О гладких линиях на проективных плоскостях над некоторыми ассоциативными алгебрами

Пусть $A$ – ассоциативная алгебра размерности $r$ над полем вещественных чисел и $P_2(A)$ – проективная плоскость над этой алгеброй. Гладкой линией на плоскости $P_2(A)$ называется ее подмногообразие вещественной размерности $r$, которое в каждой своей точке касается некоторой прямой плоскости $P_2(A)$. Доказывается, что на проективных плоскостях над полной матричной алгеброй, алгебрами кватернионов и антикватернионов нет гладких линий, отличающихся от прямых. На проективных плоскостях над алгебрами тернионов и двойных чисел такие линии существуют. При доказательстве используется матричное представление алгебры $A$ и отображение проективной плоскости $P_2(A)$ над полной матричной алгеброй $M$ порядка $n(n\geqslant2)$ на грассманово многообразие $G(n-1, 3n-1)$ плоскостей размерности $n-1$ вещественного проективного пространства $P_{3n-1}$ , а также метод подвижного репера. Библиогр. 8 назв.