| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Асимптотические разложения решений А. П. Косаревab, А. А. Шкаликовab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Английская версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624110373 
Реферативные базы данных:
 1. Введение1.1. Определения и основные целиЭта работа является продолжением работы авторов [1]. В работе рассматривается $(n \times n)$-система обыкновенных дифференциальных уравнений вида
$$
\begin{equation}
y' - \sum_{l=0}^{m}\lambda^{-l}B_l(x)y - \lambda^{-m}C(x, \lambda)y=\lambda A(x)y, \qquad x \in [0, 1], \quad m \in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где
$$
\begin{equation}
A=\operatorname{diag}\{a_1, \dots, a_n\}, \qquad B_l=\{b_{jk}^l\}, \qquad C=\{c_{jk}(\cdot, \lambda)\}, \qquad y=(y_1, \dots, y_n)^\top.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Предполагаем, что элементы матриц $A(x)$, $B_l(x)$ подчинены условиям
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, a_j \in W_1^m[0, 1], \quad b^{0}_{jj} \in W_1^{m-1}[0, 1], \quad b^{0}_{jk} \in W_1^{m}[0, 1], \qquad j \ne k, \quad j, k=1, \dots, n, \\ b_{jk}^{l} \in W_1^{m-l}[0, 1], \qquad j, k=1, \dots, n, \quad l=1, \dots, m, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
где $W_1^k=W_1^k[0,1]$ – пространства Соболева, состоящие из функций, имеющих $k-1$ абсолютно непрерывных производных. При $k=0$ полагаем $W_1^0=L_1[0,1]$. В частности, согласно условию (1.3) элементы матрицы $B_m(x)$ принадлежат пространству $L_1[0,1]$. Также предполагаем, что элементы матрицы $C(\cdot, \lambda)$ – суммируемые на отрезке $[0, 1]$ функции, причем $\|c_{ij}(\cdot, \lambda)\|_{1} \to 0$ равномерно при $\lambda \to \infty$, $\lambda \in \mathbb{C}$ (здесь $\|\cdot\|_1$ – норма в пространстве $L_1$). Последнее условие нам будет удобно записать в форме
$$
\begin{equation}
\|c_{ij}(\cdot, \lambda)\|_1 \leqslant \upsilon(\lambda),
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где функция $\upsilon(\lambda)$ стремится к нулю при $\lambda \to \infty$ и выражает скорость убывания элементов матрицы $C(\cdot, \lambda)$. Работа авторов [1] посвящена изучению системы вида (1.1) при $m=0$. В ней найдены условия, при которых существует фундаментальная матрица решений $Y(x,\lambda)$ системы (1.1), имеющая представление
$$
\begin{equation}
Y(x, \lambda)=M(x)(I+\mathcal R(x, \lambda)) E(x, \lambda),
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
где матрицы $M$ и $E$ определены ниже явными формулами (1.13) и при $\lambda \to \infty$ в некоторых секторах комплексной плоскости. Но при исследовании краевых задач, связанных с системами (1.1), важно иметь не только первый член асимптотических представлений, но и последующие члены разложений фундаментальных решений по степеням $\lambda^{-1}$. А именно, теперь наша цель – получить при $m\geqslant 1$ и дополнительных условиях (1.3) асимптотические разложения вида
$$
\begin{equation}
Y(x, \lambda)=M(x)\bigl(I+\lambda^{-1}R_{1}(x)+\dots+\lambda^{-m} R_{m}(x)+ \lambda^{-m}\mathcal R(x, \lambda)\bigr)E(x, \lambda),
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
где матрица $\mathcal R(x,\lambda)$ в остаточном члене, как и ранее, подчинена оценке (1.6), а матрицы $R_j$, $j=1, \dots, m$, от $\lambda$ не зависят. Мы покажем, что эти матрицы в разложении (1.7) определены неоднозначно. В связи с этим полезно выделить разложения, в которых матрицы $R_j$ представлены в явном, наиболее простом виде. Такие разложения мы назовем эталонными. Отметим, что систему рекуррентных дифференциальных уравнений для определения матриц $R_j$ выписывал еще Шлезингер в работе [2]. Однако нам неизвестны работы, где предъявлялись явные решения этих систем. Для удобства читателя напомним основные понятия, которые мы ввели в работе [1]. Будем говорить, что на дуге $\lambda=e^{i\theta}$, $\theta \in [\theta_0, \theta_1]$, выполнено условие Биркгофа (или условие упорядоченности), если существует такая перестановка $\sigma$ индексов $\{1, \dots, n\}$ функций $a_j$, что неравенства
$$
\begin{equation}
\operatorname{Re} e^{i\theta}a_{\sigma(1)}(x) \leqslant \operatorname{Re} e^{i\theta}a_{\sigma(2)}(x) \leqslant \dots \leqslant \operatorname{Re} e^{i\theta}a_{\sigma(n)}(x) \quad \forall\, x \in [0, 1]
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
выполнены для всех $\theta \in [\theta_0, \theta_1]$, где $\operatorname{Re} \lambda$ обозначает вещественную часть числа $\lambda$. В случае $\theta_0=\theta_1$ будем говорить об условии Биркгофа (или условии упорядоченности) в точке. Отметим, что в работе [1] в случае $m=0$ мы требовали выполнения этого условия почти при всех $x\in[0,1]$. Но здесь мы рассматриваем случай $m\geqslant 1$, когда функции $a_j$ абсолютно непрерывны, а потому выполнение этих условий почти всюду влечет их выполнение при всех $x\in [0,1]$. При доказательстве теорем нам будет удобно пользоваться эквивалентной формулировкой условия Биркгофа. Согласно [1; теорема 1.3] условие Биркгофа выполнено на дуге $\lambda=e^{i\theta}$, $\theta \in [\theta_0, \theta_1]$ (при $\theta_0=\theta_1$ дуга вырождается в точку), если для каждой пары индексов $j \ne k$ выполнено одно из следующих неравенств:
$$
\begin{equation}
\text{либо} \quad \operatorname{Re} e^{i\theta}\bigl(a_{j}(x) - a_k(x)\bigr) \leqslant 0, \qquad \text{либо} \quad \operatorname{Re} e^{i\theta}\bigl(a_{j}(x) - a_k(x)\bigr) \geqslant 0
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
при всех $\theta \in [\theta_0, \theta_1]$ и при всех $x \in [0, 1]$, т.е. выражение $\operatorname{Re} e^{i\theta}(a_{j}(x) - a_k(x))$ сохраняет знак при всех $\theta \in [\theta_0, \theta_1]$, $x \in [0, 1]$. Выполнение условия невырожденности, которое также фигурировало в работе [1], здесь при $m\geqslant 1$ потребуем в более сильной форме
$$
\begin{equation}
a_j(x) \ne a_k(x) \quad \forall\, x \in [0, 1], \qquad 1 \leqslant j < k \leqslant n.
