Равномерные оценки ковыпуклого приближения функций многочленам

Рассматривается вопрос ковыпуклой аппроксимации многочленами функций с ухудшающейся гладкостью на концах отрезка. Для $r\in\mathbf{N}$, $r\geqslant3$ и $r\ne4$ доказывается
ТЕОРЕМА. {\it Пусть $r\in\mathbf{N}$, $r\ne4$, $I:[-1,1]$. Если выпуклая и непрерывная на $I$ функция $f=f(x)$ имеет на $(-1,1)$ локально абсолютно непрерывную $(r-1)$-ю производную и $|f^{(r)}(x)(1-x^2)^{r/2}|\leqslant1$ почти при всех $x\in I$, то для каждого $n\in\mathbf{N}$, $n\geqslant r-1$, найдется выпуклый на $I$ алгебраический многочлен $P_n=P_n(x)$ степени $\leqslant n$ такой, что
$$ |f(x)-P_n(x)|\leqslant Cn^{-r}, \quad C=C(r)=\operatorname{const}, \quad x\in I. $$
} Показано, что для $r=4$ теорема, вообще говоря, неверна. Случаи $r=1,2$ были известны. Библиогр. 7 назв.