О гомологиях свободной разрешимой группы

Пусть $\Phi_s$ – свободная разрешимая группа ступени $s$, $\Phi_s^{(k)}$ – $k$-й член ее ряда коммутантов и $\mathbb Z_p=\mathbb Z/_p\mathbb Z$ – поле вычетов по модулю $p$ $(p\ne2)$. Обозначим через $H_n^{(k)}$ образ группы $H_n(\Phi_s^{(k)},\mathbb Z_p)$ при гомоморфизме $h_n^{(k)}\colon H_n(\Phi_s^{(k)},\mathbb Z_p)\to H_n(\Phi_s,\mathbb Z_p)$ индуцированным вложением $\Phi_s^{(k)}\to\Phi_s$. Как следует из одной работы автора [1], если $n\ne1\pmod p$, то $H_n(\Phi_s,\mathbb Z_p)=H_n^{(s-1)}$. В заметке доказано, что если $n=p+1$, то $H_n(\Phi_s,\mathbb Z_p)=H_n^{(s-2)}$, а если $n=p^2+1$, то $H_n(\Phi_s,\mathbb Z_p)=H_n^{(s-3)}$. В то же время, если $n\ge p^3+1$, $n=1\pmod p$, то $H_n(\Phi_s,\mathbb Z_p)\ne H_n^{(k)}$ при $1<k<s$. Эти утверждения выводятся из некоторого рекуррентного описания факторов $E_n^{(k)}=H_n^{(k-1)}/H_n^{(k)}$ и коядра отображения $h_n^{(k)}$. Изложение существенно опирается на результаты совместной работы Л. Ковача, Ю. Кузьмина и Р. Штера [4].
Библиография: 5 названий.