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
Это условие будем называть условием полной невырожденности. В силу непрерывности функций $a_j$ из этого условия следует, что $|a_j(x) - a_k(x)| \geqslant \delta > 0$ для всех $x \in [0, 1]$ и всех $j \ne k$. Для попарных разностей $a_j - a_k$ и их первообразных будем использовать обозначения
$$
\begin{equation}
\gamma_{jk}(x)=a_j(x) - a_k(x), \quad \Gamma_{jk}(x)=\int_0^x \bigl(a_j(t)-a_k(t)\bigr)\,dt, \qquad j \ne k, \quad j, k=1, \dots, n.
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
Введем еще одно условие, которое авторы вводили ранее в [1]. Будем говорить, что выполнено условие постоянства аргументов разностей (или просто условие постоянства аргументов), если
$$
\begin{equation}
\gamma_{jk}(x)=a_j(x) - a_k(x)=e^{i\eta_{jk}}\varrho_{jk}(x), \qquad \varrho_{jk}(x) > 0,
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
где $\eta_{jk} \in [0, 2\pi)$, $\varrho_{jk}(x) \in W_1^m[0, 1]$. 1.2. Формулировка результатовЗдесь сформулируем, а ниже докажем основные результаты работы. Для формулировки результатов определим диагональные матрицы
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, E(x, \lambda) =\operatorname{diag} \biggl\{\exp\biggl(\lambda \int_0^x a_1(t)\,dt\biggr), \dots, \exp\biggl(\lambda \int_0^x a_n(t)\,dt\biggr) \biggr\}, \\ D_0(x)=\operatorname{diag}\{b_{11}^{0}(x), \dots, b_{nn}^{0}(x)\}, \\ M(x)= \operatorname{diag}\biggl\{\exp\biggl(\int_0^x b_{11}^{0}(t)\,dt\biggr), \dots, \exp\biggl(\int_0^x b_{nn}^{0}(t)\,dt\biggr)\biggr\}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
а также матрицы $Q_0, Q_1, \dots, Q_m$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, Q_0(x)=M^{-1}(x)\bigl(B_0(x) - D_0(x)\bigr)M(x), \\ Q_j(x)=M^{-1}(x)B_j(x)M(x), \qquad j=1, \dots, m. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
Теорема 1.1. Пусть выполнены условие Биркгофа (1.8) на дуге $e^{i\theta}$, $\theta \in [\theta_0, \theta_1]$ и условие полной невырожденности (1.10) для элементов матрицы $A$, а также условие (1.4) на убывание элементов матрицы $C(\cdot, \lambda)$. Тогда при любом фиксированном $\kappa \geqslant 0$ существует фундаментальная матрица $Y(x, \lambda)$ решений уравнения (1.1), которая в сдвинутом вдоль биссектрисы секторе
$$
\begin{equation*}
\Lambda_{\kappa}=\bigl\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \lambda=-\kappa e^{i(\theta_0+\theta_1)/2}+ re^{i\theta},\, r \geqslant 0,\, \theta \in [\theta_0, \theta_1]\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
имеет асимптотическое представление
$$
\begin{equation}
Y(x, \lambda)=M(x)\bigl(I+\lambda^{-1}R_{1}(x)+\dots+\lambda^{-m} R_{m}(x)+ \lambda^{-m}\mathcal R(x, \lambda)\bigr)E(x, \lambda),
\end{equation}
\tag{1.15}
$$
где элементы $r_{jk}$ матрицы $\mathcal R(x, \lambda)$ подчинены неравенствам
$$
\begin{equation}
|r_{jk}(x, \lambda)| \leqslant K(\Upsilon(\lambda)+\upsilon(\lambda)+|\lambda|^{-1}), \qquad K= \mathrm{const}, \qquad \Upsilon(\lambda), \upsilon(\lambda) \to 0
\end{equation}
\tag{1.16}
$$
равномерно при $\lambda \to \infty$ в секторе $\Lambda_{\kappa}$. Здесь $\upsilon(\lambda)$ – функция, характеризующая стремление к нулю элементов матрицы $C(\cdot , \lambda)$, а функция $\Upsilon(\lambda)$ определена ниже равенством (3.23); при этом характер ее стремления к нулю определяется гладкостью элементов матриц $A$ и $B_j$. Матрицы $R_l(x)$ вычисляются неоднозначно. В частности, эти матрицы могут быть представлены формулами
$$
\begin{equation}
r_{jk}^{1}=\frac{q_{jk}^{0}}{a_k - a_j}, \qquad r_{jj}^{1}(x)=\int_{0}^{x}\sum_{s=1}^{n} q_{js}^{0}(t)r_{sj}^{1}(t)\,dt +\int_{0}^{x}\sum_{s=1}^{n} q_{js}^{1}(t)r_{sj}^{0}(t)\,dt,
\end{equation}
\tag{1.17}
$$
$$
\begin{equation}
r_{jk}^{l+1}=\frac{1}{{a_k-a_j}}\biggl(-(r_{jk}^{l})'+\sum_{i=0}^{l}\sum_{s=1}^{n} q_{js}^{i}r_{sk}^{l-i}\biggr),
\end{equation}
\tag{1.18}
$$
$$
\begin{equation}
r_{jj}^{l+1}(x)=\sum_{i=0}^{l+1} \int_{0}^{x}\sum_{s=1}^{n} q_{js}^{i}(t)r_{sj}^{l+1-i}(t)\,dt, \qquad l=1, \dots, m-1.
\end{equation}
\tag{1.19}
$$
Если $\theta_0=\theta_1$ (т.е. дуга $e^{i\theta}, \theta \in [\theta_0, \theta_1]$ вырождается в точку $e^{i\theta_0}$), то утверждение остается справедливым, если сектор $\Lambda_{\kappa}$ заменить на полуполосу
$$
\begin{equation*}
\Pi_{\kappa}=\bigl\{e^{i\theta_0}\lambda \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re} \lambda \geqslant 0,\, |\operatorname{Im} \lambda| \leqslant \kappa \bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, если матрица-функция $C(x, \lambda)$ голоморфна в $\Lambda_{\kappa_0}$ при некотором $\kappa_0 > \kappa$ (в $\Pi_{\kappa_0}$ при некотором $\kappa_0 > \kappa$), то матрица-функция $\mathcal R(x, \lambda)$ голоморфна в $\Lambda_{\kappa}$ ($\Pi_{\kappa}$). Замечание 1.1. Если условие Биркгофа выполнено на дуге $e^{i\theta}$, $\theta \in [\theta_0, \theta_1]$, то оно выполнено и на дуге $-e^{i\theta}$, $\theta \in [\theta_0, \theta_1]$. Следовательно, утверждение теоремы остается справедливым, если сектор $\Lambda_{\kappa}$ заменить на противоположный сектор $-\Lambda_{\kappa}$ или полуполосу $\Pi_{\kappa}$ на противоположную $-\Pi_{\kappa}$. При этом матрицы $R_k$, определяющие асимптотическое разложение в противоположном секторе, можно оставить прежними, но остаток $R(x, \lambda)$ и функция $\Upsilon(\lambda)$ будут уже другими. Их равномерное стремление к нулю при $\lambda \to \infty$, $\lambda \in -\Lambda_{\kappa}$ сохранится. Пусть выполнено условие постоянства аргументов (1.12). Занумеруем все различные числа $\eta_{jk}$ одним индексом $\nu$ в порядке возрастания аргумента
$$
\begin{equation}
\eta_0 \leqslant 0 < \eta_1 < \dots < \eta_{\nu}=\eta_0+2\pi, \qquad \nu \leqslant n^2 - n.
