Отделимость и расстояние

Доказано, что выпуклые множества $A$ и$B$ в ЛВП $X$ собственно отделимы в том и только том случае, когда существуют такие $x,y\in\operatorname{Aff}(A\cup B)$ и такая выпуклая окрестность нуля $U$ в $X$, что
$$ \lim^{\varepsilon^{-1}}_{\varepsilon\downarrow0}[\rho_U(A^{\varepsilon}_x,B) +\rho_U(A,B^{\varepsilon}_y)]>0, $$
где $\operatorname{Aff}(A):\,=a+\operatorname{lin}(A-a)$, $a\in A$; $\operatorname{lin}A$ – наименьшее замкнутое подпространство, содержащее множество $A\subseteq X$; $A^{\varepsilon}_x:\,=\{tx+(1-t)a\mid a\in A,\ t\in[\varepsilon,1]\}$, $\varepsilon\in[0,1]$, и $\rho_U(A,B):\inf\{\varepsilon>0\mid(A+\varepsilon U)\cap B\ne\oslash\}$. Указанный предел вычислен в явном виде и полностью описано множество тех точек $(x,y)$, для которых он положителен.
Библиогр. 6 назв.