| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) О множителях Вейля для безусловной сходимости рядов по системам Чисельского Г. Г. Геворкян Ереванский государственный университет, Армения
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624110099 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеВ настоящей статье $\omega_n$ – неубывающая последовательность положительных чисел. Последовательность $\{\omega_n\}_{n=1}^{\infty}$ называется множителем Вейля для сходимости почти всюду (п.в.) рядов по системе $\{\varphi_n(t)\}_{n=1}^{\infty}$, если условие гарантирует сходимость п.в. ряда $\sum_{n=1}^{\infty}a_n\varphi_n(t)$. Последовательность $\{\omega_n\}_{n=1}^{\infty}$ называется множителем Вейля для безусловной сходимости п.в. рядов по системе $\{\varphi_n(t)\}_{n=1}^{\infty}$, если выполнение (1.1) гарантирует безусловную сходимость п.в. ряда $\sum_{n=1}^{\infty}a_n\varphi_n(t)$.Ульянов доказал (см. [1], [2]), что последовательность $\{\omega_n\}_{n=1}^{\infty}$ является множителем Вейля для безусловной сходимости п.в. рядов по системе Хаара тогда и только тогда, когда выполняется В работе [3] отмечено, что такой же результат для рядов по системе Франклина анонсирован Полещуком, однако доказательство опубликовано не было. В работе [4] автором доказано, что последовательность $\{\omega_n\}_{n=1}^{\infty}$ является множителем Вейля для безусловной сходимости п.в. рядов по системе Франклина тогда и только тогда, когда выполняется (1.2). Теорему Орлича о множителях Вейля для безусловной сходимости почти всюду (см., например, [5]) Ульянов в эквивалентной, но в более простой форме, сформулировал и доказал в работе [1]: если последовательность $\{\omega_n\}_{n=1}^{\infty}$ удовлетворяет условию то последовательность $\{\omega_n\ln^2n\}_{n=1}^{\infty}$ является множителем Вейля для безусловной сходимости п.в. рядов по любой ортонормированной системе.В настоящей работе мы распространяем результат Ульянова о системе Хаара на ряды по системам Чисельского (ортогональным сплайнам с двоичными узлами), определение которых дано в следующем разделе. Теорема 1. Пусть $m$ – натуральное число и $\{f_n\}_{n=-m+2}^{\infty}$ – система Чисельского. Последовательность $\{\omega_n\}_{n=1}^{\infty}$ является множителем Вейля для безусловной сходимости п.в. рядов по системе $\{f_n\}_{n=-m+2}^{\infty}$ тогда и только тогда, когда выполняется (1.2). В связи с упомянутыми результатами отметим одну недавнюю работу Карагуляна [6], где автор, в частности, доказал, что если не выполняется (1.2), то последовательность $\omega_n$ не является множителем Вейля для безусловной сходимости п.в. тригонометрических рядов. В работе Камонт и Карагуляна [7], в частности, исследованы множители Вейля для сходимости (безусловной сходимости) п.в. для рядов по некоторым системам типа вейвлетов. Отметим также, что Бочкарев [8] и Наката [9] доказали необходимость условия (1.2), чтобы возрастающая последовательность $\omega_n$ была множителем Вейля для безусловной сходимости п.в. рядов по системе Уолша. Договоримся о некоторых обозначениях:
2. Определение систем Чисельского и некоторые вспомогательные леммыПусть $m$ – некоторое натуральное число. Напомним определение системы Чисельского порядка $m$. Пусть $n=2^{\mu}+\nu$, где $\mu=0, 1, 2, \dots$, и $1\leqslant\nu\leqslant 2^{\mu}$. Положим
$$
\begin{equation*}