\end{equation}
\tag{1.20}
$$
Отметим, что вместе с числом $\eta_{0}$ в набор $\{\eta_{j}\}_{j=0}^{\nu}$ всегда входит и число $\pi+\eta_{0}$, поэтому $\nu \geqslant 2$. Для $j=1, \dots, \nu$ обозначим через $\omega_{j}$ дуги $\lambda=e^{i\theta}$, $\pi/2 - \eta_{j} \leqslant \theta \leqslant \pi/2 - \eta_{j-1}$, а через $\Lambda^{j}$ – сектора, опирающиеся на дуги $\omega_{j}$. Границы секторов $\Lambda^{j}$, т.е. лучи $\{\lambda\colon \operatorname{arg}\lambda= \pi/2 -\eta_j\}$ назовем критическими. Несложно проверить, что на дугах $\omega_{j}$ выполнено условие Биркгофа (а тогда для всех $\lambda \in \Lambda^{j}$ выполнены неравенства (1.8)). Тем самым, критические лучи определяют границы секторов, в которых справедливы асимптотические разложения. Важная роль этих лучей станет ясной в дальнейшем, когда будут рассмотрены краевые задачи для систем вида (1.1). Через $\Lambda_{\kappa}^{j}$ обозначим сектор $\Lambda^{j}$, сдвинутый на $\kappa \geqslant 0$ вдоль продолжения биссектрисы $\Lambda^j$ во внешность этого сектора. Сектора $\Lambda^{j}$ покрывают всю комплексную плоскость $\mathbb{C}$, а сектора $\Lambda_{\kappa}^{j}$ покрывают $\mathbb{C}$ с наложением друг на друга, образуя в пересечении полуполосы ширины
$$
\begin{equation*}
\kappa \biggl(\sin\biggl\{\frac{\eta_{j} - \eta_{j-1}}2\biggr\} +\sin\biggl\{\frac{\eta_{j+1}-\eta_{j}}2\biggr\}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
которые мы также назовем критическими – они содержат критические лучи
$$
\begin{equation*}
r\exp\biggl(i\biggl(\frac{\pi}2-\eta_j\biggr)\biggr), \qquad r \geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом приведенных обозначений для случая постоянства аргументов из теоремы 1.1 получается следующий результат. Теорема 1.2. Пусть выполнено условие постоянства аргументов (1.12), а $\Lambda_{\kappa}^{\iota}$, $\iota=1, \dots, \nu$ – сектора, построенные выше. Тогда при любом фиксированном $\kappa \geqslant 0$ в каждом секторе $\Lambda_{\kappa}^{\iota}$ существует фундаментальная матрица $Y_{\iota}(x, \lambda)$ решений уравнения (1.1), которая имеет асимптотическое представление Если матрица-функция $C(x, \lambda)$ голоморфна в $\Lambda_{\kappa_0}^{\iota}$ при некотором $\kappa_0 > \kappa$, то матрица-функция $\mathcal R_{\iota}(x, \lambda)$ голоморфна в $\Lambda_{\kappa}^{\iota}$. Асимптотические разложения вида (1.15) можно получать не только в секторах, но и в более широких областях. А именно, сектор $\Lambda=\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \operatorname{arg}\lambda \in [\theta_0, \theta_1]\}$, в котором по теореме 1.1 справедливо асимптотическое представление (1.15), можно расширить до области, ограниченной двумя логарифмическими кривыми
$$
\begin{equation*}
\bigl\{e^{i\theta_0}(r-i\tau_0\ln{(1+r)}),\, r \geqslant 0\bigr\} \quad \text{и} \quad \bigl\{e^{i\theta_1}(r+i\tau_1\ln{(1+r)}),\, r \geqslant 0\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где множители $\tau_0, \tau_1 > 0$ зависят от значений функций $a_j - a_k$ и их гладкости. Другими словами, два луча, составляющие границу $\Lambda$, можно заменить на две кривые указанного вида и гарантировать существование асимптотических разложений в области, ограниченной этими кривыми. Но при этом приходится жертвовать как минимум одним асимптотическим членом в (1.15) и выписывать асимптотики только до $\lambda^{-(m-1)}$ включительно. В этой работе ограничимся только формулировкой соответствующего результата при выполнении условия постоянства аргументов разностей (1.12). В этом случае константы $\tau_0, \tau_1$ можно определить явно. Зафиксируем некоторый индекс $1 \leqslant \iota \leqslant \nu$ и соответствующий сектор $\Lambda^{\iota}$ из формулировки теоремы 1.2, ограниченный лучами $r\exp(i(\pi/2-\eta_\iota))$ и $r\exp(i(\pi/2-\eta_{\iota-1}))$. Ключевую роль в определении множителей $\tau_0$, $\tau_1$ играют константы
$$
\begin{equation}
\beta_{l}=\max\biggl\{\int_0^1 \varrho_{jk}(t)\,dt \biggm| \eta_{jk}=\eta_{l}\biggr\}, \qquad l= \iota-1, \iota.
