предположим, что существует точка $y\in \Omega$ такая, что $(\mu J_y)(x)\to 0$ при $x\to y$. Тогда неравенство $p>2$ необходимо и достаточно для того, чтобы для любой функции $f\in L^1(\Omega)$ множество $\mathscr D(f)$ было непусто. Теорема 3. Пусть $t_\mu>n$. Предположим, что существует точка $y\in\Omega$ такая, что $\mu J_y\in L^{s_\mu}(\Omega)$. Тогда неравенство $p>2-1/n+1/{t_\mu}$ необходимо и достаточно для того, чтобы для любой функции $f\in L^1(\Omega)$ множество $\mathscr D(f)$ было непусто. Учитывая, что для любого $y\in\Omega$ справедливо включение $J_y\in L^n(\Omega)$, из теоремы 3 выводим следующее утверждение. Теорема 4. Пусть $t_\mu=\infty$. Тогда неравенство $p>2-1/n$ необходимо и достаточно для того, чтобы для любой функции $f\in L^1(\Omega)$ множество ${\mathscr D}(f)$ было непусто. 4. ПримерыРассмотрим примеры функции $\mu$, удовлетворяющей предположениям из п. 2 и условиям теорем 2–4. Пример 1. Пусть $l\in\mathbb N$, $l\geqslant 2$, и пусть $y^{(1)},\dots,y^{(l)}$ – различные точки в $\Omega$. Положим $Y=\{y^{(1)},\dots,y^{(l)}\}$, и пусть $\mu\colon\Omega\to\mathbb R$ – функция такая, что для любого $x\in\Omega$ Легко видеть, что $\mu\in L^\infty(\Omega)$, функция $\mu$ неотрицательна и $\mu>0$ п.в. в $\Omega$. Кроме того, множество $\{t>0\colon 1/\mu\in L^t(\Omega)\}$ непусто и $t_\mu=n$, а положив $y=y^{(1)}$, получаем $(\mu J_y)(x)\to 0$ при $x\to y$. Следовательно, функция $\mu$ удовлетворяет условиям теоремы 2. Пример 2. Предположим, что $\Omega=\{x\in\mathbb R^n\colon |x_i|<1/2,\,i=1,\dots,n\}$. Пусть $y\in\Omega$, причем $y_1\ne 0$, пусть $0<\alpha\leqslant 1$, и пусть $0<\beta\leqslant\alpha/n$. Пусть $\mu\colon\Omega\to\mathbb R$ – функция такая, что для любого $x\in\Omega$ Легко видеть, что $\mu\in L^\infty(\Omega)$, функция $\mu$ неотрицательна и $\mu>0$ п.в. в $\Omega$. Кроме того, множество $\{t>0\colon 1/\mu\in L^t(\Omega)\}$ непусто и $t_\mu=n/\alpha$. В случае $\alpha=1$ имеем $t_\mu=n$ и $(\mu J_y)(x)\to 0$ при $x\to y$ и, следовательно, функция $\mu$ удовлетворяет условиям теоремы 2. Если же $\alpha<1$, имеем $t_\mu>n$ и $\mu J_y\in L^{s_\mu}(\Omega)$ и, следовательно, функция $\mu$ удовлетворяет условиям теоремы 3. Пример 3. Пусть $y\in\Omega$, пусть $\beta>0$, и пусть $\mu\colon\Omega\to\mathbb R$ – функция такая, что 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kov24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|