О положительной определенности функций вида $h(\rho(x))+\beta\rho(x)h'(\rho(x))$

В работе рассматривается следующая задача для положительно определенных на $\mathbb{R}^n$ функций (класс $\Phi(\mathbb{R}^n)$). Пусть функция $h$ непрерывна на $[0,+\infty)$, дифференцируема на интервале $(0,+\infty)$, $th'(t)\to 0$ при $t\to+0$, $h(t)\not\equiv h(0)$ и $h(\rho(x))\in\Phi(\mathbb{R}^n)$. Здесь функция $\rho$ непрерывна на $\mathbb{R}^n$, $\rho(x)>0$ при $x\ne0$ и $\rho(tx)=|t|\rho(x)$, $x\in \mathbb{R}^n$, $t\in\mathbb{R}$. Для $\beta\in\mathbb{R}$ определим функцию $H_\beta(t):=h(t)+\beta th'(t)$ при $t>0$ и $H_\beta(0):=h(0)$. Требуется найти множество таких $\beta\in\mathbb{R}$, для которых $H_\beta(\rho(x))\in\Phi(\mathbb{R}^n)$. При сделанных предположениях это множество является отрезком $[-\beta(h,\mathbb{R}^n,\rho),\widetilde{\beta}(h,\mathbb{R}^n,\rho)]$, который содержит точку $0$. В теореме 1 найдены формулы для концов этого отрезка. В случае евклидовой нормы, когда $(\mathbb{R}^n,\rho)=\ell_{2}^{n}$, в теореме 2 для широкого класса функций $h$ найдено точное значение для правого конца: $\widetilde{\beta}(h,\ell_{2}^{n})=1/n$. В теореме 3 для функции $h_p(t)=\exp(-t^p)$ в случае $(\mathbb{R}^n,\rho)=\ell_{q}^{n}$ найдены точные значения для правого конца и в нескольких случаях для левого: если $0<p\leqslant q\leqslant 2$, то $\widetilde{\beta}(h_p,\ell_{q}^{n})=1/n$, ${\beta}(h_q,\ell_{q}^{n})={\beta}(h_q,\ell_{q}^{1})/n$, ${\beta}(h_1,\ell_{1}^{n})=1/n$, ${\beta}(h_1,\ell_{2}^{n})=1$, ${\beta}(h_2,\ell_{2}^{n})=0$.
Библиография: 18 названий.