\end{equation}
\tag{1.23}
$$
Из условий $\varrho_{jk}(x) >0$ следует, что $\beta_{\iota-1}, \beta_{\iota} > 0$. Теперь фиксируем число $p \in \{1, \dots, m\}$ и рассмотрим область $\Omega_{p}^{\iota}$, ограниченную двумя логарифмическими кривыми
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \biggl\{\exp\biggl(i\biggl(\frac\pi2 - \eta_\iota\biggr)\biggr)\biggl(r-i\frac{p}{\beta_{\iota}}\ln{(1+r)}\biggr),\, r \geqslant 0\biggr\}, \\ \biggl\{\exp\biggl(i\biggl(\frac\pi2-\eta_{\iota-1}\biggr)\biggr) \biggl(r+i\frac{p}{\beta_{\iota-1}}\ln{(1+r)}\biggr),\, r \geqslant 0\biggr\}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
начинающимися из начала координат. Роль множителей $\tau_0$ и $\tau_1$ здесь играют константы $p/\beta_{\iota}$ и $p/\beta_{\iota-1}$ соответственно. Очевидно, что при всех достаточно больших $|\lambda|$ область $\Omega_{p}^{\iota}$ содержит в себе как сектор $\Lambda^{\iota}$, так и сдвинутый сектор $\Lambda_{\kappa}^{\iota}$ при любом фиксированном $\kappa \geqslant 0$, а значит, и критические полосы. Теорема 1.3. Пусть выполнены условия теоремы 1.2, а $\Omega_{p}^{\iota}$, $\iota=1, \dots, \nu$, – области комплексной плоскости, определенные выше. Тогда при любом фиксированном $p \in \{1, \dots, m \}$ в каждой области $\Omega_{p}^{\iota}$ существует фундаментальная матрица $Y(x, \lambda)$ решений уравнения (1.1), которая имеет асимптотическое представление 1.3. Исторические замечанияУже в середине 19-го столетия стало ясно, что формальные ряды, представляющие решения уравнений, могут расходиться, но они могут быть использованы для асимптотического представления решений. Строгие определения и обоснования можно найти в статье Пуанкаре [3]. В последующих работах (см., например, [4]–[11] и книги [12]–[15]) возможность асимптотических разложений с бесконечным числом членов для скалярных уравнений и систем с большим параметром исследовалась в предположении бесконечной гладкости коэффициентов, участвующих в уравнениях. В основном рассматривался случай, когда функции $a_k$ в матрице $A$ постоянны. При этом отмечалось (см., например, [6] и [10]), что для получения конечного числа членов разложения достаточно предполагать конечную гладкость коэффициентов. Однако задача о минимальных условиях на гладкость коэффициентов для получения асимптотики с точностью до $\lambda^{-m} O(1)$ или до $\lambda^{-m} o(1)$ не рассматривалась. Как мы отмечали, рекуррентные уравнения для определения матриц $R_l$ в разложениях выписывались, но мы не знаем работ, где предъявлялись явные формулы решений соответствующих уравнений. Отметим, что в цитируемых работах поиск асимптотических разложений проводился в другом виде (матрица $M$ не фигурировала):
$$
\begin{equation}
Y(x, \lambda)=\bigl(I+\lambda^{-1}R_{1}(x)+\dots+\lambda^{-m} R_{m}(x)+\dotsb \bigr) E(x, \lambda),
\end{equation}
\tag{1.25}
$$
а потому уравнения для определения матриц $R_k$ получались другие. Доказательство асимптотических разложений в секторах, покрывающих всю комплексную плоскость, проводилось только в случае постоянных коэффициентов матрицы $A$, причем во многих работах (в частности, в некоторых из цитируемых здесь) доказательства асимптотических разложений проводилось только в более узких секторах, не содержащих критические лучи. Конечно, в таком случае доказательства проводятся значительно проще, но соответствующие результаты оказываются неприменимыми при исследовании краевых задач, связанных с уравнениями (1.1). Мы не знаем также работ (кроме [16] и [1]), где отмечена справедливость асимптотических разложений в более широких секторах, нежели сектора $\Lambda^j$, границами которых служат критические лучи. Эта дополнительная информация также необходима при исследовании краевых задач, которое будет проведено в последующих работах. Частично результаты этой статьи для $(2\times 2)$-систем были получены авторами в работах [17], [18]. Однако методы доказательства были другими.
2. Лемма об оценке интегралаЛемма 2.1. Пусть комплекснозначная функция $\gamma \in \mathrm{AC}[0, 1]$ и $\gamma(x) \ne 0$ для любого $x \in [0, 1]$. Положим $\Gamma(t)=\int_0^t \gamma(\xi)\,d\xi$ и предположим, что непрерывная функция $\Gamma_{1}(x)$ такова, что для любого $\theta \in [\theta_0, \theta_1]$ Тогда функция
$$
\begin{equation}
F(x, \lambda)=e^{\lambda\Gamma_1(x)}\int_0^{x} q(t)e^{\lambda\Gamma(t)}\,dt, \qquad q \in L_1[0, 1],
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
допускает оценку где $\Upsilon(\lambda) \to 0$ при $\lambda \to \infty$ равномерно в секторе $\lambda \in \Lambda_{\kappa}$ при любом фиксированном $\kappa \geqslant 0$. Если $\theta_0=\theta_1$, то оценка (2.3) справедлива в полуполосе
$$
\begin{equation*}
\Pi_{\kappa}= \{e^{i\theta_0}\lambda \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re} \lambda \geqslant 0,\,|\operatorname{Im} \lambda| \leqslant \kappa \}
\end{equation*}
\notag
$$
при любом фиксированном $\kappa \geqslant 0$. Такая же оценка верна для интеграла
$$
\begin{equation}
e^{\lambda\Gamma_1(x)}\int_x^{1} q(t)e^{\lambda\Gamma(t)}\,dt,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
если условие (2.1) выполняется при $ 0 \leqslant x \leqslant t \leqslant 1$. Доказательство. Эту лемму легко получить из более общей леммы 3.1 статьи [1]. Но в приведенной формулировке доказательство существенно проще и имеет смысл привести его независимо.
Сначала предположим, что $\Gamma_1(x) \equiv 0$. Для чисел $\lambda=-\kappa e^{i(\theta_0+\theta_1)/2}+re^{i\theta} \in \Lambda_{\kappa}$ в силу условия (2.1) имеем
$$
\begin{equation}
\operatorname{Re} \lambda \Gamma(t) \leqslant \operatorname{Re} \biggl(-\kappa \exp\biggl(i\frac{\theta_0+\theta_1}2\biggr)\Gamma(t)\biggr) \leqslant \kappa \max_{t \in [0, 1]}|\Gamma(t)|=: K=\mathrm{const}.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Зафиксируем произвольное число $\varepsilon > 0$. Так как непрерывно дифференцируемые функции плотны в $L_1$, то найдется функция $q_1 \in C^{1}[0,1]$ такая, что $\|q-q_1\|_{L_1} \leqslant \varepsilon$. Тогда в силу неравенства (2.5) интеграл $F$ допускает оценку
$$
\begin{equation*}
|F(x, \lambda)| \leqslant \varepsilon e^K+\int_{0}^{x} q_1(t)e^{\lambda \Gamma(t)}\,dt =\varepsilon e^K+\frac{1}{\lambda}\int_{0}^{x} q_1(t)\gamma^{-1}(t)\,de^{\lambda \Gamma(t)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Интеграл в правой части этого равенства можно проинтегрировать по частям, после чего видно, что он представляет ограниченную функцию при $\lambda \in \Lambda_{\kappa}$ в силу оценки (2.5) и абсолютной непрерывности подынтегральной функции. Но тогда при больших $|\lambda|$ имеем $|F(x, \lambda)| \leqslant 2\varepsilon e^K$. Число $\varepsilon$ можно взять произвольно малым, откуда следует утверждение леммы.