s_{n,i}= \begin{cases} \dfrac{i}{2^{\mu+1}}, & \text{для} \ \ 0\leqslant i\leqslant 2\nu, \\ \dfrac{i-\nu}{2^{\mu}}, & \text{для} \ \ 2\nu<i\leqslant n. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Через $\mathbf{S}_n$ обозначим пространство функций, принадлежащих $C^{m-2}[0,1]$ и являющихся многочленами степени не выше $m-1$ на каждом отрезке $[s_{n,i-1}, s_{n,i}]$, $i=1,2,\dots,n$. В случае $m=1$ от функций требуется, чтобы они были кусочно постоянными. Ясно, что $\operatorname{dim}\mathbf{S}_n=n+m-1$ и множество $\{s_{n,i}\}_{i=0}^n$ получается добавлением точки $s_{n,2\nu-1}$ к множеству $\{s_{n-1,i}\}_{i=0}^{n-1}$. Поэтому существует единственная, с точностью до знака, функция $f_n\in \mathbf{S}_n$, которая ортогональна $\mathbf{S}_{n-1}$ и $\|f_n\|_2=1.$ Пусть $f_i(t)$, $i=-m+2, -m+3, \dots, 1$, – ортогональные и нормированные в $L^2[0,1]$ многочлены степени $i+m-2$. Тогда система функций $\{f_n(t)\}_{n=-m+2}^{\infty}$, состоящая из сплайнов порядка $m$ с двоично-рациональными узлами образует полную ортонормированную систему в $L^2[0,1]$. Эта система эквивалентным образом определена в работах [10], [11]. Мы называем эти системы системами Чисельского. Система $\{f_n(t)\}_{n=-m+2}^{\infty}$, вообще говоря, зависит от натурального параметра $m$. Поэтому обычно пишут $\{f_n^{(m)}(t)\}_{n=-m+2}^{\infty}$. Поскольку мы доказываем теорему для (любого) фиксированного $m$, параметр опускаем и пишем $\{f_n(t)\}_{n=-m+2}^{\infty}$. Системы $\{f_n(t)\}_{n=-m+2}^{\infty}$ и их обобщения исследованы многими авторами. Приведем лишь две работы автора. В работе [12] доказано, что для любой п.в. конечной и измеримой на $[0,1]$ функции $f(t)$ существует ряд $\sum_{n=-m+2}^{\infty}a_nf_n(t)$, который п.в. абсолютно сходится к $f(t)$. А в работе [13] доказано, что частичные суммы ряда $\sum_{n=-m+2}^{\infty}a_nf_n(t)$ не могут на множестве положительной меры стремиться к $+\infty$. Отметим, что в случае $m=1$ система $\{f_n(t)\}_{n=-m+2}^{\infty}$ совпадает с системой Хаара [14], а в случае $m=2$ – с системой Франклина [15]. Обозначим
$$
\begin{equation*}
g_n(x)=\int_x^1f_n(t)\,dt, \quad\text{где }\ x\in[0,1], \quad n=1,2,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $n=2^{\mu}+\nu$, где $\mu=0, 1, 2, \dots$, и $1\leqslant\nu\leqslant 2^{\mu}$, обозначим $t_n=(2\nu-1)/{2^{\mu+1}}$, а $s_n\in[0,1]$ – некоторое число, удовлетворяющее условию Приведем некоторые оценки из работы [11]. Существует такое число $q\in(0,1)$, что (см. [11; теорема 6.1])
$$
\begin{equation}
|f_n(t)|=O(n^{1/2}q^{n|t-t_n|})\quad \text{равномерно по } \ n,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
$$
\begin{equation}
|g_n(t)|=O(n^{-1/2}q^{n|t-t_n|})\quad \text{равномерно по } \ n,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber |g_n(t)|=O(n^{-1/2}q^{n|t-s_n|})\quad \text{равномерно по } \ n.
\end{equation}
\notag
$$
Кроме того, если $1\leqslant p\leqslant\infty$, то (см. [11; лемма 5.1])
$$
\begin{equation}
\|f_n\|_p\sim n^{1/2-1/p}\quad \text{равномерно по }\ n \ \text{ и }\ p,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
$$
\begin{equation}
\|g_n\|_p\sim n^{-1/2-1/p}\quad \text{равномерно по }\ n \ \text{ и }\ p.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Лемма 1. Существуют положительные $\kappa$ и $c_1$ такие, что для любого $n$ с условием $t_n+\kappa/n\leqslant 1$ существует число $\sigma_n\in[s_n,1]$, для которого выполняются Доказательство. Из (2.5) и (2.3) имеем Следовательно, выполняется пункт $b)$ для некоторого $\kappa$.
