Интегральная форма теоремы о потоке

Пусть $0<r_1<r_2$ и $D$ – область, лежащая между сферами $S_1$ и $S_2$ радиусов $r_1$ и $r_2$ с центром в начале координат и имеющая достижимые граничные точки на обеих сферах. Скажем, что кусочно-гладкая поверхность $\Sigma$ разделяет $S_1$ и $S_2$ в $D$, если любая непрерывная кривая, концы которой лежат соответственно на $S_1$ и $S_2$, а внутренние точки принадлежат $D$, необходимо пересекает $\Sigma$. Пусть $\|a_{ij}(x)\|$ – симметрическая матрица с коэффициентами, определенными и непрерывно дифференцируемыми в $\overline{D}$, удовлетворяющая условию $\lambda^{-1}|\xi|^2\leqslant a_{ij}(x)\xi^i\xi^j\leqslant\gamma|\xi|^2$ для всех $\xi\in\mathbf{R}^n$. Пусть $h(t)>0$ $(0\leqslant t<\infty)$ – монотонно возрастающая функция и $\displaystyle\int_0^{\infty}d(th(t))<\infty$. Тогда существует константа $C>0$, зависящая от $\lambda$, $n$ и $h(t)$ такая, что для любой функции $f\in C^2(\overline{D})$ найдется поверхность $\Sigma$, разделяющая $S_1$ и $S_2$ в $D$ такая, что $\displaystyle\int_{\Sigma}\biggl|\dfrac{\partial f}{\partial\nu}\biggr|ds\leqslant C\int_D\dfrac{|f(x)|(h(|f(x)|)+1)dx}{(r_2-r_1)^2}$, где $\partial f/\partial\nu$ – производная по конормали, определенной матрицей $\|a_{ij}(x)\|$. Библиогр. 4 назв.