В случае $\Gamma_1(x) \not\equiv 0$ множитель $e^{\lambda\Gamma_1(x)}$ нужно внести под знак интеграла и повторить рассуждения, заменив $\Gamma(t)$ на $\Gamma(t)+\Gamma_1(x)$. Если $\theta_{0} = \theta_{1}$, то сектор заменяется на полуполосу, но доказательство не меняется. Также не меняется доказательство для интеграла (2.4). Лемма доказана. 3. Доказательство теоремы 1.13.1. План доказательстваОт векторного уравнения (1.1) перейдем к матричному уравнению
$$
\begin{equation}
Y'(x, \lambda) - \sum_{i=0}^{m}\lambda^{-i}B_i(x)Y(x, \lambda) - \lambda^{-m}C(x, \lambda)Y(x, \lambda)=\lambda A(x)Y(x, \lambda),
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где $Y(x, \lambda)=\{y_{ij}(x, \lambda)\}$. Доказательство будет состоять из двух частей. В первой части мы построим матрицу $S_m$, которая совпадает с первыми $m+1$ членами второго множителя в асимптотическом разложении (1.15), а именно, матрицу, определенную формулой (3.4). При этом матрица $M(x)S_m(x, \lambda)E(x, \lambda)$ будет удовлетворять уравнению (3.1) в приближенном смысле (с точностью до $\lambda^{-m} O(1)$). Для матрицы $S_m$ мы получим равенство (3.13), где в правой части стоит матрица $L_m= \lambda^{-m} O(1)$ с нулями на диагонали. Тот факт, что $L_m$ имеет нулевую диагональ, важен в дальнейшем для оценки остатка в форме $|\mathcal R(x, \lambda)|=\lambda^{-m} o(1)$. Во второй части доказательства мы докажем существование решения уравнения (3.1) вида (1.15). Для этого проведем замену
$$
\begin{equation*}
Y(x, \lambda)=M(x)S_m(x, \lambda)Z(x, \lambda)E(x, \lambda)
\end{equation*}
\notag
$$
с неизвестной $(n \times n)$-матрицей $Z(x, \lambda)$. Преобразовав уравнение, получающееся после подстановки, мы придем к уравнению (3.14), c которым нам проще работать. А именно, от этого уравнения можно перейти к интегральному уравнению, существование решения которого доказывается методом сжимающих отображений. Для доказательства теоремы останется показать, что
$$
\begin{equation*}
Z(x, \lambda)=I+o(1)\lambda^{-m}, \qquad o(1) \to 0 \quad \text{при } \ \lambda \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что доказательство существования решения $Z$ с остатком в форме $O(1)\lambda^{-m}$можно провести совсем просто. Но замена $O(1)$ на $o(1)$, более того, квалифицированная оценка величины $o(1)$ требует дополнительной работы. 3.2. Построение приближенного решенияПриступим к реализации намеченного плана. Рассмотрим уравнение (3.1) без слагаемого $-\lambda^{-m}C(x, \lambda)Y$, а именно,
$$
\begin{equation}
Y'(x, \lambda) - \sum_{i=0}^{m}\lambda^{-i}B_i(x)Y(x, \lambda)=\lambda A(x)Y(x, \lambda).
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Будем искать матрицу приближенного решения $Y_{m}$ в виде где
$$
\begin{equation}
S_{m}(x, \lambda)=R_0(x)+\lambda^{-1}R_{1}(x)+\dots+\lambda^{-m}R_{m}(x).
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Здесь матрицы $M(x)$, $E(x, \lambda)$ определены в (1.13), а неизвестные матрицы $R_i(x)$ абсолютно непрерывны. Подставляя представление (3.3) для $Y_{m}$ в уравнение (3.2), получаем
$$
\begin{equation*}
M' S_mE+MS_m'E+MS_mE' - \sum_{i=0}^{m}\lambda^{-i}B_iMS_mE=\lambda AMS_mE.
\end{equation*}
\notag
$$
Запишем матрицу $B_0$ в виде $B_0=D_0+(B_0-D_0)$, где $D_0$ – диагональ матрицы $B_0$, и учтем, что $E'=\lambda AE$, $M'=D_0M$. Тогда получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &D_0MS_mE+MS_m'E+MS_m\lambda AE - D_0MS_mE - (B_0-D_0)MS_mE \\ &\qquad\qquad - \sum_{i=1}^{m}\lambda^{-i}B_iMS_mE=\lambda AMS_mE. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Умножим это уравнение на $M^{-1}$ слева и на $E^{-1}$ справа и примем во внимание, что диагональные матрицы $M$, $A$ и $D_0$ коммутируют. Тогда уравнение примет вид
$$
\begin{equation}
\lambda(AS_m - S_mA) - S_m'+\sum_{i=0}^{m}\lambda^{-i}Q_i S_m=0,
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где матрицы $Q_i(x)$ определены в (1.14). Подставим представление (3.4) для матрицы $S_m(x, \lambda)$ в уравнение (3.5) и, последовательно приравнивая коэффициенты при степенях $\lambda^{-i}$, определим матрицы $R_i(x)$. Равенство при $\lambda$ в первой степени дает соотношение откуда, используя условие невырожденности $a_j(x) \ne a_k(x)$ для всех $x \in [0, 1]$, получаем, чтоЗапишем равенство для коэффициента при $\lambda^0$ или в координатном виде
$$
\begin{equation}
a_ir_{ij}^{1} - r_{ij}^{1} a_j - (r_{ij}^{0})'+\sum_{s=1}^n q_{is}^0r_{sj}^{0}= 0.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Из этого равенства при $i=j$ получаем уравнения для $r_{11}^{0}, \dots, r_{nn}^{0}$
$$
\begin{equation}
(r_{ii}^{0})'=q_{ii}^{0}r_{ii}^{0}=0, \qquad i=1, \dots, n,
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
так как $q_{ii}^{0} \equiv 0$. Выбор констант интегрирования в нашей власти. Мы положим Подставляя $r_{ii}^{0}=1$ в равенства для внедиагональных коэффициентов (3.7), находим
$$
\begin{equation*}
r_{jk}^{1}=\frac{q_{jk}^{0}r_{kk}^{0}}{a_k - a_j}=\frac{q_{jk}^{0}}{a_k - a_j}, \qquad j, k=1, \dots n, \quad j \ne k.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым, мы нашли матрицу $R_0=I $ и внедиагональные элементы матрицы $R_1$. Теперь предположим, что при некотором $1 \leqslant l \leqslant m$ уже определены матрицы $R_0(x), \dots, R_{l-1}(x)$ и внедиагональные элементы $r^{l}_{jk}$, $j \ne k$, матрицы $R_l(x)$, причем гладкость элементов этих матриц такова, что
$$
\begin{equation}
R_{s}(x) \in W_{1}^{m-s+1}[0, 1], \quad s=0, \dots, l-1, \qquad r^{l}_{jk} \in W_{1}^{m-l+1}[0, 1], \quad j \ne k.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Такое предположение верно при $l=1$. Выпишем уравнение для коэффициента при $\lambda^{-l}$:
$$
\begin{equation}