Далее, из (2.2) для некоторого $\kappa>1$, равномерно по $n$, выполняется (см. также (2.6))
$$
\begin{equation}
\int_{t_n+{\kappa}/{n}}^1|f_n(t)|\,dt =n^{1/2}O\biggl(\int_{t_n+\frac{\kappa}{n}}^1q^{n(t-t_n)}\,dt\biggr) \leqslant c_2q^{\kappa}n^{-1/2}<\frac{|g_n(s_n)|}{2}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Обозначим $\sigma_n=t_n+\kappa/n$. Тогда из (2.7) для $x\geqslant\sigma_n$ получим Лемма доказана.Лемма 2. Существуют такие постоянные $c_3,c_4$, что для любых натуральных чисел $k_0<k_1$ и любых $a_n=b_k>0$, когда $2^k<n\leqslant 2^{k+1}$ и $k_0\leqslant k\leqslant k_1$, существуют $\varepsilon_n\in\{\pm 1\}$, $n=2^{k_0}+1,\dots,2^{k_1+1}$, и перестановка $P_{\sigma}$ полинома удовлетворяющая условию где $J_i:=[{4\kappa i}/{2^{k_0}}, 4\kappa(i+1)/{2^{k_0}}]$, $i=0,1, \dots, [2^{k_0-2}\kappa^{-1}]-1$, a $\delta(P_{\sigma}(x))$ – колебание частичных сумм переставленного полинома $P_{\sigma}(x)$ в точке $x$. Доказательство. Из (2.2) и определения $t_n $ следует, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{n=2^k+1}^{2^{k+1}}|a_nf_n(t)|\leqslant c_5 b_k2^{k/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\sum_{k=k_0}^{k_1}\sum_{n=2^k+1}^{2^{k+1}}|a_nf_n(t)|\leqslant c_5\sum_{k=k_0} ^{k_1}b_k2^{k/2}.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
\widetilde{J}_i:=\biggl[\frac{4\kappa i+\kappa}{2^{k_0}}, \frac{4\kappa i+\kappa+1}{2^{k_0}}\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что если $t_n\in\widetilde{J}_i$, то $s_n$, $\sigma_n\in J_i$ (см. лемму 1), где $s_n$ определяется формулой (2.1). Определим числа $\varepsilon_n$. Положим $\varepsilon_n=1$, если $g_n(s_n)>0$ и $\varepsilon_n=-1$, если $g_n(s_n)<0$. Тогда выполняются (см. (2.8))
Построим перестановку полинома $P(x)$ следующим образом. Сначала $P(x)$ разобьем на две части:
$$
\begin{equation*}
P(x)\equiv\sum_i\sum_{t_n\in \widetilde{J}_i}\varepsilon_na_nf_n(x)+P_2(x)=:P_1(x)+P_2(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее слагаемые в $P_1(x)$ переставим так, чтобы соответствующие $s_n$ в новой нумерации были в порядке возрастания, а слагаемые из $P_2(x)$ были после слагаемых из $P_1(x)$. Таким образом переставленный полином обозначим через $P_{\sigma}(x)$, а через $P_{\sigma,1}(x)$ обозначим перестановку полинома $P_1(x)$. Колебания частичных сумм этих полиномов обозначим через $\delta(P_{\sigma}(x))$ и $\delta(P_{\sigma,1}(x))$ соответственно. Ясно, что если $x\in J_i$, то
$$
\begin{equation*}
\delta(P_{\sigma}(x))\geqslant \delta(P_{\sigma,1}(x))\geqslant \sum_{t_n\in\widetilde{J}_i\colon s_n<x}\varepsilon_na_nf_n(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\int_{J_i}|\delta(P_{\sigma}(x))|\,dx\geqslant \int_{J_i}\sum_{t_n\in\widetilde{J}_i\colon s_n<x}\varepsilon_na_nf_n(x)\,dx=\sum_{t_n\in\widetilde{J}_i}\int_{s_n}^{4\kappa(i+1)/{2^{k_0}}}\varepsilon_na_nf_n(t)\,dt.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
$$
\begin{equation}
\int_{J_i}|\delta(P_{\sigma}(x))|\,dx\geqslant c_6\sum_{k=k_0}^{k_1}\sum_{t_n\in \widetilde{J}_i,\, ]n[=k}b_k2^{-k/2}= c_6\sum_{k=k_0}^{k_1}b_k\sum_{t_n\in \widetilde{J}_i,\, ]n[=k}2^{-k/2}.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Учитывая, что количество натуральных $n$, удовлетворяющих условиям ${]}n{[}=k$, $t_n\in \widetilde{J}_i$ не больше $2^{k-k_0}+1$ и $\kappa$ – фиксированное число, из (2.13) получим
$$
\begin{equation}
\int_{J_i}|\delta(P_{\sigma}(x))|\,dx\geqslant c_7\operatorname{mes}(J_i)\sum_{k=k_0}^{k_1}b_k2^{k/2}.
