О спектральном представлении гиперболического эволюционного процесса, связанного с дифференциальным выражением Штурма–Лиувилля

Пусть $q(x)\in C^\infty(R)$ – действительная функция, неограниченная снизу, $u_f(t,x)$ – решение задачи Коши $u_{tt}-u_{xx}+q(x)u=0$, $u|_{t=0}=f\in C_0^\infty(R)$, $\partial u/\partial t_{t=0}=0$. Рассматривается семейство операторов $U(t)$, $t>0$, в $L_2(R)$, определяемых как замыкания операторов $U_0(t)f(x)=u_f(t,x)$, $\mathscr{D}(U_0(t))=C_0^\infty(R)$. Изучается спектральное представление $U(t)=\cos(tA^{1/2})$, $t>0$, в котором $A$ – самосопряженное расширение минимального оператора Штурма–Лиувилля с потенциалом $q(x)$. Установлено, что указанное представление не всегда имеет место. Получены условия, достаточные для его справедливости.
Библиогр. 10 назв.