AR_{l+1} - R_{l+1}A - R_{l}'+\sum_{i=0}^{l} Q_i R_{l-i}=0.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Зафиксируем число $j \in \{1, \dots, n\}$. Тогда из уравнения (3.11) для элемента с индексами $jj$ следует равенство
$$
\begin{equation*}
-(r_{jj}^{l})'+\sum_{i=0}^{l}\sum_{s=1}^{n} q_{js}^{i}r_{sj}^{l-i}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Интегрируя это равенство, с точностью до константы получаем
$$
\begin{equation}
r_{jj}^{l}(x)=\sum_{i=0}^{l} \int_{0}^{x}\sum_{s=1}^{n} q_{js}^{i}(t)r_{sj}^{l-i}(t)\,dt,
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
где $q_{jj}^{0} \equiv 0$, поэтому функции $r_{jj}^{l}$ в правой части не участвуют, а функции $r_{jk}^{l}$ при $j \ne k$ согласно нашему предположению уже построены. Формула (3.12) определяет диагональные элементы $r_{jj}^{l}$, $j=1, \dots, n,$ матрицы $R_{l}$, тем самым, завершая ее построение. Так как функции $q_{jj}^{l}$ стоят под знаком интеграла, то гладкость функций $r_{jj}^{l}$ на единицу выше, чем гладкость функций $b_{jj}^l$ (элементов матриц $Q_l$), т.е. $r_{jj}^{l} \in W_1^{m-l+1}[0, 1]$. В частности, для диагональных элементов матрицы $R_1(x)$ верна формула
$$
\begin{equation*}
r_{jj}^{1}(x)=\int_{0}^{x}\sum_{s=1}^{n} q_{js}^{0}(t)r_{sj}^{1}(t)\,dt+ \int_{0}^{x}\sum_{s=1}^{n} q_{js}^{1}(t)r_{sj}^{0}(t)\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, если число $l$ в нашем предположении совпадает с $m$, то мы завершили построение всех матриц $R_0, R_1, \dots, R_m$. Если же $l<m$, то построим матрицу $R_{l+1}$ и найдем ее гладкость с учетом (3.10). Достаточно построить внедиагональные элементы матрицы $R_{l+1}$, после этого процедура построения диагональных элементов нам уже известна. Зафиксируем пару индексов $j, k \in \{1, \dots, n\}$, $j \ne k$. Тогда из уравнения (3.11) для элемента с индексом $jk$ следует равенство
$$
\begin{equation*}
(a_j-a_k)r_{jk}^{l+1} - (r_{jk}^{l})'+\sum_{i=0}^{l}\sum_{s=1}^{n} q_{js}^{i}r_{sk}^{l-i}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользовавшись тем, что $a_j(x) \ne a_k(x)$ для всех $x \in [0, 1]$ при $j \ne k$, из этого уравнения находим
$$
\begin{equation*}
r_{jk}^{l+1}=\frac{1}{{a_k-a_j}}\biggl(-(r_{jk}^{l})'+\sum_{i=0}^{l}\sum_{s=1}^{n} q_{js}^{i}r_{sk}^{l-i}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Из условия (3.10) следуют включения $r_{jj}^{l} \in W_1^{m-l+1}[0, 1]$. Тогда несложно видеть, что $r_{jk}^{l+1} \in W_1^{m-l}[0, 1]$ при $j \ne k$. Таким образом, в случае $l \leqslant m-1$ мы построили матрицу $R_{l+1}$ и доказали включения $r_{jj}^{l} \in W_1^{m-l+1}[0, 1]$ и $r_{jk}^{l+1} \in W_1^{m-l}[0, 1]$. То есть мы показали, что включения (3.10) справедливы также для следующего индекса $l+1$. Теперь этот шаг можно повторить и построить последующие матрицы $R_{l+2}, \dots, R_m$. Мы строили матрицу $S_{m}(x, \lambda)$, требуя обращения в нуль матриц-коэффициентов перед $\lambda^{-l}$ при $l=-1, 0, \dots, m-1$. Поэтому, подставив эту матриц-функцию в уравнение (3.5), получим
$$
\begin{equation}
\lambda(AS_{m}-S_{m}A)-S'_{m}+\sum_{i=0}^{m}\lambda^{-i}Q_iS_{m} =\lambda^{-m}L_{m} + \lambda^{-(m+1)}T,
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
где матрица $L_m$ определяется равенством $L_m=-R'_{m}+\sum_{i=0}^{m}Q_{i}R_{m-i}$, а для элементов матрицы $T$ выполнена оценка $\|t_{jk}(\cdot, \lambda)\|_{L_1} \leqslant K = \mathrm{const}$. Кроме того, матрица $R_m$ строилась, исходя из обращения в нуль диагональных элементов коэффициента при $\lambda^{-m}$. Поэтому $l_{jj}^{m}=0$ при $j=1, \dots, n$, где $l_{jj}^{m}$ – диагональные элементы матрицы $L_m$. Это свойство матрицы $L_{m}$ будет принципиально использоваться при доказательстве теоремы существования фундаментальной матрицы решений уравнения (1.1). Отметим, что в формулах (3.9) и (3.12) можно взять другие константы интегрирования. При этом будет получена другая матрица
$$
\begin{equation*}
\widetilde{S}_{m}(x, \lambda)=\widetilde{R}_0+\lambda^{-1}\widetilde{R}_1(x)+\dots+ \lambda^{-m}\widetilde{R}_{m}(x),
\end{equation*}
\notag
$$
для которой также будет верно равенство
$$
\begin{equation*}
\lambda(A\widetilde{S}_{m}-\widetilde{S}_{m}A)-\widetilde{S}'_{m} +\sum_{i=0}^{m}\lambda^{-i}Q_i\widetilde{S}_{m} =\lambda^{-m}\widetilde{L}_{m} + \lambda^{-(m+1)}\widetilde{T},
\end{equation*}
\notag
$$
где матрица $\widetilde{L}_{m}$ имеет нулевую диагональ. В частности, вместо $R_0=I$ можно выбрать другую матрицу $\widetilde{R}_0$, подчиненную условиям (3.6) и (3.8), так, что $\widetilde{r}_{jj}^{0} \ne 0$, а при построении последующих матриц $\widetilde{R}_j(x)$ выбирать другие константы интегрирования. При этом все утверждения теоремы 1.1 сохранятся с заменой $R_j(x)$ на $\widetilde{R}_j(x)$, $j=0, \dots, m$. 3.3. Доказательство существования фундаментальной матрицы решенийДоказательство удобно разбить на несколько шагов. Шаг 1. Для поиска решения $Y(x, \lambda)$ уравнения (3.1) проведем замену
$$
\begin{equation*}
Y(x, \lambda)=M(x)S_m(x, \lambda)Z(x, \lambda)E(x, \lambda),
\end{equation*}
\notag
$$
где матрица $S_m(x, \lambda)$ определена равенством (3.4), а $Z(x, \lambda)$ – неизвестная матрица. Подставляя $Y(x, \lambda)$ в уравнение (3.1), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &M' S_mZE+MS_m' ZE+MS_mZ' E+MS_mZE' \\ &\qquad =\lambda AMS_mZE+\sum_{i=0}^{m}\lambda^{-i}B_iMS_mZE+\lambda^{-m}CMS_mZE. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Представим матрицу $B_0$ в виде $B_0=D_0+(B_0-D_0)$, где $D_0$ определена в (1.13), и учтем, что $E'=\lambda AE$, $M'=D_0M$. Сократим совпадающие слагаемые, а затем умножим на $M^{-1}$ слева и на $E^{-1}$ справа. Учитывая, что диагональные матрицы $M$ и $A$ коммутируют, в результате получим
$$
\begin{equation*}
S_m'Z+S_mZ'+\lambda S_m Z A=\lambda AS_mZ+\sum_{i=0}^m \lambda^{-i}Q_iS_mZ+ \lambda^{-m}M^{-1}CMS_mZ.