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Из (2.14) и (2.10) следует существование постоянных $c_3, c_4$, для которых выполняется (2.9). Лемма доказана. 3. Доказательство теоремы 1Сначала докажем достаточность. Допустим последовательность $\omega_n$ удовлетворяет (1.2) и выполняется $\sum_{n=1}^{\infty}a^2_n\omega_n<\infty$. Тогда, применяя (2.4), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{n=1}^{\infty}\int_0^1|a_nf_n(x)|\,dx\leqslant c_8\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|a_n|}{\sqrt{n}}=c_8\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|\sqrt{\omega_n}\frac{1}{\sqrt{n\omega_n}} \\ &\qquad \leqslant c_8\biggl\{\sum_{n=1}^{\infty}a^2_n\omega_n\biggr\}^{1/2}\biggl\{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\omega_n}\biggr\}^{1/2}<\infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Из (3.1) следует п.в. абсолютная сходимость ряда $\sum_{n=-m+2}^{\infty}a_nf_n(x)$. Перейдем к доказательству необходимости. Если не выполняется (1.2), то
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\omega_{2^{k}}}\geqslant\sum_{k=0}^{\infty}2^{-k}\sum_{n=2^{k}}^{2^{k+1}-1}\frac{1}{\omega_n} \geqslant\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\omega_n}=+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому найдется монотонная последовательность положительных чисел $q_{k}$ такая, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\omega_{2^{k+1}}q_{k}}=+\infty, \\ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\omega_{2^{k+1}}q_{k}^2}<+\infty. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Положим Очевидно, что для некоторого $k_0$ имеет место $2^{k/2}b_k<1$, когда $k\geqslant k_0$. Поэтому существует возрастающая последовательность $k_p$, $p=1,2,\dots$, такая, что
$$
\begin{equation*}
1\leqslant\sum_{k=k_p}^{k_{p+1}-1}2^{k/2}b_k\leqslant 2.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $a_n=b_k$, $2^k<n\leqslant 2^{k+1}$, $k=1, 2,\dots$ . Тогда из (3.2) имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{n=2}^{\infty}a_n^2\omega_n=\sum_{p=0}^{\infty}\sum_{n=2^p+1}^{2^{p+1}}a^2_n\omega_n \leqslant\sum_{p=0}^{\infty}\frac{1}{\omega^2_{2^{p+1}}q^2_p2^p}\omega_{2^{p+1}}2^p <+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя лемму 2, найдем последовательность $\varepsilon_n$ и перестановки полиномов
$$
\begin{equation*}
P^{(p)}(x):=\sum_{k=k_p}^{k_{p+1}-1}\sum_{n=2^k+1}^{2^{k+1}}\varepsilon_na_nf_n(x),
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяющие неравенствам
$$
\begin{equation}
\operatorname{mes}\bigl\{x\in J^{(p)}_i\colon \delta(P^{(p)}_{\sigma}(x))\geqslant c_3\bigr\}>c_4\cdot\operatorname{mes}(J^{(p)}_i),
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где $J^{(p)}_i:=[{4\kappa i}/{2^{k_p}}, {4\kappa(i+1)}/{2^{k_p}}]$, $i=0,1, \dots, [2^{k_p-2}\kappa^{-1}]-1$, a $\delta(P^{(p)}_{\sigma}(x))$ – колебание частичных сумм переставленного полинома $P^{(p)}_{\sigma}(x)$ в точке $x$. Докажем, что ряд который является перестановкой ряда $\sum_{n=1}^{\infty}\varepsilon_na_nf_n(x)$, почти всюду на $[0,1]$ расходится.Допустим обратное: ряд (3.4) на множестве положительной меры сходится. Тогда этот ряд сходится равномерно на некотором множестве $E$ с положительной мерой. Следовательно, для достаточно больших $p$ будет выполняться
$$
\begin{equation}
\delta(P^{(p)}_{\sigma}(x))<c_3, \quad\text{когда }\ x\in E.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Известно, что почти все точки множества положительной меры являются точками плотности этого множества. Следовательно, найдутся $p$ (сколь угодно большие) и $i$ такие, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{mes}(E\cap J^{(p)}_i)>(1-c_4)\operatorname{mes}(J^{(p)}_i).
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Неравенства (3.5) и (3.6) противоречат (3.3). Следовательно, переставленный ряд п.в. расходится. Теорема доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Gev24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|