\end{equation*}
\notag
$$
Перенесем $\lambda S_mZ A$ в правую часть и добавим слагаемое $0=\lambda S_m AZ - \lambda S_m AZ$ к правой части. Сгруппируем слагаемые следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\lambda AS_mZ - \lambda S_mZ A+\lambda S_m AZ - \lambda S_m AZ=\lambda S_m(AZ-ZA) +\lambda(AS_m - S_mA)Z.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда после переноса направо слагаемого $S_m'Z$ получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_mZ' &=S_m\lambda(AZ-ZA)+\biggl(\lambda (AS_m - S_mA) - S_m'+ \sum_{i=0}^m \lambda^{-i}Q_iS_m\biggr)Z \\ &\qquad +\lambda^{-m}M^{-1}CMS_mZ. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из равенства (3.13) для матрицы $S_m$ следует, что выражение в большой скобке перед $Z$ в правой части равенства есть в точности матрица $\lambda^{-m}L_m + \lambda^{-(m+1)}T$. Тем самым, приходим к уравнению для матрицы $Z$
$$
\begin{equation*}
S_mZ'=S_m\lambda(AZ-ZA)+\lambda^{-m}(L_m+\lambda^{-1}T)Z+\lambda^{-m}M^{-1}CMS_mZ.
\end{equation*}
\notag
$$
Умножив слева обе части равенства на $S_m^{-1}$, получаем
$$
\begin{equation*}
Z'=\lambda(AZ-ZA)+\lambda^{-m}\bigl(L_m+(S_m^{-1}-I)L_m+\lambda^{-1}S_{m}^{-1}T+ S_{m}^{-1}M^{-1}CMS_m\bigr)Z,
\end{equation*}
\notag
$$
или в другой форме где матрицы $Q(x)$, $P(x, \lambda)$ и $U(x, \lambda)$ определены равенствами
$$
\begin{equation*}
Q=L_m, \qquad P=S_{m}^{-1}M^{-1}CMS_{m}, \qquad U = (S_{m}^{-1} - I)L_m + \lambda^{-1}S_{m}^{-1}T.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим важные свойства матриц $Q$, $P$, $U$. Элементы матрицы $Q$ в общем случае только суммируемые, при этом $q_{jj} \equiv 0$, $j=1, \dots, n$. Для элементов матрицы $P$ в силу непрерывности элементов матриц $M$, $S_m$ верна оценка
$$
\begin{equation}
\|p_{jk}(\cdot, \lambda)\|_{L_1} \leqslant K\upsilon(\lambda), \qquad K=\mathrm{const},
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
где $\upsilon(t)$ – функция из условия (1.4). Наконец, из вида матрицы $S_m$ очевидно следует, что для элементов матрицы $U$ справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
\|u_{jk}(\cdot, \lambda)\|_{L_1} \leqslant K|\lambda|^{-1}, \qquad K=\mathrm{const}.
\end{equation*}
\notag
$$
Шаг 2. В координатной записи уравнение (3.14) имеет вид
$$
\begin{equation}
z_{jk}'(x, \lambda)=\lambda \gamma_{jk}(x)z_{jk}(x, \lambda) + \lambda^{-m}\sum_{l=1}^{n}\nu_{jl}(x, \lambda)z_{lk}(x, \lambda),
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
где $\gamma_{jk}$ определены равенствами (1.11) ($\gamma_{jj} \equiv 0$), а функции $\nu_{jl}(x, \lambda)$ – равенствами
$$
\begin{equation*}
\nu_{jl}(x, \lambda)=q_{jl}(x)+p_{jl}(x, \lambda)+u_{jl}(x, \lambda), \qquad j, l=1, \dots, n.
\end{equation*}
\notag
$$
Зафиксируем индекс $k$ и рассмотрим отдельно $k$-й столбец в уравнении (3.14). Перейдем от дифференциального уравнения (3.16) к интегральному
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, z_{kk}(x, \lambda) - 1=\lambda^{-m}\int_{0}^{x} \sum_{l=1}^{n} \nu_{kl}(t, \lambda)z_{lk}(t, \lambda)\,dt, \\ z_{jk}(x, \lambda) =\lambda^{-m}\int_{x_{jk}}^{x} e^{\lambda(\Gamma_{jk}(x)-\Gamma_{jk}(t))} \sum_{l=1}^{n} \nu_{jl}(t, \lambda)z_{lk}(t, \lambda)\,dt, \qquad j \ne k. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Здесь и далее нам удобнее использовать запись $\int_{x_{jk}}^x$ вместо того, чтобы рассматривать два интеграла $\int_0^x$ и $\int_x^1$. Конечно, всегда полагаем $\int_b^a=- \int_a^b$. Выбор пределов интегрирования $x_{jk}$, $j, k=1, \dots, n$, в (3.17) находится в нашей власти. Именно здесь мы воспользуемся тем, что на дуге $e^{i\theta}$, $\theta \in [\theta_0, \theta_1]$, по условию теоремы выполнено условие Биркгофа. Положим
$$
\begin{equation}
x_{jk} = \begin{cases} 0, & \text{если } \operatorname{Re}e^{i\theta}\gamma_{jk}(x) \leqslant 0 \quad \forall\, \theta \in [\theta_0, \theta_1], \ \forall\, x \in [0, 1], \\ 1, & \text{если } \operatorname{Re}e^{i\theta} \gamma_{jk}(x) \geqslant 0 \quad \forall\, \theta \in [\theta_0, \theta_1], \ \forall\, x \in [0, 1]. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
Такой выбор пределов интегрирования корректен, так как из эквивалентного определения условия Биркгофа (1.9) следует, что выражение $\operatorname{Re} e^{i\theta}(a_j(x) - a_k(x))$ сохраняет знак при всех $\theta \in [\theta_0, \theta_1]$ и $x \in [0, 1]$. Для любого $\lambda \in \Lambda_{\kappa}$ справедливо представление $\lambda=-\kappa e^{i(\theta_0+\theta_1)/2}+re^{i\theta}$, $r \geqslant 0$, $\theta \in [\theta_0, \theta_1]$. Поэтому такой выбор пределов интегрирования обеспечивает выполнение неравенств
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re} \lambda\bigl(\Gamma_{jk}(x) - \Gamma_{jk}(t)\bigr) \leqslant K \qquad \forall\, \lambda \in \Lambda_{\kappa}, \ \forall\, t \in [x_{jk}, x].
\end{equation*}
\notag
$$
Эти неравенства обеспечивают ограниченность всех экспонент в (3.17) в пределах интегрирования. Если, например, условие Биркгофа (1.8) выполняется на дуге с тождественной перестановкой $\sigma$ (что эквивалентно выполнению неравенств $\operatorname{Re} e^{i\theta}(a_j(x) - a_k(x)) \leqslant 0$ при $j < k$ и $\operatorname{Re} e^{i\theta}(a_j(x) - a_k(x)) \geqslant 0$ при $j > k$), то пределы интегрирования (3.18) имеют вид
$$
\begin{equation*}
x_{jk}= \begin{cases} 0, & \text{если } j < k, \\ 1, & \text{если } j > k. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Через $z_k$ обозначим $k$-й столбец матрицы $Z(x, \lambda)$, а через $V_k=V_k(\lambda)$ – интегральный оператор, определенный соответствующей правой частью равенств (3.17). А именно, если $h=V_k(\lambda)f$, где $f, h$ – $n$-мерные вектор-функции, то $j$-я координата вектора $h$ имеет вид
$$
\begin{equation}
h_j(x, \lambda)=\int_{x_{jk}}^{x} e^{\lambda(\Gamma_{jk}(x)-\Gamma_{jk}(t))}\sum_{l=1}^{n} \bigl(q_{jl}(t)+p_{jl}(t, \lambda)+u_{jl}(t, \lambda)\bigr)f_l(t)\,dt,
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
где $f_l$ – $l$-я координата вектора $f$. Тогда уравнение (3.14) для $z_k$ запишется в виде
$$
\begin{equation}
z_k=z_k^0+\lambda^{-m} V_kz_k, \quad z_k^0=(\delta_{1k}, \dots, \delta_{nk})^\top, \qquad k=1, \dots, n.
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Оператор $V_k$ естественным образом представляется в виде суммы трех операторов где $Q_k$, $P_k$ и $U_k$ определены правой частью (3.19) с заменой суммы $\nu_{jl}=q_{jl}+p_{jl}+u_{jl}$ на $q_{jl}$, $p_{jl}$ и $u_{jl}$ соответственно.Всюду далее мы предполагаем, что нормы векторов и операторов берутся в пространстве $L_{\infty}^n:=(L_\infty[0,1])^n$, поэтому будем опускать индексы в выражениях $\|\cdot\|_{L_{\infty}^n}$ и $\|\cdot\|_{L_{\infty}^n \to L_{\infty}^n}$. Пусть $f \in L_{\infty}^{n}$, $h=P_k(\lambda)f \in (\mathrm{AC}[0,1])^{n}$, где $f, h$ – $n$-мерные вектор-функции. Тогда с учетом (3.15) имеем
$$
\begin{equation*}
\|P_k(\lambda)f\|=\|h(x, \lambda)\| \leqslant e^{K} \sum_{j=1}^{n}\sum_{l=1}^{n} \int_{0}^{1} |p_{jl}(t, \lambda)|\,|f_l(t)|\,dt \leqslant e^K n^2 K \upsilon(\lambda)\|f\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\|P_k\| \leqslant K_1 \upsilon(\lambda), \qquad K_1= e^K n^2 K=\mathrm{const},
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. оператор $P_k\colon (L_{\infty}[0, 1])^n \to (L_{\infty}[0, 1])^n$ при больших $|\lambda|$ является сжимающим. Аналогично, получаем оценку Если положить то таким же образом получается оценкаШаг 3. Вернемся к уравнению (3.20). Представим его решение в виде формального ряда
$$
\begin{equation}
z_k=z_k^0+\sum_{\nu=1}^\infty (\lambda^{-m}V_k(\lambda))^\nu z_k^0.
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
Используя непрерывность оператора $V_k(\lambda)$, найдем число $\lambda_0 > 0$ такое, что при $|\lambda| > \lambda_0$ выполнены неравенства
$$
\begin{equation}
\|\lambda^{-m}V_k(\lambda)\| < \frac{1}{2}, \qquad \sum_{\nu=0}^\infty \|(\lambda^{-m}V_k(\lambda))^{\nu}\| < 2,
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
где $V_k^0=I$ – тождественный оператор. Таким образом, ряд (3.21) сходится по норме пространства $L_{\infty}^n$. Хотя оператор $Q_k$ не является сжимающим, из представления (3.19) несложно видеть, что для вектора $Q_kz_k^0$ верно равенство
$$
\begin{equation*}
Q_kz_k^0=\bigl(v_{1k}(x, \lambda), \dots, v_{nk}(x, \lambda)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
v_{jk}(x, \lambda)=\int_{x_{jk}}^{x} e^{\lambda (\Gamma_{jk}(x) - \Gamma_{jk}(t))}q_{jk}(t)\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Для оценки остатков в представлении $Y(x, \lambda)$ определим функцию
$$
\begin{equation}
\Upsilon(\lambda)=\Upsilon_{\infty}(\lambda)=\max_{j, k, x} |v_{jk}(x, \lambda)|.
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
Покажем, что $\Upsilon(\lambda) \to 0$ при $\lambda \to \infty$, $\lambda \in \Lambda_{\kappa}$. Возьмем произвольные индексы $j, k$ и соответствующую функцию $v_{jk}(x, \lambda)$. Напомним, что для матрицы $Q=L_m$ по построению выполнено $q_{jj} \equiv 0$ при $j=1, \dots, n$, т.е. $v_{jk} \equiv 0$ при $j=k$, поэтому будем считать, что $j \ne k$. Для оценки $\Upsilon(\lambda)$ воспользуемся леммой 2.1. Положим
$$
\begin{equation*}
\Gamma(t) := -\Gamma_{jk}(t), \qquad \Gamma_1(x)=\Gamma_{jk}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что пределы интегрирования (3.18) были выбраны так, что выполнено условие (2.1). Тогда из леммы 2.1 следует, что $|v_{jk}(x, \lambda)| \to 0$ при $\lambda \to \infty$ равномерно по $x\in [0,1]$ и $\lambda \in \Lambda_{\kappa}$. Следовательно, $\Upsilon(\lambda) \to 0$ при $\lambda \to \infty$, $\lambda \in \Lambda_{\kappa}$, и Тогда для вектора $\|V_kz_k^0\|$ получаем оценку
$$
\begin{equation}
\|V_kz_k^0\| \leqslant \|Q_kz_k^0\|+\|P_kz_k^0\|+ \|U_kz_k^0\| \leqslant K_4 \bigl(\Upsilon(\lambda)+\upsilon(\lambda)+|\lambda|^{-1}\bigr)
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
с константой $K_4=\max\{K_1, K_2, n\}$. Из представления (3.21) и оценок (3.22), (3.24) получаем
$$
\begin{equation*}
\|z_k-z_k^0\| \leqslant \biggl\|\sum_{\nu=0}^\infty (\lambda^{-m}V_k(\lambda))^\nu\biggr\| \|\lambda^{-m}V_kz_k^0\| \leqslant |\lambda|^{-m} 2 K_4 \bigl(\Upsilon(\lambda)+\upsilon(\lambda) +|\lambda|^{-1}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для матрицы $Z(x, \lambda)$ верно представление где элементы матрицы $\widehat{R}$ подчинены неравенствам
$$
\begin{equation*}
|\widehat{r}_{jk}(x, \lambda)| \leqslant K_4 \bigl(\Upsilon(\lambda)+\upsilon(\lambda)+ |\lambda|^{-1}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Для завершения доказательства остается представить матрицу $Y(x, \lambda)$ в виде и положить $\mathcal R(x, \lambda) :=S_m(x, \lambda)\widehat{R}(x, \lambda)$. Из явного вида (3.4) матрицы $S_m(x, \lambda)$ следует, что элементы матрицы $\mathcal R(x, \lambda)$ также подчинены неравенствам (1.16) с некоторой константой $K_5 > 0$.В случае $\theta_0=\theta_1$ все рассуждения сохраняются с заменой сектора $\Lambda_{\kappa}$ на полуполосу $\Pi_{\kappa}$. Замечание 3.1. Из вида (1.15) матрицы $Y(x, \lambda)$ следует, что ее определитель имеет вид
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KosShk24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|